数学终极押题猜想（重庆专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 目录 押题猜想一 正方形相关几何求解 1 押题猜想二 代数操作题 11 押题猜想三 圆相关求解 20 押题猜想四 阅读材料 31 押题猜想五 统计 40 押题猜想六 尺规作图+补全证明过程 48 押题猜想七 应用题 57 押题猜想八 几何动点+函数图像 61 押题猜想九 解直角三角形应用 62 押题猜想十 二次函数压轴题 62 押题猜想十一 几何证明压轴题 63 押题猜想一 正方形相关几何求解 试题前瞻·能力先查 限时：5min 5．如图，在正方形中，点E为正方形内部一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，点F落在的延长线上，的延长线交于点M，连接交于点N，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，过点F作，交的延长线于点H， ∵正方形， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， 设， 则， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，多为几何计算，重点考查全等或相似三角形的性质与判定。2026年大概率考正方形相关几何求解。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九下·重庆八中·练习（一））如图，在正方形中，点在对角线上，且，点在上，连结，，且，连结交于，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 过 E 作于 M． 正方形中是对角线，， 设，则，， 正方形边长． 由是等腰直角三角形， ，． 由， ， ，即F是中点． 正方形中， 故，相似比， ． 由， ​， 又， ． 在中，，， 由勾股定理： ． 故选：B． 2．（2026·重庆西南大学附中·一模）如图，在正方形中，点是靠近点的四等分点，连接，的角平分线交于点，将沿着所在直线进行翻折，点的对称点记为，连接并延长交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵正方形， ∴，， 设， ∵点是靠近点的四等分点， ∴，， ∴， ∵将沿着所在直线进行翻折，点的对称点记为， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·重庆八中·一诊）如图所示，将正方形的边绕点顺时针旋转至，连接，的平分线交于点，连接，与边交于点，与对角线交于点．则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作正方形的外接圆，圆心为点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵边绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴点在圆上， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·重庆育才中学·一诊）如图，在正方形中，点为线段上一点，满足，连接，过点作，分别交于点，交的延长线于点，作的角平分线交于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：A． 5．（2026·重庆一中·学情调研）如图，在边长为8的正方形中，点，分别为，边上的点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D．9 【答案】A 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 6．（2026·重庆南开中学·月考）如图，在正方形中，E、F分别为、上的点，且，连接、分别交对角线于点G、H，连接，为中点，N为中点，连接、交于点O．若，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， 在正方形中，， ∴， 设，则， 在中，则有， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 如图，连接，过E作于点L，则， 则， ∴， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， ∵M、N分别为、中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 故选：B． 押题猜想二 代数操作题 试题前瞻·能力先查 限时：5min 1．已知整式（），其中n为正整数，（i为整数，）均为整数，，记，且，下列说法中，正确的个数为（    ） ①在所有满足条件的整式M中，有且只有4个单项式； ②当，时，所有满足条件的整式M之和的最小值为； ③当时，满足条件的整式M共有12种． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：①∵是单项式，则只有一个非零系数， ∵，故仅，其余． 当时，，不满足，排除； 当时，仅，则，满足， ∴，， ∴正整数或2或3或4，共4个单项式，故①正确； ②当，时，，， ∵（i为整数，）均为整数，，且， ∴或或 ∴或或 ∴所有满足条件的整式M之和为 ∵ ∴抛物线开口向上 ∴二次函数的最小值为，故②正确； ③当时，，， ∵（i为整数，）均为整数，， ∴或或或或或或或或或或或， ∴满足条件的整式M共有12种，故③正确． 综上，正确个数为3． 分析有理·押题有据 常以新定义或代数推理（如分式操作）形式考查。备考需多练创新题型，提升逻辑推理能力。2026年，难度或提升。 终极猜想·精练通关 1．（2026·重庆南开中学·一诊）已知整式：，其中为正整数，，，…，均为整数，且满足，记：，为偶数．下列说法： ①若，，则满足条件的整式共有2个，其中有1个单项式； ②若，且函数的图象与轴有交点，则满足条件的整式共有8个； ③若，，，则满足条件的整式共有9个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：当，，是偶数， 故是偶数，由，故， 故满足条件的整式共有3个，，其中有1个单项式， 故①错误； 当，， 当时，，由， 故，；或，； 且函数，的图象与轴有交点， 此时这些函数对应的4个整式都符合要求； 当时， 由，， 可得， 由，故异号，符合题意的函数有，，，， 此时这些函数对应的4个整式都符合要求； 当时， 由，， 故， 符合题意的函数有，，，， 此时这些函数对应的4个整式都符合要求； 当时， 由， 且，故， 符合题意的函数有，，，，，，，， 此时这些函数对应的8个整式都符合要求； ，都不符合要求； 则满足条件的整式共有20个 故②错误； 当，，， 且是偶数，则有， 则，为整数， 故只能取， 当时，，且为偶数， 故是奇数， 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，故，此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为偶数，故必须是奇数，故，此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，不存在， 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，故，此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为偶数，故必须是奇数，故，此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，不存在； 当时，此时三数和为偶数，故必须是奇数，故 此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，不存在； 当时，此时三数和为偶数，故必须是奇数，故 此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，不存在； 当时，，且为偶数， 故是偶数， 当时，此时三数和为偶数，故必须是偶数，故 此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是奇数，故 此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为偶数，故必须是偶数，不存在； 当时，此时三数和为奇数，故必须是奇数，故 此时符合要求的整式M有1个； 当时，，且为偶数， 故是奇数， 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，不存在； 共9个，故③正确. 2．（2026·重庆铜梁一中·一模）已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，，，，为正整数，且满足．下列说法： ①当，时，所有满足条件的整式的值的总和为； ②若规定，，，，均为正整数，则的可能取值有种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：对于①：当时， ∵， ∴， ∵，，是正整数， ∴， ∴， 又∵为自然数， ∴或， 当 时，， ∴，此时当时，， 当 时，， 正整数解共有，，三种，这三种情况对应的的值均为， ∴所有满足条件的整式的值的总和为，故①错误； 对于②：∵，，，，均为正整数， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴，，共有种可能取值，故②正确； 对于③： ∵， ∴， 设的所有奇次项系数之和为，所有偶次项系数之和为， ∴，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 得， ∴，故③正确； 综上，正确的说法有个． 3．（2026·重庆一中·一模）已知整式，其中n，，，，…，，均为正整数，且．若对任意（i为整数），都有，且偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和，下列说法： ①满足条件的整式M中，n的最大值为4； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③所有满足条件的整式共有7个． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：①∵各项系数均为正整数，所以最小为1， 若，， ∵偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和，且， ∴偶数次项系数之和与奇数次项系数之和都为3． 若各项系数最小为1，要满足，可以构造出，这 所以n的最大值为5，①错误； ②当时，， ∵，偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和， ∴偶数次项系数之和与奇数次项系数之和均为3， 满足条件的整式有： ， 和为，②正确； ③当时，， ∵，偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和， ∴，此时，有1个； 当时，， ∵，偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和， ∴无法构造满足条件的整式； 当时，由②得：满足条件的整式，有4个； 当时，满足条件的整式有：，，有2个， 当时，满足条件的整式有：，有1个， ∴所有满足条件的整式共有个，③错误． 综上所述，正确的有1个． 4．（25-26九下·重庆八中·学情自测）已知整式，，其中，，…，，，，…，为自然数，m，n，，为正整数，．且满足，，下列说法： ①若，时，则满足条件的整式M共有3个； ②若时，则满足条件的整式M共有20个； ③若，，，则符合条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：验证①：当时，，且满足，，为自然数，为正整数， ∵， ∴，，， ∴，得， 当时，，且，得或，共2组解． 当时，，且，得，，共1组解． 时，和最小为，无解． ∴总共有组解，即满足条件的整式M共3个，故①正确． 验证②：当时，，， 设，，则，，为自然数，和为s的自然数解个数为， ∴总解数为，故②错误． 验证③：当，时，，，系数和分别为，， ∵， ∴，，，， 由，代入b的系数和得：，满足N的系数和要求，只需满足系数要求：，，（自然数），，，（正整数）． 由得或： 当时，，所有自然数解都满足条件，共5个解； 当时，，所有自然数解都满足条件，共4个解， ∴总共有个，并非13个，故③错误． 综上，只有1个正确说法． 5．（25-26九下·重庆十一中·学情自测）已知整式（，，均为整数，，，，），且，设；下列说法中： ①若，则的值可能为； ②的最小值为； ③（，，，）均为正整数，则最大值为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵整式（，，均为整数，，，，）， 又∵ ∴，，， ①取，，，，满足， ∴， 即的值可能为，故说法①正确； ②设，则， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴的最小值为，故说法②正确； ③设（为定值，、为正数）， 则， ∴当时，取得最大值， 此时， 即两个正数的和一定时，当它们相等时，这两个数的积最大； 按同样的方法可知：几个正数的和一定时，当它们相等时，这几个数的积最大； ∵，，，均为正整数，且， 当时，， ∴最大值为，故说法③正确； 综上所述，三个说法都正确，正确个数是． 6．（2026·重庆三十七中·一模）已知整式，其中为正整数，，为自然数，若，下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有3个三次三项式； ②存在一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； ③在满足条件的所有整式中，存在几个整式的和为；其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】①当（三次）时，等式为， 即， 为正整数， 时，，要为三次三项式（项数为3），需恰好两个低次系数非零、一个为0： ：，得，对应整式； ：，得，对应整式； ：，得，对应整式； 时，无法构造出三次三项式，故满足条件的三次三项式共3个，①正确； ②当时，等式为，即 为正整数， 时，，对应整式（）、（）；时，，对应整式，共3个整式，故存在满足条件，②正确； ③取满足条件的整式：（时，符合等式）、（时，符合等式）、（时，符合等式）、（时，符合等式），它们的和为，故③正确； 综上，①②③均正确，正确个数为3个． 押题猜想三 圆相关求解 试题前瞻·能力先查 限时：6min （2026·重庆南开中学·一模）如图，是的直径，点在上，连接，以为边作平行四边形，交于点，交于点，连接，交于点，连接、，若，，，则的长度为______． 【答案】 【详解】解：作的直径，交于于点Q，连接， ， 为边作平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 连接， 则， 根据垂径定理，得， ， ， ， 过点作于点M， 根据题意，得， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 过点作于点S，交于点T， 四边形是矩形， ， 由平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 分析有理·押题有据 圆的计算（必考），难度加大，常涉及圆与三角形、菱形等图形综合。2026年或由原来的两空改为一空，减少送分。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九下·重庆一中·半期）如图，矩形内接于，对角线的长为13，点是上一点，，延长、与所在直线交于点、，，则线段的长为______． 【答案】 【详解】解：连接，作，，垂足分别为，， ∵矩形内接于， ∴， ∴是的直径， ∵，∴， ∴， ∴设，， 由勾股定理得，解得， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，即． 2．（2026·重庆育才中学·中考模拟）如图，是的外接圆的直径，过点作交于点，连接，，在劣弧上取一点，连接，若点为弧的中点，，，，则______． 【答案】/ 【详解】解：如图，延长交于点F，过点E作于点G， ∵是的外接圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵点为弧的中点， ∴， ∴，， ∴，即， 如图，连接，设交于点H，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 3．（2026·重庆渝北中学·一模）如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，点A为弧的中点，交于点E，连接并延长交的延长线于点F，连接，若的直径为10，，则______，______． 【答案】 【详解】解：如图，连接，连接并延长，交于点H，作，垂足为M． ∵点A为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴点都在垂直平分线上， ∴是垂直平分线， ∴． ∵的直径为10， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， 设， 在中，根据勾股定理得， 即， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴． ∴在中，． 4．（2026·重庆铜梁一中·一模）如图，以为直径的垂直弦于点，过点作于点，交于点，交于点，连接，，，，，则______，线段______． 【答案】 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 垂直平分 ， 如图，连接 ， ，， 直径弦， 垂直平分，， ，， ，， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 设，则， ， 整理得， 解得，（舍去）， ， 在中，， ． 5．（2026·重庆第七中学校·一模）如图，的直径为10，弦，的平分线交于点，交于点，则的长为______． 【答案】/ 【详解】解： 过点E作于点G，于J，连接， ∵是直径， ∴ ∴ ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴弧弧， ∴， ∴， 故答案为：. 押题猜想四 阅读材料 试题前瞻·能力先查 限时：8min 1．一个数位大于三位且各数位均不为零的正整数，如果从左到右和从右到左看都是同一个数，那么我们称这个数为“蝶形数”，例如：、、都是“蝶形数”．截取最前面的两位数字组成的两位数为，截取最后面的两位数字组成的两位数为，满足（为正整数），那么我们称其为“完美蝶形数”，则最小的四位“完美蝶形数”为______．对于一个五位“完美蝶形数”，，，，且，，均为整数其中个位数字与十位数字之和等于百位数字，若与其各个数位数字之和的差能被整除，规定，则所有满足条件的值的和为______． 【答案】 【详解】解：设四位“完美蝶形数”为，其中，， ∴，， ∵（为正整数）， ∴， ∴是完全平方数， ∵是完全平方数， ∴是完全平方数， ∵，， ∴或， ∵要使四位数最小， ∴尽可能小， ∴， 则当时，（舍去）或，此时“完美蝶形数”为； 则当时，，此时“完美蝶形数”为； ∵， ∴最小的四位“完美蝶形数”为； 设五位“完美蝶形数”为，其中，，， ∴，， ∵（为正整数）， ∴，即， ∴是完全平方数， ∵个位数字与十位数字之和等于百位数字， ∴，代入得，， ∴与其各个数位数字之和的差 ， ∵与其各个数位数字之和的差能被整除， ∴能被整除， 由是完全平方数，，，，， 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意， 则“完美蝶形数”为，，， ∴； 当时，，，符合题意， 则“完美蝶形数”为，，， ∴； 当时，，，符合题意， 则“完美蝶形数”为，，， ∴； 当时，，，符合题意， 则“完美蝶形数”为，，， ∴； 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴所有满足条件的值为或或或， ∴所有满足条件的值的和． 分析有理·押题有据 材料阅读题，给定新定义或规则，要求理解并应用，考查学习迁移能力。选填部分压轴区分点，第二空难度可能加大。 终极猜想·精练通关 1．（2026·重庆育才中学·中考模拟）对于一个四位数M，若满足将M的千位数字作为两位数N的十位数字，将M的个位数字作为两位数N的个位数字，且两位数N等于M的百位数字与十位数字的平方差，则称M为“方距数”．若“方距数”M的百位数字为9，十位数字为3，则______；若为“方距数”，规定：，，为整数，为完全平方数，满足条件的A的值是______． 【答案】 【详解】解：∵“方距数”M的百位数字为9，十位数字为3， ∴可设“方距数”M为， 根据“方距数”的定义可知， ∴， ∴； ∵为“方距数”， ∴，，，且为整数，都是的整数，， ∴， ， ∵为整数，为完全平方数， ∴为9的倍数，， ∴当时，，故，故，此时，不是的倍数，故舍去； 当时，，故，故，此时，不是的倍数，故舍去； 当时，，故，故，此时，是的倍数，故此时符合题意； 当时，，故，故，此时，不是的倍数，故舍去； 当时，，故，故，此时，不是的倍数，故舍去； ∴综上，． 2．（2026·重庆铜梁一中·一模）一个四位自然数N的各个数位上的数字均不为零，若其满足千位数字比百位数字大3，个位数字为十位数字的2倍，则称这个自然数N为“融合数”，如数，∵且，∴是“融合数”，如数，∵，∴不是“融合数”，则最小的“融合数”为______；将“融合数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新数，记，将数的千位数字去掉后得到的三位数记为，若能被整除，则满足条件的所有的值的和为______． 【答案】 【详解】解：设这个四位数为，则，，当最小为时，最小为；最小为时，最小为， ∴最小的“融合数”为； 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵能被整除， ∴能被整除， ∴能被整除， ∵ ∴能被整除， 当取时，能被整除， 则可取，取，取， ∴该情况下为； 当取时，能被整除， 则可取，取，取，不满足题意要求； 当取时，能被整除， 则可取或，取，取或，不满足题意要求； 当取时，能被整除， 则可取，取，取，不满足题意要求； ∴该情况下为； 当取时，能被整除， 则可取，取，取，不满足题意要求； 当取时，能被整除， 则可取，取，取， ∴该情况下为； 综上，满足条件的的值总和为 故答案为：；． 3．（25-26九下·重庆八中·学情自测）如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之和为8，那么称这个四位数M为“能源数”．将一个三位数记作，M的十位数字作为三位数的百位数字，三位数的十位数字是0，的个位数字与M的个位数字相同，记，例如：四位数1634，，不是“能源数”．又如：四位数5349，，是“能源数”，．若A是最小的“能源数”，则是________；若对于“能源数”M，能被11整除，记，则当为整数时，“能源数”M的最大值是_______． 【答案】 152 6298 【详解】解：由题意得，，且和， ∵A是最小的“能源数”， ∴千位最小取1， ∵， ∴， ∴十位最小取2，个位最小取3， ∴最小能源数， 由题意得，，， ∴ ， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴ ， ∵要让能被11整除， ∴必须也能被11整除， ∵， ∴的范围是，是的非零数字， ∴当，时， ， 当，时， ， ∴， ∴在到8之间，能被11整除的数有0、、、、、、， ∴当时，则， ∴，； 当时，则， ∴（舍去），时（舍去）； 当时，则， ∴时， 当时，则， ∴时（舍去），时（舍去）， 当时，则， ∴时（舍去），时（舍去）， 当时，则， ∴时（舍去），时， 当时，则， ∴时， ∴当，时，， ， ∴“能源数”M为； 当，时，， ∴“能源数”M为； 当，时，， （不是整数，舍去）； 当，时，， ， ∴“能源数”M为， ∴， ∴最大的“能源数”为时， ∴． 4．（25-26九下·重庆巴蜀中学·学情自测）一个四位自然数M的各个数位的数字互不相等且均不为0，若千位数字与个位数字的差等于十位数字与百位数字的差，则称其为“骐骥数”．将M的千位与个位数字调换位置，百位与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，则________，若“骐骥数”（a，b，c，d均为整数，且，，，），记N的各个数位上的数字之和为，若为完全平方数，且为整数，则满足条件的所有N的值之和为________． 【答案】 【详解】解：，调换后，则： 已知，且，所有数位数字互不相等且不为0： 若：，十位为，不符合各个数位的数字均不为0的要求，舍去； 若：，设千位，百位，十位，个位，满足，，均不为0． 骐骥数满足，即 对任意四位数，调换后， ∵ ∴ ∴ ∴ 数位和，， 范围内的完全平方数只有， ∴ ∴ ∵为整数， ∴， ∴，即为整数， 又∵结合数位互不相等， 当，时，数位为，符合条件，； 当，时，数位为，符合条件，； 所有满足条件的的和为 5．（2026·重庆北碚·一模）我们规定：若一个正整数A能写成，其中与都是两位数，且与的个位数字相同，十位数字之和为9，则称A为“方和数”，并把A分解成的过程，称为“方和分解”．例如：因为与82的个位数字相同（均为2），十位数字1与8的和为9，所以226是“方和数”，226分解成的过程就是“方和分解”． （1）按照这个规定，最小的“方和数”是_______； （2）把一个“方和数”A进行“方和分解”，即，将放在的右边组成一个新的四位偶数B，若B除以17余数为3，则满足条件的最小正整数A为_______． 【答案】 180 342 【详解】解：（1）设，则，其中，， 求最小的“方和数”，即的最小值， 取，， ，， ，即最小的“方和数”是180， 故答案为：180； （2）将放在的右边组成一个新的四位偶数B， ， B除以17余数为3， 能被17整除， 是整数， 是整数，即是17的倍数， 求满足条件的最小正整数A， 尝试a取最小值1， B是四位偶数， 可能为0，2，4，6，8， 当，时，，不是17的倍数，不合题意； 当，时，，不是17的倍数，不合题意； 当，时，，不是17的倍数，不合题意； 当，时，，是17的倍数，符合题意； ，， 满足条件的最小正整数A为：， 故答案为：342． 押题猜想五 统计 试题前瞻·能力先查 限时：6min 1．学校开展了环保知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：82，83，84，84，85，86，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：60，61，62，70，71，72，73，80，82，83，85，86，87，87，91，92，95，96，98，99． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81.5 81.5 中位数 a 84 众数 84 b 七年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生环保知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生600人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少? 【答案】(1)83.5，87，10 (2)该校八年级学生环保知识竞赛的成绩较好，理由见详解 (3)306 【详解】（1）解：根据题意，七年级20名学生竞赛成绩在A组中的数据有（人）， 在B组中的数据有7（人）， 在C组中的数据有（人）， 则在D组中的数据有（人）， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是83，84， ∴， ∵八年级20名学生竞赛成绩中出现次数最多的是87，共计2次， ∴， ∵七年级20名学生竞赛成绩在D组中的数据共2个， ∴， ∴， 故答案为：83.5，87，10； （2）解：该校八年级学生环保知识竞赛的成绩较好，理由： 因为该校七、八年级学生环保知识竞赛的成绩的平均数相同都是81.5，但八年级竞赛的成绩的中位数大于七年级竞赛的成绩的中位数，且八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数， 所以该校八年级学生环保知识竞赛的成绩较好； （3）解：（人）， 即估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是306人． 分析有理·押题有据 统计综合题（补全图表、计算分析），分析中得出结论，简单说明理由，有可能需得出结论。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九下·重庆八中·学情自测）为了解学生对网络安全的掌握情况，某校举办了网络安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分50分）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于10分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．．B． C．，D．4），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为： 12、15，18，21，25，27，27，31，34，34， 34，34，38，40，40，42，46，46，46，50． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：32，32，35，36，36，38，38． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 33 34 a 八年级 33 b 42 八年级所抽学生的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a= ，b= ，m= ； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的网络安全知识竞赛成绩较好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)该校七年级有500名学生，八年级有400名学生参加了此次网络安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次网络安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？ 【答案】(1)，， (2)八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析 (3)人． 【详解】（1）解：七年级20名学生的竞赛成绩为： 12、15，18，21，25，27，27，31，34，34，34，34，38，4010，42，46，46，46，50． 出现次数最多的是34，故众数是， 八年级竞赛成绩中，A．有人， B．有人， C．的成绩为：32，32，35，36，36，38，38． ∵中位数为第10名和11名成绩的平均数，即35，36的平均数， ∴， 由题意可得，， 即, 故答案为：，， （2）八年级学生竞赛成绩较好，理由： 七、八年级的平均分均为分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好； （3）（人）， 答：该校七、八年级参加此次网络安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是人． 2．（2026·重庆铜梁一中·一模）铜梁区文旅局邀请广大游客朋友对铜梁龙舞表演打分（分数为百分制且为整数）并从男、女游客中各随机抽取25名游客的分数；并将数据进行整理、描述和分析（分数均不低于60分；用x表示，共分（4组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 25名男游客打分在C组的数据：80，81，82，83，85，87，88； 25名女游客打分：60，61，63，65，67，69，72，74，75，78，80，82，94，94，94，94，94，95，96，97，98，99，100，100，100； 抽取男、女游客的分数统计表 游客性别 男游客 女游客 平均数 83 83 中位数 a 94 众数 78 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a＝______，b＝______，m＝______； (2)根据以上数据，你认为男、女游客谁更喜欢铜梁龙舞表演？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)此次打分的男游客有1025人，女游客775人，请估计男、女游客中打分不低于90分的游客人数一共是多少人？ 【答案】(1) (2)女游客更喜欢 (3)690 【详解】（1）解：组：人， B组：人， C组：7人， D组：人， ， 25个数据，中位数是第13个数据． 按分数段： A组人， B组人，累计11人， C组人，累计18人， 第13个数据在组，C 组数据：80,81,82,83,85,87,88 第13个是组第2个：81 ， 女游客数据中，94出现5次，最多， ， 故答案为：； （2）解：女游客更喜欢． 理由：女游客的中位数94，高于男游客的中位数81，说明女游客整体打分更高． （3）解：男游客不低于90分的有人， 女游客不低于90分的有：人 总计：人 答：估计男、女游客中打分不低于90分的游客人数一共是690人． 3．（2026·重庆育才中学·中考模拟）为了加强学生的传统文化和非遗保护意识，某校对学生进行传统文化知识测评，从该校七年级、八年级两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（满分为100分）进行整理和分析，所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的测试成绩是：61，63，65，68，72，73，76, 81, 85，86，88，88，88，89，92，94，95，97，99，100； 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，83，85，88，89，90； 七年级、八年级抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 83 a 87 八年级 83 91 b 根据上述信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握传统文化知识更好？并说明理由； (3)若该校七年级有学生400名，八年级有学生500名，请估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生总共有多少名？ 【答案】(1)88；； (2)八年级的学生掌握传统文化知识更好，理由见解析 (3)估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生总共有320名． 【详解】（1）解：七年级学生的测试成绩出现次数最多的是88分，共出现3次， ∴众数， 八年级名学生成绩组有（人），组有（人），组有人，组有（人）， 将名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为88，89， ∴， ， ∴； （2）解：八年级的学生掌握传统文化知识更好， 理由：八年级学生的测试成绩的中位数，众数均比七年级学生成绩的中位数，众数要高； （3）解：（名）． 估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生总共有320名． 4．（25-26九下·重庆西大附中·定时练习）今年“五一”期间，某地各景点盛况空前，为了解游客对水崖洞和长江汇两个景点的满意程度，小明从这两个景点的游客中各随机抽取了20名游客进行满意度问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 水崖洞20份问卷调查的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． 长江汇20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． 两个景点得分统计表                             景点 平均数 众数 中位数 方差 水崖洞 87 a 91 121 长江汇 87 95 b 119.8 长江汇得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______，_______，_______； (2)根据以上数据分析，你认为游客对水崖洞还是长江汇更满意？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)已知“五一”期间到水崖洞的游客有80万人次，到长江汇的游客有60万人次，估计这些游客对景点非常满意（）的共有多少万人次？ 【答案】(1) (2)我认为游客对水崖洞更满意，理由见解析 (3)这些游客对景点非常满意的共有万人次 【详解】（1）解：出现最高次数为3次，所以众数， D组数据个数为：， C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88， 故中位数， B组中的数据占总体的比例为：， 故， 故答案为：； （2）解：我认为游客对水崖洞更满意，理由如下； 根据数据中平均数相等，当水崖洞的中位数大于长江汇的中位数， 故对水崖洞更满意的人数会比长江汇的人数多，结合中位数与平均数来分析，我认为游客对水崖洞更满意； （3）解：到水崖洞非常满意的游客有：万人次， 到长江汇非常满意的游客有：万人次， 所以这些游客对景点非常满意的共有万人次． 5．（2026渝北中学·中考模拟）重庆市某校开展了科学知识竞赛，从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均高于60分，用x表示，共分四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩在B中的数据是：83、88、87、85 八年级10名学生竞赛成绩是：67、68、70、73、79、85、90、90、92、96 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 a 82 众数 90 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生科学知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生700人，八年级有学生600人，本次活动七、八年级都有500人参加，则请估计参加的学生中，七、八年级共有多少人得到A等级． 【答案】(1)；； (2)七年级的成绩更好，理由见解析 (3)七、八年级共有人得到A等级 【详解】（1）解：七年级10名中B的占比为， ，即， 七年级10名学生竞赛成绩从小到大排列，第位和第位是和，则中位数分； 八年级10名学生竞赛成绩出现次数最多的是分，故众数分， 故答案为：；；； （2）解：七年级的成绩更好，理由如下： 根据数据可得七八年级的平均数和众数都相同，但是七年级的中位数大于八年级的中位数，所以七年级的成绩更好； （3）解：（人）， 答：七、八年级共有人得到A等级． 押题猜想六 尺规作图+补全证明过程 试题前瞻·能力先查 限时：5min 1．如图，在平行四边形中，点E是对角线上一点，连接． (1)用尺规完成基本作图：作，交线段于点F，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证：在平行四边形中，，， ___①___． 在和中，， ． ___②___，， ，___③___， ， ___④___， 四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④． 【详解】（1）解：以点A为圆心，任意长度（小于长）为半径画弧，分别交、于点P、点Q， 再以点C为圆心，相同长度为半径画弧，交于点M， 将圆规针尖放在点C，调整到点Q，截取长度保持不变， 再以点M为圆心，长度为半径画弧，两弧相交于点N， 连接交线段于点F，连接，，如图． （2）证明：在平行四边形中，，， ． 在和中，， ． ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 故答案为：①；②；③；④． 分析有理·押题有据 尺规作图题则重点考查5种基本作图，需规范描述结论。 终极猜想·精练通关 1．（2026·重庆西大附中·一模）在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，数学兴趣小组进行了以下研究，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，是平行四边形的对角线，用尺规作的平分线，交于点E，在边上截线段，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，求证：四边形是矩形． 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴． ∴，， ∵， ∴② ， ∴，即． ∴③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴，平分， ∴④ ， ∴， ∴四边形是矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【详解】解：（1）所作图形如图所示： 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 2．（2026·重庆北碚·一模）学习了正方形的知识后，某数学兴趣小组进行了拓展性研究：将正方形对角线上一点与对角线一侧的顶点相连得到一条线段，过该点作这条线段的垂线与对角线另一侧正方形的边相交得到另一条线段，此时分布在对角线两侧的互相垂直的线段也具有特殊的数量关系．他们的解决思路是通过三角形全等和等腰三角形的判定得出结论，请根据他们的思路完成以下作图和填空． (1)如图，在正方形中，点E是对角线上的一点，连接，用直尺和圆规完成以下作图：过点E作的垂线，与交于点F，连接（保留作图痕迹，不写作法）． (2)求证： （补全证明过程）． 证明：∵四边形是正方形， ∴，． 在和中， ∴． ∴，①______． ∵，， ∴在四边形ADFE中，． ∴． ∵，∴． 又∵，∴②______．∴③______． ∵，∴④______． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④ 【详解】（1）解：如图即为所求作； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，． 在和中， ∴． ∴，①． ∵，， ∴在四边形中，． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴②． ∴③． ∵， ∴④． 3．（25-26九下·重庆八中·学情自测）学习中点的相关知识后，小达进行了拓展性探究．他发现了产生线段中点的新方法，并与他的同伴进行交流，现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)用尺规完成以下作图：以点B为角的顶点，在射线上方作，在射线上截取线段，连接，交于点D．（只保留作图痕迹） (2)已知：，，线段，交于点D．求证：点D是线段的中点． 证明： ∴①____________ ②____________ ∴在和中 ∴④____________ ∴点D是线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明： ∴ ∴在和中 ∴ ∴点D是线段的中点． 4．（2026·重庆铜梁一中·一模）小宏在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小宏的操作：如图，在四边形中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点O、E、F，连接、．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明∵垂直平分， ∴①__________，． ∵， ∴②__________． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵④__________， ∴四边形为菱形． 【答案】(1)见解析； (2)①；②；③；④ 【详解】（1）解：如图即为所求作； （2）解：证明∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为菱形． 5．（2026·重庆育才中学·中考模拟）在几何学习中，我们遇到这样一个题目：“在四边形中，．若平分，，求证：．”结合学过的知识，可以知道：首先过点C分别作出、的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决．请根据上述的思路，完成下面的作图与填空： (1)尺规作图：用直尺和圆规，过点C作出的垂线，交的延长线于点F（只保留作图痕迹）； (2)证明：，， ， 和为直角三角形， 又平分，， ①_______． 在和中， ③_______． ， ． 【答案】(1)详见解析 (2)，，， 【详解】（1）如图，即为所作； （2）证明：，， ， 和为直角三角形， 又平分，，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 故答案为：，，，． 押题猜想七 应用题 试题前瞻·能力先查 限时：8min 1.红星超市购入盒装纯牛奶和酸奶共240盒．已知酸奶的进价比纯牛奶高，纯牛奶的进货总费用为400元，酸奶的进货总费用为700元． (1)求纯牛奶和酸奶的进价分别是每盒多少元； (2)该批纯牛奶按每盒元的单价全部售出．酸奶因保质期较短，先以每盒8元的价格售出总量的，剩余部分降价促销并全部卖完．若该批纯牛奶与酸奶的总利润不低于600元，则酸奶降价后的单价至少应为每盒多少元？ 【答案】(1)纯牛奶进价为每盒4元，酸奶进价为每盒5元 (2)酸奶降价后的单价至少应为每盒元 【详解】（1）解：设纯牛奶的进价为每盒x元，则酸奶的进价为每盒元，依题意，得 ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 则元， 答：纯牛奶的进价为4元/盒，酸奶的进价为5元/盒． （2）解：设酸奶降价后的单价为y元/盒，依题意，得 解得：． 答：酸奶降价后的单价至少应为每盒元． 分析有理·押题有据 应用题，固定考查方程思想（整式/分式方程），注意解题格式，如分式方程需检验。 终极猜想·精练通关 1．（2026·重庆育才中学·中考模拟）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 【答案】(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹 【详解】（1）解：设乙种机器人每小时分拣件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹.， 根据题意得： ， 解得， 则 ， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； （2）解：设升级后乙机器人每小时分拣件包裹，则升级后甲机器人每小时分拣件包裹， 根据题意得： ， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解， 则（件）， 答：升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹． 2．（2026·重庆铜梁一中·一模）某超市购进甲乙两种牛奶共75箱．已知每箱甲牛奶占0.3立方米的存储空间，每箱乙牛奶占0.2立方米存储空间，这75箱甲、乙两种牛奶共占用16立方米的存储空间． (1)请问该超市采购了甲乙牛奶各多少箱？ (2)经市场调查，每箱甲牛奶的进价比每箱乙牛奶的进价多10元．如果用5000元采购甲牛奶的箱数与用4200元采购乙牛奶的箱数相同，那么采购这两种牛奶总共需要花费多少元？ 【答案】(1)该超市采购了甲牛奶箱，乙牛奶箱 (2)采购两种牛奶总共需要花费4037.5元 【详解】（1）解：设该超市采购了甲牛奶箱，乙牛奶箱， 则可得， 解得， 答：该超市采购了甲牛奶箱，乙牛奶箱； （2）解：设每箱乙牛奶的进价为元，则每箱甲牛奶的进价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴每箱甲牛奶的进价为元，每箱乙牛奶的进价为52.5元， （元）， 答：采购两种牛奶总共需要花费4037.5元． 3．（25-26九下·重庆八中·学情自测）某科技公司生产服务和工业两种机器人，去年共生产2000台．今年生产线优化升级，服务机器人产量预计比去年增加，工业机器人产量预计比去年增加，则两种机器人总产量预计将比去年共增加380台． (1)求今年服务机器人和工业机器人的产量预计各是多少台？ (2)今年出厂检测时，实际产量与预计相同，公司安排两组工程师同时开始检测工作：A组负责检测服务机器人，B组负责检测工业机器人．已知A组每小时检测效率是B组的1.5倍，最终A组比B组提前30分钟完成任务．问B组每小时检测工业机器人多少台？ 【答案】(1)今年服务机器人产量预计为1380台，工业机器人产量预计为1000台 (2)B组每小时检测工业机器人160台 【详解】（1）解：设去年服务机器人x台，工业机器人y台， ， 解得，， 今年产量： 服务机器人：台， 工业机器人：台， 答：今年服务机器人产量预计为1380台，工业机器人产量预计为1000台； （2）解：设B组每小时检测a台，则A组每小时台， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：B组每小时检测工业机器人160台． 4．（2026·重庆北碚·一模）一年一度的元旦节即将到来，某校初三年级的家委会妈妈们准备购买签字笔和圆规两种文具作为小礼物送给初三年级的孩子们，计划用2400元购买签字笔，用900元购买圆规，已知一支签字笔和一个圆规的售价之和为15元，计划购买签字笔的数量是圆规数量的4倍． (1)求计划分别购买多少支签字笔和多少个圆规？ (2)实际购买时，家委会妈妈们发现每支签字笔的售价降低了，每个圆规的售价便宜了元，根据各班对两种文具喜好的调查结果，家委会的妈妈们调整了购买签字笔和圆规的数量，实际购买圆规的数量比计划购买圆规的数量增加了个，但实际购买签字笔和圆规的总数量与计划购买签字笔和圆规的总数量相同，最终实际购买签字笔和圆规的总费用比计划购买签字笔和圆规的总费用减少了元，求的值． 【答案】(1)计划购买400支签字笔，100个圆规 (2)10 【详解】（1）解：设一支签字笔x元，则一个圆规元， 由题意得：， 去分母，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 签字笔的单价为6元，圆规的单价为（元）， 购买签字笔的数量为：（支）， 购买圆规的数量为：（个）， 即计划购买400支签字笔，100个圆规； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得，， ， ． 5．（2026·重庆西大附中·一模）中华民族的传统节日一端午节将至，甲、乙两家公司为员工购买咸粽和甜粽两种口味的粽子礼盒作为节日福利． (1)已知一盒咸粽比一盒甜粽贵元，甲公司工会统计得出，喜爱咸粽的员工人数是喜爱甜粽的员工人数的倍，甲公司的采购根据员工的口味喜好分别花费元、元 购买咸粽和甜粽，求一盒咸粽和一盒甜粽的价格各为多少元? (2)乙公司由于订购较晚，在（1）的基础上，一盒咸粽和一盒甜粽的价格分别上涨、，乙公司预算不超过元为名员工购买粽子礼盒，则乙公司最多购买多少盒咸粽? 【答案】(1)一盒咸粽的价格为元，一盒甜粽的价格为元 (2)乙公司最多购买盒咸粽 【详解】（1）解：设一盒甜粽的价格为元，则一盒咸粽的价格为元， 解得：， 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：一盒咸粽的价格为元，则一盒甜粽的价格为元； （2）设乙公司购买盒咸粽，则购买盒甜粽， 根据题意得：， 解得：， 答：乙公司最多购买盒咸粽． 押题猜想八 几何动点+函数图像 试题前瞻·能力先查 限时：10min 1.如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见解析，当时，有最大值8（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：过点D作交延长线于点H ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ 当时，； 当时，； ∴； ∵的面积 ∴； （2）解：∵， 列表如下： 2 4 6 4 8 0 4 2 画图如下： 由图象得，当时，有最大值8（答案不唯一）； （3）解：由图象得，当时x的取值范围为． 分析有理·押题有据 这是拉开差距的核心，常为动态函数综合题，需根据几何图形运动变化建立函数关系。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九下·重庆十一中·学情自测）在矩形中，，，点E为的中点，动点P以每秒1个单位的速度从点E沿折线运动，同时动点Q以每秒2个单位的速度沿折线运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接，，．设运动时间为x秒，的面积为，的面积与点P的运动路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并根据图象分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)图象见解析；性质：当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小；性质：当时，随x增大而减小（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：∵在矩形中，，，点E为的中点， ∴，，，， 由题意得当点Q到达点D时，用时，当点P到达点B时，用时， 当时，点Q在上运动，点P在上运动，此时如图， ∴， ∴； 当时，点Q在上运动，点P在上运动，此时如图， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 综上，，． （2）解：，的图象如图所示： 性质：当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小； 性质：当时，随x增大而减小；（答案不唯一） （3）解：当时，由得， 则（负值舍去）， 由图可知时x的取值范围即的图象在的图象下方时自变量x的取值范围， 由图可知． 2．（25-26九下·重庆巴蜀中学·学情自测）如图1，在矩形中，，，对角线、相交于点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动，运动时间为秒（）．连接，的面积为，与的面积比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出，的图象，并分别写出，的一条性质； (3)根据函数图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1)， (2)图见解析，性质见解析 (3)或 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∵，， ∴， ∴， 当时，如图，点在边上， 由题意可得，， ∵， ∴； 当时，点与点重合，故舍去； 当时，如图，点在边上， 由题意可得，， ∵， ∴； 综上所述，； 由勾股定理可得， ∵， 又∵， ∴； （2）解：与的图象如图所示， 由图可知，在上，随的增大而减小；在上，随的增大而减小； （3）解：即反比例函数的图象不低于一次函数的图象， 由图可知，当或时，符合要求， ∴的取值范围为或． 3．（2026·重庆铜梁一中·一模）矩形中，，，动点以的速度从点沿折线运动，连接，同时，动点以的速度从点出发沿射线运动，当点停止运动时点也随之停止运动．过点作于点，设点的运动时间为，记的面积为，记面积的与的运动路程比为，请回答下列问题： (1)请直接写出分别与的函数关系式，并注明自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围：___________（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2)图见解析，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 (3)或 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴，，， 当点在上时，此时，， 作于点， 则， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当点在上时，此时，，， ∴； ∵的面积， ∴， 综上，，； （2）解：①画的图象： 列表： 9 6 描点，连线，如图； ②画的图象， 列表： 8 9 8 2 1 描点，连线如图： 性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）解：观察图象，当时，两个函数的交点的横坐标约为， 所以当时，两个函数的交点的横坐标为， 综合图象可知，时，的取值范围为或． 4．（25-26九下·重庆八中·学情自测）如图1，在菱形中，对角线，相交于点O，，，动点P从点A出发，按的顺序运动（不含端点A，B），点Q在射线上运动（不含端点B），点P，Q同时开始运动，当点P停止运动，点Q同时停止运动．点P的运动速度为每秒1个单位长度，点Q的运动速度为每秒个单位长度，设运动时间为x秒，连接，，设的面积为，的面积与的面积之比为． (1)分别求出，与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出和的函数图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，当时，直接写出x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)作图见解析；性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而减小（答案不唯一） (3)或 【详解】（1）解：∵菱形中，对角线，相交于点O，，， ∴，，， ∴， 当时，； 当时，, ∴； ∵与共边上的高， ∴ ∴； （2）解：可作和的函数图象如图： 性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而减小（答案不唯一） （3）解：由题意得，，解得（舍负） ，解得或（舍） ∴当时，即的图象在的下方， ∴或． 5．（2026·重庆北碚·一模）如图，在菱形 中，对角线 交于点 ，动点 从 出发，以每秒 个单位长度的速度沿折线 运动，同时动点 从 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 运动，当点 到达点 时， 两点同时停止运动． 设运动时间为 秒 的面积为 ， 的面积与点 的运动路程之比为 ． (1)请直接写出 分别关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数 的图象，并写出函数 的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出 时 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）． 【答案】(1)； (2)见解析：当时，随的增大而增大； (3) 【详解】（1）解：过点作于点， ∵菱形中， ∴ ∴ 当时，，， ∴ 当时，，， ∴， ∵，点的运动路程为：， ∴ （2） 当时，随的增大而增大； （3）由图象可知： 押题猜想九 解直角三角形应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 1.如图，在矩形中，连接．，，点为线段上一动点（不与、重合），过点作交于点．设，点，的距离为，的周长的周长之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0．2）． 【答案】(1) (2)图见解析，随x增大而增大，随x增大而减小 (3) 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：函数图象如下所示： 由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小； （3）解：联立得， 解得或， 由函数图象可知，当时，． 分析有理·押题有据 三角函数应用大题，不再纯计算，而是结合生活情境（如测楼高、求坡度）构建方程模型求解。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九下·重庆巴蜀中学·学情自测）如图，某海域捕鱼作业区B位于补给中心的北偏东方向距离海里处，位于岛屿的北偏西方向，岛屿位于补给中心的正东方．（参考数据：，）． (1)求岛屿与捕鱼作业区之间的距离；（结果保留到小数点后一位） (2)某渔船在处监测发现大量鱼群向正西方向迁移，渔船立即向补给中心发送信号并同时以每小时海里的速度向正西方向追赶鱼群．补给中心接到信号后，立即派出另一艘大型渔船从出发（接受信号及通知时间忽略不计），沿正北方向以每小时海里的速度前往协同捕捞．当两船相距海里时，它们开始启动协同捕鱼作业．请问大型渔船出发后多少小时，两船开始启动协同捕鱼作业？（结果保留根号） 【答案】(1)岛屿与捕鱼作业区之间的距离为海里 (2)大型渔船出发后经过小时，两船开始启动协同捕鱼作业 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意得：海里，，， 在中，（海里）， 在中， （海里）． 答：岛屿与捕鱼作业区之间的距离为海里． （2）解：如图，设大型渔船出发后经过小时，两船可以开始启动协同捕鱼作业．此时大型渔船到达点，渔船到达点，过点作交延长线于点， 由题意可知：大型渔船行驶路程海里，渔船行驶路程海里，海里， 由（1）可知，海里， 在中，（海里）， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴海里，海里， ∴海里，海里， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴  ， ∴． 答：大型渔船出发后经过小时后，两船开始启动协同捕鱼作业． 2．（25-26九下·重庆十一中·学情自测）某中学进行游园活动，小花和小刚从入口A处出发，小刚准备前往北偏东方向的B处玩“投壶”，小花准备前往北偏西方向米的C处玩“盲人摸象”．小刚到达点B处后，发现点C在他的北偏西方向．之后小花准备直接前往东北方向的F处玩最火的项目“一吹冲天”；小刚则需要前往北偏东方向的D处找同学拿东西（取东西的时间忽略不计），再前往西北方向20米的F处玩“一吹冲天”项目．（参考数据：，，） (1)求之间的距离； (2)当小刚到达D处时，小花刚好到的中点E处．之后两人同时出发，小刚用的速度走路前往，小花用的速度慢跑前往．小花从E处出发后，经过多少时间，她到小刚的距离是到点F距离的两倍（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)之间的距离为 (2)经过秒后，小花到小刚的距离是到点F距离的两倍 【详解】（1）解：延长，交于点M， 由题意得：，，， ∴，，， ∴，， ，， ，，， ∴， ． ． ， ， ， ∴． 在中，， ，． 在中，， ， ． ，． 之间的距离为． （2）解：点E为的中点， ， ， 当小花到小刚的距离是到点F距离的两倍时，设小花的位置为点，小刚的位置为点， 即，∴， 设经过t秒后，小花到小刚的距离是到点F距离的两倍， ， 解得：． 又，． ，， 经过秒后，小花到小刚的距离是到点F距离的两倍． 3．（2026·重庆北碚·一模）国庆期间，重庆动物园以“欢度国庆”为主题开展保护教育系列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知C馆在A馆的正北方向，游客中心D在A馆的北偏东方向，B馆在A馆的北偏西方向相距400米处，C馆在B馆的东北方向，且C馆在游客中心D的南偏西方向．（参考数据：，，，） (1)求B馆和C馆之间的距离；（结果保留根号） (2)小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从B馆出发沿路线行走，小红从A馆出发沿路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的倍，当小明到A馆的距离恰好是小红到A馆的距离的2倍时，求小红与游客中心D之间的距离．（结果保留整数） 【答案】(1)馆和馆之间的距离是米 (2)小红与游客中心D之间的距离是米 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， 则， 由题意得，， ，， ， 在中，，米， （米），（米）， 在中，， 米， 米； （2）解：设小红到馆的距离是米，则小明到馆的距离是米， 如图，此时小明，小红分别在，处，连接， 则米，米， 小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的倍， 米， 由（1）可知，米， 米， 在中，， ， 即， 解得，（负值舍去）， 米， 过点作，垂足为， 由（1）可知，（米）， 在中，， （米），（米）， 在中，， 米， （米）． 4．（25-26九下·重庆八中·学情自测）某物流调度中心开展无人机配送航线巡检任务，如图，A处是调度中心，位于B处正北方向7千米处；C处是配送枢纽，在B处正东方向；D处是信号点，在A处南偏东方向6千米处，且在C处的东北方向．（参考数据：，，） (1)求B，C间的距离（结果保留根号）； (2)甲，乙两架巡检无人机同时出发．甲从D处沿某方向匀速飞行，乙从A处沿正南方向匀速飞行，甲的速度与乙的速度之比为．两人在上某处相遇，相遇时乙共飞行了多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1) (2)3.5千米 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于点F，过点D作于点E，， ，， ， ，，， ∴四边形是矩形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 答：B与C之间的距离为； （2）解：如图所示，设甲，乙两架无人机在点G处相遇， ∵甲的速度与乙的速度之比是， ， 设，则， 由（1）得，，， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（负值舍去）． ∴当两无人机相遇时，乙一共跑了3.5千米． 5．（2026·重庆铜梁一中·一模）如图，某海警巡逻舰在处发现正东方向60海里的处有一艘可疑渔船，渔船正以海里/小时的速度沿方向逃窜．已知位于小岛的南偏东方向，小岛位于的西北方向50海里处，且位于的正北方向．（参考数据：） (1)求两点之间的距离（结果保留根号）； (2)发现渔船时，巡逻舰立即从处沿某一方向以海里/小时的速度直线拦截，求渔船被拦截时，该船距离小岛还有多少海里（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)海里 (2)海里 【详解】（1）解：过C作， 由题意知，海里，海里，， 在中，海里， 海里， ， ， 海里， 两点之间的距离海里； （2）解：设在G处渔船被拦截，如图，连接，过G作， 渔船正以海里/小时的速度沿方向逃窜，巡逻舰从处沿某一方向以海里/小时的速度直线拦截， ， 设海里，海里， ， ， ， ， 海里， 海里，海里， ， ， 解得（负值舍去）， 海里， 海里， 答：该船距离小岛还有海里． 押题猜想十 二次函数压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：20min 1.直线与抛物线分别交于轴上的点和y轴上的点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点N；当面积取得最大值时，求的最小值； (3)记抛物线与轴的另一交点为点，将原抛物线向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度可得新抛物线．点为新抛物线上的一动点，若满足，则求所有符合条件的点H的横坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)当面积取得最大值时，最小值为； (3)所有符合条件的点的横坐标为或． 【详解】（1）解：对于直线：，当时，；当时，， ∴，， ∵直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点， ∴， 解得，， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵为直线上方抛物线上一点， ∴作直线，并与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值， 设：，则， ∴有两个相等的实数根， 令， 解得， ∴：， ∴， 解得，， 即当时，面积取得最大值； 由（1）可知，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 将直线：向下平移2个单位长度得到直线， ：， 设直线与轴交于点，过点作于点，如上图所示， 则为等腰直角三角形， 对于直线：，当时，，即， ， ， ， 直线和直线的距离为， 为直线上任意一点，过点作于点， ； 将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，如上图所示， 则，， 四边形为平行四边形， ， ， 当、、共线时，取得最小值，即取得最小值， 为定值， 此时取得最小值； 作轴于点，如上图所示， 则为等腰直角三角形， ， ， 即点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点， ，，，， 点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点， ， ， 点为点关于轴的对称点，， ， 当、、共线时， 此时， 当面积取得最大值时，最小值为． （3）解：由可得，， ∴，， 根据题意可得， 取点，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点为射线与抛物线的交点， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由，可得， 解得，， ∴， ∵，， ∴， 作平行四边形，则，， ∴， ∴点为射线与抛物线的交点， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由，可得， 解得，， ∴， 综上，所有符合条件的点的横坐标为或． 分析有理·押题有据 近年的考题呈现出一些清晰的特点：虽然2025年起有 “反套路、反机械刷题”的趋势，更注重思维灵活性，但整体结构依然保持稳定。核心考点：五大题型 · 最值问题（高频必考）：含单线段、多条线段和、面积的最大/小值（常用“铅垂高×水平宽”一半求面积），均通过设动点坐标构造二次函数求极值。 · 存在性问题（高频必考）：探讨特定图形是否存在的“探索型”问题。常见如构造等腰三角形（分三边两两相等列方程）、直角三角形（勾股定理或斜率积为-1）、平行四边形（利用对角线互相平分或对边平行且相等）。 ·几何变换（热度上升）：结合平移、旋转、对称考查，要求利用变换规律求新函数解析式，并在新图形中继续研究最值或存在性问题。 · 角度问题（中频考点）：涉及特殊角度（如30°、45°、60°），或等角、倍角关系，常用全等/相似或三角函数建立方程。 · 新定义与综合创新（低频但灵活）：定义全新概念或法则，要求即时理解应用，强调现学现用和阅读理解能力。 终极猜想·精练通关 1．（2026·重庆铜梁一中·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过作于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线（）沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1)； (2)，的最小值为：； (3)点的横坐标为或 【详解】（1）解：∵在抛物线上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过作轴交于， ∵， ∴当最大时，最大， ∵当时，， ∴， 而，设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设，则， ∴， ∴， 当时，最大，此时最大， ∴， ∵当时，， 解得：或， ∴， 如图，过作的平行线，过作，两平行线交于点， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 当三点共线时，，此时最小， ∴最小， ∴， ∴的最小值为：； （3）解：∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴原抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到新抛物线：， ∵， ∴， 如图，在轴上取，作直线交新抛物线于， ∴， ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴，解得：（舍）或， ∴， 作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为，交轴于， 此时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：， ∴， 由对称可得：为的中点， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的横坐标为或． 2．（25-26九下·重庆八中·学情自测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点D，过点P作交直线于点E，点M，N为直线上的动点，点M在点N的右侧且．当的面积取得最大值时，求P的坐标及此时的最大值； (3)在（2）中当的面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，连接，与线段交于点F，点Q为抛物线上的一动点．若且满足，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，的最大值为5 (3)点Q的坐标为或． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，， ∴， ∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴， ∴，， 设直线和的解析式分别为和， ∴和， 解得和， ∴直线和的解析式分别为和， ∵轴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当有最大值，取得最大值， 设，作轴交直线于点H，则，， ∴， ∴，即 ， ∵， ∴当时，有最大值，即有最大值，即有最大值，此时， 将沿方向平移个单位长度得到， ∵直线的解析式为， ∴点向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度， ∴， ∴此时的最大值为； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到抛物线， ∴， ∵，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴ ， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点Q的坐标为； 当点Q在轴上方时，， 同理求得直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 3．（2026·重庆一中·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线与x轴交于点D，点E为点C关于x轴的对称点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方且在对称轴左侧的抛物线上的一动点，过点P作平行于y轴，交于点Q，过点Q作，交抛物线对称轴于点F．点M为抛物线对称轴上的动点，点N为y轴上的动点，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及取得最小值时点N的坐标； (3)将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3，点G是线段上的动点，线段关于的对称线段为，线段所在直线交新抛物线于点K．若直线与直线所成夹角等于，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线， ∵抛物线与x轴交于， ∴将代入中，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴令，得，即， ∵，， ∴直线的解析式为， 如图1，设直线与抛物线对称轴交于点L，过点Q作于点K，过点N作于点R， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵直线与抛物线对称轴交于点L， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵抛物线的对称轴是直线，直线的解析式为， ∴设，，， ∴，， ∴， ∵，开口向下， 又∵， ∴时，取最大值，此时． ∵点E为点C关于x轴的对称点，， ∴， ∵抛物线与x轴交于，B两点，抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴，， 在中， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当且P，M，N，R四点共线时， ， 此时的最小值为的长． 如图2，作且P，M，N，R四点共线，作轴于点S， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ，， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴ （3）解：设抛物线沿射线向右移动了m个单位长度，则抛物线向上平移了个单位长度， 设平移后的抛物线为， 设平移后的抛物线与x轴的交点横坐标分别为，， 令，整理得， ∵平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3， ∴， 解得， ∴平移后的抛物线， 设， ∵点E为点C关于x轴的对称点， ∴， ①如图3，当点在直线上，且时，设此时直线交x轴于点J，交直线于点M，则直线与直线所成夹角为，此时，点K的横坐标为，理由如下： 在x轴上截取，连接， ∵，， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵线段关于的对称线段为， ∴， ∵， ∴， ∵在中， ， 在中， ， ∴， ∵，， ∴， 即此时直线与直线所成夹角为，且， ∴点K的横坐标为； ②如图4，当点在y轴上，且时，设此时直线交直线于点U，则直线与直线所成夹角为，此时，点K的横坐标为，理由如下： ∵线段关于的对称线段为， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∵，， ∴， 此时，， 直线解析式为：， ∴联立， 解得或， ∴； 综上或． 4．（25-26九下·重庆巴蜀中学·学情自测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，点是上方抛物线上的一个动点，过点作于点，作轴于点，交于点，点，是直线上的两个动点（点在点的上方），且，连接，．当取得最大值时，求此时点的坐标以及的最小值； (3)在（2）问中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点的对应点为点，点关于新抛物线对称轴的对称点为点，点为新抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2)，的最小值 (3)，，过程见解析 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，对称轴为直线， ∴， 解得： ∴抛物线的解析式为：． （2）解：如图，将平移至，点与点是对应点，作点关于的对称点，连接、， ∵当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，， 设， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， ∵， ∴此时， ∵对称轴为直线，， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∵将平移至，， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设与交于点， ∵， ∴ 解得：，（与点重合，舍去）， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∵点与点关于的对称， ∴， ∴当且仅当，共线时，取得最小值，最小值为． （3）解：，，下面求： 如图，沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，过点作轴于，交轴于， ∴平移方式为向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，， ∵， ∴新拋物线解析式为， ∴新抛物线的对称轴为直线， ∴，， 当点在上方时， ∵， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴，，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和新抛物线解析式得，， 解得：，（舍） ∴， 当点在下方时，过点作于，交于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴，， 设， ∴， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和新抛物线解析式得，， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴． 5．（25-26九下·重庆十一中·学情自测）已知抛物线与x轴交于点A，点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上一点，过点A作交y轴于点D，在直线上有一动点M，当四边形面积的最大时，求P点坐标及的最小值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点E为点A经过平移后的对应点；在抛物线上是否存在点M，满足，若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)，；过程见解析 【详解】（1）解：当时，， ． ． ， ， ． 由抛物线过点，抛物线的对称轴是直线， 得，解得， 所以抛物线的表达式为； （2）解：由，抛物线的对称轴是直线， ∴点的横坐标为， ∴， 设直线的表达式为：， 则，解得， 直线的表达式为， ， ∴与同底等高， ． ． 当面积取最大值时，四边形的面积也有最大值． 过点P作轴交于点Q， 设，则， ， ． ， 当时，有最大值，此时， ∴此时． 过点M作轴，交x轴于点N． ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当P，M，N共线时，取最小值， 此时轴． 此时的最小值为； （3）解：当M点的坐标为，，满足，理由如下： ，， ， ∴将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，即水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度， ∴新抛物线解析式为， ，由平移可得． ， 又，， ． ， 当点M在下方时，设交x轴于点G， ． ，即， ∴， ∴，则， 如图，可设直线的表达式为：， 代入，，则，解得， 直线的表达式为：， 由题意可得：点为直线与的交点， 令得：． 解得：，（舍去）， ， ； 当点M在上方时，在上取一点K，使得，如图， 设， 由，得， 解得：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，，则，解得， 直线的表达式为：， 由题意可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为：， 将代入，得，即直线的表达式为：， 令得：． 解得：，（舍去）， ， ； 综上，当M点的坐标为，． 押题猜想十一 几何证明压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：25min 1.在中，，点，为所在平面内的点，且． (1)如图1，若点在线段上，点为内一点，，，连接，，若，求的度数； (2)如图2，若点在线段右侧，点为内一点，且，连接，，此时点，，三点共线，已知，试猜想线段，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，若点在线段右侧，点为中点，，连接并延长恰好经过点，作点关于的对称点，连接，为直线上一动点，连接，，将沿翻折至所在平面，点的对应点为，连接，是中点，连接，当取最大值时，在左侧作任意等边，连接，，当的值最小，且等边周长最小时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵，即 ∴， ∴ ∴ （2）， 证明：如图，在上截取，连接，延长至，使得，连接， ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴ 又∵ ∴ 即 ∵ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ （3）∵，，点为中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵连接并延长恰好经过点，点为中点， ∴， 设， ∴ ∵点是点关于的对称点 ∴， ∵将沿翻折至所在平面，点的对应点为， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 取的中点，连接，, ∴， 又∵是中点， ∴ ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当在的延长线上时，取最大值，， 如图，以为边在的左侧作等边三角形，连接， ∵，是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当共线时，取得最小值，当时，取得最小值，此时等边周长最小时，如图所示， 过点作于点， ∵，， ∴ 在中，， ∴ 在中，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中点， 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 分析有理·押题有据 2025 A/B卷 三角形、动点 手拉手模型、动点轨迹（瓜豆原理）、最值问题、几何变换 全等/相似三角形、圆的性质、勾股定理、三角函数 2024 A/B卷 矩形、菱形 图形的折叠与对称、特殊四边形的判定与性质、全等三角形的应用 轴对称、菱形判定、全等三角形 2023 A卷 等边三角形 旋转、折叠、线段关系证明、最值问题、四点共圆 等边三角形性质、旋转、圆、解直角三角形、勾股定理 2023 B卷 等边三角形、线段动点 旋转变换、线段关系证明（全等）、折叠、最值问题 旋转、平行四边形性质、勾股定理 2022 A卷 锐角三角形 动态几何、角度求解、旋转变换、最值问题 全等、等边三角形、圆、解直角三角形 2021 A/B卷 三角形、矩形 折叠问题、线段长度计算、旋转变换、最值问题 全等、等边三角形、矩形、勾股定理、解直角三角形。 重庆的几何压轴题通常分为三个小问，梯度分明： · 第(1)问：基础证明或计算（约3-4分）：通常是特殊位置的判断或直接应用基础定理证明线段相等、角度相等。得分策略：必须拿下！静心读图，利用已知条件直接推导，避免想复杂。 · 第(2)问：综合探究与证明（约4-5分）：动态情景下的等量关系或位置关系，需添加辅助线。得分策略：重点突破！这是区分中等与良好考生的关键。联系第(1)问结论，识别并构造“手拉手”或“中点模型”等核心模型。 · 第(3)问：高阶思维挑战（约4-5分）：求线段最值或判定存在性，常与代数融合。得分策略：尽力而为！这是顶尖学生拉开差距的关键。首先确定动点轨迹（直线或圆），再在轨迹上利用“垂线段最短”或“三点共线”原理求最值。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九下·重庆八中·学情自测）在中，． (1)如图1，，D为上一点，，求的正切值； (2)如图2，将沿翻折得到，E为上一点，连接并延长至点F使得，连接，其中，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，已知D为边上一动点，，，当面积最大时，将线段绕点C逆时针旋转得到，交线段于点E，M为平面中任意一点，连接，，，当最大时，连接，当达到最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)的面积为或． 【详解】（1）解：作于点， ∵，， ∴，又， 设，则，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 作的平分线交于点，连接，设， 由折叠的性质知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：∵，，由定弦定角知， 以为底边作的等腰三角形，点在以点为圆心，为半径的上， 如图，作交延长线于点， ∴， ∵， 令点为定点，∴， ∴要使最大，则最大即可， ∵点在上， ∴为直径时，最大， ∵， ∴， ∴， 如图， 是等边三角形，且， ∴， ∴， ∴在中，，， ∴， 由旋转的性质知，且， 由定弦定角知，以为底边作的等腰三角形，点在以点为圆心，为半径的上，如图， ∵点在上， ∴为直径时，最大， ∵要最小，且点在上， ∴时，最小，且，，， ∴， ∴共线时，的值最小，如图， 在中，， ∴， 在中，， ∴，， ∴，， ∴，， 在中，，， ∴边上的高为， ∴； 当与点关于对称时，也满足条件，此时点与点重合， 同理，， 在中，，， ∴边上的高为， ∴； 综上，的面积为或． 2．（2026·重庆铜梁一中·一模）如图，已知在中，，点E在直线上，连接，过点C作于点D，交于点F． (1)如图1，若点E在线段上，平分，，，求的长度； (2)如图2，若点E在线段上，，延长至点G，连接，满足，请用等式表示线段，和的数量关系并证明． (3)如图3，若，将沿翻折至所在平面得到，连接，点P为的中点，连接，在E点运动过程中，当取最大值时，直接写出此时的值． 【答案】(1)4； (2)，证明见详解； (3) 【详解】（1）解：∵，， ∵ ， 又∵ 平分，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：，证明如下： 由（1）得：， ∵ ，， ∴，， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴， 过点E作交的延长线于点H，如图， 则 ， ， 在 与 中， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， 即； （3）解：设， ∵ ,， ∴， 解得 ， ∴ ， ∵， 解得， ∴ ， ∵ 将沿翻折至所在平面得到， ∴ ， 过点P作交于点O，如图： ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∴，， ∵点E在直线上运动过程中，始终有， ∴点的运动轨迹为以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴点P的运动轨迹为以点O为圆心，为半径的圆上运动， 当取最大值时，则点P、点O和点D共线时，如图， 此时，，，， 连接，则， ∵ ， ∴， ∴． 3．（25-26九下·重庆十一中·学情自测）如图，在中，，边上有一点D，连接． (1)如图1，，点F在边上，连接交于点E，已知点E为的中点，若，求的长； (2)如图2，若，点F在延长线上，，连接，，将绕点D逆时针旋转得，连接交于点H，猜想，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，，F为上方平面内一点，且点F到直线的距离为，当的值最大时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【详解】（1）解：过点F作，交于点M， ． 点E为的中点， ． 又， ， ． ∵， ， 又， ， ． ． ； （2）解：，理由： 过点F作，交的延长线于点G，延长交于点N，连接，如图， 则， 在和中， ， ． ，． ， 是等边三角形． ，． ， 是等边三角形． ，，． 由旋转的性质得：，， ， ． 又，， ． 在和中， ， ． ，， ， ， 在和中， ． ． ， ，， ． ； （3）解：点F到的距离为， 点F的轨迹为，且l与的距离为，如图， 过C作于点M，则，， 构造， ， 点R的轨迹为以中点O为圆心的圆， ，， ， 的半径为． ， ，即，， ， ， ， 要使最大，则最小即可， 很明显，当M，R，O三点共线时，最小； 此时简化图如下：过B作于点Q，延长交于点P， 在中，， ，． ， ． 由，得． 在中，， ， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ，，， ∴四边形、、是矩形， ，， ，， ． 4．（25-26九下·重庆巴蜀中学·学情自测）如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交直线于点，点为中点，连接． (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，若为线段上一点，且，连接，延长至，使，延长至，使，连接，若，求证：； (3)如图3，若为直线上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，为的中点，连接，当取最大值时，将绕点逆时针旋转得到，则当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：如图，作于点， 在直角中，点为斜边的中点， ∴， ∵，， ∴， 在直角中，， ∵，， ∴， 在直角中，； （2）解：如图，作，交的延长线于点，连接， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在直角中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 又∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， 又∵， ∴； （3）解：先分析取得最大值的情况， 如图，连接，取的中点，连接、，设， 由旋转的性质可知，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵点为中点， ∴，， 又∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最大值， 此时， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴、、三点共线， 如图，当、、三点共线，点与点重合，作于点，作于点，过点作的垂线，交的延长线于点， 在直角中，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值， 如图，当时，点与点重合，点与点重合， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（2026·重庆育才中学·中考模拟）在中，，垂足为E，，垂足为D，与相交于点F． (1)如图1，，，用含m的代数式表示． (2)如图2，N为线段上一点，M在的延长线上，连接，，，，将绕点D逆时针旋转得到，连接，用等式表示线段与的数量关系并证明． (3)如图3，，，，垂足为H，点K，Q分别为线段，上的动点，且，连接，，当取得最小值时，在内部取一点P，连接、、，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点A，D，F，E四点共圆， ∴， 在和中，，， ∴． （2）解：， 证明：如图，过点C作交延长线于点H，连接，，，，与交点K， ∵，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点N是中点， 在中，， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴点A，D，C，G四点共圆， ∴，， 即平分， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴点B，C，E，D四点共圆， ∴， 又∵和都是等腰三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图，过点C作，使得，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点K，Q分别为线段，上的动点， ∴， 当且仅当B，Q，D三点共线时取等号， 此时是等腰直角三角形，，此时点K与点H重合， ∵， 如图，在中任取一点P，连接，，，将绕点C顺时针旋转至的位置，使得， ∴，， ∴ ， 当且仅当B，P，，四点共线时取等号， 此时， ∴， 过点C作于点M，过点作延长线于点N， 在中，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 目录 押题猜想一 正方形相关几何求解 1 押题猜想二 代数操作题 11 押题猜想三 圆相关求解 20 押题猜想四 阅读材料 31 押题猜想五 统计 40 押题猜想六 尺规作图+补全证明过程 48 押题猜想七 应用题 57 押题猜想八 几何动点+函数图像 61 押题猜想九 解直角三角形应用 62 押题猜想十 二次函数压轴题 62 押题猜想十一 几何证明压轴题 63 押题猜想一 正方形相关几何求解 试题前瞻·能力先查 限时：5min 5．如图，在正方形中，点E为正方形内部一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，点F落在的延长线上，的延长线交于点M，连接交于点N，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，多为几何计算，重点考查全等或相似三角形的性质与判定。2026年大概率考正方形相关几何求解。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九下·重庆八中·练习（一））如图，在正方形中，点在对角线上，且，点在上，连结，，且，连结交于，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆西南大学附中·一模）如图，在正方形中，点是靠近点的四等分点，连接，的角平分线交于点，将沿着所在直线进行翻折，点的对称点记为，连接并延长交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆八中·一诊）如图所示，将正方形的边绕点顺时针旋转至，连接，的平分线交于点，连接，与边交于点，与对角线交于点．则的值为（   ）． A． B． C． D． 4．（2026·重庆育才中学·一诊）如图，在正方形中，点为线段上一点，满足，连接，过点作，分别交于点，交的延长线于点，作的角平分线交于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆一中·学情调研）如图，在边长为8的正方形中，点，分别为，边上的点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D．9 6．（2026·重庆南开中学·月考）如图，在正方形中，E、F分别为、上的点，且，连接、分别交对角线于点G、H，连接，为中点，N为中点，连接、交于点O．若，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 押题猜想二 代数操作题 试题前瞻·能力先查 限时：5min 1．已知整式（），其中n为正整数，（i为整数，）均为整数，，记，且，下列说法中，正确的个数为（    ） ①在所有满足条件的整式M中，有且只有4个单项式； ②当，时，所有满足条件的整式M之和的最小值为； ③当时，满足条件的整式M共有12种． A．0 B．1 C．2 D．3 分析有理·押题有据 常以新定义或代数推理（如分式操作）形式考查。备考需多练创新题型，提升逻辑推理能力。2026年，难度或提升。 终极猜想·精练通关 1．（2026·重庆南开中学·一诊）已知整式：，其中为正整数，，，…，均为整数，且满足，记：，为偶数．下列说法： ①若，，则满足条件的整式共有2个，其中有1个单项式； ②若，且函数的图象与轴有交点，则满足条件的整式共有8个； ③若，，，则满足条件的整式共有9个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·重庆铜梁一中·一模）已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，，，，为正整数，且满足．下列说法： ①当，时，所有满足条件的整式的值的总和为； ②若规定，，，，均为正整数，则的可能取值有种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2026·重庆一中·一模）已知整式，其中n，，，，…，，均为正整数，且．若对任意（i为整数），都有，且偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和，下列说法： ①满足条件的整式M中，n的最大值为4； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③所有满足条件的整式共有7个． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26九下·重庆八中·学情自测）已知整式，，其中，，…，，，，…，为自然数，m，n，，为正整数，．且满足，，下列说法： ①若，时，则满足条件的整式M共有3个； ②若时，则满足条件的整式M共有20个； ③若，，，则符合条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26九下·重庆十一中·学情自测）已知整式（，，均为整数，，，，），且，设；下列说法中： ①若，则的值可能为； ②的最小值为； ③（，，，）均为正整数，则最大值为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆三十七中·一模）已知整式，其中为正整数，，为自然数，若，下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有3个三次三项式； ②存在一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； ③在满足条件的所有整式中，存在几个整式的和为；其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 押题猜想三 圆相关求解 试题前瞻·能力先查 限时：6min （2026·重庆南开中学·一模）如图，是的直径，点在上，连接，以为边作平行四边形，交于点，交于点，连接，交于点，连接、，若，，，则的长度为______． 分析有理·押题有据 圆的计算（必考），难度加大，常涉及圆与三角形、菱形等图形综合。2026年或由原来的两空改为一空，减少送分。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九下·重庆一中·半期）如图，矩形内接于，对角线的长为13，点是上一点，，延长、与所在直线交于点、，，则线段的长为______． 2．（2026·重庆育才中学·中考模拟）如图，是的外接圆的直径，过点作交于点，连接，，在劣弧上取一点，连接，若点为弧的中点，，，，则______． 3．（2026·重庆渝北中学·一模）如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，点A为弧的中点，交于点E，连接并延长交的延长线于点F，连接，若的直径为10，，则______，______． 4．（2026·重庆铜梁一中·一模）如图，以为直径的垂直弦于点，过点作于点，交于点，交于点，连接，，，，，则______，线段______． 5．（2026·重庆第七中学校·一模）如图，的直径为10，弦，的平分线交于点，交于点，则的长为______． 押题猜想四 阅读材料 试题前瞻·能力先查 限时：8min 1．一个数位大于三位且各数位均不为零的正整数，如果从左到右和从右到左看都是同一个数，那么我们称这个数为“蝶形数”，例如：、、都是“蝶形数”．截取最前面的两位数字组成的两位数为，截取最后面的两位数字组成的两位数为，满足（为正整数），那么我们称其为“完美蝶形数”，则最小的四位“完美蝶形数”为______．对于一个五位“完美蝶形数”，，，，且，，均为整数其中个位数字与十位数字之和等于百位数字，若与其各个数位数字之和的差能被整除，规定，则所有满足条件的值的和为______． 分析有理·押题有据 材料阅读题，给定新定义或规则，要求理解并应用，考查学习迁移能力。选填部分压轴区分点，第二空难度可能加大。 终极猜想·精练通关 1．（2026·重庆育才中学·中考模拟）对于一个四位数M，若满足将M的千位数字作为两位数N的十位数字，将M的个位数字作为两位数N的个位数字，且两位数N等于M的百位数字与十位数字的平方差，则称M为“方距数”．若“方距数”M的百位数字为9，十位数字为3，则______；若为“方距数”，规定：，，为整数，为完全平方数，满足条件的A的值是______． 2．（2026·重庆铜梁一中·一模）一个四位自然数N的各个数位上的数字均不为零，若其满足千位数字比百位数字大3，个位数字为十位数字的2倍，则称这个自然数N为“融合数”，如数，∵且，∴是“融合数”，如数，∵，∴不是“融合数”，则最小的“融合数”为______；将“融合数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新数，记，将数的千位数字去掉后得到的三位数记为，若能被整除，则满足条件的所有的值的和为______． 3．（25-26九下·重庆八中·学情自测）如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之和为8，那么称这个四位数M为“能源数”．将一个三位数记作，M的十位数字作为三位数的百位数字，三位数的十位数字是0，的个位数字与M的个位数字相同，记，例如：四位数1634，，不是“能源数”．又如：四位数5349，，是“能源数”，．若A是最小的“能源数”，则是________；若对于“能源数”M，能被11整除，记，则当为整数时，“能源数”M的最大值是_______． 4．（25-26九下·重庆巴蜀中学·学情自测）一个四位自然数M的各个数位的数字互不相等且均不为0，若千位数字与个位数字的差等于十位数字与百位数字的差，则称其为“骐骥数”．将M的千位与个位数字调换位置，百位与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，则________，若“骐骥数”（a，b，c，d均为整数，且，，，），记N的各个数位上的数字之和为，若为完全平方数，且为整数，则满足条件的所有N的值之和为________． 5．（2026·重庆北碚·一模）我们规定：若一个正整数A能写成，其中与都是两位数，且与的个位数字相同，十位数字之和为9，则称A为“方和数”，并把A分解成的过程，称为“方和分解”．例如：因为与82的个位数字相同（均为2），十位数字1与8的和为9，所以226是“方和数”，226分解成的过程就是“方和分解”． （1）按照这个规定，最小的“方和数”是_______； （2）把一个“方和数”A进行“方和分解”，即，将放在的右边组成一个新的四位偶数B，若B除以17余数为3，则满足条件的最小正整数A为_______． 押题猜想五 统计 试题前瞻·能力先查 限时：6min 1．学校开展了环保知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：82，83，84，84，85，86，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：60，61，62，70，71，72，73，80，82，83，85，86，87，87，91，92，95，96，98，99． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81.5 81.5 中位数 a 84 众数 84 b 七年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生环保知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生600人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少? 分析有理·押题有据 统计综合题（补全图表、计算分析），分析中得出结论，简单说明理由，有可能需得出结论。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九下·重庆八中·学情自测）为了解学生对网络安全的掌握情况，某校举办了网络安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分50分）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于10分（成绩得分用x表示，共分成四组：A．．B． C．，D．4），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为： 12、15，18，21，25，27，27，31，34，34， 34，34，38，40，40，42，46，46，46，50． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：32，32，35，36，36，38，38． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 33 34 a 八年级 33 b 42 八年级所抽学生的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a= ，b= ，m= ； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的网络安全知识竞赛成绩较好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)该校七年级有500名学生，八年级有400名学生参加了此次网络安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次网络安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？ 2．（2026·重庆铜梁一中·一模）铜梁区文旅局邀请广大游客朋友对铜梁龙舞表演打分（分数为百分制且为整数）并从男、女游客中各随机抽取25名游客的分数；并将数据进行整理、描述和分析（分数均不低于60分；用x表示，共分（4组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 25名男游客打分在C组的数据：80，81，82，83，85，87，88； 25名女游客打分：60，61，63，65，67，69，72，74，75，78，80，82，94，94，94，94，94，95，96，97，98，99，100，100，100； 抽取男、女游客的分数统计表 游客性别 男游客 女游客 平均数 83 83 中位数 a 94 众数 78 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a＝______，b＝______，m＝______； (2)根据以上数据，你认为男、女游客谁更喜欢铜梁龙舞表演？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)此次打分的男游客有1025人，女游客775人，请估计男、女游客中打分不低于90分的游客人数一共是多少人？ 3．（2026·重庆育才中学·中考模拟）为了加强学生的传统文化和非遗保护意识，某校对学生进行传统文化知识测评，从该校七年级、八年级两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（满分为100分）进行整理和分析，所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的测试成绩是：61，63，65，68，72，73，76, 81, 85，86，88，88，88，89，92，94，95，97，99，100； 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，83，85，88，89，90； 七年级、八年级抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 83 a 87 八年级 83 91 b 根据上述信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握传统文化知识更好？并说明理由； (3)若该校七年级有学生400名，八年级有学生500名，请估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生总共有多少名？ 4．（25-26九下·重庆西大附中·定时练习）今年“五一”期间，某地各景点盛况空前，为了解游客对水崖洞和长江汇两个景点的满意程度，小明从这两个景点的游客中各随机抽取了20名游客进行满意度问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（得分用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 水崖洞20份问卷调查的得分为：65，70，70，72，80，80，82，83，84，90，92，92，94，95，95，98，98，100，100，100． 长江汇20份问卷调查的得分在C组中的数据为：82，83，84，85，87，88，88． 两个景点得分统计表                             景点 平均数 众数 中位数 方差 水崖洞 87 a 91 121 长江汇 87 95 b 119.8 长江汇得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______，_______，_______； (2)根据以上数据分析，你认为游客对水崖洞还是长江汇更满意？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)已知“五一”期间到水崖洞的游客有80万人次，到长江汇的游客有60万人次，估计这些游客对景点非常满意（）的共有多少万人次？ 5．（2026渝北中学·中考模拟）重庆市某校开展了科学知识竞赛，从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均高于60分，用x表示，共分四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩在B中的数据是：83、88、87、85 八年级10名学生竞赛成绩是：67、68、70、73、79、85、90、90、92、96 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 a 82 众数 90 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生科学知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生700人，八年级有学生600人，本次活动七、八年级都有500人参加，则请估计参加的学生中，七、八年级共有多少人得到A等级． 押题猜想六 尺规作图+补全证明过程 试题前瞻·能力先查 限时：5min 1．如图，在平行四边形中，点E是对角线上一点，连接． (1)用尺规完成基本作图：作，交线段于点F，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证：在平行四边形中，，， ___①___． 在和中，， ． ___②___，， ，___③___， ， ___④___， 四边形是平行四边形． 分析有理·押题有据 尺规作图题则重点考查5种基本作图，需规范描述结论。 终极猜想·精练通关 1．（2026·重庆西大附中·一模）在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，数学兴趣小组进行了以下研究，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，是平行四边形的对角线，用尺规作的平分线，交于点E，在边上截线段，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，求证：四边形是矩形． 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴． ∴，， ∵， ∴② ， ∴，即． ∴③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴，平分， ∴④ ， ∴， ∴四边形是矩形． 2．（2026·重庆北碚·一模）学习了正方形的知识后，某数学兴趣小组进行了拓展性研究：将正方形对角线上一点与对角线一侧的顶点相连得到一条线段，过该点作这条线段的垂线与对角线另一侧正方形的边相交得到另一条线段，此时分布在对角线两侧的互相垂直的线段也具有特殊的数量关系．他们的解决思路是通过三角形全等和等腰三角形的判定得出结论，请根据他们的思路完成以下作图和填空． (1)如图，在正方形中，点E是对角线上的一点，连接，用直尺和圆规完成以下作图：过点E作的垂线，与交于点F，连接（保留作图痕迹，不写作法）． (2)求证： （补全证明过程）． 证明：∵四边形是正方形， ∴，． 在和中， ∴． ∴，①______． ∵，， ∴在四边形ADFE中，． ∴． ∵，∴． 又∵，∴②______．∴③______． ∵，∴④______． 3．（25-26九下·重庆八中·学情自测）学习中点的相关知识后，小达进行了拓展性探究．他发现了产生线段中点的新方法，并与他的同伴进行交流，现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)用尺规完成以下作图：以点B为角的顶点，在射线上方作，在射线上截取线段，连接，交于点D．（只保留作图痕迹） (2)已知：，，线段，交于点D．求证：点D是线段的中点． 证明： ∴①____________ ②____________ ∴在和中 ∴④____________ ∴点D是线段的中点． 4．（2026·重庆铜梁一中·一模）小宏在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小宏的操作：如图，在四边形中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点O、E、F，连接、．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明∵垂直平分， ∴①__________，． ∵， ∴②__________． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵④__________， ∴四边形为菱形． 5．（2026·重庆育才中学·中考模拟）在几何学习中，我们遇到这样一个题目：“在四边形中，．若平分，，求证：．”结合学过的知识，可以知道：首先过点C分别作出、的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决．请根据上述的思路，完成下面的作图与填空： (1)尺规作图：用直尺和圆规，过点C作出的垂线，交的延长线于点F（只保留作图痕迹）； (2)证明：，， ， 和为直角三角形， 又平分，， ①_______． 在和中， ③_______． ， ． 押题猜想七 应用题 试题前瞻·能力先查 限时：8min 1.红星超市购入盒装纯牛奶和酸奶共240盒．已知酸奶的进价比纯牛奶高，纯牛奶的进货总费用为400元，酸奶的进货总费用为700元． (1)求纯牛奶和酸奶的进价分别是每盒多少元； (2)该批纯牛奶按每盒元的单价全部售出．酸奶因保质期较短，先以每盒8元的价格售出总量的，剩余部分降价促销并全部卖完．若该批纯牛奶与酸奶的总利润不低于600元，则酸奶降价后的单价至少应为每盒多少元？ 分析有理·押题有据 应用题，固定考查方程思想（整式/分式方程），注意解题格式，如分式方程需检验。 终极猜想·精练通关 1．（2026·重庆育才中学·中考模拟）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 2．（2026·重庆铜梁一中·一模）某超市购进甲乙两种牛奶共75箱．已知每箱甲牛奶占0.3立方米的存储空间，每箱乙牛奶占0.2立方米存储空间，这75箱甲、乙两种牛奶共占用16立方米的存储空间． (1)请问该超市采购了甲乙牛奶各多少箱？ (2)经市场调查，每箱甲牛奶的进价比每箱乙牛奶的进价多10元．如果用5000元采购甲牛奶的箱数与用4200元采购乙牛奶的箱数相同，那么采购这两种牛奶总共需要花费多少元？ 3．（25-26九下·重庆八中·学情自测）某科技公司生产服务和工业两种机器人，去年共生产2000台．今年生产线优化升级，服务机器人产量预计比去年增加，工业机器人产量预计比去年增加，则两种机器人总产量预计将比去年共增加380台． (1)求今年服务机器人和工业机器人的产量预计各是多少台？ (2)今年出厂检测时，实际产量与预计相同，公司安排两组工程师同时开始检测工作：A组负责检测服务机器人，B组负责检测工业机器人．已知A组每小时检测效率是B组的1.5倍，最终A组比B组提前30分钟完成任务．问B组每小时检测工业机器人多少台？ 4．（2026·重庆北碚·一模）一年一度的元旦节即将到来，某校初三年级的家委会妈妈们准备购买签字笔和圆规两种文具作为小礼物送给初三年级的孩子们，计划用2400元购买签字笔，用900元购买圆规，已知一支签字笔和一个圆规的售价之和为15元，计划购买签字笔的数量是圆规数量的4倍． (1)求计划分别购买多少支签字笔和多少个圆规？ (2)实际购买时，家委会妈妈们发现每支签字笔的售价降低了，每个圆规的售价便宜了元，根据各班对两种文具喜好的调查结果，家委会的妈妈们调整了购买签字笔和圆规的数量，实际购买圆规的数量比计划购买圆规的数量增加了个，但实际购买签字笔和圆规的总数量与计划购买签字笔和圆规的总数量相同，最终实际购买签字笔和圆规的总费用比计划购买签字笔和圆规的总费用减少了元，求的值． 5．（2026·重庆西大附中·一模）中华民族的传统节日一端午节将至，甲、乙两家公司为员工购买咸粽和甜粽两种口味的粽子礼盒作为节日福利． (1)已知一盒咸粽比一盒甜粽贵元，甲公司工会统计得出，喜爱咸粽的员工人数是喜爱甜粽的员工人数的倍，甲公司的采购根据员工的口味喜好分别花费元、元 购买咸粽和甜粽，求一盒咸粽和一盒甜粽的价格各为多少元? (2)乙公司由于订购较晚，在（1）的基础上，一盒咸粽和一盒甜粽的价格分别上涨、，乙公司预算不超过元为名员工购买粽子礼盒，则乙公司最多购买多少盒咸粽? 押题猜想八 几何动点+函数图像 试题前瞻·能力先查 限时：10min 1.如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 分析有理·押题有据 这是拉开差距的核心，常为动态函数综合题，需根据几何图形运动变化建立函数关系。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九下·重庆十一中·学情自测）在矩形中，，，点E为的中点，动点P以每秒1个单位的速度从点E沿折线运动，同时动点Q以每秒2个单位的速度沿折线运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接，，．设运动时间为x秒，的面积为，的面积与点P的运动路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并根据图象分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 2．（25-26九下·重庆巴蜀中学·学情自测）如图1，在矩形中，，，对角线、相交于点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动，运动时间为秒（）．连接，的面积为，与的面积比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出，的图象，并分别写出，的一条性质； (3)根据函数图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 3．（2026·重庆铜梁一中·一模）矩形中，，，动点以的速度从点沿折线运动，连接，同时，动点以的速度从点出发沿射线运动，当点停止运动时点也随之停止运动．过点作于点，设点的运动时间为，记的面积为，记面积的与的运动路程比为，请回答下列问题： (1)请直接写出分别与的函数关系式，并注明自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围：___________（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 4．（25-26九下·重庆八中·学情自测）如图1，在菱形中，对角线，相交于点O，，，动点P从点A出发，按的顺序运动（不含端点A，B），点Q在射线上运动（不含端点B），点P，Q同时开始运动，当点P停止运动，点Q同时停止运动．点P的运动速度为每秒1个单位长度，点Q的运动速度为每秒个单位长度，设运动时间为x秒，连接，，设的面积为，的面积与的面积之比为． (1)分别求出，与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出和的函数图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，当时，直接写出x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 5．（2026·重庆北碚·一模）如图，在菱形 中，对角线 交于点 ，动点 从 出发，以每秒 个单位长度的速度沿折线 运动，同时动点 从 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 运动，当点 到达点 时， 两点同时停止运动． 设运动时间为 秒 的面积为 ， 的面积与点 的运动路程之比为 ． (1)请直接写出 分别关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数 的图象，并写出函数 的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出 时 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）． 押题猜想九 解直角三角形应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 1.如图，在矩形中，连接．，，点为线段上一动点（不与、重合），过点作交于点．设，点，的距离为，的周长的周长之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0．2）． 分析有理·押题有据 三角函数应用大题，不再纯计算，而是结合生活情境（如测楼高、求坡度）构建方程模型求解。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九下·重庆巴蜀中学·学情自测）如图，某海域捕鱼作业区B位于补给中心的北偏东方向距离海里处，位于岛屿的北偏西方向，岛屿位于补给中心的正东方．（参考数据：，）． (1)求岛屿与捕鱼作业区之间的距离；（结果保留到小数点后一位） (2)某渔船在处监测发现大量鱼群向正西方向迁移，渔船立即向补给中心发送信号并同时以每小时海里的速度向正西方向追赶鱼群．补给中心接到信号后，立即派出另一艘大型渔船从出发（接受信号及通知时间忽略不计），沿正北方向以每小时海里的速度前往协同捕捞．当两船相距海里时，它们开始启动协同捕鱼作业．请问大型渔船出发后多少小时，两船开始启动协同捕鱼作业？（结果保留根号） 2．（25-26九下·重庆十一中·学情自测）某中学进行游园活动，小花和小刚从入口A处出发，小刚准备前往北偏东方向的B处玩“投壶”，小花准备前往北偏西方向米的C处玩“盲人摸象”．小刚到达点B处后，发现点C在他的北偏西方向．之后小花准备直接前往东北方向的F处玩最火的项目“一吹冲天”；小刚则需要前往北偏东方向的D处找同学拿东西（取东西的时间忽略不计），再前往西北方向20米的F处玩“一吹冲天”项目．（参考数据：，，） (1)求之间的距离； (2)当小刚到达D处时，小花刚好到的中点E处．之后两人同时出发，小刚用的速度走路前往，小花用的速度慢跑前往．小花从E处出发后，经过多少时间，她到小刚的距离是到点F距离的两倍（结果保留小数点后一位）． 3．（2026·重庆北碚·一模）国庆期间，重庆动物园以“欢度国庆”为主题开展保护教育系列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知C馆在A馆的正北方向，游客中心D在A馆的北偏东方向，B馆在A馆的北偏西方向相距400米处，C馆在B馆的东北方向，且C馆在游客中心D的南偏西方向．（参考数据：，，，） (1)求B馆和C馆之间的距离；（结果保留根号） (2)小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从B馆出发沿路线行走，小红从A馆出发沿路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的倍，当小明到A馆的距离恰好是小红到A馆的距离的2倍时，求小红与游客中心D之间的距离．（结果保留整数） 4．（25-26九下·重庆八中·学情自测）某物流调度中心开展无人机配送航线巡检任务，如图，A处是调度中心，位于B处正北方向7千米处；C处是配送枢纽，在B处正东方向；D处是信号点，在A处南偏东方向6千米处，且在C处的东北方向．（参考数据：，，） (1)求B，C间的距离（结果保留根号）； (2)甲，乙两架巡检无人机同时出发．甲从D处沿某方向匀速飞行，乙从A处沿正南方向匀速飞行，甲的速度与乙的速度之比为．两人在上某处相遇，相遇时乙共飞行了多少千米？（结果保留小数点后一位） 5．（2026·重庆铜梁一中·一模）如图，某海警巡逻舰在处发现正东方向60海里的处有一艘可疑渔船，渔船正以海里/小时的速度沿方向逃窜．已知位于小岛的南偏东方向，小岛位于的西北方向50海里处，且位于的正北方向．（参考数据：） (1)求两点之间的距离（结果保留根号）； (2)发现渔船时，巡逻舰立即从处沿某一方向以海里/小时的速度直线拦截，求渔船被拦截时，该船距离小岛还有多少海里（结果保留小数点后一位）？ 押题猜想十 二次函数压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：20min 1.直线与抛物线分别交于轴上的点和y轴上的点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点N；当面积取得最大值时，求的最小值； (3)记抛物线与轴的另一交点为点，将原抛物线向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度可得新抛物线．点为新抛物线上的一动点，若满足，则求所有符合条件的点H的横坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 设：，则， 分析有理·押题有据 近年的考题呈现出一些清晰的特点：虽然2025年起有 “反套路、反机械刷题”的趋势，更注重思维灵活性，但整体结构依然保持稳定。核心考点：五大题型 · 最值问题（高频必考）：含单线段、多条线段和、面积的最大/小值（常用“铅垂高×水平宽”一半求面积），均通过设动点坐标构造二次函数求极值。 · 存在性问题（高频必考）：探讨特定图形是否存在的“探索型”问题。常见如构造等腰三角形（分三边两两相等列方程）、直角三角形（勾股定理或斜率积为-1）、平行四边形（利用对角线互相平分或对边平行且相等）。 ·几何变换（热度上升）：结合平移、旋转、对称考查，要求利用变换规律求新函数解析式，并在新图形中继续研究最值或存在性问题。 · 角度问题（中频考点）：涉及特殊角度（如30°、45°、60°），或等角、倍角关系，常用全等/相似或三角函数建立方程。 · 新定义与综合创新（低频但灵活）：定义全新概念或法则，要求即时理解应用，强调现学现用和阅读理解能力。 终极猜想·精练通关 1．（2026·重庆铜梁一中·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过作于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线（）沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 2．（25-26九下·重庆八中·学情自测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点D，过点P作交直线于点E，点M，N为直线上的动点，点M在点N的右侧且．当的面积取得最大值时，求P的坐标及此时的最大值； (3)在（2）中当的面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，连接，与线段交于点F，点Q为抛物线上的一动点．若且满足，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 3．（2026·重庆一中·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线与x轴交于点D，点E为点C关于x轴的对称点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方且在对称轴左侧的抛物线上的一动点，过点P作平行于y轴，交于点Q，过点Q作，交抛物线对称轴于点F．点M为抛物线对称轴上的动点，点N为y轴上的动点，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及取得最小值时点N的坐标； (3)将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3，点G是线段上的动点，线段关于的对称线段为，线段所在直线交新抛物线于点K．若直线与直线所成夹角等于，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 4．（25-26九下·重庆巴蜀中学·学情自测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，点是上方抛物线上的一个动点，过点作于点，作轴于点，交于点，点，是直线上的两个动点（点在点的上方），且，连接，．当取得最大值时，求此时点的坐标以及的最小值； (3)在（2）问中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点的对应点为点，点关于新抛物线对称轴的对称点为点，点为新抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 5．（25-26九下·重庆十一中·学情自测）已知抛物线与x轴交于点A，点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上一点，过点A作交y轴于点D，在直线上有一动点M，当四边形面积的最大时，求P点坐标及的最小值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点E为点A经过平移后的对应点；在抛物线上是否存在点M，满足，若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 押题猜想十一 几何证明压轴题 试题前瞻·能力先查 限时：25min 1.在中，，点，为所在平面内的点，且． (1)如图1，若点在线段上，点为内一点，，，连接，，若，求的度数； (2)如图2，若点在线段右侧，点为内一点，且，连接，，此时点，，三点共线，已知，试猜想线段，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，若点在线段右侧，点为中点，，连接并延长恰好经过点，作点关于的对称点，连接，为直线上一动点，连接，，将沿翻折至所在平面，点的对应点为，连接，是中点，连接，当取最大值时，在左侧作任意等边，连接，，当的值最小，且等边周长最小时，直接写出的值． 分析有理·押题有据 2025 A/B卷 三角形、动点 手拉手模型、动点轨迹（瓜豆原理）、最值问题、几何变换 全等/相似三角形、圆的性质、勾股定理、三角函数 2024 A/B卷 矩形、菱形 图形的折叠与对称、特殊四边形的判定与性质、全等三角形的应用 轴对称、菱形判定、全等三角形 2023 A卷 等边三角形 旋转、折叠、线段关系证明、最值问题、四点共圆 等边三角形性质、旋转、圆、解直角三角形、勾股定理 2023 B卷 等边三角形、线段动点 旋转变换、线段关系证明（全等）、折叠、最值问题 旋转、平行四边形性质、勾股定理 2022 A卷 锐角三角形 动态几何、角度求解、旋转变换、最值问题 全等、等边三角形、圆、解直角三角形 2021 A/B卷 三角形、矩形 折叠问题、线段长度计算、旋转变换、最值问题 全等、等边三角形、矩形、勾股定理、解直角三角形。 重庆的几何压轴题通常分为三个小问，梯度分明： · 第(1)问：基础证明或计算（约3-4分）：通常是特殊位置的判断或直接应用基础定理证明线段相等、角度相等。得分策略：必须拿下！静心读图，利用已知条件直接推导，避免想复杂。 · 第(2)问：综合探究与证明（约4-5分）：动态情景下的等量关系或位置关系，需添加辅助线。得分策略：重点突破！这是区分中等与良好考生的关键。联系第(1)问结论，识别并构造“手拉手”或“中点模型”等核心模型。 · 第(3)问：高阶思维挑战（约4-5分）：求线段最值或判定存在性，常与代数融合。得分策略：尽力而为！这是顶尖学生拉开差距的关键。首先确定动点轨迹（直线或圆），再在轨迹上利用“垂线段最短”或“三点共线”原理求最值。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九下·重庆八中·学情自测）在中，． (1)如图1，，D为上一点，，求的正切值； (2)如图2，将沿翻折得到，E为上一点，连接并延长至点F使得，连接，其中，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，已知D为边上一动点，，，当面积最大时，将线段绕点C逆时针旋转得到，交线段于点E，M为平面中任意一点，连接，，，当最大时，连接，当达到最小值时，直接写出的面积． 2．（2026·重庆铜梁一中·一模）如图，已知在中，，点E在直线上，连接，过点C作于点D，交于点F． (1)如图1，若点E在线段上，平分，，，求的长度； (2)如图2，若点E在线段上，，延长至点G，连接，满足，请用等式表示线段，和的数量关系并证明． (3)如图3，若，将沿翻折至所在平面得到，连接，点P为的中点，连接，在E点运动过程中，当取最大值时，直接写出此时的值． 3．（25-26九下·重庆十一中·学情自测）如图，在中，，边上有一点D，连接． (1)如图1，，点F在边上，连接交于点E，已知点E为的中点，若，求的长； (2)如图2，若，点F在延长线上，，连接，，将绕点D逆时针旋转得，连接交于点H，猜想，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，，F为上方平面内一点，且点F到直线的距离为，当的值最大时，请直接写出的值． 4．（25-26九下·重庆巴蜀中学·学情自测）如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交直线于点，点为中点，连接． (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，若为线段上一点，且，连接，延长至，使，延长至，使，连接，若，求证：； (3)如图3，若为直线上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，为的中点，连接，当取最大值时，将绕点逆时针旋转得到，则当取最小值时，直接写出的值． 5．（2026·重庆育才中学·中考模拟）在中，，垂足为E，，垂足为D，与相交于点F． (1)如图1，，，用含m的代数式表示． (2)如图2，N为线段上一点，M在的延长线上，连接，，，，将绕点D逆时针旋转得到，连接，用等式表示线段与的数量关系并证明． (3)如图3，，，，垂足为H，点K，Q分别为线段，上的动点，且，连接，，当取得最小值时，在内部取一点P，连接、、，请直接写出的最小值． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $