微专题03 辅助线构建全等三角形的常用方法（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题03辅助线构建全等三角形的常用方法 题型01连接已知点 题型02作平行线 辅助线构建全等三角形的常用方法 题型03作垂线 题型04倍长中线法 题型05截长补短法 微点量戒 题型01连接已知点 啸方法 当题目中存在公共边或对称点时，通过连接已知点构造公共边或对称轴，形成全等三角形。 1.原理：利用公共边或对称性，通过SSS、SAS等判定条件证明全等。 2.步骤： (1)观察图形中是否存在未连接的己知点（如对称点或线段端点）： (2)连接这些点形成公共边或对称线段； (3)利用已知条件（如边相等、角相等）证明全等。 3.基本模型 如图，己知在四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC,求证：∠B=∠D y 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图，连接AC,则 B AB=AD 在△ABC与△ADC中， BC=DC AC=AC ∴.△ABC≌△ADC(SSS) ∴.∠B=∠D 1.(25-26八年级上河南商丘·月考)如图，五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=2, BC+DE=2,则五边形ABCDE的面积为() C D A.8 B.6 C.5 D.4 2.(25-26八年级上·北京大兴·期中)如图，在四边形ABCD中，AB=DC,AD=BC.请你写出一个正确 的结论： B 3.(25-26八年级上江苏南通期末)如图，AD,BC相交于点0，AD=BC,AC=BD.求证：∠A=∠B. D B 4.(23-24八年级上·浙江宁波·开学考试)如图所示，已知AB=DC,DB=AC,求证：∠ABD=∠DCA / 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(25-26八年级上·福建泉州期末)“燕尾脊”是闽南传统建筑最具代表性的屋顶形式，如图是小明设计的一 个“燕尾平面图案，己知AB=AC,BD=CD.求证：∠B=∠C D B4 6.(25-26八年级上安徽淮北期末)如图，在四边形ABCD中，AB=DC,∠A=∠D. 求证：∠ABC=∠DCB. B 题型02作平行线 嫦方法 通过构造平行线转移角度或长度，形成全等三角形，适用于等腰三角形或线段和差问题。 1.原理：平行线导致同位角、内错角相等，结合已知边角条件构造全等。 2.步骤： (1)过某点作己知边的平行线，交另一条边于新点。 (2)利用平行线性质转移角或边的关系。 (3)结合截长补短或等量代换证明全等。 3.基本模型 如图，已知在△ABC中，AB=AC,D为线段AB上一点，延长AC,在延长线上取一点F,使得 CF=BD,连接D,F,交BC于点E,求证DE=FE 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E 过点D作DGI AF,交BC于点G,则 0 B G .DGI AF ∴.∠DGB=∠ACB,∠CFE=∠GDE .AB=AC ∴.∠ABC=∠ACB ∴.∠DGB=∠DBG ..DB=DG .CF =BD ..DG=FC [∠FEC=∠DEG 在△CFE和△GDE中， ∠CFE=∠GDE CF=GD ∴.△CFE≌△GDE(AAS) :FE=DE 1.(25-26八年级上河北邢台·期末)如图，AD,CE分别是ABC,△ACD的中线，BF∥EC,且交AD的 延长线于点F,关于结论I,Ⅱ，下列判断正确的是() 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 结论I:BF=CE;结论IⅡ：若S4Br=18,则SAAEC=7 F A.I,Ⅱ均对B.I,Ⅱ均不对C.只有I对 D.只有Ⅱ对 2.(25-26八年级上江苏南通·期中)全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几 何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础. E B D D G 图1 图2 图3 【问题初探】 ()构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角 形中进而通过全等证明关系.比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角 形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”.如图1，在ABC中，已知∠B=∠C,可证 AB=AC,小聪同学的作法是作BC边上的高线AD.现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 (②)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三 角形中的重要结论.现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在ABC中，已知 ∠ABC=∠ACB,点E为边AC上一点，点F为边AB延长线上一点，连结EF与边BC交于点D,若点 D恰为线段EF中点，试探究线段CE与线段BF的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 (3)如图3，在ABC中，∠CAB=90°，AD,AE分别为ABC的角平分线和中线，过点E作EF⊥AD 与线段AD的延长线交于点G,与边AB的延长线交于点F,己知ABC的面积是30，线段AF的长为8， 求BF的长， 3.(24-25八年级上河北唐山期中)已知直线m,n相交于点B,点A,C分别为直线m,n上的点， AB=BC,且∠ABC=60°，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 终满足DE=CE.如图当点E在线段AB上运动，点D在线段CB的延长线上时，试确定线段BD与AE 的数量关系，并说明理由. m A D C n 4.(23-24七年级下陕西铜川期末)如图，在ABC中，D是AC边的中点，点E在BD上，点F在BD的 延长线上，连接AE,CF,且AE‖CF. 【初步探究】(1)试说明：ADE≌CDF; 【深入探完】2)若8P=15,DE-号，延长BF至点M,连接CM,当FM为多少时，AB与CM平行g F D E B 5.(24-25八年级上山东德州月考)在ABC中，BC、AC边上的高AD、BE交于点F,DF=DC. B D 图1 图2 (1)如图1，求证：BD=AD; (②)如图2，延长BA到点G,过点G作BE的垂线交BE的延长线于点H,连接CG,已知GH=BE,M 为BH上一点，连接GM,有MH=CE,请判断GM与AD是否平行，并说明理由 6.(2026陕西西安：一模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E为对角线BD上一点， ∠ABC=∠CED,且AB=CE.求证：BD=BC. / 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型03作垂线 妹方法 利用垂直关系构造直角三角形，通过角平分线性质证明全等 1.原理：角平分线上的点到两边距离相等；垂直线段可形成全等的直角三角形。 2.步骤： (1)从角平分线上的点向两边作垂线，形成相等距离。 (2)结合已知边角条件，利用SAS证明两个直角三角形全等。 3.基本模型 如图，已知OC平分∠AOB,为点D射线OC上一点，过点D作DE⊥OA,垂足为E,DE=3,OF=3 ,求SAODF A D B 过点D分别作DG⊥OB,垂足为G 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A E D 0 B :OC平分LAOB,DE⊥OA,DG⊥OB .DE=DG=3 5m-30r-DG-0r.DE=33-} 1.(25-26八年级上·江西赣州·月考)如图，有一个简易平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC,将点A放 在角的顶点处，AB和AD沿着角的两边张开，沿对角线AC画线AE,AE就是∠PAQ的平分线.这个 平分角的仪器的制作原理是() D E B A.AAS B.SAS C.ASA D.SSS 2.(24-25七年级上·山东淄博·期中)如图，点P在∠A0B的内部，点C,D分别在OA,OB上，且 OC=0D,添加下列一个条件后，不能判定△0PC≌△0PD的是() A D B A.PC=PD B.∠0CP=∠0DP=90 C.OP平分∠A0B D.PO平分LCPD 3.(25-26八年级上·重庆开学考试)如图，在ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,D是线段BC上一点， 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 连接AD,过点A作AE⊥AD,且AE=AD,连接EC交AB于点F,若BD=3.3,BF=2.5,则AB的 长度为() D B A.8.3 B.8.5 C.8.7 D.9.1 4.(22-23八年级上·重庆綦江·期末)如图所示，在ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC,P为线段 BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是() D A.118 B.125° C.136° D.124° 5.(25-26七年级下·重庆·月考)在学习了三角形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与 思考.如图所示，在ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于点D. B (I)用直尺和圆规，在线段CD的上方作∠ADE,使得∠ADE=∠ADB,与AC交于点E(不写作法和结 论，保留作图痕迹)： (2)在(1)的条件下，试说明：DE1AC,并按下列思路完成填空. 证明：：AD平分∠BAC, .∠1=∠2( ① 在△AED和△ABD中 ∠1=∠2 ② ③ 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △AED≌△4BD(ASA .∠AED=∠B( ④ ∠B=90°， .∠AED=90° DE⊥AC( ⑤ 6.(2022八年级上·全国.专题练习)己知在∠M0N中，A,B分别为0N,0M上一点， M B (1)如图，若CD⊥0B于D,0C平分∠M0N,0A+0B=20D,求证：∠M0N+∠ACB=180°； (2)若CD⊥0B于D,0C平分LM0N,LM0N+LACB=180°，求证：OA+OB=20D. 题型04倍长中线法 煤方法 “倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，则对应角对应边都对 应相等。这一方法常用于构造全等三角形。倍长中线法多用于构造全等三角形，从而证明边与边之间的关 系（通常用“SAS”证明） 【基本模型】如图，在△ABC中，AC=5,BC=3,求中线CD的取值范围。 延长CD至点E,使得DE=CD,连接BC / 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AD为中线 .AD =BD 在△ADC和△BDE中 DC=DE ∠ADC=∠BDE AD=BD .△ADC≌△BDE(SAS) .AC=BE .BE-BC<CE<BE+BC ∴.AC-BC<2CD<AC+BC .5-3<2CD<5+3 即1<CD<4 故中线CD的取值范围为1<CD<4 1.(25-26八年级上江苏镇江·月考)已知ABC的AB边长为4，AC边长为8，则BC边上的中线AD的长 度的取值范围() A.1<AD<5B.2<AD<6 C.3<AD<7 D.4<AD<8 2.(25-26八年级上江西宜春·期末)若ABC的边a,b满足a2-12a+b2-20b+136=0,则第三边C的中 线长m的取值范围为 3.(25-26八年级上河南三门峡期末)如图，在ABC中，AD是ABC的中线，AB=12,AD=8,则 AC的取值范围是· 4.(25-26八年级上·江西南昌期末)如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，AC=4,AD=5,AB的 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 长度为偶数，则AB的所有可能值为 B D 5.(25-26八年级上山东济宁期中)在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法. 图(1) 图(2) (I)如图1，AD是ABC的中线，AB=8,AC=5,求AD的取值范围.我们可以延长AD到点E,使 DE=AD,连接BE,根据SAS可证△ADC≌△EDB,所以BE=AC.接下来，在△ABE中利用三角形 的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是： ； (2)如图2，AB=AE,AC=AF,LBAE=LCAF=90°，点D为BC的中点，连接AD,求证： EF=2AD. 6.(25-26八年级上广东广州期中)【探究】 (1)如图1，AD是ABC的中线，且AB>AC,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,可证得 ADC≌EDB,其中判定两个三角形全等的依据为 A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形.把分散的已知条件 和所求证的结论转化到同一个三角形中，如图2，EP是△DEF的中线，若EF=8,DE=6,求出EP的 取值范围， 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3,0A=0B,OC=OD,∠A0B+LC0D=180°，连接AC、BD,E是AC 的中点，证明：0E-号8D, 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B E 图1 图2 图3 题型05截长补短法 妹方法 【子变式1】截长法：在较长的线段上截取一段，使其等于已知的较短线段，再证明剩余部分等于另一条线 段。 【基本模型】如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC。求证：AC+CD=AB D 在线段AB上截取AE=AC,连接DE. ,AD平分∠BAC .∠EAD=∠CAD 在△AED和△ACD中， 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD=AD ∠EAD=∠CAD AE=AC ∴.△AED≌△ACD(SAS) .∠AED=∠ACD,ED=CD ~∠AED=∠B+∠EDB,∠ACD=2∠B ·∠EBD=∠EDB(等量代换) :BE=DE(等腰三角形的性质：等角对等腰) ..BE CD AB=AE+BE ..AB=AC+CD 【子变式2】补短法：延长较短线段，使其长度等于另一条线段，或将两条短线段拼接为一条长线段。 【基本模型】如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，求证：EF=DF+BE B 反向延长线段BC,在其延长线上截取BG=DF,连接AG。 ,四边形ABCD为正方形ABCD .AD=AB,∠ABG=∠ADF=∠BAD=90° 在△ABG和△ADF中， 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB=AD ∠ABG=∠ADF BG=DF ∴.△ABG≌△ADF(SAS) .∠GAB=∠FAD,AG=AF ,∠EAF=45 .∠BAE+∠FAD=45 .∠GAB+∠BAE=∠GAE=45°（等量代换） .∠GAE=∠FAE=45 在△AEG和△AEF中， AE=AE ∠EAG=∠EAF AG=AF ∴.△AEG≌△AEF(SAS) ∴.GE=EF .GE=GB+BE=DF+BE .:EF DF BE 1.(21-22八年级上辽宁营口·期末)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,∠C=2∠CDB,AB=12,CD= 3,则△ABC的周长为() C D A.21 B.24 C.27 D.30 2.(22-23八年级上·重庆江北期末)如图，在ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相 交于点O,BD交AC于点D,CE交AB于点E,若已知ABC周长为20，BC=7,AE:AD=5:4,则 AE长为() 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B B.0 c号 D.4 3.(25-26八年级上陕西西安期末)【阅读理解】 “截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活 运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题， (1)如图1，ABC是等边三角形，点D是边AC右侧一点，LADC=120°，则线段BD、AD、CD之间 的数量关系为 ； 【迁移应用】 (2)如图2，ABC为等边三角形，点D在边AC上，AE∥BC,且∠BDE=60°，试探究线段 AB、AE、AD之间的数量关系，并说明理由； 4.(25-26八年级上·陕西延安期末)“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以 根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问 题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习，如 图，在四边形ABCD中，AB=AD,E,F分别是直线BC,CD上的点， B F D 图① 图② )图O.若L4BC=∠4DC=90,E,F分别在线段BC,CD上，且满足∠EF-号BD,试探究 线段EF,BE,DF之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长CB到点G,使BG=DF, 连接AG，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若LABC+∠ADC=180°，点E在CB的延长线上，且BE>CD,点F在CD的延长线上，若 EF=BE+DF,请探究∠EAF与∠BAD之间的数量关系，并说明理由. 5.(25-26八年级上湖北省直辖县级单位期末)(1)如图1，在四边形ABCD中， AB=AD,LB=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD,试猜想图中∠BAD与 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠EAF的数量关系.小王同学解决此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明 △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,试探究∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由： (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在 CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请写出∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明 理由. G D D A E E 图1 图2 图3 6.(25-26八年级上·广东潮州期中)如图，AD∥BC,点E在线段AB上，DE、CE分别是∠ADC、 ∠BCD的角平分线， (1)线段DE与CE有怎样的位置关系？请说明理由. (2)若AD=3,BC=2,求CD的长. 微专题03 辅助线构建全等三角形的常用方法 题型01 连接已知点 当题目中存在公共边或对称点时，通过连接已知点构造公共边或对称轴，形成全等三角形。 1. 原理：利用公共边或对称性，通过SSS、SAS等判定条件证明全等。 2. 步骤： （1）观察图形中是否存在未连接的已知点（如对称点或线段端点）； （2）连接这些点形成公共边或对称线段； （3）利用已知条件（如边相等、角相等）证明全等。 3. 基本模型 如图，已知在四边形中，，求证：. 如图，连接，则 在与中， ∴（SSS） ∴ 1．（25-26八年级上·河南商丘·月考）如图，五边形中，，，，则五边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形的面积转化为两个的面积是解决问题的关键． 可延长至F，使，利用可证明，连接，再利用证明，可将五边形的面积转化为两个的面积，进而求解即可． 【详解】解：延长至F，使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴五边形的面积是：． 故选D． 2．（25-26八年级上·北京大兴·期中）如图，在四边形中，，．请你写出一个正确的结论：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形． 连接，根据题意可得，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接，如下图： 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意可证明，继而利用全等性质即可得到本题答案． 【详解】证明：如图，连接， 在与中，， ， ． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知，．求证： 【答案】见解析 【详解】证明：法一： 连接 在和中 法二： 连接 在和中 ， 即. 法三： 连接，设交于点 在和中 在和中 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）“燕尾脊”是闽南传统建筑最具代表性的屋顶形式，如图是小明设计的一个“燕尾”平面图案，已知求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 连接，由证得，根据全等三角形对应角相等可得结论． 【详解】证明：连接， 在和中， （） ． 6．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在四边形中，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，连接、，证明得出，进而证明，即可得证． 【详解】证明：如图，连接、． 在和中 在和中 题型02 作平行线 通过构造平行线转移角度或长度，形成全等三角形，适用于等腰三角形或线段和差问题。 1. 原理：平行线导致同位角、内错角相等，结合已知边角条件构造全等。 2. 步骤： （1）过某点作已知边的平行线，交另一条边于新点。 （2）利用平行线性质转移角或边的关系。 （3）结合截长补短或等量代换证明全等。 3. 基本模型 如图，已知在中，，D为线段上一点，延长，在延长线上取一点F，使得，连接，交于点E，求证. 过点D作，交于点G，则 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴（AAS） ∴ 1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，分别是，的中线，，且交的延长线于点，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：；结论Ⅱ：若，则 A．Ⅰ，Ⅱ均对 B．Ⅰ，Ⅱ均不对 C．只有Ⅰ对 D．只有Ⅱ对 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，反证法，解题的关键是掌握以上性质． Ⅰ根据三角形中线得出相等的边，根据平行线的性质得出相等的角，然后根据证明三角形全等即可； Ⅱ根据三角形中线的性质以及全等三角形的性质，得出相关三角形的面积，与进行比较即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故结论Ⅰ正确； ∵是的中线，是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 故结论Ⅱ错误； 综上，只有Ⅰ对， 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 (1)构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 (2)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 (3)如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边、三角形面积公式、平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，即可得证； （2）过作交于，利用中点证，得到，最后通过等线段转化即可得证； （3）参考（2）的方法构造全等，设，则，，由的面积是30，即可求出的值，即为的长． 【详解】（1）证明：过作于， ． ，， ． ． （2）解：， 理由：如图，过作交于， ，，． ∵点恰为线段中点， ． ． ． ，， ． ． ． （3）解：如图，延长交于点，过作， 是角平分线， ． ， ． ， ． ，． ， ，． 是中线， ． ． ， ． ． 设，则，， ． ， 整理得：， ． ， ． ． 3．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，，且，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足．如图当点E在线段上运动，点D在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点作交于点，可得是等边三角形，得，结合利用全等三角形判定定理证出，得出，最后通过等量代换即可完成证明． 【详解】解：，理由如下： 过点作交于点， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，   ， ， ， ，            在和中， ， ， ， ， ． 4．（23-24七年级下·陕西铜川·期末）如图，在中，是边的中点，点在上，点在的延长线上，连接，，且． 【初步探究】（1）试说明：； 【深入探究】（2）若，，延长至点，连接，当为多少时，与平行？ 【答案】（1）证明见解析；（2）当时，与平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，，结合即可证明； （2）由得出，，，再证明得出，即可得解． 【详解】（1）证明：是边的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∴； （2）解：当时，， 由（1）得， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·山东德州·月考）在中，、边上的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，已知，为上一点，连接，有，请判断与是否平行，并说明理由 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据垂直的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质得，运用“角角边”证明即可求证； （2）根据题意，运用“边角边”可证，可得，根据可得，则，结合“同位角相等，两直线平行”即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2），理由如下， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查垂直的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 6．（2026·陕西西安·一模）如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】利用平行线的性质求得，利用三角形的外角性质求得，再由“”可证，从而可得． 【详解】解：证明：， ， ∵，，， ∴， 在和中， ， ， ． 题型03 作垂线 利用垂直关系构造直角三角形，通过角平分线性质证明全等 1. 原理：角平分线上的点到两边距离相等；垂直线段可形成全等的直角三角形。 2. 步骤： （1）从角平分线上的点向两边作垂线，形成相等距离。 （2）结合已知边角条件，利用SAS证明两个直角三角形全等。 3. 基本模型 如图，已知平分，为点D射线上一点，过点D作，垂足为E，，求. 过点D分别作，垂足为G ∵平分，， ∴ ∴. 1．（25-26八年级上·江西赣州·月考）如图，有一个简易平分角的仪器，其中，将点放在角的顶点处，和沿着角的两边张开，沿对角线画线，就是的平分线．这个平分角的仪器的制作原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键；由题意易证，则有，进而问题可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，即是的平分线； 故选：D． 2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，点P在的内部，点C，D分别在OA，OB上，且，添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C．平分 D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定定理逐项判断即可得到结论． 【详解】A.，可根据，判定，故A不符合题意； B.，可根据判定，故B不符合题意 C.平分，可根据判定，故C不符合题意； D.平分，没有，不能判定，故D符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8．3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． 5．（25-26七年级下·重庆·月考）在学习了三角形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，在中，平分交于点． (1)用直尺和圆规，在线段的上方作，使得，与交于点（不写作法和结论，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，试说明：，并按下列思路完成填空． 证明：平分， （___________①___________）． 在和中 ． （___________④___________）． ， ． （___________⑤___________）． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定方法和性质，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：平分， （角平分线的定义）． 在和中 ． （全等三角形的对应角相等）． ， ． （垂直的定义）． 6．（2022八年级上·全国·专题练习）已知在中，A，B分别为上一点． (1)如图，若于D，平分求证：； (2)若于D，平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）首先证明得到，再根据可以证明，即可证明得，这样，因为，故问题得到证明． （2）由得到，故，再利用全等三角形证明即可． 【详解】（1）作垂足为H， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ， 在和中， ， ∴ ∴ ∴ 在四边形中， ∵ ∴ ∴ （2）作垂足为H， ∵平分 ∴ 在和中， ， ∴ ∴ 在四边形中，∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等角的补角相等等知识，利用角平分线添加辅助线是常用的手段． 题型04 倍长中线法 “倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。这一方法常用于构造全等三角形。倍长中线法多用于构造全等三角形，从而证明边与边之间的关系（通常用“SAS”证明） 【基本模型】如图，在中，，求中线的取值范围。 延长至点，使得，连接 ∵为中线 ∴ 在和中 ∴（SAS） ∴ ∵ ∴ ∴ 即 故中线的取值范围为 1．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，延长到E，使，再连接，再证明可得，然后再根据可得答案． 【详解】解：延长到点E，使得，连接，则， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江西宜春·期末）若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 【答案】 【分析】先倍长中线证明三角形全等，再将左边配方，利用非负性求得、的值，再利用三边关系求出的范围． 【详解】解：如图，，，，为边上的中线，，延长到，使得，连接，则， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 即． 【点睛】注意通过倍长中线证明全等；两个偶次方的和等于0，只有都等于0． 3．（25-26八年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． 延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 【答案】8，10，12 【分析】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长至，使，连接，证明，得到，在中根据三角形的三边关系求出的取值范围，从而得到的取值范围，即可解答． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 为边上的中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ∴． 为偶数， ∴，10，12． 故答案为：8，10，12 5．（25-26八年级上·山东济宁·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由可得，再根据三角形三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，则，同理可证，即得，，再证明，得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长至，使，连接，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】（1）先利用三角形的中线的意义得出，再根据对顶角的性质得出，从而可证明； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得出，再利用三角形三边关系求解即可； （3）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是可得． 【详解】（1）解：因为是的中线， 所以， 延长至点E， 所以， 又， 所以， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图， 则， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)，确定第三边的取值范围，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 题型05 截长补短法 【子变式1】截长法：在较长的线段上截取一段，使其等于已知的较短线段，再证明剩余部分等于另一条线段。 【基本模型】如图，在中，平分。求证：. 在线段上截取，连接. ∵平分 ∴ 在和中， ∴（SAS） ∴ ∵ ∴（等量代换） ∴（等腰三角形的性质：等角对等腰） ∴ ∵ ∴ 【子变式2】补短法：延长较短线段，使其长度等于另一条线段，或将两条短线段拼接为一条长线段。 【基本模型】如图，在正方形中，，求证：. 反向延长线段，在其延长线上截取，连接。 ∵四边形为正方形 ∴ 在和中， ∴（SAS） ∴ ∵ ∴ ∴（等量代换） ∴ 在和中， ∴（SAS） ∴ ∵ ∴. 1．（21-22八年级上·辽宁营口·期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（　　） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】C 【分析】根据题意在AB上截取BE=BC，由“SAS”可证△CBD≌△EBD，可得∠CDB=∠BDE，∠C=∠DEB，可证∠ADE=∠AED，可得AD=AE，进而即可求解． 【详解】解：如图，在AB上截取BE＝BC，连接DE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△CBD和△EBD中， ， ∴△CBD≌△EBD（SAS）， ∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB， ∵∠C＝2∠CDB， ∴∠CDE＝∠DEB， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴△ABC的周长＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）【阅读理解】 “截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． （1）如图1，是等边三角形，点是边右侧一点，，则线段之间的数量关系为__________； 【迁移应用】 （2）如图2，为等边三角形，点在边上，，且．试探究线段之间的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）（2），理由见解析（3）， 【分析】（1）延长到点E，使，连接，可得是等边三角形，得，证明，得，即得； （2）在上取点F，使，连接，证明是等边三角形，得，证明，，，得，，可得； 【详解】解：（1）如图，延长到点E，使，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）．理由： 如图，在上取点F，使，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解； (2)，理由见详解 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 5．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，即； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； 即； （3）；理由如下： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 6．（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $