第10章 二元一次方程组能力提升自测卷-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

第10章 二元一次方程组能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：①所有方程都是整式方程；②方程组总共只含两个未知数；③每个方程都是一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A. ，共含x、y两个未知数，都是一次整式方程，是二元一次方程组，不符合题意； B. ，共含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，符合题意； C. ，共含x、y两个未知数，都是一次整式方程，是二元一次方程组，不符合题意； D. ，共含x、y两个未知数，都是一次整式方程，系数为分数不改变次数，是二元一次方程组，不符合题意． 2．二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 由得， 解得：， 将代入②得， 解得：， 即方程组的解为． 3．对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将①中的表达式代入②式，去括号整理即可得到结果． 【详解】解：，将其代入②式， 得， 去括号得． 4．有三种不同重量的物体“”“”“”，若图1中左、右手中盘内物体的重量相同，则图2中左、右盘内物体的重量（   ） A．左盘内物体重 B．右盘内物体重 C．左右盘内物体重量相同 D．左盘内物体重量是右盘内物体重量的倍 【答案】B 【分析】 设物体“”“”“”的重量为x，y，z，根据题意得：图1中左盘内物体重量为，右盘内物体重量为，图2中左盘内物体重量为，右盘内物体重量为，再由图1中左、右手中盘内物体的重量相同，可得，再作差，即可． 【详解】 解：设物体“”“”“”的重量为x，y，z， 根据题意得：图1中左盘内物体重量为，右盘内物体重量为，图2中左盘内物体重量为，右盘内物体重量为， ∵图1中左、右手中盘内物体的重量相同， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即图2中右盘内物体重． 5．若二元一次方程组的解满足方程，则k为（   ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 【答案】B 【分析】本题利用加减消元法，将方程组两个方程相加凑出的含的表达式，再结合已知条件求解． 【详解】解：， 将得， 整理得， 两边同除以得， ， ， ． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当几个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】解：∵，，且 ∴，解得. 7．对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 即， 解得：． 故选：C． 8．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求阴影部分图形的总面积（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长为，宽为，则根据图形，列二元一次方程组，求得小长方形的长和宽，再根据阴影部分面积等于长方形减去5个小长方形的面积，即可求得答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得： ， 解得：， 阴影部分图形的总面积为：． 故选：D． 9．小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店的折扣是（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设A的标价为x元，B的标价为y元，根据第一次和第二次购买的总价建立方程组求出A、B的标价；然后设商店是打a折出售，由打折销售的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：设A的标价为x元，B的标价为y元， 由题意，得, 解得：， 所以，A的标价为90元，B的标价为120元． 设商店是打a折出售这两种商品，由题意得，， 解得：． 答：商店是打6折出售这两种商品的． 故选：B． 10．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 可得， 即， 故k的值为， 故选：A． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．方程是关于，的二元一次方程，则__________． 【答案】5 【分析】根据二元一次方程的定义，可得y的次数为1，x的系数不为0，据此列出方程与不等式，求解得到m的值． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ， 解得或， 解得， ． 12．若单项式与是同类项，则_____． 【答案】 【分析】根据同类项中的字母相同，相同字母的指数也相同，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：由题意，得，解得， ∴. 13．若实数a，b，c满足且，则_______． 【答案】60 【分析】已知两个含a，b，c的等式，利用消元法消去未知数，得到与的关系式，再变形即可求出所求代数式的值． 【详解】解：由题意得： 得：， ． 14．已知方程组的解是，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】令，，则方程组变形为，结合题意可得方程组的解是，从而得出，，由此计算即可得出结果． 【详解】解：令，，则方程组变形为， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴，， ∴，， ∴方程组的解为． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 16．（8分）已知苹果的单价为4元/，香蕉的单价为6元/，现购买苹果和香蕉，共需元． (1)列出关于、的二元一次方程． (2)若，则的值是多少？ (3)若购买苹果，则购买香蕉多少千克？ 【答案】(1)； (2)； (3)千克 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，核心是利用“总价=单价×数量”的数量关系建立方程，并通过代入已知值求解未知量． （1）根据苹果和香蕉的各自总价之和等于总花费，直接列出二元一次方程； （2）将已知的值代入（1）中的方程，通过一元一次方程的求解步骤算出的值； （3）将已知的值代入（1）中的方程，解一元一次方程得到的值，即为购买香蕉的重量． 【详解】（1）解：∵苹果的单价为4元/，购买苹果的总价为元， 香蕉的单价为6元/，购买香蕉的总价为元，总花费为元， ∴可列二元一次方程为； （2）解：将代入方程中，得， 解得； （3）解：将代入方程中，得， 解得， 答：购买香蕉千克． 17．（8分）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，求上坡路和平路各有多长． 【答案】上坡路  和平路 【分析】分析题意，由已知设出未知数，找出题目中所含的等量关系列出二元一次方程组即可解决． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡路有，平路有， 根据题意，得解得 答：上坡路和平路分别为和． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，找出题目中的等量关系列出方程组是解决此题的关键． 18．（8分）问界车型中有一款增程版车型，汽车先通过车身电池中电力续航（续航：汽车持续行驶），亏电（电池中电量使用完）后会通过汽油发动机发电来为电池充电，再用电力续航，满电满油情况下可续航1400千米，因此具有更强的续航里程．问界增程版电池容量为40度，可在纯电模式下行驶180千米．亏电后通过汽油发电续航，100千米耗油6.3升．2024年清明假期，小张从长沙出发，驾驶满电满油的问界到距离380千米的湘西游玩三日两晚再回到长沙．当行驶280千米时，电费与油费共82.4元；当行驶到达湘西时，电费与油费共132.8元． (1)求每度电的价格与每升油的价格； (2)与小张同行的小李驾驶某品牌纯燃油车（车身不带电池），每100千米耗油5升．根据景区规定：纯燃油车停车费25元/晚，而问界属新能源车，受国家扶持，景区免收停车费．请问小张这次出游（说明：往返长沙，中途不充电、不加油）比小李节省了多少费用？ 【答案】(1)每度电的价格为0.8元，每升油的价格为8元 (2)29.68元 【分析】（1）设每度电的价格为x元，每升油的价格为y元，根据当行驶280千米时，电费与油费共82.4元；当行驶到达湘西时，电费与油费共132.8元，列出方程组进行求解即可； （2）根据题意用油车需花费的总费用减去电车需花费的总费用进行求解即可. 【详解】（1）解：设每度电的价格为x元，每升油的价格为y元， 根据题意得， 解得； 答：每度电的价格为0.8元，每升油的价格为8元． （2）解：（元） 答：小张这次出游比小李节省了29.68元． 19．（8分）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，求m的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得方程组，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求和新定义可得，解方程组得到，根据相反数的定义得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，且，， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴ 得，解得， 把代入②得，解得， ∴关于x、y的方程组的解为， ∵关于x，y的方程组的解x，y互为相反数， ∴， ∴， ∴． 20．（8分）为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和1瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元． (1)求甲、乙两种消毒液的单价； (2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量． 【答案】(1)甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元 (2)分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个 【分析】（1）设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，由题中等量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设需要的空瓶个，的空瓶个，列二元一次方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元， 依题意得， 解得， 答：甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元； （2）解：设需要的空瓶个，的空瓶个， 依题意得， ， 均为非负整数， 则， 解得，即或或， 或或， 当时，总损耗为； 当时，总损耗为； 当时，总损耗为； ， 分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个． 21．（10分）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得解得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组则______，______； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ (3)对于实数x、y，定义新运算：解得，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么______． 【答案】(1)，6； (2)购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元； (3)． 【分析】（1）利用可求出的值；利用可求出的值； （2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，利用，即可求出购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本所需费用； （3）根据定义的新运算结合“，”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程，利用，即可求出的值． 【详解】（1）解： 由得：； 由得：． 故答案为：，6． （2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 依题意得： 由得：． 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． （3）依题意得： 由得：， 即：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）利用“整体思想”，求出和的值；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 二元一次方程组能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（  ） A． B． C． D． 2．二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（   ） A． B． C． D． 4．有三种不同重量的物体“”“”“”，若图1中左、右手中盘内物体的重量相同，则图2中左、右盘内物体的重量（   ） A．左盘内物体重 B．右盘内物体重 C．左右盘内物体重量相同D．左盘内物体重量是右盘内物体重量的倍 5．若二元一次方程组的解满足方程，则k为（   ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 8．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求阴影部分图形的总面积（    ） A． B． C． D． 9．小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店的折扣是（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 10．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．方程是关于，的二元一次方程，则__________． 12．若单项式与是同类项，则_____． 13．若实数a，b，c满足且，则_______． 14．已知方程组的解是，则方程组的解为______． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）解下列方程组． (1) (2) 16．（8分）已知苹果的单价为4元/，香蕉的单价为6元/，现购买苹果和香蕉，共需元． (1)列出关于、的二元一次方程． (2)若，则的值是多少？ (3)若购买苹果，则购买香蕉多少千克？ 17．（8分）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，求上坡路和平路各有多长． 18．（8分）问界车型中有一款增程版车型，汽车先通过车身电池中电力续航（续航：汽车持续行驶），亏电（电池中电量使用完）后会通过汽油发动机发电来为电池充电，再用电力续航，满电满油情况下可续航1400千米，因此具有更强的续航里程．问界增程版电池容量为40度，可在纯电模式下行驶180千米．亏电后通过汽油发电续航，100千米耗油6.3升．2024年清明假期，小张从长沙出发，驾驶满电满油的问界到距离380千米的湘西游玩三日两晚再回到长沙．当行驶280千米时，电费与油费共82.4元；当行驶到达湘西时，电费与油费共132.8元． (1)求每度电的价格与每升油的价格； (2)与小张同行的小李驾驶某品牌纯燃油车（车身不带电池），每100千米耗油5升．根据景区规定：纯燃油车停车费25元/晚，而问界属新能源车，受国家扶持，景区免收停车费．请问小张这次出游（说明：往返长沙，中途不充电、不加油）比小李节省了多少费用？ 19．（8分）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，求m的值； 20．（8分）为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和1瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元． (1)求甲、乙两种消毒液的单价； (2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量． 21．（10分）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得解得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组则______，______； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ (3)对于实数x、y，定义新运算：解得，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $