7.1 两条直线的位置关系 课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学六年级下册

第七章 相交线与平行线 7.1 两条直线的位置关系 22251 第七章 相交线与平行线 7.1 课时1 对顶角、补角和余角 22251 1.了解两条直线的位置关系； 2.在具体情境中理解对顶角、补角、余角的概念； 3.掌握对顶角、补角、余角的性质，并能运用它们的性质进行角的运算.（重点、难点） 学习目标 22251 观察下列图片，你认为两条直线有怎样的位置关系？形成的角之间又有什么关系？ 新课引入 22251 观察下列图片，两条直线的位置关系有什么特点？ 两条直线有一个公共点 两条直线没有公共点 新知学习 22251 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线. 如图1中的两条直线是相交线；如图2中的两条直线是平行线. 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种. 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线. a b d c 图1 图2 22251 练习：下图直线m和n的关系是______；a和b是______；a和n是______. a b m n 平行 平行 相交 22251 2 1 观察上图，∠1和∠2的位置有什么关系？大小有何关系？与同伴进行交流. ∠1和∠2具有共同顶点，它们的两边互为反向延长线. 大小相等. 观察·交流 22251 O 如图，∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？ 3 2 1 A B C D 理由如下：因为直线AB与CD相交于O点， 所以∠1+∠3=180° ，∠3+∠2=180°， 所以∠1=∠2. ∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，∠1与∠2的大小相等. 你能说明理由吗？ 22251 对顶角的定义： 如图，直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角. 对顶角的性质：对顶角相等 3 4 2 1 A B C D 数学语言：因为直线AB与CD相交于O点， 所以∠1=∠2，∠3=∠4. O 22251 例1 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是( ) D 方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角． 22251 要点归纳：判断两个角是否为对顶角的方法： ①看它们有没有公共顶点， ②看这两个角的两边是否互为反向延长线. 例1 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是( ) D 22251 如图，一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了几个角？ (1)∠1与∠2有什么数量关系？ (2)∠3与∠4又有什么数量关系？ ∠1+∠2=90° ∠3+∠4=180° 你知道它们分别是关系吗？ 1 2 4 3 观察·思考 22251 补角的定义： 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角. 简称互补.其中一个角叫作另一个角的补角. 数学语言： 若∠3＋∠4＝180°，则∠3与∠4互为补角(或互补) 1 2 3 4 22251 余角的定义： 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角. 简称互余. 其中一个角叫作另一个角的余角. 数学语言： 若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互为余角(或互余) 1 2 3 4 22251 如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2. 将左图简化为右图，ON与DC相交所成的∠DON等于90°，且∠1=∠2. 思考·交流 22251 ∠3=∠4，因为∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2， 而∠1=∠2，所以 ∠3=∠4. (1)有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？ (2)∠3与∠4有什么关系？为什么？与同伴进行交流. 互为补角的角有∠1与∠AOC，∠2与∠BOD，∠DON与∠CON， 互为余角的角有∠1与∠3，∠2与∠4. ON与DC相交所成的∠DON等于90°，且∠1=∠2. 22251 同角(等角) 的补角相等 ，同角(或等角) 的余角相等 . “同角” 指同一个角，“等角”指度数相等的角. (3)∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？ ∠AOC=∠BOD，因为∠AOC=180°-∠1， ∠BOD=180°-∠2， 而∠1=∠2，所以 ∠AOC=∠BOD ON与DC相交所成的∠DON等于90°，且∠1=∠2. 22251 易错警示 1. 余角和补角是针对两个角而言，并且是相互的. 2. 互为余角、互为补角的两个角，只与它们的大小有关，与它们的位置无关. 3. 同一个角的补角比它的余角大90°. 4. 互余的两个角必须是两个锐角，而互补的两个角可以是一个锐角和一个钝角，也可以是两个直角. 22251 1. 在同一平面内，两条直线的位置关系有(　C　) A. 平行 B. 相交 C. 平行和相交 D. 平行和垂直 2. 下列说法一定正确的是(　C　) A. 两条不相交的线段叫做平行线 B. 在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C. 两条相交的直线有且只有一个公共点 D. 在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 C C 随堂练习 22251 3. 判断： (1) 如果两个角是对顶角，则这两个角相等. ( ) (2) 如果两个角相等，则这两个角是对顶角. ( ) (3) 如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等. ( ) (4) 如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角. ( ) 22251 5.因为∠1+∠2=90º，∠2+∠3=90º，所以∠1=______，理由是_______________. 6. 因为∠1+∠2=180º，∠2+∠3=180º，所以∠1=______，理由是_______________. ∠3 ∠3 同角的余角相等 同角的补角相等 4. 已知∠1和∠2为对顶角，∠1=35°，则∠2= °. 35 22251 7. 如图，直线 AE 与 CD 相交于点 O， OC 平分∠AOB. (1) 请找出图中∠3 的对顶角； 解：(1) ∠3 的对顶角是∠2. (2) 若∠3=25°，求∠1 的度数 . (2) 由对顶角相等，得∠2= ∠3=25°， 因为 OC 平分∠AOB，所以∠1= ∠2=25° . 22251 对顶角、补 角和余角 相交线及 平行线 对顶角 补角、余角 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线． 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线． 如图，∠1与∠2是对顶角， ∠3与∠4是对顶角. 对顶角性质：对顶角相等． 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角. 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角. 同角或等角的补角相等、同角或等角的余角相等 课堂小结 22251 第七章 相交线与平行线 7.1 课时2 垂直 22251 1.了解垂线的有关概念、性质及画法，了解点到直线的距离的概念； 2.能够运用垂线的有关性质进行运算，并解决实际问题.（重点、难点） 学习目标 22251 观察下列图片，你能找出其中相交的直线吗？ 相交 相交 你知道它们有什么特殊的位置关系吗？ 新课引入 22251 活动：在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b，当b的位置变化时，a、b所成的角α有什么变化. a与b所成的角为90° a b α b b 你知道形成90°角的两条直线是什么关系吗？ 新知学习 22251 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 如图：记作AB⊥CD或a⊥b. 点O是垂足. 表示方法：通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直，读作“垂直于”. a b D A B C O 注意：垂直是相交的一种特殊情况. 22251 (1)如图，O为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗？为什么？ A B O C (2)以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗?你知道她每一步的依据吗?与同伴进行交流. 垂直. 小颖想法正确. 由∠AOC=∠BOC， 且∠AOC+∠BOC=180°， 可得∠AOC=∠BOC=90°， 所以 OC⊥AB. 小颖依据平角等于180° 以及题干∠AOC=∠BOC， 即OC平分平角， 得出∠AOC=∠BOC=90° 则OC⊥AB. 思考·交流 22251 (3)如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗？为什么？与同伴进行交流 由 OC⊥AB， 可得∠AOC=90°，∠BOC=90°， 所以∠AOC=∠BOC. A B O C 22251 (1)你能用折叠的方式折出互相垂直的直线吗，试试看. 尝试·思考 22251 (2)如果只用直尺，你能画出下图方格纸上已知直线的垂线吗？你还能再画出两条互相垂直的直线吗？ 22251 探究 1.已知一条直线，你能用三角尺或量角器画出它的垂线吗？能画几条？ 结论：一条直线的垂线有无数条. l … 22251 2. 同一平面内过已知直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？ 1. 贴 2. 靠 3. 移 4. 画 结论：同一平面内过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 22251 3. 过已知直线外一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？ 1. 贴 2. 靠 3. 移 4. 画 结论：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 22251 O l 如图 ，点P是直线 l 外一点，PO⊥l，点 O是垂足. 点 A，B，C，D在直线 l 上，比较线段PO，PA，PB，PC，PD的长短，你发现了什么? 经过测量，线段PO的长度最短. P 探究 A B C D 22251 垂线段：由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫作垂线段. 垂线段最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂 线段的长度，叫作点到直线的距离. O 图中，垂线段PO的长度就是点 P 到直线 l 的距离. P l 垂线是一条直线，长度不可度量；而垂线段是一条线段，长度可度量. 22251 垂线的性质： 1. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 2. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 22251 1. 直线 l 外一点 A 与直线 l 上两点的连线线段长分别为5 cm，7 cm，则点 A 到直线 l 的距离是(　　) A. 不超过5cm B. 5cm C. 7cm D. 不少于7cm 2. 如图，∠CDB=90° ，线段AC、BC、CD中最短的是 ( ) A. AC B. BC C. CD D. 不能确定 A D A B C C 随堂练习 22251 3. 如图，已知直线AB⊥CD，则下列结论错．误．的是(　D　) A. ∠BOC＝90° B. ∠AOC＝∠BOC C. ∠AOD＝∠BOC D. AO＝BO D 22251 4. 如图，在河岸上有一点P，现要过点P建造跨河大 桥．为了节约建造成本，建造方案应该选择 (填“PA”“PB”“PC”或 “PD”)，其中蕴含的数学道理是 ⁠ ⁠． PC 直线外一点与直线上各点连接的所有线 段中，垂线段最短 22251 5. 如图，P是∠AOB的边OB上一点. (1)过点P画OB的垂线，交OA于点C； (2)过点P画OA的垂线，垂足为H. 分别比较PH与PC，PC与CO，PH与PO的大小，并说明理由. (2)如图所示. 解：(1)如图所示. C H O P A B PH＜PC，PC＜CO，PH＜PO. 理由：垂线段最短. 22251 解：因为AB，CD，EF相交于点 O， 所以∠AOC=∠BOD(对顶角相等)； 因为∠AOC=40°(已知)，所以∠AOC=∠BOD=40°； 因为OG⊥EF，所以∠EOG=90°； 即∠COE+∠GOB+∠BOD=90°； 因为∠GOB=20°， 所以∠COE=90°-∠GOB -∠BOD=90°- 20°- 40°=30°. 所以∠COE的度数为30°. 6.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥EF，∠GOB=20°，∠AOC=40°，求∠COE的度数. A C E F D B G O 22251 垂线 概念 性质 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 1.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 点到直线 的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 课堂小结 22251 $