题号猜题06 湖南长沙中考数学14+15图形的性质（填空题）（湖南长沙专用） 2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜题06 湖南长沙中考数学14+15图形的性质 （填空题） 考点1 三角形中位线定理求线段长度 1．（2026·湖南株洲·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，直线分别与，交于点M，N．若，则的长为________． 【答案】 2 【分析】根据尺规作图的方法可知直线是线段的垂直平分线，从而得到为的中点且，结合可证，进而利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ∴, ∴， ∵， ， ， ． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在矩形中，点P在边上运动（可与端点重合），连接，E、F分别为、的中点，连接，若，则线段的最小值为__________． 【答案】5 【分析】此题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、垂线段最短等知识，得到当P、D重合时，最小，有最小值，是解题的关键．连接，由是的中位线得到，当最小时，有最小值，当P、D重合时，最小，有最小值，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵E、F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，有最小值， ∵当P、D重合时，最小，有最小值， ∴， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与交于点，点分别为的中点，连接．若，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据三角形的中位线定理以及得到，则，那么，再根据三角形中位线定理得到的线段关系以及，即可求解． 【详解】解：点分别为的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若的周长为，则的周长为__________．    【答案】8 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，正确得出是的中位线是解题关键． 直接利用平行四边形的性质得出，再结合已知得出是的中位线，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴是的中点， ， 又 ∵点是的中点， ∴是的中位线， ， ∵的周长， ∴的周长． 故答案是：8． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为 ______． 【答案】 【分析】本题考查了中位线定理，菱形的性质，由是的中位线得，又四边形是菱形，则，从而求出周长，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：． 考点2 圆周角定理 1．（2026·湖南长沙·一模）如图，点、、是半径为的上的三个点，若，则弦的长等于_________． 【答案】 【分析】过点作于点，先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，，然后解直角三角形可得的长，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ，， ，， 圆的半径为， ， ， ． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，弦、相交于点，，，则的大小为______（度）． 【答案】30 【详解】欲求的度数，需求出同弧所对的圆周角的度数；中，已知了及外角的度数，可由三角形的外角性质求出的度数，由此得解．本题主要考查了三角形的外角性质和圆周角，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 【解答】解：∵是的外角， ∴； ∵，， ∴； ∴． 故答案为：30． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的大小为 _______ 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理得到，求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，分别与相切于两点，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质定理、四边形内角和以及圆周角定理，连接，根据切线的性质定理可知，利用内角和为直接计算即可． 【详解】解：连接， 分别与相切于两点， ， ， 是四边形， 内角和为， ， ， 分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 故答案为：． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，则的度数为______． 【答案】/90度 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理直接计算即可，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 考点4正多边形与圆 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（不与点重合），则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 是正五边形， ， ， 故答案为：． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则_______． 【答案】8 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，根据，，得出，再结合，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则， ∵是的内接正边形的一边， ∴， 故答案为：8． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______ 【答案】九/9 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提． 根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，雪花是一种美丽的结晶体，其形状我们可近似看作一个正六边形（如图所示），连接，若是边上的中点，连接，则的值为 ____________________． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理进行计算即可，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理是正确解答的关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接，由对称性可知，所在的直线是正六边形的对称轴，设圆心为，连接， ∵六边形是正六边形，点是中心， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， 在中，设，则， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，某种螺帽的横截面为正六边形，边长，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b长度为_______． 【答案】 【分析】设正六边形的中心是O，其一边是，连接、、、，交于M，根据 ，，推出和都是等边三角形，推出四边形是菱形，得到，，根据，得到，即可得出结论． 【详解】设正六边形的中心是O，其一边是，连接、、、，交于M，如图所示： ∵，， ∴ 是等边三角形， ∴； 同理，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正六边形，正三角形，菱形．添加辅助线，熟练掌握正六边形性质，正三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正弦定义，等腰三角形性质，是解此题的关键． 考点5弧长与扇形面积计算 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则点扫过的弧长为_____．（结果保留） 【答案】/ 【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得，点扫过的弧长为． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交于点，且点是弧的中点，若，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，勾股定理及等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 连接，，证明，设，则，从而可表示出、，另一方面，由此建立方程求出的值，利用阴影部分的面积△的面积扇形的面积即可求解． 【详解】解：连接，，如图． ，， ， ， ， ， 是弧的中点， ． ． ， ， 是等腰直角三角形． 设，则 ， ， ， 解得 阴影部分的面积的面积扇形的面积． 故答案为：． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为________ ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形全等的性质、扇形的面积，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据旋转的性质可得，，，再根据全等三角形的性质可得，然后利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，， ∴，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积等于， 故答案为：． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，的半径为，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为_____（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，扇形面积等知识点，连接，由题意得：，推出是等边三角形，，，进而得，，证，推出即可求解； 【详解】解：连接，交于，如图所示： 由题意得：， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即平分； ∴，， ∵， ∴； ∴； ∴， 故答案为： 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接，过点D作于点E，证明是等边三角形，可得，，从而得到，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故答案为：． 考点2 圆周角定理 1．（2026·湖南长沙·二模）如果一个正多边形的内角和等于外角和的4倍，则这个正多边形每个外角的度数为______°． 【答案】36 【分析】根据任意多边形外角和为，结合题目条件求出正多边形的边数，再计算每个外角的度数即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 解得， 因此这个正多边形每个外角的度数为： ． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如果一个n边形的内角和比外角和多，那么n的值是______． 【答案】9 【分析】根据多边形内角和公式，任意多边形的外角和为，结合题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：边形的内角和为，任意多边形的外角和为， 根据题意列方程得： 解得． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为___________． 【答案】 【分析】根据多边形的外角和是，边形的内角和为，结合已知的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 依题意得 ， 解得， 即这个多边形的边数是． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 考点6平行四边形性质与计算 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）在中，，为的中点，若，的面积为8.5，则_____． 【答案】9 【分析】根据平行四边形的性质及已知条件证明和是等腰三角形，进而证得，利用平行四边形面积求出的面积，从而得到的值，结合勾股定理，利用完全平方公式即可求出的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵平行四边形的面积为8.5， ∴， ∴，即， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，则的长为__________． 【答案】/ 【分析】先由菱形性质可得对角线与交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，进而由菱形对角线求出边长，由解三角形即可求出，． 【详解】解：连接，如图，如图， ∵菱形中，与互相垂直平分， 又∵点是的中点， ∴A、O、C三点在同一直线上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·湖南长沙·一模）如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积计算，归纳总结．熟练掌握勾股定理，正方形的面积计算和归纳总结出正方形边长的规律是解题的关键． 通过依次计算前几个正方形的边长，找出边长的规律，进而得到第个正方形的边长，再根据正方形面积公式求出面积即可． 【详解】解：， ， ， ， 通过上述分析，可以总结出第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 个正方形的面积为， 故答案为：． 4．（2025·湖南长沙·三模）如图，矩形的对角线交于点，点在边上，且，若，，则的周长是_____． 【答案】7 【分析】本题考查矩形的性质，中垂线的性质，勾股定理，矩形的性质，结合勾股定理求出的长，易得垂直平分，进而得到，推出的周长等于，即可得出结果．熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长； 故答案为：7． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在菱形中，点为边的中点，以点为圆心、长为半径画圆弧交边于点．若，，则劣弧的长为______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，弧长公式，先根据菱形得到，是等边三角形，即可得到，过点作于点，，进而得到点和点重合，进而求出，利用弧长公式计算解题． 【详解】解：连接， ∵是菱形， ∴，，， ∴，都是等边三角形， 又∵点为边的中点， ∴， 过点作于点， 则， ∴点和点重合， ∴， 即， ∴劣弧的长为 故答案为：． 考点7角平分线性质 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，平分交于点，若____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定与性质可得，根据勾股定理的逆定理可得，再根据平行四边形的性质可得，根据勾股定理可求的长． 【详解】解：平分交于点， ， 四边形是平行四边形， ， 则， ， 则， 在平行四边形中，， 在中，，则， 即， 是直角三角形，且， ， ， 在中，，由勾股定理可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，灵活运用勾股定理及勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 2．（2024·湖南长沙·二模）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查学生对等腰三角形的判定和平行线性质．由角平分线的定义得，，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可得，，然后即可求得结论．解题的关键是证明，． 【详解】解：∵和的平分线交于点，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴线段的长为． 故答案为：． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知是直线上的点，，，分别是和的角平分线，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（填序号）_____． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查角平分线以及角的比较和运算： ①根据判断； ②结合和判断； ③结合和判断； ④根据判断． 【详解】∵，分别是和的角平分线， ∴，． ∴． ∴． ①正确． ∵， ∴． 又∵， ∴． ②正确． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ③错误． ∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴． ④正确． 故答案为：①②④ 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，，直线交于点E，交于F，平分，交于点G，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，先由平行线的性质得到，，再由角平分线的定义可得． 【详解】解；∵，， ∴，， ∵平分， ∴， 故答案为：． 5．（2025·湖南永州·一模）如图，四边形中，，，，若平分，则与之间的距离是______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的定义和平行线的性质可推出，进而得到为等边三角形，然后利用三线合一以及勾股定理求得，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 与之间的距离为． 故答案为：． 考点8尺规作图（角平分线、垂直平分线） 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：由作图可知，是的角平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于，由作图可知是的角平分线，可证，得到，，即得，利用勾股定理得，设，则，在中，利用勾股定理求得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， 由作图可知，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交和于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F，作射线交于点G，若，则的面积为____． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、尺规作图—作角平分线，过点G作于点H，由题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：过点G作于点H， 由题意可知平分， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2025·湖南长沙·二模）如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点B，D；②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③作直线交于点F．    若，，则四边形的面积为___________． 【答案】12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图性质以及对角线垂直的四边形面积计算，解题的关键是依据作图步骤明确线段关系，运用对应面积公式求解．先依据作图步骤得出，垂直平分，进而得到的长度，再推导出对角线垂直的四边形面积公式对角线之积，计算出结果． 【详解】解：由作图步骤可知， 步骤①中，以点P为圆心画弧，交直线l于点B，D， ， 步骤②中，分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径作弧相交于点E， 直线是线段的垂直平分线， ， ， 四边形的对角线与互相垂直， ， 故答案为：12． 5．（2025·湖南长沙·二模）如图，在中，，，，用图示的尺规作图方法在边上确定一点．则的周长为_____． 【答案】15 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，基本作图-作线段垂直平分线等知识点．由含30度角的直角三角形的性质推出，由线段垂直平分线的性质推出，即可得到的周长是． 【详解】解：，， ， 由题意知：D在线段的垂直平分线上， ， 的周长． 故答案为：15． 考点9垂径定理 + 勾股定理（求弦长、半径、弦心距） 1．（2026·湖南长沙·二模）如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 【答案】130 【分析】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是建立坐标系，以中点为原点，利用圆上三点坐标建立方程组求解．设圆心坐标为，由在圆上得，由最高点在圆上得，联立解方程即可求出半径． 【详解】解：以的中点为原点，所在直线为轴建立坐标系， 则，圆弧最高点坐标为， 由对称性知圆心在轴上，设圆心为，半径为， 在圆上， , 即，① 最高点在圆上， ，② 将②代入①，得 ， 解得， ． 故答案为：130． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为________； 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，根据勾股定理有，代入即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设的半径为，则， ∴， ∵在中，， 即， 解得：， ∴的半径为． 故答案为：． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，的弦垂直于直径，垂足为．若，，则的长为____． 【答案】2 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得，，然后通过勾股定理求出，最后根据线段和差即可求解． 【详解】解：的弦垂直于直径，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知在中，半径垂直于弦，垂足为点．如果，，那么________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 由垂径定理可得，，然后根据勾股定理求得半径，再根据，即可解答． 【详解】解：∵在中，半径垂直于弦，垂足为点， ∴，， 又∵ 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，，，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则________． 【答案】6 【分析】由圆的性质可得，再根据垂径定理可得，则是的中位线，然后根据中位线的性质即可解答．本题主要考查了垂径定理、三角形中位线的判定与性质等知识点，说明是的中位线成为解答本题的关键． 【详解】解：∵过圆心O， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴． 故答案为6． 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为弧的中点，点在弧上，以，为邻边作矩形，边交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，过点作于点，作于点，易得四边形为矩形，有，结合弧、弦、圆心角之间的关系，以及等腰三角形性质得到，，利用勾股定理得到，进而求出，最后结合垂径定理求解，即可解题． 【详解】解：连接，，过点作于点，过点作于点，作于点， 四边形为矩形， ， 四边形为矩形，有， 为弧的中点， . ， ，半圆的直径为，， ，即与圆心重合，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，垂径定理，等腰三角形性质，弧、弦、圆心角之间的关系，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，的弦垂直于直径，垂足为．若，，则的长为____． 【答案】2 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得，，然后通过勾股定理求出，最后根据线段和差即可求解． 【详解】解：的弦垂直于直径，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为，则扇形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据圆锥的侧面展开图可得扇形的半径为，再利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形， ∴这个扇形的半径为， 又∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，将绕直线旋转一周得到的几何体的侧面积为________（结果保留π）． 【答案】 【分析】根据题意，得将绕直线旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，解答即可． 本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵将绕直线旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥， ∴这个几何体的侧面积等于． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，是的弦，交于点E，连接，且；若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理和垂径定理以及求角的正切值，由圆周角定理得，而，可得，得出，即为的中点，得出，，由勾股定理得，从而可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，是的内接三角形，是它的一个外角．若，则 的度数为_________． 【答案】/144度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角定理，熟悉掌握圆心角与圆周角的关系是解题的关键． 在优弧上取一点，连接，，利用角的等量代换求出的度数，即可用圆周角定理求解． 【详解】解：在优弧上取一点，连接，如图所示： ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 7．如图，正六边形中，对角线与相交于点，则___________度． 【答案】120 【分析】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，明确正六边形的每条边相等，每个角相等是解答此题的关键．由正六边形的性质得出，，，由等腰三角形的性质得出，，求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图，已知的内接正六边形的边长为4，H为边的中点，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形性质，正六边形性质，扇形面积公式等．根据题意先计算出的面积，再计算扇形面积及面积，即可得到本题答案． 【详解】解：过点作交于点，连接， ， ∵的内接正六边形的边长为4，H为边的中点， ∴，，，为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴扇形面积：， ∵， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：． 9．如图，正五边形内接于，连接，则______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆，根据多边形的内角和可以求出，根据圆心角可以求出，代入计算即可求解，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，延长到点E，连接，使．若，则的度数为___________ 【答案】/40度 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据等腰三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．若某个正多边形的一个内角是其相邻外角的4倍，则这个多边形的边数为____________． 【答案】10 【分析】本题主要考查正多边形的内角和与外角和的相关知识，解题关键是利用正多边形的一个内角与相邻外角互补的关系．结合已知条件求出外角的度数，再根据多边形外角和为求出边数即可． 【详解】解析：设该正多边形的一个外角为，则其相邻的一个内角为．由题意，可得，解得． 该正多边形的一个外角为， 这个正多边形的边数为． 12．如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边中点，菱形的周长为24，则的长等于_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查在直角三角形中，斜边中线等于斜边一半，还综合利用了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和直角三角形性质是解题的关键．根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，为中点，从而求得的长． 【详解】解：∵菱形的周长等于24， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵H为边中点， ∴在中，为斜边上的中线， ∴． 故答案为：3． 13．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，作的位似，相似比为，则线段的对应线段的长为_____． 【答案】 【分析】先求出，根据题意可得，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以原点为位似中心，作的位似，相似比为， ∴， ∴， ∴． 14．（2025·湖南长沙·模拟预测）图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，则这个桔槔支架的高度为____________米． 【答案】5.2 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的应用，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形．利用相似三角形的对应边成比例来求解桔槔支架的高度． 【详解】解：米， 米，米， 如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，则， 米，米， （米）． ， ， ∴即， 解得米， 米， 又（米）， （米）． 故答案为：5.2． 15．如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为______． 【答案】 【分析】此题考查了切线的性质、切线长定理、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．根据切线长定理得到，，则，在中，根据勾股定理，就可以求出y与x的关系． 【详解】解：作交于F， ∵、与切于点A、B， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵切于E， ∴，， 则， 在中， 由勾股定理得：， 整理得：， ∴y与x的函数关系式是． 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜题06 湖南长沙中考数学14+15图形的性质 （填空题） 考点1 三角形中位线定理求线段长度 1．（2026·湖南株洲·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，直线分别与，交于点M，N．若，则的长为________． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在矩形中，点P在边上运动（可与端点重合），连接，E、F分别为、的中点，连接，若，则线段的最小值为__________． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与交于点，点分别为的中点，连接．若，则____________． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若的周长为，则的周长为__________．    5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为 ______． 考点2 圆周角定理 1．（2026·湖南长沙·一模）如图，点、、是半径为的上的三个点，若，则弦的长等于_________． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，弦、相交于点，，，则的大小为______（度）． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的大小为 _______ 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，分别与相切于两点，，则______． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，则的度数为______． 考点4正多边形与圆 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（不与点重合），则的度数为__________． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则_______． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______ 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，雪花是一种美丽的结晶体，其形状我们可近似看作一个正六边形（如图所示），连接，若是边上的中点，连接，则的值为 ____________________． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，某种螺帽的横截面为正六边形，边长，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b长度为_______． 考点5弧长与扇形面积计算 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则点扫过的弧长为_____．（结果保留） 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交于点，且点是弧的中点，若，则图中阴影部分的面积为_____． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为________ ． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，的半径为，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为_____（结果保留）． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为________． 考点2 圆周角定理 1．（2026·湖南长沙·二模）如果一个正多边形的内角和等于外角和的4倍，则这个正多边形每个外角的度数为______°． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如果一个n边形的内角和比外角和多，那么n的值是______． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为___________． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 考点6平行四边形性质与计算 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）在中，，为的中点，若，的面积为8.5，则_____． 2．如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，则的长为__________． 3．（2025·湖南长沙·一模）如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为__________． 4．（2025·湖南长沙·三模）如图，矩形的对角线交于点，点在边上，且，若，，则的周长是_____． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在菱形中，点为边的中点，以点为圆心、长为半径画圆弧交边于点．若，，则劣弧的长为______． 考点7角平分线性质 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，平分交于点，若____． 2．（2024·湖南长沙·二模）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为______． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知是直线上的点，，，分别是和的角平分线，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（填序号）_____． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，，直线交于点E，交于F，平分，交于点G，，则_____． 5．（2025·湖南永州·一模）如图，四边形中，，，，若平分，则与之间的距离是______． 考点8尺规作图（角平分线、垂直平分线） 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则的度数为______． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是______． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交和于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F，作射线交于点G，若，则的面积为____． 4．（2025·湖南长沙·二模）如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点B，D；②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③作直线交于点F．    若，，则四边形的面积为___________． 5．（2025·湖南长沙·二模）如图，在中，，，，用图示的尺规作图方法在边上确定一点．则的周长为_____． 考点9垂径定理 + 勾股定理（求弦长、半径、弦心距） 1．（2026·湖南长沙·二模）如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为________； 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，的弦垂直于直径，垂足为．若，，则的长为____． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知在中，半径垂直于弦，垂足为点．如果，，那么________． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，，，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则________． 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为弧的中点，点在弧上，以，为邻边作矩形，边交于点．若，，则的长为______． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，的弦垂直于直径，垂足为．若，，则的长为____． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为，则扇形的面积为_______． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，将绕直线旋转一周得到的几何体的侧面积为________（结果保留π）． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，是的弦，交于点E，连接，且；若，，则的值为__________． 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，是的内接三角形，是它的一个外角．若，则 的度数为_________． 7．如图，正六边形中，对角线与相交于点，则___________度． 8．如图，已知的内接正六边形的边长为4，H为边的中点，则图中阴影部分的面积是________． 9．如图，正五边形内接于，连接，则______． 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，延长到点E，连接，使．若，则的度数为___________ 11．若某个正多边形的一个内角是其相邻外角的4倍，则这个多边形的边数为____________． 12．如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边中点，菱形的周长为24，则的长等于_____． 13．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，作的位似，相似比为，则线段的对应线段的长为_____． 14．（2025·湖南长沙·模拟预测）图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，则这个桔槔支架的高度为____________米． 15．如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $