专题07矩形性质与判定压轴专项训练(知识梳理+14大题型+突破题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题07矩形性质与判定压轴专项训练 【温馨提示】14大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.矩形折叠求线段 题型02.矩形折叠求角度 题型03.矩形折叠算面积 题型04.矩形多结论判断题 题型05.矩形与最值问题 题型06.矩形动点构特殊平行四边形 题型07.矩形动点构特殊三角形 题型08.矩形与勾股定理综合计算 题型09.矩形与坐标系综合 题型10.矩形对角线综合 题型11.矩形与角平分线综合 题型12.矩形性质与判定综合证明 题型13.矩形中点相关综合 题型14.矩形与全等三角形综合 知识01:核心定义（判定 & 性质通用根基） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ▶ 双重属性：矩形是特殊平行四边形，兼具平行四边形所有性质 + 直角专属特性，是压轴题中 “平行四边形→矩形” 判定的核心依据。 知识点02:四大核心性质（压轴计算 / 证明必用） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形ABCD中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称+轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:三种判定方法（压轴证明 “证矩形” 三步走） 判定核心：先定平行四边形，再补矩形条件，或直接证直角，避免遗漏前提（压轴题高频设错点）： 知识点04:黄金推论（矩形衍生必考考点） 直角三角形斜边上的中线 = 斜边的一半（含逆定理) ▶ 几何语言：Rt△ABC 中，∠B=90°，D 为 AC 中点→BD=AC=AD=DC； ▶ 逆定理：三角形一边中线等于这边一半→该三角形为直角三角形 ▶ 压轴应用：矩形对角线交点连直角顶点、动点问题中找中点造中线，实现线段转化。 知识点05:压轴避坑指南（5 大高频易错点，直接规避失分） 1.混淆性质：矩形对角线仅相等平分，不垂直（垂直是正方形专属）； 2.判定缺条件：证矩形时，只证 “对角线相等” 或 “一个直角”，忽略平行四边形前提； 3.斜边中线逆用错：看到 “中线 = 边的一半” 就证直角，未确认中线对应斜边； 4.折叠题易错：未标注折叠后相等边 / 角，导致勾股定理列错方程； 5.角度漏算：忽略矩形对角线形成的等腰三角形特殊角（30°/60°/120°）。 知识点06:压轴解题心法（矩形综合题 “万能思路”） 适配折叠、动点、最值、坐标系综合题，按步骤解题不混乱： 1.见矩形，先标直角：所有角度 / 线段计算，先锁定 90°，利用互余、互补推导角度； 2.遇对角线，必连中点：活用 “对角线相等平分”+“斜边中线定理”，实现线段等量转化； 3.证矩形，分两步走：先证平行四边形（边 / 角 / 对角线），再补 1 个矩形判定条件； 4.求线段，勾股建模：矩形内线段计算，优先构造直角三角形，设未知数列方程（折叠 / 动点题核心）； 5.折动点，抓不变量：折叠找 “对称相等”，动点找 “定点 / 定长 / 定角”，结合将军饮马、等腰分类讨论。 题型01.矩形折叠求线段 【典例】矩形中，，，点E是上一点，翻折，得，点落在上，则的值是________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， 在中，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ． 【跟踪专练1】如图，将矩形沿直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，，则的长是______． 【答案】10 【分析】由矩形的性质可得，，即得，由折叠的性质可得，即可得，得到，设，则，在中，由勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又由折叠可得，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【跟踪专练2】将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故选：A． 【跟踪专练3】如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，即可得证； （2）由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 题型02.矩形折叠求角度 【典例】如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质和直角三角形两锐角互余可求出的度数，再由折叠的性质可得的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得． 【跟踪专练1】如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠可得，且，根据直线得，最后由对顶角的性质求得． 【详解】解：如图所示： ∵是折痕， ， ， ， 又 ∵， ， ， 又 ∵， ． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，对角线和相交于点，，是射线上一点，将沿翻折得，当时，的度数为_____ ． 【答案】或 【分析】由题意可分当点在线段上时和当点在线段的延长线上时，然后根据平行线的性质及折叠的性质可进行求解． 【详解】解：如图1，当点在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图2，当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 综上所述，的度数为或． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，是的中线，将沿折叠，点的对应点为点，连接． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，从而可得，由等边对等角并结合三角形内角和定理得出，从而可得，由平行线的性质可得，再由等边对等角得出，即可得证； （2）由勾股定理可得，延长和交于点，作于点，由（1）可得，证明，得出，，由折叠的性质可得，从而可得，由等面积法求出，由勾股定理可得，再由等腰三角形的性质得出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵在中，，是的中线， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴， 如图，延长和交于点，作于点， 由（1）可得：， ∵，， ∴， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型03.矩形折叠算面积. 【典例】如图，四边形是矩形，，把矩形沿直线折叠，点落在点处，、交于点，则与的面积之比是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形与折叠性质，推导出，设，则，由勾股定理，解得，然后计算两三角形面积并求比值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴； 由折叠性质可知： ， ∴，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得： 解得，即， 的直角边，， ∴ 在中，， ． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；解题的关键是由折叠性质得，结合平行线内错角相等推出，从而，设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：矩形沿折叠，点落在点处， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【跟踪专练2】如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合，折痕，若长方形的长为8，宽为4，则的面积为________． 【答案】10 【分析】设，则，由折叠的性质可知，，根据四边形是矩形，得出，在中，由勾股定理求出，则，根据，得出．结合，，得出，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设，则， 由折叠的性质可知，， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 整理得， 解得． ∴， ， ． 又∵， ， ， ． 【跟踪专练3】已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上F点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以点为圆心，以长为半径画弧交于点，连接，作的角平分线，交于点，点即为所求； （2）由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，由勾股定理可得，再由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图：点即为所求； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴， ∴的面积为． 题型04.矩形多结论判断题 【典例】如图．在矩形中，将矩形沿折叠，点D落在点E处，且与交于F，则下列结论①②③④若，则，正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，逐一分析各个结论的正确性，再结合选项选择正确答案即可． 【详解】解：在矩形中，， ∵矩形沿翻折， ∴， ∴， ∴，故①正确； 结论②中未给出任何关于角度的特殊条件，无法通过已知条件推导出， ∴②不一定成立，无特殊条件支持，故②错误； ∵矩形沿翻折， ∴， ∴，， 在矩形中，，， ∴，， 在和中， ， ∴，故③正确； 设，则， 由③可知，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 解得， ∴，故④正确， 综上所述，正确的结论有①③④． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：；；；；，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而判断出①正确； ②求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确； ③求出，，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断出③正确； ④利用全等三角形的性质得到，利用矩形的性质和证明，证明得到，然后结合，可得，判断出④正确； ⑤判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到⑤错误． 【详解】解：∵在矩形中，平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 又∵， ∴， 又∵(对顶角相等)， ∴， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∵在矩形中，，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，所以④正确； ∵，， ∴不是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，故⑤错误； 综上所述：结论正确的是①②③④，共4个． 【跟踪专练2】如图，矩形中，，对角线相交于O，过C点作交于E点，H为中点，连接交于G点，交的延长线于F点，下列4个结论：①；②；③；④．正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用直角三角形的斜边中线可判断①结论；根据等边对等角和等角的余角相等可判断②结论；利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定可判断③结论；根据等边对等角的性质，得出，结合三角形外角的性质，得出，再结合等角对等边，可判断④结论． 【详解】解：在中，H为中点， ， ， ，①结论正确； ， ， ，， ，②结论正确； 如图，连接， ，， ， 同理可得，， ，即， ， 不能得出，③结论错误； ， ， 矩形， ，，， ，， 由②可知，， ， ， ， ， ， ， ，④结论正确． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，点E、F分别是边、上的动点（点E不与A、B重合）且，若点G在五边形内，且满足，．则以下结论正确的有（    ）个． ①与一定互补；②点G到边，的距离一定相等；③点G到边，的距离不可能相等；④点G到边的距离的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定以及三角形内角和定理，关键是对知识的掌握和运用，根据矩形的性质得出，又，由四边形内角和为可判断①；过作，，分别交于，交于，根据同角的补角相等，可以求出，然后证明，可以判断②；由，和②的结论可以判断③；当四边形是正方形时，点到的距离最大，从而可以判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵，四边形内角和是， ∴， 故①正确； 过作，，分别交于，交于，如图所示： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 延长交于，延长交于， 根据题意可知，，从而得到，即分别为点到边的距离， ∵，， ∴，， ∴，， 由②知，则， 即点到边的距离不相等，故③正确； 在直角三角形中，，当点重合时最大， ∵， ∴，故④正确， 故选：D． 题型05.矩形与最值问题 【典例】如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理得到，由题意证明四边形是矩形，则当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，由等面积法即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 如图所示，连接， ∴， ∴当取最小值时，的值最小， 根据点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴线段长的最小值为． 【跟踪专练1】.如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出，判断出四边形是矩形；根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】如图，连接． . ∵矩形中，，，， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段最短，即的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴， 即的最小值为． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，分别为上的动点且为的中点，于点于点P，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边的中线的性质，连接，，，由矩形，得到，，，再根据斜边中点得到，即可得到，最后证明四边形是矩形，得到，当点在上时，最小，即最小． 【详解】解：连接，，， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当点在上时，最小，即最小， 故选：D． 【跟踪专练3】【问题呈现】在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，矩形中，，，过对角线上一点，作的垂线，交边、于点、，求的长． (1)【问题解决】小明同学是这样思考的：点是的中点，过点作的垂线，交、于点、，发现四边形的形状是__________，得，请你结合小明的思路，求出的长是__________． (2)【类比分析】小鹏发现小明的思路就是平移线段，构成平行四边形，把替换，使问题得到解决，他突然想起思考多日的题目有了思路： 如图3，在六边形中，满足，，，．求证：；请你完成此题； (3)【学以致用】 李老师发现两名同学都运用了转化思想，使得问题得到了解决，为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师在【问题呈现】的基础上又提出新的问题，请你解答： 如图4，矩形中，，，点、分别是线段、上的动点，且与互相垂直，则的最小值为__________． 【答案】(1)平行四边形；； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）先由、均垂直于且平行于，判定四边形为平行四边形，得到；再证明，结合和推出四边形为菱形；设，在中用勾股定理求出，再通过菱形面积公式求出，进而得到的长． （2）连接辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的性质得到角相等，再结合已知的平行关系，证明，结合的条件，推导出． （3）由（1）知时为定值，将的最小值转化为求的最小值值；平移构造平行四边形，将转化为，利用两点之间线段最短，将的最小值转化为的长度，再在中用勾股定理求出，最终得到的最小值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴． 如图，连接，． ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴． 设，则， 在中，，由勾股定理得，解得． 在矩形中，由勾股定理得， ∵菱形的面积， ∴，解得， ∴． （2）解：如图，连接，，延长，交于点． ，， 四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 同理，可得， ∴， ∴，． 又， ． （3）解：由（1）可知，在矩形中，时，的长度为定值， ∴， 要求的最小值，只需求的最小值． 如图，平移线段到线段， ，， 四边形是平行四边形， ． ， 根据两点之间线段最短，， 当且仅当，，三点共线时，等号成立． ，， ，即． 在中，，， ∴由勾股定理得． 的最小值为， ∴的最小值为． 题型06.矩形动点构特殊平行四边形 【典例】如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或．正确的是______（填序号） 【答案】④ 【分析】用含t的式子表示出，，，的长度，当四边形为矩形时，根据列方程；当四边形为平行四边形时，根据列方程；当时分两种情况：一是四边形为平行四边形，二是四边形为等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ，， 当四边形为矩形时，， 即， 解得，故①错误； 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得，故②错误； 当时分两种情况： 当四边形为平行四边形时，； 当四边形为等腰梯形时，过点M作于点G，过点C作于点H，如图所示， 则， ，， ， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确． 综上所述，正确的是④． 【跟踪专练1】如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________．      （1）                   （2） 【答案】 【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，菱形的性质，勾股定理等知识，设点A到的距离为h，根据动点函数图像求出h， 过点D作交的延长线与点E，则， 利用勾股定理求出，由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，最后计算菱形的面积即可． 【详解】解：设点A到的距离为h， 由点F的运动轨迹和速度可知，，且， 解得：， 过点D作交的延长线与点E， 则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为： 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，表示出，，和的长，当四边形为矩形时，根据，列出方程求解即可；当四边形为平行四边形时，根据，列出方程求解即可；当时，分两种情况：四边形是平行四边形时；四边形是等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，可得，， ∵，， ∴，， 当四边形为矩形时，， 即，解得，故①不正确； 当四边形为平行四边形时，则， 即，解得，故②不正确； 当时，分两种情况： 当四边形是平行四边形时，则， 即，解得， 当四边形是等腰梯形时， 过点作于点，过点作于点，如图所示，    则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又，，， ∴， 即， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确， ∴正确的结论有个． 故选： 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含的代数式表示各线段的长度是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度．设运动时间为，其中． (1)若，分别是，的中点，则四边形一定是____________（，相遇时除外）． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)平行四边形 (2)2或8 【分析】（1）根据矩形的性质结合平行线的性质可得到，，通过中点可证明，进而证明，利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形． 由题意得：, ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，分别是，中点， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图①，连接． ，分别是，的中点，四边形是矩形， 四边形是矩形， ． 分以下两种情况讨论： ①如图①，当四边形是矩形时，． ，，， ． ， ， ； ②如图②，当四边形是矩形时，，． ， ， ． 综上所述，四边形为矩形时，的值为2或8． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用． 题型07.矩形动点构特殊三角形 【典例】如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为____________． 【答案】4或6或8 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的分类讨论等知识点，掌握通过构造全等三角形转化线段关系、列方程求解，以及对等腰直角三角形直角顶点的分类讨论方法是解题的关键． 设，则，根据等腰直角三角形直角顶点的不同，分三种情况讨论，通过构造全等三角形，利用矩形性质和全等三角形对应边相等列方程求解的值． 【详解】解：设，则． ①如图①，当，且时，可证得， ． ， 解得． ②如图②，当，且时，过点作于点， 在 和 中， ∴， ， ， 解得． ③如图③，当，且时，过点作于点， 在和中， ， ，，四边形是矩形， ，即， 解得． 综上，的长为或或． 故答案为：或或． 【跟踪专练1】在矩形中，，，点在边上，且，是边上的一个动点，若是直角三角形，则的长为______． 【答案】1或3或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 分二种情况讨论：当时和当时，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：在矩形中，，，， 如图，当时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：或； 如图，当时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 综上所述，的长为1或3或， 故答案为：1或3或． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，点在边上运动，连接，将沿折叠，点落在点处，当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，矩形与折叠问题，勾股定理；根据为等腰三角形，分三种情况进行讨论：，分别求得的长，并判断是否符合题意． 【详解】解：∵将沿折叠，点落在点处， ∴， ∵矩形中，，， ∴ ∴ ①如图，当时， ∵ ∴ 过作，交于，交于，则垂直平分，垂直平分， 在中， ∴， 又∵ ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得： ②当时， ∵， 在中，，不合题意， ③当时，如图，过点作于点，交于点，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， 在中， ∴ 设，则，，则 在中，， ∴ 解得： 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，在梯形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动． (1)当t= s时，四边形的面积为； (2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； (3)当时，若，当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)或时， 【分析】（1）用表示、，当点未到达点时，根据条件计算即可； （2）当点未到达点时，根据平行四边形对边相等列出方程求解即可； （3）分和两种情况讨论，利用等腰三角形的性质求解即可； 【详解】（1）解：，，点的速度是，点的速度是， ，， 当点未到达点时，， 解得：， 当时，四边形的面积为； （2）解：当点未到达点时， 四边形是平行四边形， ， 解得：； 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为； （3）解：如图，若，过作， 则，，， ，，， ， 四边形是矩形， ，即， 解得：； 如图，若，过作， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， 解得：； 当或时，是等腰三角形． 题型08.矩形与勾股定理综合计算 【典例】如图，在矩形中，，垂直平分于点，则的长为（　　） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】 本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，先证明是等边三角形，可得，则，利用所对的直角边等于斜边的一半得的长，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ，， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ∴， ． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，结合平分，可以推出，在中，先使用勾股定理计算出斜边的长，再用直角三角形的性质算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 【跟踪专练2】如图，矩形纸片，，，为边上一点．将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，取的中点，连接，则___________． 【答案】 【分析】连接，求出，利用三角形的中位线定理解决问题即可． 【详解】解：如图所示连接， 由翻折的性质可知，垂直平分线段， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵N是的中点，M是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【跟踪专练3】在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，则四边形是平行四边形，再由，可推四边形是矩形； （2）由，，，根据勾股定理可求得，则，再利用角平分线证明，根据等角对等边求出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 于点，点在上， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 的长为5． 题型09.矩形与坐标系综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，，D是的中点，点P在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______． 【答案】 或 或 【分析】先求出，，然后根据题意分情况讨论：当时，当时，当时，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形的顶点、的坐标分别为，， ∴． ∵D是OA的中点， ∴． 过作于，则 ①当时，如图1所示： 由勾股定理得：， ； ②当时，如图1所示： 由勾股定理得：, ∴，这与矛盾，此种情况不存在； ③当时，如图2所示： 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： 由勾股定理得：， ， ； 综上，点的坐标为 或 或． 【跟踪专练1】如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点的坐标为，点的坐标为．则矩形的面积是__________． 【答案】25 【分析】根据矩形的性质，得到轴，轴，进而得到点坐标，求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形的两边分别平行坐标轴， ∴轴，轴， ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是． 【跟踪专练2】如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质和面积公式，平行四边形的性质和面积公式，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键． 根据题意可得D点的纵坐标是C点纵坐标的一半，，过D点作轴，交轴于点，用勾股定理求出长即可． 【详解】解：过D点作轴，交轴于点，如图： 与矩形周长相等，， ， 的面积是矩形面积的一半，， ， 由勾股定理得：， 点D的坐标为． 故选：A． 【跟踪专练3】在坐标平面中，O为坐标原点，轴于点轴于点C，连接． (1)如图1，求的长： (2)如图2，点D在线段上，连接，求点D的坐标： (3)如图3，在（2）的条件下，点E在线段上，连接，作线段的垂直平分线交于H、G，点F在上，连接，连接与的周长之比是，求F点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据轴，轴，可判断四边形是矩形，由点得，，由勾股定理可得； （2）设，则，求出，根据列方程，求出的值即可． （3）过点作于点，求出，过点作于点，得出，过点作于点，连接，得，，设，，，得，根据列式求出，得的周长为64，再用的代数式表示出的周长，由与的周长之比是列式为，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴； （2）解：设，则， 又， ∴， ∵， ∴， 展开得， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； （3）解：如图，过点作于点， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， ∵垂直平分， ∴， ∴， 过点作于点，则是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 过点作于点，连接，则四边形是矩形， ∴，， 设，，， ∴ ∴ ∵ ∴, ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴的周长； 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴的周长， ∵与的周长之比是， ∴， 整理得， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴点的坐标为． 题型10.矩形对角线综合 【典例】如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点若，，则线段的长为________． 【答案】5 【分析】根据三角形中位线定理得到，再根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到答案即可． 【详解】解：矩形，， ， 是矩形的对角线的中点，是边的中点， ，， ∵， ， 在中，， ． 【跟踪专练1】.如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，则的大小为___________． 【答案】/120度 【分析】根据矩形的性质易证是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【跟踪专练2】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 【跟踪专练3】如图，矩形的两条对角线、相交于点，，．求矩形边的长？ 【答案】 【分析】根据矩形的性质可以证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可知，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：， ， 四边形是矩形， ，， 是等边三角形， ， ， ， ． 题型11.矩形与角平分线综合 【典例】如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，直角三角形的性质． 由矩形的性质、平行线的性质和角平分线的定义得到，利用勾股定理求出，再利用直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：矩形， ，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 点为的中点， ． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形性质得出，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D．. 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的定义，关键是矩形性质的应用；根据矩形的性质可得，结合，可得的度数，又根据角平分线的定义可得的度数，则可求． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B ． 【跟踪专练3】已知：如图，在中，是的一条角平分线，是外角，的平分线，，垂足为点． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，交于点，请判断四边形的形状，并证明； (3)线段与有怎样的关系？请直接写出你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)平行四边形，理由见解析 (3)， 【分析】（1）根据三线合一可得，由外角的性质和角平分线的定义得，从而，由得，从而四边形为矩形． （2）由四边形为矩形，则，结合已知可得，从而四边形是平行四边形； （3）由四边形为矩形可得F是中点，由四边形是平行四边形可得，从而是的中位线，即可解答． 【详解】（1）证明：在中，是的角平分线， ，， ， 为的外角的平分线， ， ， ， ， 四边形为矩形； （2）证明：四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形为矩形，则． 又， ， 四边形是平行四边形； （3）解：，．理由： 四边形为矩形， ， ， 是的中位线， ∴，． 题型12.矩形性质与判定综合证明 【典例】如图，在中，E，F为对角线上的两点（点在点的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连接，下列条件能判定四边形为矩形的是___________． A．；B．；C．；D． 【答案】(1)见解析 (2)AC 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，从而得出结论； （2）根据矩形和菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】（1）证明：连接，与交于点， 四边形是平行四边形， 、， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知，四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形，故A符合题意； ， 平行四边形是菱形，故B不符合题意； ， 平行四边形是矩形，故C符合题意； ， 平行四边形是菱形，故D不符合题意； 综上所述，条件能判定四边形为矩形的是AC． 【跟踪专练1】如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到，，，由得到，进而得到，再通过证明得到，最后利用矩形的判定即可证明； （2）根据角平分线的定义得到，再利用平行线的性质得到，则有，由（1）中的结论可得，，设，在和利用勾股定理建立方程，解方程求出的值即可解答． 【详解】（1）证明：， ，，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． （2）解：， ，，， 平分， ， ， ， ， ， 由（1）中的结论得，，，四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：， 的长为． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)20 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，判定出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可判定； （2）利用平行的性质和角平分线的性质得出，然后根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵平分， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积． 题型13.矩形中点相关综合 【典例】如图，在矩形中，是的中点，是上一点，若，求证：是的中点． 【答案】见解析 【分析】由矩形的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，再由线段中点的定义可得． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴是的中点． 【跟踪专练1】在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，若，直接写出所有等于的一半的角． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，， 【分析】（1）连接，先得出，，再证明，由此即可得证； （2）过点作于点，先得出，再证明，则可得，，然后证出，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点作于点， 由（1）已证：， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵，点为的中点， ∴，（等腰三角形的三线合一）， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 综上，所有等于的一半的角是，，，． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线交于点，为中点，在射线上，且，连接．若，，则的长为多少？ 【答案】 【分析】根据矩形的性质，求出的长，证明四边形为矩形，进而得到即可. 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴. 【跟踪专练3】如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别为的中点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据矩形的性质得，又点，分别为，的中点，可证，通过“”证明，然后利用全等三角形对应边相等即可证得结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， 点分别为的中点， ， 在和中，， ， ． 题型14.矩形与全等三角形综合. 【典例】如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】首先根据题意得出矩形的面积，然后结合矩形的性质证明（），得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，E为的中点，点F为上一点，当时，则的长度为_______________． 【答案】 【分析】过点E作于点G，连接，根据矩形的性质得到，即、和都是直角三角形，证明，得到，证明，得到，设长为，根据勾股定理求出，即可求出的长度． 【详解】解：过点E作于点G，连接， ∵矩形， ∴， ∴、和都是直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设长为， 则， 在中，根据勾股定理得：，即， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在矩形ABCD中，的平分线DE交AB于点E，，于点H，连结AH并延长，交CB于点F，连结给出下列结论：；；的面积是矩形ABCD面积的；；其中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①证明是等腰直角三角形得，，由勾股定理得，再根据，即可对该结论进行判断； ②根据，得，进而得，由此即可对该结论进行判断； ③先求出，根据得，由此即可对该结论进行判断； ④证明是等腰直角三角形得，由勾股定理得，进而得，则，继而得，由此即可对该结论进行判断； ⑤根据，，即可依据“”判定和全等，由此即可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键 【详解】解：①四边形ABCD是矩形， ，， 的平分线DE交AB于点E， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ，故①正确； ②在中，，， ， ，故②正确； ③， ， 又， ， ，故③不正确； ④，于点H， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ，故④不正确， ⑤于点H，， ， ，， ， 在和中， ， ≌，故⑤正确， 综上所述：正确的结论有①②⑤． 故选：A 【跟踪专练3】已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．    (1)如图（1），若点在上，求证：； (2)如图（2），若，求的面积； (3)当为等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了矩形的折叠，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键； （1）根据折叠得出，根据已知证明得出，等量代换即可得证； （2）过点作于点，证明得出，同（1）可得，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分三种情况讨论，①当时，如图，过点作于点，则四边形是矩形，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，得出方程无解，故此情形不存在；②时，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，得出；③当时，过点作于点，同（1）可得，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折得， ∴，，， 又∵，， ∴， ∵点在上，即， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 同（1）可得， ∴， ∴； （3）解：当为等腰三角形时，分三种情况讨论， ①当时， ∴， 如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在上， 设，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 此方程无解，故此情形不存在； ②当时，设，则， ∵折叠， ∴， 在中，， 即， 解得：； ③当时，过点作于点， ∴， 同（1）可得， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07矩形性质与判定压轴专项训练 【温馨提示】14大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.矩形折叠求线段 题型02.矩形折叠求角度 题型03.矩形折叠算面积 题型04.矩形多结论判断题 题型05.矩形与最值问题 题型06.矩形动点构特殊平行四边形 题型07.矩形动点构特殊三角形 题型08.矩形与勾股定理综合计算 题型09.矩形与坐标系综合 题型10.矩形对角线综合 题型11.矩形与角平分线综合 题型12.矩形性质与判定综合证明 题型13.矩形中点相关综合 题型14.矩形与全等三角形综合 知识01:核心定义（判定 & 性质通用根基） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ▶ 双重属性：矩形是特殊平行四边形，兼具平行四边形所有性质 + 直角专属特性，是压轴题中 “平行四边形→矩形” 判定的核心依据。 知识点02:四大核心性质（压轴计算 / 证明必用） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形ABCD中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称+轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:三种判定方法（压轴证明 “证矩形” 三步走） 判定核心：先定平行四边形，再补矩形条件，或直接证直角，避免遗漏前提（压轴题高频设错点）： 知识点04:黄金推论（矩形衍生必考考点） 直角三角形斜边上的中线 = 斜边的一半（含逆定理) ▶ 几何语言：Rt△ABC 中，∠B=90°，D 为 AC 中点→BD=AC=AD=DC； ▶ 逆定理：三角形一边中线等于这边一半→该三角形为直角三角形 ▶ 压轴应用：矩形对角线交点连直角顶点、动点问题中找中点造中线，实现线段转化。 知识点05:压轴避坑指南（5 大高频易错点，直接规避失分） 1.混淆性质：矩形对角线仅相等平分，不垂直（垂直是正方形专属）； 2.判定缺条件：证矩形时，只证 “对角线相等” 或 “一个直角”，忽略平行四边形前提； 3.斜边中线逆用错：看到 “中线 = 边的一半” 就证直角，未确认中线对应斜边； 4.折叠题易错：未标注折叠后相等边 / 角，导致勾股定理列错方程； 5.角度漏算：忽略矩形对角线形成的等腰三角形特殊角（30°/60°/120°）。 知识点06:压轴解题心法（矩形综合题 “万能思路”） 适配折叠、动点、最值、坐标系综合题，按步骤解题不混乱： 1.见矩形，先标直角：所有角度 / 线段计算，先锁定 90°，利用互余、互补推导角度； 2.遇对角线，必连中点：活用 “对角线相等平分”+“斜边中线定理”，实现线段等量转化； 3.证矩形，分两步走：先证平行四边形（边 / 角 / 对角线），再补 1 个矩形判定条件； 4.求线段，勾股建模：矩形内线段计算，优先构造直角三角形，设未知数列方程（折叠 / 动点题核心）； 5.折动点，抓不变量：折叠找 “对称相等”，动点找 “定点 / 定长 / 定角”，结合将军饮马、等腰分类讨论。 题型01.矩形折叠求线段 【典例】矩形中，，，点E是上一点，翻折，得，点落在上，则的值是________． 【跟踪专练1】如图，将矩形沿直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，，则的长是______． 【跟踪专练2】将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型02.矩形折叠求角度 【典例】如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，对角线和相交于点，，是射线上一点，将沿翻折得，当时，的度数为_____ ． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，是的中线，将沿折叠，点的对应点为点，连接． (1)求证：； (2)求的长． 题型03.矩形折叠算面积. 【典例】如图，四边形是矩形，，把矩形沿直线折叠，点落在点处，、交于点，则与的面积之比是（） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【跟踪专练2】如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合，折痕，若长方形的长为8，宽为4，则的面积为________． 【跟踪专练3】已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上F点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的面积． 题型04.矩形多结论判断题 【典例】如图．在矩形中，将矩形沿折叠，点D落在点E处，且与交于F，则下列结论①②③④若，则，正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：；；；；，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练2】如图，矩形中，，对角线相交于O，过C点作交于E点，H为中点，连接交于G点，交的延长线于F点，下列4个结论：①；②；③；④．正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，点E、F分别是边、上的动点（点E不与A、B重合）且，若点G在五边形内，且满足，．则以下结论正确的有（    ）个． ①与一定互补；②点G到边，的距离一定相等；③点G到边，的距离不可能相等；④点G到边的距离的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型05.矩形与最值问题 【典例】如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______． 【跟踪专练1】.如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，分别为上的动点且为的中点，于点于点P，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D． 【跟踪专练3】【问题呈现】在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，矩形中，，，过对角线上一点，作的垂线，交边、于点、，求的长． (1)【问题解决】小明同学是这样思考的：点是的中点，过点作的垂线，交、于点、，发现四边形的形状是__________，得，请你结合小明的思路，求出的长是__________． (2)【类比分析】小鹏发现小明的思路就是平移线段，构成平行四边形，把替换，使问题得到解决，他突然想起思考多日的题目有了思路： 如图3，在六边形中，满足，，，．求证：；请你完成此题； (3)【学以致用】 李老师发现两名同学都运用了转化思想，使得问题得到了解决，为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师在【问题呈现】的基础上又提出新的问题，请你解答： 如图4，矩形中，，，点、分别是线段、上的动点，且与互相垂直，则的最小值为__________． 题型06.矩形动点构特殊平行四边形 【典例】如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或．正确的是______（填序号） 【跟踪专练1】如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________．      （1）                   （2） 【跟踪专练2】如图，矩形中，，点H在边上，为边上一个动点，连，以为一边在的右上方作菱形，使点G落在边上，连结． （1）如图1，当菱形为正方形时，的长为_________； （2）如图2，在点E的运动过程中，的面积S的取值范围为________． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度．设运动时间为，其中． (1)若，分别是，的中点，则四边形一定是____________（，相遇时除外）． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 题型07.矩形动点构特殊三角形 【典例】如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为____________． 【跟踪专练1】在矩形中，，，点在边上，且，是边上的一个动点，若是直角三角形，则的长为______． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，点在边上运动，连接，将沿折叠，点落在点处，当为等腰三角形时，的长为_____． 【跟踪专练3】如图，在梯形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动． (1)当t= s时，四边形的面积为； (2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； (3)当时，若，当t为何值时，是等腰三角形？ 题型08.矩形与勾股定理综合计算 【典例】如图，在矩形中，，垂直平分于点，则的长为（　　） A． B． C．4 D．2 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，矩形纸片，，，为边上一点．将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，取的中点，连接，则___________． 【跟踪专练3】在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 题型09.矩形与坐标系综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，，D是的中点，点P在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______． 【跟踪专练1】如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点的坐标为，点的坐标为．则矩形的面积是__________． 【跟踪专练2】如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】在坐标平面中，O为坐标原点，轴于点轴于点C，连接． (1)如图1，求的长： (2)如图2，点D在线段上，连接，求点D的坐标： (3)如图3，在（2）的条件下，点E在线段上，连接，作线段的垂直平分线交于H、G，点F在上，连接，连接与的周长之比是，求F点坐标． 题型10.矩形对角线综合 【典例】如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点若，，则线段的长为________． 【跟踪专练1】.如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，则的大小为___________． 【跟踪专练2】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，矩形的两条对角线、相交于点，，．求矩形边的长？ 题型11.矩形与角平分线综合 【典例】如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D．. 【跟踪专练3】已知：如图，在中，是的一条角平分线，是外角，的平分线，，垂足为点． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，交于点，请判断四边形的形状，并证明； (3)线段与有怎样的关系？请直接写出你的结论． 题型12.矩形性质与判定综合证明 【典例】如图，在中，E，F为对角线上的两点（点在点的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连接，下列条件能判定四边形为矩形的是___________． A．；B．；C．；D． 【跟踪专练1】如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 题型13.矩形中点相关综合 【典例】如图，在矩形中，是的中点，是上一点，若，求证：是的中点． 【跟踪专练1】在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，若，直接写出所有等于的一半的角． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线交于点，为中点，在射线上，且，连接．若，，则的长为多少？ 【跟踪专练3】如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别为的中点，连接，求证：． 题型14.矩形与全等三角形综合. 【典例】如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，E为的中点，点F为上一点，当时，则的长度为_______________． 【跟踪专练2】如图，在矩形ABCD中，的平分线DE交AB于点E，，于点H，连结AH并延长，交CB于点F，连结给出下列结论：；；的面积是矩形ABCD面积的；；其中正确的有（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．    (1)如图（1），若点在上，求证：； (2)如图（2），若，求的面积； (3)当为等腰三角形时，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $