专题08 圆的综合问题（复习讲义）(四川成都专用)2026年中考数学二轮复习讲练测

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08 圆的综合问题 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 题型一圆周角定理 题型二切线的判定与性质综合证明 题型三圆与三角形、特殊四边形的性质结合 真题动向 题型四圆与相似、全等三角形的综合计算与证明 题型五圆的相关计算 题型六圆的综合压轴 知识1圆的核心性质：垂径定理、圆周角定理、圆心角定理、直径所对圆 周角为直角 知识2切线的判定定理、性质定理及切线长定理 知识3三角形外接圆、内切圆的性质与相关计算 知识4圆内接四边形的性质（对角互补、外角等于内对角） 必备知识 知识5弧长公式1=器、扇形面积公式S=瓷=R 知识6圆与相似三角形、全等三角形的结合判定与计算 知识7勾股定理、特殊角三角函数在圆中的综合应用 知识8弦长、半径、弦心距的关系（垂径定理+勾股定理） 知识9圆中动点问题的分类讨论与数形结合思想 预测1切线的判定与性质应用【每年必考，A卷解答题】 预测2圆周角定理与圆内接四边形性质【高频考点，填空/解答题】 预测3圆的弧长、扇形面积计算【高频考点，A卷填空题】 命题预测 预测4圆与相似三角形综合证明与计算【B卷压轴常考】 预测5圆与特殊四边形的性质结合判断【A卷选择题】 预测6圆与解直角三角形的结合计算【每年必考，解答题】 01 析考情目标 1/25 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 命题形式： 命题 A卷解答题核心考查、B卷填空/解答综合拓展 透视 考察能力： 逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力、 圆与几何模型转化能力 考点 2025年 2024年 T17:直径所对圆周角为直角、圆周 圆的基本性质（直径、 T17:直径所对圆周角为直角、圆 角与三角形综合 圆周角) 周角性质应用 切线的性质与判定 T17:切线性质、切线垂直于半径 未单独考查切线判定，侧重圆内三 的核心应用 角形相似综合 热考 圆与三角形综合（等腰/ T17:圆背景下等腰三角形性质、 T17:圆内构造相似三角形、对应边 角度 相似) 三角形相似证明与计算 成比例计算 圆与勾股定理综合计算 T17:结合勾股定理求圆的半径、 T17:相似三角形结合勾股定理求线 线段长度 段长、圆的直径 圆与特殊四边形综合 未单独考查，融入几何压轴综合 未单独考查，融入几何压轴综合题 题型 型 圆的综合证明与计算 T17:切线+圆周角+等腰三角形+T17:直径圆周角+相似三角形+股 相似，分层证明与计算 定理，综合证明计算 1.考情预测 。根据2024-2025年成都中考命题趋势，2026年该专题为A卷解答题必考核心，固定为A 卷第17题考查，难度中档；命题以“圆的基本性质+切线+三角形相似以勾股定理”为固定框 架，分层设问为“几何证明→线段/半径计算”，极少结合复杂图形变换，侧重基础性质与 命题 规范推理；B卷极少单独考查圆，多融入几何压轴与二次函数综合。 预测 2.备考建议 熟练掌握圆的核心性质：直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等、切线垂直于过切 点的半径；牢记三角形相似判定与勾股定理，能快速在圆中构造直角三角形与相似三角形： 规范书写几何证明步骤，清晰呈现角相等、边成比例的推理过程；重点训练圆的综合计算， 熟练运用方程思想求半径、线段长度；聚焦A卷基础综合题型，确保中档题不丢分。 02 筑•专题框架 2/25 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 垂径定理及推论 基础性质O 圆心角、弧、弦关系 圆周角定理与推论 点与圆的位置关系 二、 位置关系○ 直线与圆：相切、相交、相离 切线性质与判定 三、常用结论O 切线长定理 圆内接四边形性质 线段长度求解 四、综合计算O 角度计算 弧长、扇形面积 切线证明 相似三角形结合 五、压轴考点O 动点与最值 圆与三角函数、勾股综合 连半径、作垂直 六、解题思路O 构造直角三角形 分类讨论特殊情况 03 攻·重难考点 题 动 向 @。● 题型一圆周角定理 点方法 1.同弧或等弧所对圆周角相等，且等于圆心角的一半。 2.直径所对圆周角为直角，90° 圆周角所对弦为直径。 3.圆内接四边形对角互补，外角等于其内对角。 1.(2025四川成都中考真题)如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC,BC,过点C作半圆O的 切线，交AB的延长线于点D,在AC上取点E,使EC=BC,连接BE,交AC于点F. 3/25 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E 0 B (1)求证：BE‖CD; @若sin D=BD=山，求半圆O的半径及EF的3 2.(2023四川成都.中考真题)如图，以ABC的边AC为直径作⊙0，交BC边于点D,过点C作 CE∥AB交OO于点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE. A D (1)求证：AC=BC; (2)若tanB=2,CD=3,求AB和DE的长. 题型二切线的判定与性质综合证明 点方法 1.有切点：连接半径，证明半径与直线垂直；无切点：作垂线，证明垂线段等于半径。 2.切线垂直于过切点的半径，圆外一点引两切线，切线长相等。 3.结合直角三角形性质，推导角度相等、线段长度。 3.(2024四川成都.中考真题)如图，在ABC的边BC上取一点0，以0为圆心，0C为半径画⊙0，⊙0 与边AB相切于点D,AC=AD,连接OA交OO于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F. E F D B (1)求证：AC是⊙0的切线： 4/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若AB=10,anB=4,求o0的半径； (3)若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由. 4.(2025四川中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,0为AB上一 点，经过点A,D的OO分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G· 如图，在Rt△ABC Rt△ABC中，∠C=90°∠C=90°，ADAD平分∠BAC∠BAC交 B BCBC于点D,O为ABAB上一点，经过点A、D的⊙O⊙O分别交ABAB,ACAC于点E,F,连接OFOF 交ADAD于点 (1)求证：BC是⊙0的切线； (2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长： 3)若BE=8,snB=,求DG的长 5.(2024四川德阳.中考真题)已知⊙0的半径为5，B、C是00上两定点，点A是00上一动点，且 ∠BAC=60°，∠BAC的平分线交O0于点D. 0 D (1)证明：点D为BC上一定点： (2)过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F. ①判断DF与O0的位置关系，并说明理由； ②若ABC为锐角三角形，求DF的取值范围. ◆题型三圆与三角形、特殊四边形的性质结合 皮方法 1.三角形外心为垂直平分线交点，内心为角平分线交点，直角三角形外心在斜边中点。 2.圆内接矩形正方形的对角线为圆的直径，菱形对角线垂直可结合垂径定理。 5/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.巧用圆内接四边形性质，转化角度关系。 6.(2025四川成都中考真题)如图，⊙0的半径为1，A,B,C是00上的三个点，若四边形0ABC为平 行四边形，连接AC,则图中阴影部分的面积为 7.(2024四川成都.中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作 OO,交AC于E,F两点，连接BE,BF,DF. E B (1)求证：BC·DF=BF·CE; (2)若LA=∠CBF,tan∠BFC=√5，AF=45,求CF的长和o0的直径. 8.(2025四川绵阳.中考真题)如图，点A,C在⊙0上，连接A0,C0并延长，分别与⊙0的切线相交于 点B,点D,切点为E,CD与OO交于点F,连接AE,AF,AD⊥BD,垂足为点D,DE=3,DF=I. D E E B C 备用图 (1)求证：AE平分∠BAD; (2)设AB=kOB(k>O),求k的值； (3)求cos∠EAF的值. ◆题型四圆与相似、全等三角形的综合计算与证明 点方法 6/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.利用圆周角相等找两组等角，快速判定三角形相似。 2.直径构造直角三角形，结合全等转化边角，列比例式计算。 3. 用相似比、全等性质推导线段相等或成比例。 9.(2025四川巴中.中考真题)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=42,D为AB中点，点E在线段CD上， 满足CE=2DE,连接AE并延长交BC于点F,当ABC面积最大时，线段CF等于() B D A,√2 B.2 C.2V2 D.4 10.(2025四川雅安.中考真题)如图，ABC中，∠B=90,AM是角平分线，O是AC上一点，经过点A、 点M的OO分别交AB,AC于点E,点F. A B M (1)判断BC与⊙0的位置关系，并说明理由； (2)求证：CM2=CF.CA; 3 3)若CF=2,simC=亏，求E的长. 11.(2025四川中考真题)如图，AB为⊙0的直径，C为00上的一点，AD和过点C的切线互相垂直， 垂足为D.延长DC交AB的延长线于点E. B (1)求证：AC平分∠DAE; (2)若tanE= 2'CE=12,求00的半径和CD的长 12.(2025四川巴中.中考真题)如图，P为⊙0外一点，PA和PB为⊙0的两条切线，A和B为切点，BC为 直径. 7/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求证： ①△APO≌△BP0. ②P0∥AC. (2)AC=2,0C=V5,求OP的长. 题型五圆的相关计算 点方法 1.牢记弧长、扇形面积公式，圆锥侧面积用底面半径和母线计算。 2. 垂径定理配合勾股定理，求弦长、半径、弦心距。 3.阴影面积常用割补法，整体减空白区域求解。 13.(2024四川成都.中考真题)如图，在扇形A0B中，0A=6,∠A0B=120°，则AB的长为 ○ 14.(2025四川资阳.中考真题)如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2,连接AC,AE,以点D为圆心、 CD的长为半径作圆弧CE,则图中阴影部分的面积是 E D 15.(2025四川德阳.中考真题)等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日 常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等.如图，分别以等边三角形ABC的三 个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果AB=1,那么这 个等宽曲线的周长是 8/25 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16.(2025四川广元中考真题)如图，已知∠A0B,以点O为圆心，2为半径画弧，交0A于点M,交0B 于点N,分别以点M,N为圆心，大于，MN的长为半径画弧，两弧在∠A0B的内部相交于点C,画射线 OC交MN于点E,连接MC,NC. A入 (1)求证：∠A0C=∠B0C; (2)若∠A0B=60°，求ME的长. 题型六圆的综合压轴 点方法 1.优先挖掘圆周角、切线、垂径三大核心性质。 2.联立相似、勾股定理、方程思想，设参数求解动点、线段。 3.存在性问题分类讨论，结合自变量范围验证解的合理性。 17.(2023四川德阳中考真题)如图，O0的直径AB=10,DE是弦，AB⊥DE,CEB=EBD, 、3 sin∠B1C=亏，AD的延长线与CB的延长线相交于点F，DB的延长线与OE的延长线相交于点G,连接 CG.下列结论中正确的个数是() ①∠DBF=3LDAB; ②CG是00的切线： ③B,E两点间的距离是V10; ④DF=Ivio 9 9/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B D A.1 B.2 C.3 D.4 18.(2023四川成都.中考真题)如图，AB为00的直径，C为⊙0上一点，连接AC,BC,D为AB延长线 上一点，连接CD,且∠BCD=∠A. D E (1)求证：CD是00的切线； (2)若⊙0的半径为√5，ABC的面积为2√5，求CD的长； 3)在(2)的条件下，E为00上一点，连接CE交线段0A于点K若华求r的3 19.(2024四川绵阳中考真题)如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧BC的中点，过点D 作⊙O的切线与AC的延长线交于点P,与AB的延长线交于点F,AD与BC交于点E. B (1)求证：BC∥PF; (2)若⊙O的半径为√5，DE=1,求AE的长度： (3)在(2)的条件下，求aDCP的面积， 核 提 炼 10/25 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 《。知识1 圆的核心性质：垂径定理、圆周角定理、圆心角定理、直径所对圆 周角为直角 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的优弧、劣弧；推论：平分弦（非直径）的直径垂直 于弦，且平分弦所对的弧；弦的垂直平分线必过圆心。 圆心角定理：同圆或等圆中，圆心角相等≠所对弧相等=所对弦相等所对弦的弦心距相等，四组量一 组相等则其余全部相等。 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、 弦也相等。 直径与圆周角：直径所对的圆周角为90°直角；反之，若一个圆周角是90°，则它所对的弦是圆的直 径，这是圆中构造直角三角形的核心依据。 ◇知识2 切线的判定定理、性质定理及切线长定理 判定定理：直线同时满足过半径外端+垂直于该半径两个条件，即为圆的切线；无切点时，过圆心作直 线的垂线，垂线段长等于半径也可判定。 性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；解题常用辅助线：见切线，连圆心与切点，得直角 切线长定理：圆外一点向圆引两条切线，两条切线长度相等；该点与圆心的连线，平分两条切线的夹角， 也平分两切点所对的弧。 。知识3三角形外接圆、内切圆的性质与相关计算 外接圆与外心 外心：三角形三边垂直平分线的交点： 位置：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部； 性质：外心到三个顶点距离相等，该距离为外接圆半径R。 内切圆与内心 内心：三角形三条角平分线的交点，永远在三角形内部； 性质：内心到三边距离相等，该距离为内切圆半径； 计算公式：r=种+。(S为三角形面积)，直角三角形内切圆半径r=(c为斜边)。 《。知识4圆内接四边形的性质（对角互补、外角等于内对角） 核心性质1：圆内接四边形的对角互补（和为180°）： 核心性质2：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（与外角相邻内角的对角）： 11/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 反向应用：若四边形对角互补或外角等于内对角，则该四边形内接于圆（四点共圆）。 。知识5弧长公式1=器、扇形面积公式S=器=R 设圆心角度数为n,圆半径为R,弧长为： 弧长公式：1=（由圆周长2πR按圆心角占比推导）： 扇形面积公式：S==R,第二个公式可类比三角形面积公式记忆。 《。知识6圆与相似三角形、全等三角形的结合判定与计算 与全等结合：利用同弧/等弧所对圆周角相等、圆的半径相等、等弦对等角，推导角相等、边相等，结 合SAS、ASA、SSS判定三角形全等，进而求线段、角度。 与相似结合：圆中天然存在公共角、同弧圆周角、对顶角，满足AA相似判定；通过相似三角形对应边 成比例，计算圆中弦长、半径、线段比例，以及面积比值。 。知识7勾股定理、特殊角三角函数在圆中的综合应用 圆中高频构造直角三角形：垂径分弦、直径对直角、切线垂直半径，直接用勾股定理：2+b2=c2求半 径、弦长、弦心距。 特殊角(30°、45°、60°)应用：圆心角为60°时，半径与弦构成等边三角形；圆心角为90°时， 弦长=√2R;结合三角函数值快速求解圆中线段长度与角度。 ◇知识8 弦长、半径、弦心距的关系（垂径定理+勾股定理） 由垂径定理，直径垂直平分弦，可构造以半径为斜边、半弦长和弦心距为直角边的直角三角形，结合勾股 定理得核心公式： 弦长弦心距半径（李）+弦心距=半径2 三个量中己知任意两个，可直接求出第三个，是圆中线段计算的基础模型。 《◇知识9圆中动点问题的分类讨论与数形结合思想 ·分类讨论：按动点位置（圆上、圆内、圆外、优弧/劣弧）、图形形状（等腰三角形顶角顶点、直角 三角形直角顶点、相似三角形对应关系)分类，做到不重不漏，求解后检验是否符合轨迹范围。 。数形结合：画出动点运动轨迹，结合圆的对称性、直角构造、相似比例、勾股定理列方程求解；利 用直径是圆中最长弦、垂线段最短求线段最值，结合函数图象分析动点规律。 12/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 命 题 预 测 命题预测1：切线的判定与性质应用【每年必考，A卷解答题】 1.(2024-四川德阳模拟预测)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心，AD为半径 的领松好与8C相切.切点为，若品行则uC的位是() A B.4V7 c.3 D.5 1 2 2.(2025四川成都模拟预测)如图，ABC内接于⊙0，AB=AC,过点A作AD∥BC交∠ACB的平分 线于点D,CD交OO于点E,交AB于点F,射线AE交CB的延长线于点G. 0 G (1)求证：AD是00的切线： ②若E=5,oD-求CD和BC的长 3.(2024四川成都模拟预测)如图，在△BCE中，BC⊥BE,点A在BE上，以AB为直径的O0交CO的 延长线于点G,过点E作EF⊥CG于点F,∠FEB=∠ECG. B (1)求证：CE是⊙0的切线； 法S-有求n∠BC0的值， 4.(2024四川成都.二模)如图，AB为00的直径，C01AB,弦CD交AB于点E,点F为直径BA延长线 上一点，连接FD,且FE=FD. 13/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C B (1)求证：FD为O0的切线； (2)连接BD,若BD=56, =曾mB=求F的长 5.(2026四川巴中.一模)己知：如图，Q0的直径AB垂直于弦CD,过点C的切线与直径AB的延长线相 交于点P,连接PD D B (1)求证：PD是⊙0的切线. (2)判断线段PD、PB、PA之间的数量关系，并加以证明. B若P8=6,an∠CDB=号求o0的半径的长. 6.(2024四川广安模拟预测)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB为O0的直径，点D为AC的中点，过 点D的直线1交BA的延长线于点M.交BC的延长线于点N,且∠BNM=90°， M (1)求证：MN是00的切线： (2)求证：AD2=AB.CN; B当AB=6,sin∠DCA=5时，求AM的长 3 命题预测2：圆周角定理与圆内接四边形性质【高频考点，填空/解答题】 1.(2025·四川成都模拟预测)如图，O0是ABC的外接圆，AB是O0的直径，D是O0上一点，连接 14/25 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD,AD,OC平分LBCD,过点C作CE⊥AD交DA的延长线于点E. B (1)求证：CE是00的切线： (2)若⊙0的半径为5，BC=8,求AD的长. 2.(2025四川成都.三模)如图，在ABC中，点D是AB上一点，经过B,C,D三点的O0与AC相交于 点E,点F为OO上一点，与点C在直线AB异侧，连接CF与BD相交于点G,∠CFD=∠A. C B D A (1)求证：AD=DE; 4 2)若点F是BFD的中点，BD为00的直径，cos∠DBA=写FD=5V2,求FG和AD的长. 3.(2025四川成都.三模)如图，ABC内接于⊙0，AB是⊙0的直径，点E在圆上，且BC=CE,过点C 作CD⊥AE,垂足为点D,DC与AB的延长线相交于点F, B D (1)求证：DF是⊙0的切线； 2若B-2,am∠PCB,求00的半径和线段4D的长。 4.(2025-四川成都.二模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠D=90°，且AD>BC,以AB为直径的 OO与边CD相切于点E,交AD于点F,连接AE,EF. 15/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B ④ (1)求证：△DEF∽△DAE; (2)若BC=8,sin∠AEF= 3,求00的半径 5.(2026四川德阳·模拟预测)如图1，⊙0的内接四边形ABCD对角线相互垂直，垂足为点E,过点B作 BF⊥AD,交AC于点G, D 图1 图2 (1)若∠BAD=50°，∠ABC=70°，求∠ACB的度数； (2)如图2，连接D0并延长交⊙0于点H,连接HB,HA.证明四边形AGBH为平行四边形； 3)在(2)的条件下，若AG=5,GE=1,DE=2,求00的直径. 6.(2026四川成都.一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB上一点，⊙0是△ACD的外接 圆，交BC于点F,直径DE交AC于点G. F F D B (1)求证：∠CDE=∠B; a若AC=BC,BF-2,m∠ADE=求CD及EG的长. 命题预测3：圆的弧长、扇形面积计算【高频考点，A卷填空题】 1.（2025四川成都二模)如图，00是正六边形ABCDEF的外接圆，半径为2，过点0作0G⊥AB于点G 16/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 给出下列结论：①圆心角∠A0B=60°；②弦长AB=2;③0G=2;④图中阴影部分的面积为2π-V5;⑤ B的长为弩其中正确的结论是() E D A B A.②④⑤ B.①②⑤ C.①③⑤ D.①②④ 2.(2026四川绵阳二模)如图，在圆柱中以圆柱的上下两个底面为底的两个圆锥顶点在O处相接， OB,OC分别为上下两个圆锥的母线，OB⊥0C,若圆柱的高BC=10,OB=6,上下两个底面的直径 AB,CD与顶点O都在同一个平面之中，则上下两个圆锥的侧面积之比是() B D长 A.3:4 B.4:3 c.9:16 D.16:9 3.(2024四川成都.二模)如图，AB是00的直径，与弦CD交于点E,∠CAB=30°，AC=AE,CD=2, 则图中阴影部分的面积为· D 4.(2024四川成都模拟预测)如图，正五边形ABCDE的边长为5，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆， 则阴影部分的周长为 （结果保留π) 5.(2025·四川成都模拟预测)“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中 M,N的半径分别是1cm和8cm,当⊙M顺时针转动3周时，N上的点P随之旋转n°，则n= 17/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 p ©，M 6.(2026四川南充一模)如图，正五边形ABCDE的边长为5，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则 阴影部分的面积为 (结果保留n.) E B 命题预测4：圆与相似三角形综合证明与计算【B卷压轴常考】 1.(2024四川成都.二模)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，BC=6,AC=8,⊙0是以AC为直径的圆， 点D为OO上一点，连接OD、BD,点E是OD的中点，连接AE,则BD+AE的最小值是 D E 2.(2025四川成都二模)如图，在Rt△ABC中，LB=90°，⊙0与边BC相切于点D,与AB,AC分别相 交于点E,F,AD与OE相交于点G. G E B (1)求证：∠C=LADE; 2若CF=4,sinC求00的半径和DG的长 18/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(2025四川成都.二模)如图1，AB和CD是半径为2的⊙0的两条直径，点P是BA延长线上的一点，连 接PC交⊙O于点E(点E在线段PC上，且不与点P、点C重合)， C E M B A D D 图1 图2 (1)当PC=P0时，求证：C02=CE·CP; (2)连接DE,交半径OA于点M,已知PA=2.连接PD,如图2，当点M是△PCD的重心时，求∠BOC的 余弦值； 4.(2025四川成都.一模)已知点C是以AB为直径的圆上一点，连结AC,在AB上截取AD=AC，连结CD 并延长交圆于点E,连结AE,设AC=kAB, D B E E B B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠EAB=25°时，求∠BAC度数： 2如图2，过点A作AF1CD,证明：CD=2k: ED 3)如图3，若；<k<1,连结EB并延长，交AC的延长线于点F,设BCF的面积为S,设△AEF面积为 S2,用含k的代数式表示S:S2 5.(2025四川南充三模)如图，在⊙0中，AB为直径，AD为弦，BD与过点A的直线交于点C,点E为 BD的中点，连接AE交BD于点F,CA=CF. 19/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (1)求证：AC是00的切线： (2)若DF=4,tanLABC=3 求EF的长 6.(2025四川泸州一模)如图，⊙0是ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙0于点D,过 点D作DE L AC分别交AC、AB的延长线于点E、F. B (1)求证：EF是⊙0的切线； (2)求证：AD2=AE·AB; (3)连接AD,交C0于点P,若ED=12,CE=6,求AP的长度. 7.(2024四川自贡.二模)在平面直角坐标系x0y中，已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以原点0为圆心， 半径为3的00上，连接0C,过点0作0D10C,0D与⊙0相交于点D(其中点C,O,D按逆时针方 向排列)，连接AB. B D (1)当0C∥AB时，∠B0C的度数为： (2)连接AC,BC,当点C在⊙0上运动到什么位置时，ABC的面积最大？并求出ABC面积的最大值. (3)连接AD,当OC∥AD,点C位于第二象限时， ①求出点C的坐标； ②直线BC是否为O0的切线？并说明理由. 20/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 命题预测5：圆与特殊四边形的性质结合判断【A卷选择题】 1.(2026四川德阳.一模)水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几座大水车.图1是 某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水 斗随轮盘转动而升降.如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点A处放空水，同时有1个水斗刚 好在点B处接触水面，中间还有2个水斗，己知外围轮盘半径0A为5m,点A到水面的距离为7m,则水面 宽度CB为() B 图1 图2 A.6m B.7m C.6m或8m D.7m或8m 2.(2026四川广元一模)如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的动点，且DE=CF,连 接AE、DF相交于点G,在线段AG下方以AG为斜边作等腰直角△AHG,∠AHG=90°，连接BH,若正 方形ABCD边长为4，则BH的最小值是 A D E B F 3.(2026四川南充一模)如图，点E是边长为4的正方形ABCD的边BC上一动点（不与B、C重合），连 接AE,以AE为腰向右作等腰Rt△AEH,AH与CD交于点G,连接BD,分别与AE、AH相交于点M、 N,连接EN、EG·给出下列四个结论：①∠BEM=∠BME;②△AEN是等腰直角三角形；③若 3 ④连接DH,AH+DH的最小值为4√5.其中正确的结论是·（填写序号） D G M B E 21/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(2025四川成都模拟预测)如图，点G在线段AC上，AG=6,点B是线段AG上一动点，以AB为边 向下方作正方形ABEF,以BC为腰向下方作等腰直角三角形BCD,∠CBD=RtL,当AB<BC时， 2BG-DE=4. B (1)如下表， 某同学分别用特殊值法和一般法求CG的长，请你将解答过程补充完整 假设BG=3,求CG的长. 设BG=x,求CG的长 探究1 探究2 解： 解：… (2)过点A,F,G的O0交边CD于点H. ①连接GH,FH,若aCGH是等腰三角形，求AB的长， ②当O0与边CD有两个交点时，求AB的取值范围 5.(2026四川绵阳.二模)如图，AB,CD是00的弦，AB⊥CD,垂足为F,CE为O0的直径， AB=CD=3AF=3,CE与AB、BD分别交于M、G. D B M C C 图1 图2 (1)证明：AF=CF; (2)求cos∠DBE的值； 3)求BG的长度. 6.(2026四川绵阳.一模)四边形ABCD是⊙0的内接四边形，AC是对角线，CA平分LBCD. D D D E 0 ⊙ 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AB=AD; 22/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，点E在线段CD上，连接AE,AB=AE,连接BE,∠BED=135°，求证：BC⊥CD: (3)如图3，在(2)的条件下，作BH⊥AB交OO于点H,交线段AC于点F,连接CH,请你探究线段DE 、线段CH的数量关系，并证明你的结论. 命题预测6：圆与解直角三角形的结合计算【每年必考，解答题】 1.(2026四川德阳·模拟预测)如图，AB是⊙0的直径，BC与O0相切于点B,连接AC,与圆交于点F, 作EF∥BC,交AB于点D,若∠A=30°，OA=6,则EF长是() B C A.35 B.6√5 C.8 D.12 2.(2026四川泸州一模)如图，四边形ABCD是00的内接四边形，∠BCD=120°，⊙0的半径为6，则 BD的长为() A 0。 A.4V3 B.53 C.65 D.3 3.(2026四川成都.二模)如图，以ABC的边AC为直径作⊙0，交BC边于点D,过点C作CE∥AB交 OO于点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE. A B D (1)求证：AC=BC; (2)若tanB=2,CD=3,求AB和DE的长. 4.(2024四川成都模拟预测)如图，己知AB为⊙0的弦，连接A0,过00上的点C作CD∥A0,交AB的 延长线于点D,且∠OAC=∠ABC. 23/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (1)求证：CD为⊙0的切线； 2若BC=2,tanD=3’求0A的长. 德拟预测)如图，在Rt△ABC中LABC=90°，sinC=以4C为 OO的切线，过点A作AD BD于点D. D G E (1)求证：∠DBA=∠ACB; (2)E为OA上一点，且AE=40E,过点E作EFOA交AB于点F,交切线BD于点G,当EG=11时， 求线段DG的长. 6.(2026四川南充一模)如图，点P是⊙0外一点，P0交00于点B(PB>BO). P B (1)请用尺规按下列步骤作图：（不写作法，保留作图痕迹） ①画线段PO的垂直平分线，交P0于点A;②在00上找一点C(点C在PO)上方，使AC=AP:③画 射线PC. (2)求证：PC是00的切线； 3)在(1)(2)问的条件下，若PC=30,cos∠POC=D,求点C到P0的距离 10 7.如图，AB为O0直径，C、D为O0上不同于A、B的两点，连接CD,过D作O0的切线交AB延长 线于点F,直线CB⊥DF于点E,连接BD 24/25 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D A (1)直接写出∠ABC与∠BAD的数量关系 (2)求证：BD2=2BE.BO; 国当C-号cF-号时，课00的半径长。 5 8.(2026四川泸州模拟预测)如图，在ABC中，∠BAC=90°，点D是边BC上一点，（点D不与点B, 点C重合)，以AD为直径的OO分别交AB,AC于点E,F,连接CE交OO于点G,交AD于点H,连接 DG,且∠DGE=∠ACB (1)求证：BC是O0的切线； 2已知BE=2,an∠4CB=5,求OH的长. 2 9.(2026四川南充一模)己知：如图，AB是00的直径，点C在⊙0上，AC=2BC,∠CAD=60°. A D (1)试判断直线AD与⊙0的位置关系，并说明理由： (2)当AB=4时，求图中阴影部分的面积. 25/25 专题08 圆的综合问题 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一圆周角定理 题型二 切线的判定与性质综合证明 题型三 圆与三角形、特殊四边形的性质结合 题型四 圆与相似、全等三角形的综合计算与证明 题型五 圆的相关计算 题型六 圆的综合压轴 必备知识 知识1 圆的核心性质：垂径定理、圆周角定理、圆心角定理、直径所对圆周角为直角 知识2 切线的判定定理、性质定理及切线长定理 知识3 三角形外接圆、内切圆的性质与相关计算 知识4 圆内接四边形的性质（对角互补、外角等于内对角） 知识5 弧长公式 、扇形面积公式 知识6 圆与相似三角形、全等三角形的结合判定与计算 知识7 勾股定理、特殊角三角函数在圆中的综合应用 知识8 弦长、半径、弦心距的关系（垂径定理+勾股定理） 知识9 圆中动点问题的分类讨论与数形结合思想 命题预测 预测1 切线的判定与性质应用【每年必考，A卷解答题】 预测2 圆周角定理与圆内接四边形性质【高频考点，填空/解答题】 预测3 圆的弧长、扇形面积计算【高频考点，A卷填空题】 预测4 圆与相似三角形综合证明与计算【B卷压轴常考】 预测5 圆与特殊四边形的性质结合判断【A卷选择题】 预测6 圆与解直角三角形的结合计算【每年必考，解答题】 命题 透视 命题形式： A卷解答题核心考查、B卷填空/解答综合拓展 考察能力： 逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力、圆与几何模型转化能力 热考角度 考点 2025年 2024年 圆的基本性质（直径、圆周角） T17：直径所对圆周角为直角、圆周角性质应用 T17：直径所对圆周角为直角、圆周角与三角形综合 切线的性质与判定 T17：切线性质、切线垂直于半径的核心应用 未单独考查切线判定，侧重圆内三角形相似综合 圆与三角形综合（等腰/相似） T17：圆背景下等腰三角形性质、三角形相似证明与计算 T17：圆内构造相似三角形、对应边成比例计算 圆与勾股定理综合计算 T17：结合勾股定理求圆的半径、线段长度 T17：相似三角形结合勾股定理求线段长、圆的直径 圆与特殊四边形综合 未单独考查，融入几何压轴综合题型 未单独考查，融入几何压轴综合题型 圆的综合证明与计算 T17：切线+圆周角+等腰三角形+相似，分层证明与计算 T17：直径圆周角+相似三角形+勾股定理，综合证明计算 命题预测 1. 考情预测 · 根据2024-2025年成都中考命题趋势，2026年该专题为A卷解答题必考核心，固定为A卷第17题考查，难度中档；命题以“圆的基本性质+切线+三角形相似/勾股定理”为固定框架，分层设问为“几何证明→线段/半径计算”，极少结合复杂图形变换，侧重基础性质与规范推理；B卷极少单独考查圆，多融入几何压轴与二次函数综合。 2. 备考建议 · 熟练掌握圆的核心性质：直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等、切线垂直于过切点的半径；牢记三角形相似判定与勾股定理，能快速在圆中构造直角三角形与相似三角形；规范书写几何证明步骤，清晰呈现角相等、边成比例的推理过程；重点训练圆的综合计算，熟练运用方程思想求半径、线段长度；聚焦A卷基础综合题型，确保中档题不丢分。 题型一 圆周角定理 1. 同弧或等弧所对圆周角相等，且等于圆心角的一半。 1. 直径所对圆周角为直角，90°圆周角所对弦为直径。 1. 圆内接四边形对角互补，外角等于其内对角。 1．（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求半圆O的半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2)半圆O的半径为2， 【分析】（1）连接，切线得到，等边对等角得到，圆周角定理得到，同角的余角得到，等量代换得到，即可得证； （2）连接，设半圆O的半径为，解直角三角形，求出半径的长，进行求出的长，平行得到，解直角三角形，求出，的长，角平分线的性质，以及同高三角形的面积比等于底边比，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，则：， ∴， ∵过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设半圆O的半径为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：半圆O的半径为2； ∴， 连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴到的距离相等，都等于的长， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 2．（2023·四川成都·中考真题）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接．    (1)求证：； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，可证明是等腰三角形，即可解答； （2）根据直径所对的圆周角为直角，得到，设，根据勾股定理列方程，解得x的值，即可求出；解法一：过点作的垂线段，交的延长线于点F，证明，求出的长，根据勾股定理即可解出的长；解法二：连接,得到角相等，进而证得，根据对应边成比例即可解出的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：设， 是的直径， ， ， ，即， 根据（1）中的结论，可得， 根据勾股定理，可得，即， 解得，（舍去）， ，, 根据勾股定理，可得； 解法一：如图，过点作的垂线段，交的延长线于点F，   ， ， ， ，即， ，，， ， ， ， 设，则， ， 可得方程，解得， ，， 根据勾股定理，可得． 解法二：如图，连接,   ，， ， ， 又，，， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理，正切，利用等量代换证明相关角相等是解题的关键． 题型二 切线的判定与性质综合证明 1. 有切点：连接半径，证明半径与直线垂直；无切点：作垂线，证明垂线段等于半径。 2. 切线垂直于过切点的半径，圆外一点引两切线，切线长相等。 3. 结合直角三角形性质，推导角度相等、线段长度。 3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画⊙O，⊙O与边相切于点，，连接交⊙O于点，连接，并延长交线段于点． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求⊙O的半径； （3）若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO=∠ACO=90°，可得结论； （2）由锐角三角函数可设AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求BC=6，再由勾股定理可求解； （3）连接OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE=∠OED，由三角形内角和定理可得∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，可得∠DEF=∠DFE，可证DE=DF=CE，可得结论． 【详解】 解：（1）如图，连接OD， ∵⊙O与边AB相切于点D， ∴OD⊥AB，即∠ADO=90°， ∵AO=AO，AC=AD，OC=OD， ∴△ACO≌△ADO（SSS）， ∴∠ADO=∠ACO=90°， 又∵OC是半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）在Rt△ABC中，tanB==， ∴设AC=4x，BC=3x， ∵AC2+BC2=AB2， ∴16x2+9x2=100， ∴x=2， ∴BC=6， ∵AC=AD=8，AB=10， ∴BD=2， ∵OB2=OD2+BD2， ∴（6-OC）2=OC2+4， ∴OC=， 故⊙O的半径为； （3）连接OD，DE， 由（1）可知：△ACO≌△ADO， ∴∠ACO=∠ADO=90°，∠AOC=∠AOD， 又∵CO=DO，OE=OE， ∴△COE≌△DOE（SAS）， ∴∠OCE=∠ODE， ∵OC=OE=OD， ∴∠OCE=∠OEC=∠OED=∠ODE， ∴∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE， ∵点F是AB中点，∠ACB=90°， ∴CF=BF=AF， ∴∠FCB=∠FBC， ∴∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE， ∴∠DEF=∠DFE， ∴DE=DF=CE， ∴AF=BF=DF+BD=CE+BD． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 4．（2025·四川·中考真题）如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接交于点. 如图，在 Rt△ABC Rt△ABC中， ∠C=90° ∠C=90°，ADAD平分∠BAC∠BAC交BCBC于点 D ，O 为ABAB上一点，经 过点 A 、D 的⊙O⊙O分别交ABAB，ACAC于点 E ，F ，连接OFOF交ADAD于点 （1）求证：是的切线； （2）设，，试用含的代数式表示线段的长； （3）若，，求的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【详解】分析：（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证； （2）连接DF，由（1）得到BC为圆O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD与三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD； （3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF=sinB，进而求出DG的长即可． 详解：（1）证明：如图，连接OD， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD∥AC， ∵∠C=90°， ∴∠ODC=90°， ∴OD⊥BC， ∴BC为圆O的切线； （2）连接DF，由（1）知BC为圆O的切线， ∴∠FDC=∠DAF， ∴∠CDA=∠CFD， ∴∠AFD=∠ADB， ∵∠BAD=∠DAF， ∴△ABD∽△ADF， ∴ ，即AD2=AB•AF=xy， 则AD= （3）连接EF，在Rt△BOD中，sinB=， 设圆的半径为r，可得， 解得：r=5， ∴AE=10，AB=18， ∵AE是直径， ∴∠AFE=∠C=90°， ∴EF∥BC， ∴∠AEF=∠B， ∴sin∠AEF=， ∴AF=AE•sin∠AEF=10×， ∵AF∥OD， ∴，即DG=AD， ∵AD=， 则DG=×=． 点睛：此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 5．（2024·四川德阳·中考真题）已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点． (1)证明：点为上一定点； (2)过点作的平行线交的延长线于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①与相切，理由见解析；②的取值范围为． 【分析】（1）由的平分线交于点，，可得，结合是上两定点，可得结论； （2）①如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论； ②分情况讨论：如图，当时，可得；如图，连接，当，可得，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵的平分线交于点，， ∴， ∴， ∵是上两定点， ∴点为的中点，是一定点； （2）解：①如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； ②如图，当时， ∴为直径，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴； 如图，连接，当， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当为锐角三角形，的取值范围为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，做出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 题型三 圆与三角形、特殊四边形的性质结合 1. 三角形外心为垂直平分线交点，内心为角平分线交点，直角三角形外心在斜边中点。 2. 圆内接矩形/正方形的对角线为圆的直径，菱形对角线垂直可结合垂径定理。 3. 巧用圆内接四边形性质，转化角度关系。 6．（2025·四川成都·中考真题）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接，证明四边形为菱形，易得为等边三角形，，得到，根据阴影部分的面积等于弓形的面积加上的面积，即为扇形的面积，进行求解即可． 【详解】解：连接，交于点，则：， ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 7．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长和的直径． 【答案】(1)见详解； (2)，． 【分析】（1）先证明，然后利用对应边成比例，即可证明； （2）利用，知道，从而推出，结合，知道，推出，接下来证明，那么有，即，不妨设，代入求得的长度，不妨设，在和中利用勾股定理求得和的长度，最后利用，求得的长度，然后再利用勾股定理求得的长度． 【详解】（1）是的直径 又 （2）由（1）可知， 不妨设，那么 ， 不妨设，那么 在中，，， 在中，， 的直径是． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形相似的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 8．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点． (1)求证：平分； (2)设，求的值； (3)求的值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】本题综合考查圆周角定理，切线的性质和勾股定理，借助圆的背景，灵活运用圆周角定理找出角度关系，和运用勾股定理解三角形是解题关键． （1）连接，通过切线的性质得到，从而推出，再利用平行线的性质和等边对等角推理论证即可； （2）连接，借助，利用勾股定理求出（即半径）的长，再利用平行线分线段成比例（或证明相似三角形），用k表示出和，借助，利用勾股定理求解即可； （3）借助圆周角定理，推得，作的平行线，借助，利用角平分线的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 由题意，得与相切于点E， ∴， 又， ∴， ∴， ∵和都是的半径， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：由（1），得， ∵点F在上， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，，即， 设，则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴； （3）解：由圆周角定理，得， 如图，过点O作平分，交于点M，连接 由（2），得， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴在中，， ∴， ∴． 题型四 圆与相似、全等三角形的综合计算与证明 1. 利用圆周角相等找两组等角，快速判定三角形相似。 2. 直径构造直角三角形，结合全等转化边角，列比例式计算。 3. 用相似比、全等性质推导线段相等或成比例。 9．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长至点，使，证明，进而推出，即可得到点是的中点，再根据直角三角形的性质可知点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，取的最大值，即此时面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长至点，使， D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ， 点是的中点， ，D为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大， ， ，即为等腰直角三角形， ∵，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 10．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)相切，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得，再由即可得，从而得与的位置关系是相切； （2）连接，证明即可； （3）连接，在中，由，设，则，从而，求得a的值，则可得，再由正弦函数关系即可求得的值． 【详解】（1）解：与的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵为圆的半径， ∴与的位置关系是相切． （2）证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，连接， 由（1）知， 在中，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（2025·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径长为5，的长为 【分析】（1）连接，由等边对等角得到，由切线的性质得，而，则，再由平行线的性质以及等量代换即可证明平分． （2）作于点，因为，，所以，则，求得，可证明，得，求得，则，即可求解半径和． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：作于点，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 的半径长为5，的长为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 12．（2025·四川巴中·中考真题）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径． (1)求证： ①． ②． (2)，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)5 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）根据切线长定理得出，结合，，即可证明． （2）根据圆周角定理得出，由①可知：，得出，即可证明，进而得到． （3）连接．根据圆周角定理得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）①证明：是切线， ， 又，， ． ②证明：点在上． ， 由①可知：， ， ， ． （2）解：连接． 是的直径， ， 又，， ∴． ， ， ． 题型五 圆的相关计算 1. 牢记弧长、扇形面积公式，圆锥侧面积用底面半径和母线计算。 2. 垂径定理配合勾股定理，求弦长、半径、弦心距。 3. 阴影面积常用割补法，整体减空白区域求解。 13．（2024·四川成都·中考真题）如图，在扇形中，，，则的长为______． 【答案】 【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得的长为 ， 故答案为： 14．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2025·四川德阳·中考真题）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是________________． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，利用弧长计算公式计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴这个等宽曲线的周长为． 故答案为： 16．（2025·四川广元·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，2为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，求弧长，熟知相关知识是解题的关键． （1）由作图方法可得，再利用可证明，据此可证明结论； （2）根据（1）所求可得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：由作图方法可得， 又∵， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴的长． 题型六 圆的综合压轴 1. 优先挖掘圆周角、切线、垂径三大核心性质。 2. 联立相似、勾股定理、方程思想，设参数求解动点、线段。 3. 存在性问题分类讨论，结合自变量范围验证解的合理性。 17．（2023·四川德阳·中考真题）如图，的直径，是弦，，，，的延长线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，连接．下列结论中正确的个数是（    ） ①； ②是的切线； ③B，E两点间的距离是； ④．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接、、，过点作交延长线于，于．①根据已知、垂径定理和圆内接四边形证，，即可得到；②根据已知、垂径定理、中垂线定理证，推出，不垂直，即可判断不是的切线；③证，结合、，计算出、、，最后根据勾股定理计算即可；④先计算出，推理出，设，用含的代数式表示和，代入求解即可． 【详解】如图，连接、、，过点作交延长线于，于   的直径，， ，， ，， 是弦，，， （垂直于弦的直径平分弦所对的弧）， ，即， ， ， ， （圆内接四边形的一个外角等于它的内对角）， ， 故结论①正确 ， ， 又（同弧所对圆周角是圆心角的一半）， ， ， ，于， ， ， ， ， ， 故结论③正确 ，， ， ， 平分（垂直于弦的直径平分弦）， 是的中垂线， ， ， ， ， ，即， 是弦， 是锐角， 是钝角， 是钝角，， 不垂直，不是的切线， 故结论②不正确 ，， ，， ， ，， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故结论④不正确 综上，①和③这2个结论正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的性质综合，结合判断切线、勾股定理、三角函数解直角三角形知识点，熟练掌握、综合运用知识点推理证明和计算是解题的关键． 18．（2023·四川成都·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，连接，D为延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，的面积为，求的长； （3）在（2）的条件下，E为上一点，连接交线段于点F，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）连接．可证得，从而得是的切线； （2）过点C作于点M，可得，再证明△COM∽△DOC，进而得到； （3）过点E作于点N，连接，证明△FCM∽△FEN，利用相似可得，再证明Rt△COM≌Rt△OEN，通过全等可得ON=CM=2，进而根据已知条件得到． 【详解】（1）证明：连接， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBO＝90°， 又∵OB＝OC， ∴∠CBO＝∠BCO， ∴∠CAB+∠BCO＝90° ∵∠BCD＝∠A， ∴∠BCD+∠BCO＝90°， ∴OC⊥CD ∴CD为⊙O切线； （2）过点C作于点M， ∵的半径为， ∴AB=， ∵的面积为， ∴CM=2， 在Rt△CMO中，CO=，CM=2， ∴OM=1， 由（1）得∠OCD=∠CMO=90°， ∵∠COM=∠COD， ∴△COM∽△DOC， ∴ ， ∴， ∴， （3）过点E作于点N，连接， ∵，， ∴△FCM∽△FEN， ∴ ， 由（2）得CM=2，OM=1， ∴EN=OM=1， ∵OC=OE， ∴Rt△COM≌Rt△OEN， ∴ON=CM=2， ∴MN=3， ∵， ∴FM=2， ∵OM=1， ∴OF=1， ∵BF=OB+OF， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解答本题需要我们熟练掌握各部分的内容，要注意将所学知识贯穿起来． 19．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E． (1)求证：； (2)若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）连接，利用垂径定理可得，由为⊙O的切线可得，由平行线的判定定理可得结论； （2）连接，，设，则，由可得，，在中，利用勾股定理可得，即； （3）连接，，设与交于点，利用可得，在中利用勾股定理可得，所以，又证明四边形为矩形，所以面积为矩形面积的一半，进而可得的面积． 【详解】（1）解：证明：如图，连接， 为劣弧的中点， ， ， 又为⊙O的切线， ， ； （2）解：如图，连接，， 设，则， 为劣弧的中点， ， ， 又， ， ， ， ， 为⊙O的直径， ， 又⊙O的半径为， ， 由得， 解得或（舍）， ； （3）解：如图，设与交于点， 由（2）知， ，， 在中， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 为⊙O的直径， ， 由（1）可知，， 四边形为矩形， ，， ． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握这些性质并能灵活运用是解题的关键． 知识1 圆的核心性质：垂径定理、圆周角定理、圆心角定理、直径所对圆周角为直角 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的优弧、劣弧；推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧；弦的垂直平分线必过圆心。 圆心角定理：同圆或等圆中，圆心角相等⇌所对弧相等⇌所对弦相等⇌所对弦的弦心距相等，四组量一组相等则其余全部相等。 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦也相等。 直径与圆周角：直径所对的圆周角为90°直角；反之，若一个圆周角是90°，则它所对的弦是圆的直径，这是圆中构造直角三角形的核心依据。 知识2 切线的判定定理、性质定理及切线长定理 判定定理：直线同时满足过半径外端+垂直于该半径两个条件，即为圆的切线；无切点时，过圆心作直线的垂线，垂线段长等于半径也可判定。 性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；解题常用辅助线：见切线，连圆心与切点，得直角。 切线长定理：圆外一点向圆引两条切线，两条切线长度相等；该点与圆心的连线，平分两条切线的夹角，也平分两切点所对的弧。 知识3 三角形外接圆、内切圆的性质与相关计算 外接圆与外心 · 外心：三角形三边垂直平分线的交点； · 位置：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部； · 性质：外心到三个顶点距离相等，该距离为外接圆半径。 内切圆与内心 · 内心：三角形三条角平分线的交点，永远在三角形内部； · 性质：内心到三边距离相等，该距离为内切圆半径； · 计算公式：（为三角形面积），直角三角形内切圆半径（为斜边）。 知识4 圆内接四边形的性质（对角互补、外角等于内对角） 核心性质1：圆内接四边形的对角互补（和为180°）； 核心性质2：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（与外角相邻内角的对角）； 反向应用：若四边形对角互补或外角等于内对角，则该四边形内接于圆（四点共圆）。 知识5 弧长公式 、扇形面积公式 设圆心角度数为，圆半径为，弧长为： 弧长公式：（由圆周长按圆心角占比推导）； 扇形面积公式：，第二个公式可类比三角形面积公式记忆。 知识6 圆与相似三角形、全等三角形的结合判定与计算 与全等结合：利用同弧/等弧所对圆周角相等、圆的半径相等、等弦对等角，推导角相等、边相等，结合SAS、ASA、SSS判定三角形全等，进而求线段、角度。 与相似结合：圆中天然存在公共角、同弧圆周角、对顶角，满足AA相似判定；通过相似三角形对应边成比例，计算圆中弦长、半径、线段比例，以及面积比值。 知识7 勾股定理、特殊角三角函数在圆中的综合应用 圆中高频构造直角三角形：垂径分弦、直径对直角、切线垂直半径，直接用勾股定理 求半径、弦长、弦心距。 特殊角（30°、45°、60°）应用：圆心角为60°时，半径与弦构成等边三角形；圆心角为90°时，弦长；结合三角函数值快速求解圆中线段长度与角度。 知识8 弦长、半径、弦心距的关系（垂径定理+勾股定理） 由垂径定理，直径垂直平分弦，可构造以半径为斜边、半弦长和弦心距为直角边的直角三角形，结合勾股定理得核心公式： 弦长弦心距半径 三个量中已知任意两个，可直接求出第三个，是圆中线段计算的基础模型。 知识9 圆中动点问题的分类讨论与数形结合思想 · 分类讨论：按动点位置（圆上、圆内、圆外、优弧/劣弧）、图形形状（等腰三角形顶角顶点、直角三角形直角顶点、相似三角形对应关系）分类，做到不重不漏，求解后检验是否符合轨迹范围。 · 数形结合：画出动点运动轨迹，结合圆的对称性、直角构造、相似比例、勾股定理列方程求解；利用直径是圆中最长弦、垂线段最短求线段最值，结合函数图象分析动点规律。 命题预测1：切线的判定与性质应用【每年必考，A卷解答题】 1．（2024·四川德阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆综合．熟练掌握圆切线的判断和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，正切定义，是解决问题的关键． 连接，，根据平行线性质得到，证明是的切线，根据为的切线，得到，，证明，得到，得到，得到，根据，设，，得到，得到，即得． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴是的切线， ∵为的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， 则， ∴， ∴， ∴． 故选：Ｄ． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，内接于，，过点A作交的平分线于点D，交于点E，交于点F，射线交的延长线于点 (1)求证：是的切线； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）过点A作于点H，根据垂径定理可得经过的圆心O，再由，可得，即可求证； （2）过点E作于点M，连接，并延长交于点K，连接，如图所示，则为的直径，结合切线的性质以及圆周角定理可得，从而得到，进而得到，在中，结合锐角三角函数可得，然后证明，可得，进而得到，再由，可得，从而得到，再结合圆周角定理可得，，然后根据，可得 【详解】（1）证明：过点A作于点H，如图1所示： ， ， 是线段的垂直平分线， 根据垂径定理得：经过的圆心O， 是的半径， ， ， 是的切线； （2）解：过点E作于点M，连接，并延长交于点K，连接，如图所示，则为的直径， ， ， 平分， ， ， 是的切线，为的直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， 在中，， ， ，， ， ， 在和中， ，， ， ， ； ， ， ， ， ， ， 根据圆周角定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得： 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点的应用，正确添加的辅助线是解题的关键． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，点A在上，以为直径的交的延长线于点G，过点E作于点F，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过圆心O作，垂足为D，证明是的角平分线，根据角平分线的性质得出，说明是的半径，即可证明结论； （2）设，，求出，根据切线长定理得出，求出，根据，求出，得出，最后根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】（1）证明：如图，过圆心O作，垂足为D， ∵，， ， ， ， ∵， ，即是的角平分线 ∵，， ，即是的半径， 是的切线． （2）解：∵，可设，， ， 由（1）知，分别切于点B，D， ， ， 在和中，， 即 ， ∵， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定定理和性质定理，解直角三角形，求一个角的正切值，角平分线的性质，切线长定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定定理和性质定理． 4．（2024·四川成都·二模）如图，为的直径，，弦交于点E，点F为直径延长线上一点，连接，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质，垂直的定义得出，再根据切线的判定即可求证结论． （2）连接，证明，推出，设，则，，进而可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， ，即：， 是的半径， 是的切线． （2）解：连接，如图： 是的直径， ， 在中，，， ，， 是的切线， ，即：， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ，即：， 解得：或（舍去）， ． 【点睛】本题考查了圆和三角形的综合题，主要考查了圆的切线的判定、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、解直角三角形以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键． 5．（2026·四川巴中·一模）已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)判断线段、、之间的数量关系，并加以证明． (3)若，，求的半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由垂径定理可得直线垂直平分，进而得到，由等边对等角得到，再由切线的性质得到，即可证明结论； （2）由圆周角定理得到，再利用同角的余角相等得到，加上则，进而证明可得，再整理即可解答； （3）设交点为，由垂径定理可得，进而得到；由可得；再根据可得则、，进而得到即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵的直径垂直于弦， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：，证明如下： 是的直径， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，设交点为， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ． 的半径的长为． 6．（2024·四川广安·模拟预测）如图，四边形内接于为的直径，点D为的中点，过点的直线l交的延长线于点M．交的延长线于点N，且．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例等，难度适中，解题关键是正确添加辅助线． （1）连接交于点，根据垂径定理的推论可得半径，利用平行线的判定定理可得，得出半径，再运用切线的判定定理即可证得结论； （2）连接，可证得，得出，再由，即可证得结论； （3）连接交于点，连接，利用解直角三角形可得，利用勾股定理可得，再证明四边形是矩形，得出，由垂径定理可得，再根据勾股定理求得，运用相似三角形的性质和判定即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接交于点，如图，    ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，又是的半径， ∴是的切线； （2）证明：连接，如图，   为的直径， ， ∵， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：连接交于点，连接，如图，    由（1）（2）得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， 即， ． 命题预测2：圆周角定理与圆内接四边形性质【高频考点，填空/解答题】 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，是上一点，连接，，平分，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质定理． （1）根据等边对等角可得，根据圆周角定理结合角平分线的性质可得，从而得到，根据，可得，即可得证； （2）过点作于点，于点，于点，过点作于点，根据直径所对的圆周角等于可得是直角三角形，在中，由勾股定理可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长，由三角形的面积公式得：，可求得的长，证明四边形是矩形，得到，在中，由勾股定理可求得的长，根据角平分线的性质可得，在中，由勾股定理可求得的长，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：是的外接圆，是的直径，是上一点， ， ， 根据圆周角定理得：， ， 平分， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：如图所示，过点作于点，于点，于点，过点作于点， 是的外接圆，是的直径， ， 是直角三角形， 的半径为，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ， ，，， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：， 平分，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 2．（2025·四川成都·三模）如图，在中，点D是上一点，经过B，C，D三点的与相交于点E，点F为上一点，与点C在直线异侧，连接与相交于点G，． (1)求证：； (2)若点F是的中点，为的直径，，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是，的长是． 【分析】（1）由，，得，则，因为，所以，则； （2）连接、，作于点L，由是的直径，得，因为，所以，则，由，得，求得，，则，所以，可证明，所以，则，再证明，得，则，则，求得，由，求得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，且， ∴， ∴； （2）解：连接、，作于点L，则， ∵为的直径， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的长是，的长是． 【点睛】此题重点考查圆内接四边形的对角互补、同角的补角相等、圆周角定理、等腰三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 3．（2025·四川成都·三模）如图，内接于，AB是的直径，点E在圆上，且，过点C作，垂足为点D，与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若BF=2，，求的半径和线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3， 【分析】该题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，切线的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质，得出，证出，根据平行线的性质得出，即可证明； （2）先证明，得出，求出圆的半径，证明， ，根据对应边成比例解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ，，，， ， ， ， 4．（2025·四川成都·二模）如图，在四边形中，，，且，以为直径的与边相切于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为13 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）连接，，先证明，根据圆内接四边形对角互补，可得，结合公共角，即可证明； （2）连接，，相交于点，根据同弧所对的圆周角相等得，结合已知以及正弦的定义得出，设，则，，证明根据相似三角形的性质求得的值，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，， 切于点， ， ， 为的直径， ， ， 又， ， ， 又，，，四点共圆， ∴， ∵， ， 又， ； （2）连接，，相交于点， 是的直径， ， ， ， ， 又， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， 设，则，， ，， ， ， ， ， ， ， 舍去，， ， 的半径为． 5．（2026·四川德阳·模拟预测）如图1，的内接四边形对角线相互垂直，垂足为点，过点作，交于点． (1)若，，求； (2)如图2，连接并延长交于点，连接．证明四边形为平行四边形； (3)在（2）的条件下，若，，，求的直径． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)的直径为． 【分析】（1）利用圆周角定理和四边形内角和定理即可求解； （2）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形为平行四边形； （3）先证明，，证明，求得，再利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：为的直径， ，，     ，， ∴，，   四边形为平行四边形； （3）解：，， ，， ， ， ， ，    ， ，   ，， ， ，即， ，，， ， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 的直径为． 6．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，D为斜边上一点，是的外接圆，交于点F，直径交于点G． (1)求证：； (2)若，，，求及的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接，根据直径得出直角，证明，利用圆周角定理得出，最后利用三角形的外角定理即可得出结论； （2）连接，，过点D作于点H，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得出，，然后利用勾股定理以及锐角三角函数求出相关线段的长度，证明，利用对应边成比例进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为直径， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，，过点D作于点H， ，， ， ， ∵四边形内接于， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， 即， ，． 命题预测3：圆的弧长、扇形面积计算【高频考点，A卷填空题】 1．（2025·四川成都·二模）如图，是正六边形的外接圆，半径为，过点作于点，给出下列结论：①圆心角；②弦长；③；④图中阴影部分的面积为；⑤的长为．其中正确的结论是（　　） A．②④⑤ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，扇形是面积，弧长公式等，由正六边形的性质可得，即可判断①；由等边三角形的性质和勾股定理可判断②③；利用求出阴影部分的面积可判断④；利用弧长公式求出的长可判断⑤，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵是正六边形的外接圆， ∴，故①正确； ②∵，， ∴是等边三角形， ∴，故②正确； ③∵于点， ∴， ∴，故③错误； ④，故④正确； ⑤的长，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②④， 故选：． 2．（2026·四川绵阳·二模）如图，在圆柱中以圆柱的上下两个底面为底的两个圆锥顶点在O处相接，分别为上下两个圆锥的母线，，若圆柱的高，，上下两个底面的直径与顶点都在同一个平面之中，则上下两个圆锥的侧面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥侧面积公式可知，底面半径相等时，侧面积之比等于母线长之比.，由题意可知为直角三角形，利用勾股定理求出的长，进而求出比值． 【详解】解：设圆柱的底面半径为，则上下两个圆锥的底面半径均为， 圆锥的侧面积公式为（为母线长）， ∴上下两个圆锥的侧面积之比为， ， ∴，即为直角三角形， 在中，，， ∴由勾股定理得：， 上下两个圆锥的侧面积之比为． 3．（2024·四川成都·二模）如图，是的直径，与弦交于点E，，，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】1 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接、，由，，求得，由得，由得，根据三角形内角和定理求得，进而求得，最后根据即可得解． 【详解】解：连接、， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正五边形的边长为5，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为__________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正五边形的性质，正五边形内角的计算方法以及扇形周长的计算方法是正确解答的关键． 根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据弧长的计算方法进行计算即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 阴影部分的周长为， 故答案为：． 5．（2025·四川成都·模拟预测）“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角度数．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：． 6．（2026·四川南充·一模）如图，正五边形的边长为5，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为________（结果保留．） 【答案】 【分析】根据正多边形内角和定理求出的度数，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴． 命题预测4：圆与相似三角形综合证明与计算【B卷压轴常考】 1．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，是以为直径的圆，点D为上一点，连接，点E是的中点，连接，则的最小值是________． 【答案】 【分析】题目主要考查圆的综合问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，根据题意构造相似三角形是解题关键． 连接，取的中点H，确定一点G，连接，使得，连接，根据相似三角形的判定和性质得出，再由三角形中位线确定，得出当点H、E、G三点共线时，取得最小值，即取得最小值，过点H作于点F，连接，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，取的中点H，确定一点G，连接，使得，连接，如图所示： 根据题意得：， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∴， 当点H、E、G三点共线时，取得最小值，即取得最小值， 过点H作于点F，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴则的最小值是， 故答案为：． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，与边相切于点D，与分别相交于点E，F，与相交于点G． (1)求证：； (2)若， ，求的半径和的长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为6， 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，正确地添加辅助线、构造相似三角形是解题的关键． （1）如图：连接，根据切线性质得，则，由弦切角定理得，根据得，进而得，然后根据即可得出结论； （2）如图：延长交的延长线于点P，过点O作交于点H，在中，根据，设，则，进而得，根据，得，则的半径为6；再求出，证明和相似，利用相似三角形性质得，则，证明得是等腰三角形，则，再证明和相似，利用相似三角形性质得，，则，然后证明和相似得，设，则，由此求出x即可得出的长． 【详解】（1）证明：如图1：连接， ∵与边相切于点D， ∴， ∴，即，， 如图：延长交于H，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，， ∴． （2）解：如图：延长交的延长线于点P，过点O作交于点H， ∵， ∴在中，， 设，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴⊙O的半径为6． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由，得， ∴，解得：， 由，得：， ∴，解得：， ∴ ∵， ∴， ∴， 设， ∴，解得：， ∴． 3．（2025·四川成都·二模）如图1，和是半径为2的的两条直径，点是延长线上的一点．连接交于点（点在线段上，且不与点、点重合）． (1)当时，求证：； (2)连接，交半径于点，已知．连接，如图2，当点是的重心时，求的余弦值； 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据相似三角形的性质即可得解； （2）过P作于H，根据直径对直角可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据余弦的定义即可得解． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ； （2）过P作于H， 是直径， ， ， ∵点M是的重心， ， ， ，半径为2， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了圆综合，勾股定理，三角函数，中位线，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，解题关键是能综合运用以上知识点求解． 4．（2025·四川成都·一模）已知点是以为直径的圆上一点，连结，在上截取，连结并延长交圆于点，连结，设． (1)如图1，若时，求度数； (2)如图2，过点作，证明：； (3)如图3，若，连结并延长，交的延长线于点，设的面积为，设面积为，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，作于点，由等腰三角形的性质可得，由圆周角定理可得，则，据此求解； （2）连接，由两角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由对顶角的性质可得，则，推出，据此证明； （3）作的垂直平分线，交于，则，由外角的性质可得，由（2）知，则，结合三角函数的概念可得 ，设，由勾股定理可得，表示出，进而可得，由圆周角定理可得，由两角对应相等的两个三角形相似可得，然后根据相似三角形的性质进行解答． 【详解】（1）解：连接，作于点，如图所示： ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ； （2）证明：连接，如图所示： ，， ， ，， ，， ，，， ， ， ， ， ； （3）解：作的垂直平分线，交于，连接，如图所示： ， ， ， 由（2）知：， ， ， ， 设，，， ， ， 在中，，则， ， 是直径， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查圆综合，难度较大，涉及等腰三角形性质、圆周角定理、三角形相似的判定与性质、对顶角相等、垂直平分线性质、外角性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握圆的相关性质及相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 5．（2025·四川南充·三模）如图，在中，为直径，为弦，与过点A的直线交于点，点为的中点，连接交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了圆周角定理、证明圆的切线、相似三角形的判定与性质、正切等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据弧与圆周角的关系可得，再根据圆周角定理可得，即；再根据等边对等角可得，进而得到即可证明结论； （2）如图：连接，易得；再根据正切的定义可得；设，则，，，易得，则、．解直角三角形可得、．再证明可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：为的中点 ， ， 为的直径， ． ． ， ， ．即． ， 是的切线． （2）解：如图：连接， ，， ， 在中，， 设，则，， ，解得：． ，． ，． ，， ． ． ． ， ． 6．（2025·四川泸州·一模）如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点D，过点D作分别交、的延长线于点E、F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)连接，交于点P，若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，推出，即可证明结论； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得到，进而推出，利用相似三角形对应线段成比例证明即可； （3）令与的交点为，先证明四边形是矩形，再利用垂径定理，得出，设的半径为，利用勾股定理，依次求出，，，，再证明，利用相似三角形对应线段成比例求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）证明：如图，连接， 是直径， ， ，， ， ， ； （3）解：如图，令与的交点为， 是直径， ， ， 四边形是矩形， ，，， 是半径，， ， 设的半径为，则，，， 在中，， ， 解得：， ，， ， ， ， ， ， ，即， 解得：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂径定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． 7．（2024·四川自贡·二模）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点在以原点为圆心，半径为的上，连接，过点作，与相交于点（其中点，，按逆时针方向排列），连接． (1)当时，的度数为______； (2)连接，，当点在上运动到什么位置时，的面积最大？并求出面积的最大值． (3)连接，当，点位于第二象限时， 求出点的坐标； 直线是否为的切线？并说明理由． 【答案】(1)或 (2)点在上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，的面积最大，最大值为 (3)①；②是，理由见解析 【分析】（1）证明为等腰直角三角形，则，由，当点在轴左侧时，有；当点在轴右侧时，有； （2）先由等腰直角三角形的性质得，再由三角形面积公式得到当点到的距离最大时，的面积最大，过点作于，的反向延长线交于，此时点到的距离的最大值为的长，然后利用等腰直角三角形的性质求出，计算的面积； （3）①6过点作轴于，先证∽，则，解得，再利用勾股定理计算出的长，则可得到点坐标； ②先证，则可得到，，再证≌，得，然后由切线的判定定理可确定直线为的切线． 【详解】（1）解：∵点，点， ， 为等腰直角三角形， ， ， 当点在轴左侧时，； 当点在轴右侧时，； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或； （2）为等腰直角三角形， ， 当点到的距离最大时，的面积最大， 过点作于，的反向延长线交于，如图： 此时点到的距离的最大值为的长， ， ， 的面积； 即当点在上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，的面积最大，最大值为； （3）①过点作轴于，如图： ， ， 又， ∽， ，即， 解得：， 在中，， 点坐标为； ②直线是的切线．理由如下： 由得：， 在中，，， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 直线为的切线． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了掌握切线的判定定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的判定和直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 命题预测5：圆与特殊四边形的性质结合判断【A卷选择题】 1．（2026·四川德阳·一模）水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几座大水车．图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（）       A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】作，设，先说明四边形是矩形，得到，证明，得到，根据勾股定理列出方程，求出，最后根据垂径定理，计算即可求解． 【详解】解：如图，作交于点，作于点， 设， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点到水面的距离为， ∴，则， ∵圆形轮盘分布了个水斗，水斗和中间还有个水斗， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得，，即， 整理得：， 解得：， ∴或， ∵， ∴点是的中点，即， ∴或， 则水面宽度为或． 2．（2026·四川广元·一模）如图，点、分别是正方形的边、上的动点，且，连接、相交于点，在线段下方以为斜边作等腰直角，，连接，若正方形边长为4，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解决．取中点, 连接, 以为斜边作等腰直角三角形 ，首先证明，从而，再根据，可求​，可知点的运动轨迹为以点为圆心，为半径的圆，从而可求最小值． 【详解】解：如图，取中点, 连接, 以为斜边作等腰直角三角形 ， 则​， 在和中， ​, ， ∴， ∵， ∴， ， 是直角三角形， ∴, ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ​∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 如图，连接，交圆于，过点作于点， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形, ∵, ∴, ∴, 在中，​, ∴， ∴的最小值为． 3．（2026·四川南充·一模）如图，点是边长为的正方形的边上一动点（不与、重合），连接，以为腰向右作等腰与交于点，连接，分别与、相交于点、，连接、．给出下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③若，则；④连接的最小值为．其中正确的结论是______．（填写序号） 【答案】②④/④② 【分析】设，根据题意可得，，根据是动点，即可判断①；证明四点共圆，得出即可判断②；解，求得，进而可得，根据直角三角形中斜边大于直角边，即可判断③，先证明，根据轴对称的性质得出的最小值为的长，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：设，在正方形中，，即, ∴， 当时，，而是动点，故不一定成立，故①错误； ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴四点共圆， ∴， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∵正方形边长为， ∴，则 ∴ 又∵在中，是斜边， ∴，即，故③错误； 如图，在上取点，使，连接，则是等腰直角三角形， ∴ ∵，，， ∴， ∴ ∴ 作点关于的对称点，连接，则，， ∴ ∴共线， 此时的最小值为的长， 在中， ∴，故④正确 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，点G在线段上，，点B是线段上一动点，以为边向下方作正方形，以为腰向下方作等腰直角三角形，，当时，． (1)如下表，某同学分别用特殊值法和一般法求的长，请你将解答过程补充完整． 探究1 假设，求的长． 探究2 设，求的长． 解：… 解：… (2)过点A，F，G的交边于点H． ①连接，，若是等腰三角形，求的长． ②当与边有两个交点时，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①是等腰三角形，的长为2或；② 【分析】（1）探究1：由题意结合正方形的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可得解；探究2：由题意可得，结合正方形的性质可得，由等腰直角三角形的性质得出，即可得解； （2）①分三种情况：Ⅰ．当时，则；Ⅱ．当时，则，此种情形不存在；Ⅲ．当时，过点H作于点M，于点N；分别求解即可得解；②分两种情况：当点D在上时，连接，；当与边相切于点H时，连接，，作交于点R，作，；分别求解即可． 【详解】（1）解：探究1：∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴． 探究2：∵，， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴； （2）解：①是等腰三角形， Ⅰ．当时，如图，则， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． ∴； Ⅱ．当时，则，此种情形不存在． Ⅲ．当时，过点H作于点M，于点N，如图， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，． 连接， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 综上，是等腰三角形，的长为2或； ②当点D在上时，连接，，如图， 设，则，，， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 当与边相切于点H时，连接，，作交于点R，作，，如图， ∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，． 设，则． ∵，， ∴，． ∴， ∵与相切， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 在中，． ∵， ∴， ∴， 解得：． ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵与边有两个交点， ∴的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、圆周角定理、解直角三角形、圆的内接四边形的性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 5．（2026·四川绵阳·二模）如图，是的弦，，垂足为为的直径，，与分别交于． (1)证明：； (2)求的值； (3)求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）过圆心作于，于，由垂径定理得，，，结合得，再由证，推出；又因，判定矩形为正方形，得；最后由，证得 （）先由直径所对圆周角为直角得，再由同弧所对圆周角相等得，将求转化为求；结合已知条件和（）的结论得到相关线段长度，再由正方形性质算出，在中求出半径，进而得到直径；最后在中，根据余弦定义算出，即的值为； （）先由（）的结论得到各线段长度，建立平面直角坐标系并确定各点坐标，再分别求出直线和直线的解析式，联立方程求出交点的坐标，最后用两点间距离公式算出的长度为． 【详解】（1）解：过圆心作于，于，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴，， ∵、， ∴． （2）解：过圆心作于，于，连接，， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由（）得，矩形是正方形， ∴， 在中，， ∴直径， 在中，，， ∴， 即 ； （3）解：由（）得， 建立坐标系：设 ，，，，，， 设直线得解析式，代入点，， 得， 解得， ∴直线方程：， 即：直线方程：， 同理：代入点、，直线方程：， 联立方程直线、，得， 解得， ∴交点， 由两点间距离公式：． 6．（2026·四川绵阳·一模）四边形是的内接四边形，是对角线，平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E在线段上，连接，，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作交于点H，交线段于点F，连接，请你探究线段、线段的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由圆的基本性质得，即可得证； （2）由等腰三角形的性质得可设，，可得，由圆的内接四边形的性质，即可得证； （3）连接，延长使，连接，由正方形的判定方法得矩形是正方形，由圆的基本性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可证，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴可设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴． （3）解：； 证明：连接，延长使，连接，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又， ∵， ∴ ∴， ∴． 命题预测6：圆与解直角三角形的结合计算【每年必考，解答题】 1．（2026·四川德阳·模拟预测）如图，是的直径，与相切于点B，连接，与圆交于点F，作，交于点D，若，，则长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明，由垂径定理求得，求得，解直角三角形求得，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·四川泸州·一模）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆内接四边形对角互补求出，连接并延长交于点，连接，构造直径所对的圆周角为直角，再利用同弧所对圆周角相等求出，最后在Rt中求解． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， 连接并延长交于点，连接，如图， ∴为的直径， ∴， ∵的半径为， ∴， 又∵， ∴在中，． 3．（2026·四川成都·二模）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，可证明是等腰三角形，即可解答； （2）根据直径所对的圆周角为直角，得到，设，根据勾股定理列方程，解得x的值，即可求出；过点作的垂线段，交的延长线于点F，证明，求出的长，根据勾股定理即可解出的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：设， 是的直径， ， ， ，即， 根据（1）中的结论，可得， 根据勾股定理，可得，即， 解得，（舍去）， ，, 根据勾股定理，可得； 如图，过点作的垂线段，交的延长线于点F， ， ， ， ，即， ，，， ， ， ， 设，则， ， 可得方程，解得， ，， 根据勾股定理，可得． 4．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知为的弦，连接，过上的点作，交的延长线于点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）过点作直径，连接，证明为等腰直角三角形，则，再根据得，进而根据切线的判定即可求证； （）过点作直径交于，连接，过作于，根据 ，得，则可设，即得，解得，解中得，则，由此得再根据得到，然后解中得，进而由勾股定理得即可求解． 【详解】（1）证明：过点作直径，连接，如图所示， ， ， ， 为的直径，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ∵， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：过点作直径交于，连接，过作于，如图所示， 则， ∵， ， ， 由（）可知，， 在中，， 设， ， ， ， 为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 又∵， ∴， 在中，， ， ， ∴， ． 【点睛】此题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 5．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，以为直径作，为的切线，过点A作于点D． (1)求证：； (2)E为上一点，且，过点E作交于点F， 交切线于点G， 当时，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，利用切线性质得，即，再由直径所对的圆周角是直角得，在和中，根据直角三角形两锐角互余，得到，最后根据同角的余角相等证明； （2）设，由得出，在中，根据，求出，再利用勾股定理求出，在中，，，，， ，结合，利用切线的性质，等腰三角形，相似三角形等关系建立方程求出,最后根据三角函数求出的长． 【详解】（1）证明：连接， 为的切线， ， ， ， ， ， ， 在中，，则， 在中，，则， ， ； （2）， 为的直径， ，设， 中，， ， ， 中，， ，， ， ， ， 为切线， ， ， ， ， ， 过点作于，，， ， ， 在中，, ，解得， ， ， ， 在中，， ，， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形两个锐角互余，三角函数，相似三角形等知识，解题的关键是通过设未知数表示线段的长度列方程求解． 6．（2026·四川南充·一模）如图，点P是外一点，交于点． (1)请用尺规按下列步骤作图：（不写作法，保留作图痕迹） ①画线段的垂直平分线，交于点；②在上找一点（点在）上方，使；③画射线． (2)求证：是的切线； (3)在（1）（2）问的条件下，若，求点C到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）①分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，分别在上方和下方交于两点，过这两点作直线，交于点A即可；②以点为圆心，的长为半径画弧，在上方与交于点，连接即可；③由射线的定义作图即可； （2）连接，易证，得到，根据三角形内角和定理可得，进而得到，即可证明； （3）过点作于点，易证，由，求出，即可解答． 【详解】（1）解：①如图所示：的垂直平分线，点为所求： ②如图所示：点，为所求： ③如图所示：射线为所求： （2）证明：连接， 由作图知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C到的距离为． 7．如图，为直径，、为上不同于、的两点，连接，过作的切线交延长线于点，直线于点，连接． (1)直接写出与的数量关系______； (2)求证：； (3)当，时，求的半径长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的半径长为 【分析】（1）连接，可得，从而； （ 2 ）证明，进一步得出结论； （3）作于，解直角三角形，从而求得结果． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图1， 由（1）得：， ， 是的直径， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图2，作于点， ， ， ， ， ∴， ∴， 在中，， 解得：， ∴的半径为：． 8．（2026·四川泸州·模拟预测）如图，在中，，点是边上一点，（点不与点，点重合），以为直径的分别交，于点，连接交于点，交于点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）先证明，即可证出，继而证得即可得证； （2）连接，过点作于点，易证，利用直角三角形的边角关系，分别求出，，，，证，求得，即可求出长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵是的直径， ∴是的切线； （2）解：连接，如图 ∵是的直径，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作于点， 又， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得（负值已舍去）， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 9．（2026·四川南充·一模）已知：如图，是的直径，点C在上，，． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度得出，则，再由弧与角的关系得出，进而可求出，再结合已知条件进一步即可得出答案． （2）过点O作于E，连接，由圆周角定理得出， 通过解直角三角形求出，由三线合一得出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 是的直径， ， ． ， ． ，即， ． ， ， ． 是半径， 是的切线． （2）解：过点O作于E，连接， ， ， ． ∵在中，， ． ， ， ． ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $