第五单元 数学广角——鸽巢问题 思维导图&知识梳理-【经纶学霸】2025-2026学年六年级下册数学知识梳理思维导图（人教版）

把m个“物体”放进 n个“抽屉”中(m>n, m、n都是正整数)，总有 一个“抽屉”至少放进 2个“物体”。 枚举法 数的分解法 假设法 实际问题转化为“抽屉 问题：确定“物体”和“抽 屉”→应用抽屉原理解决 问题。 逆向应用抽屉原理解决问 题，从最不利的情况考虑。 (kn+a）÷n=k…a (a<n,k、n、a均是正整数) 把(hn+a)个“物体”放 进n个“抽屉”中，总 有一个“抽屉”至少放进 (k+1)个“物体”。 第五单元 思维导图 原理 原理 把多于hn个“物体” 放进n个“抽屉”中 鸽巢 鸽巢 (k、n都是正整数)，总 原理 原理 有一个“抽屉”至少放 (一) (二) 进(k+)个“物体”。 证明 证明 数的分解法 假设法 反证法 数学广角 鸽巢问题 数的 例： 应用 分解 7=7+0+0,7=6+1+0, 7=5+2+0,7=5+1+1, 7=4+3+0,7=4+2+1, 应用 证明 7=3+3+1,7=3+2+2。 假设法 假设每个“抽屉”中只放k个“物 逆向 应用 体”，n个“抽屉”中共放了m个 “物体”，那么剩下的物体不管 怎么放，都能保证总有一个“抽 屉”中至少有(+1)个“物体”。 小结 反证法 假设每个“抽屉”中最多有k个 “物体”，那么n个“抽屉”中最 多能有n个“物体”，这与“物体” 总数多于相矛盾，所以假设不 成立，因此总有一个“抽屉”中 至少放进了(+1)个“物体”。 第五单元知识梳理>14 比较简单的 鸽巢问题 鸽巢问题的 一般形式 鸽巢问题 鸽巢问题的 应用 第五单元 知识梳理 单元知识清单 把多于玩个物体任意放进n个“鸽巢”中(n为非0自然数)，总有1个 “鸽巢”中至少放2个物体。 举例：我国的手机号码都是十一位数，一个手机号码中至少有( 个数字是相同的。 分析：组成号码的数字分别是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，共有10个，把 10个数字看作10个“鸽巢”，把十一位数的各个数位上的总共11个数 字看作11只“鸽”。11÷10=1（个）…1（个），1+1=2（个），所以至少 有2个数位上的数字是相同的。 答案：2 把多于个物体任意分放进n个“鸽巢”中(k、均是非0自然数)，总 有1个“鸽巢”中至少放进(+1)个物体。 解题思路： (1)先找到物体数和鸽巢数。 (2)用物体数除以鸽巢数：没有余数，商就是最少数；有余数，把商加 1即是最少数。 注意：不能用“商+余数”来计算最少数。 举例：15只小鸡住进4个笼子，不管怎样住，总有一个笼子至少住进了 ()只小鸡。 分析：把笼子看作“鸽巢”，一共有4个“鸽巢”；把15只小鸡看作15只 “鸽”。15÷4=3（只）3（只），3+1=4（只），所以总有一个笼子至少 住进了4只小鸡。 答案：4 利用鸽巢原理解决问题的方法 1.分析题意，把实际问题转化成“鸽巢问题”。 2.设计“鸽巢”的具体形式。 3.运用原理得出在某个“鸽巢”里至少分放的物体个数，解决问题。 注意：把什么看作“鸽巢”，把什么看作“分放的物品”。 举例：一个鱼缸里有很多条鱼，共有5个品种。至少要捞出多少条鱼， 才能保证有6条鱼的品种相同？ 分析：把5个品种看作5个“鸽巢”，从最不利的情祝分析，考虑到最坏 的情况，捞5×5=25（条）鱼，每种鱼出现5条。只要再捞出1条，就能 保证有6条鱼的品种相同。 答案：5×5+1=26（条） 答：至少捞出26条鱼，才能保证有6条鱼的品种相同。 第五单元知识梳理>15 尼易错分析 易错点1：余数不为1时，错用“商+余数”解决鸽巢问题 把100枝花插进12个花瓶里。他俩谁说得对？ 至少有12枝花要插 至少有9枝花要插 进同1个花瓶里。 进同1个花瓶里。 海海 乐乐 分析：从最不利的情祝考虑，要使得同一个花瓶中的花的数量最少，应当尽量平均分配这些花。因 此，用总枝数除以花瓶数，得到每个花瓶放几枝，还余几枝，余下的几枝也必须分配到花瓶中，必然 会使其中某个花瓶中花的数量至少增加1，因此答案是商+1。 答案：100÷12=8（枝）…4（枝） 8+1=9(枝) 答：乐乐说得对。 易错点2：不能辨别具体问题中的“物体”和“鸽巢”分别是什么 瓶子里有相同的红球和黄球若干个。明明从中摸出9个，其中至少有()个球一定同色。 分析：把红球和黄球看作2个“鸽巢”，9个球是物体个数。因为9÷2=4（个）…1（个），4+1 5(个)，所以至少有5个球一定同色。 答案：5 辰重难点发 ◆ 重点：用“鸽巢原理”的一般情况解决总有一个“鸽巢”里至少放进了多少个物体 体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球， 至多拿2个球，至少有()名同学所拿的球的种类一致。 分析：先找“鸽巢”。由题意可知，拿一个球有{足}，{排}，{篮}三种可能，拿两个一样球的有{足， 足}，{排，排}，{篮，篮}三种可能，同时拿两个不同球的也有{足，排}，{足，篮}，{排，篮}三种可 能。把9种配组方式看作9个“鸽巢”。因为50÷9=5（名）…5（名），5+1=6（名），所以至少有 6名同学所拿的球的种类一致。 答案：6 难点：运用“鸽巢原理”逆向思考，解决实际问题 一次考试有10道题，每道题的评分标雅是：回答完全正确得5分，回答不完全正确得3分：回答错 误或不回答得0分。至少有多少人参加考试，才能保证至少有3人得分相同？ 分析：最低得分为0分，最高得分为50分，分数在0~50分之间，由于1分、2分、4分、7分、47分、 49分都不可能出现，共有45种得分情祝，求至少有多少人参加考试，才能保证至少有3人得分相 同，最坏的打算是每种得分情祝都有2人，再有1人，才能保证至少有3人得分相同。 答案：最低得分为0分，最高得分为50分，分数在0~50分之间共有45种得分情祝，至少有45×2+ 1=91(人) 答：至少有91人参加考试，才能保证至少有3人得分相同。 第五单元知识梳理>16