2026年上海市高考数学模拟卷1

2026年上海市高考数学模拟卷一 一、填空题（本大题共12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1.已知是虚数单位，则__________. 2.设集合，，则 . 3.抛物线的准线方程为 . 4.已知函数，则 . 5.已知，，则__________. 6.函数的最小正周期是，则_______. 7.某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为_______. 8.在中，若，，其面积为，则__________. 9.通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 .（精确到） 线性相关系数公式 10.盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 . 11.中企联合大厦是奉贤区的第一高楼,是奉贤美奉贤强的一个缩影.某数学建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三个点：点、点、点作为测量基点.设大厦的最高点为，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，又测得米，，（见图）. 现作出以下几个假设： （1）直线垂直于平面； （2）平面到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计； （3）其它次要因素等忽略不计. 根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约 米.（结果保留整数） 12.内一点(见图12-1)，式子可以写成，这个式子中的系数均为1，以三个系数1作为边长可构造一个等边三角形，因此我们尝试把绕点顺时针旋转，得到（见图12-2），所以等于，显然，当四点共线时（见图12-3），最小. 12-1 12-2 12-3 第12题图 试用类似的方法解决下面这道题目： 已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，， 则的最小值为 . 二、选择题（本大题共4小题，满分18分，第13、14题各4分，第15、16题各5分） 13.“”是“一元二次不等式的解集为”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件； C.充要条件 D.既非充分又非必要条件. 14.已知平面和平面，直线，直线，则下列结论一定成立的是（ ） A.若，则 B.若与为异面直线，则 C.若，则 D.若，则 15.已知关于的不等式在区间内有个整数解，则的值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 16.已知点在圆上，点在圆上，且，为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（ ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17.（满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在四棱锥中，平面，，，． （1）若平面，证明：； （2）在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积． 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数，其中，、为实常数且． （1）若为偶函数，且其最小值为，求实数与的值； （2）若，，对任意实数均满足，求实数的取值范围． 19.（本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分）为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 不是每天都整理数学错题人数 合计 （1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 （2）是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； （3）从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布和期望． 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若点，且，求点的坐标； （3）若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点、、，且，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若、、成等差数列，则称为“等差函数”；若、、成等差数列且、、均为整数，则称为“整数等差函数”． （1）设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； （2）若为“整数等差函数”，求实数的最小值； （3）已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 参考答案 一、填空题 1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.7； 8.； 9.； 10.； 11.； 12. 二、选择题 13.B； 14D； 15.C； 16.A 三、解答题 17．【小问1详解】 由题设，则， 由PA⊥平面，平面，则， 而都在面内，则面， 由AD平面PBC，面，面面， 所以，则面，面，故. 【小问2详解】 由PA⊥平面，平面，则， 由（1）知，且面，面，则， 所以都是直角三角形，且， 根据题设定义，为一个鳖臑，体积， 表面积. 18.【小问1详解】 由题设， 所以恒成立，则，又， 所以的最小值为4，显然， 又，当且仅当时取等号，则，即， 所以，经检验满足题设，故； 【小问2详解】 由题设，即在R上恒成立， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，故. （1）填表如下： 数学成绩总评 优秀人数 数学成绩总评 非优秀人数 合计 每天都整理 数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理 数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率. （2）提出原假设：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关． 确定显著性水平，即 计算， 所以原假设不成立，即有99%的把握认为数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关． （3）不是每天都整理数学错题的学生中数学成绩总评优秀的有5个，不优秀的有15个，恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为， ， ， 故的分布为：. 所以的期望为． 20．解析：（1）双曲线的渐近线方程为:； （2）由题意知，，设，则由得， 即， 又由，解得 所以点的坐标为. （3）设直线：，点、、， 将直线的方程代入双曲线方程后整理可得：， 即有， 因为直线过点且与双曲线右支交于两点， ， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点F的右侧，可得，所以，解得， 所以， 而，代入可得. ，代入后化简可得：. 所以, 当且仅当时等号成立，的最小值为. 21．（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 若，则， 同时，由，得恒成立，故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 因为，， 所以 ， 又的定义域为，有，则， 可取使等号成立，故的最小值为． （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意， ， 令， ， 令， ， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $