第二十四章 平面直角坐标系单元复习（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

第二十四章 平面直角坐标系单元复习 平面直角坐标系基本概念 1. 我们在平面上画两条互相垂直且有公共原点的数轴，建立一个直角坐标系。x轴又叫作横轴，y轴叫作纵轴. 2. 点的坐标：坐标平面内的点与有序实数对一一对应. 易错点：有序数对（a,b）与（b,a）表示两个不同的点. 3. 象限 坐标平面内的点不属于任一象限. 用坐标表达简单的图形 用坐标表示象限内的点 用坐标表示坐标轴 点P到x轴的距离：PE=|y|；点P到y轴的距离：PF=|x|； 轴上点不属于任何象限； x轴：（y=0） y轴：（x=0） 用坐标表示横平线 用坐标表示竖直线 横平线上的点纵坐标相等； 如图所示，该直线记作y=b; 竖直线上的点横坐标相等； 如图所示，该直线记作x=a; 用坐标表示一三象限角平分线 用坐标表示二四象限角平分线 横坐标、纵坐标相等 如图所示，该直线记作y=x; 横坐标、纵坐标相反 如图所示，该直线记作y=-x; 两点间距离公式 1.坐标轴上两点间的距离 如图1，图2所示 ①点A、B在x轴上，AB=|-| ②点A、B在y轴上，AB=|-| 2.当AB平行于x轴或y轴时 如图3，图4所示 ①当AB平行于x轴时，AB=|-| ②当AB平行于y轴时，AB=|-| 3.两点间距离公式 如图5，利用勾股定理可求得两点的距离公式： AB= 4.线段中点坐标公式 如图6，C为线段AB的中点，则C点坐标为() 平移与轴对称 1. 点的平移与坐标变化规律 一般地，如果点M(x,y)沿着与x轴或y轴平行的方向平移m(m>0)个单位长度，那么 向右平移所对应的点的坐标为(x+m，y); 向左平移所对应的点的坐标为(x-m，y); 向上平移所对应的点的坐标为(x，y+m); 向下平移所对应的点的坐标为(x，y-m). 归纳：右加左减、上加下减 2. 点的对称 ①一般地，在平面直角坐标系中， 点M(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y); 点M(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y); 点M(x，y)关于原点对称的点的坐标为(-x，-y). ②反过来，已知点M(x，y), 若点N的坐标为(x，-y)，则点M、N关于x轴对称； 若点N的坐标为(-x，y)，则点M、N关于y轴对称； 若点N的坐标为(-x，-y)，则点M、N关于原点对称。 题型01 平面直角坐标系基本概念 【典例1】（25-26八年级下·上海·月考）已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题先根据第二象限点的坐标特征得到m、n的取值范围. 再判断点B横纵坐标的正负，结合象限坐标特征确定点B所在位置． 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限点的坐标特征为横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点B的横坐标小于0，纵坐标也小于0， ∴点B在第三象限，故C正确． 【变式1】（25-26八年级下·上海·月考）点的坐标为，若，，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系内第四象限的符号特征，即可得出答案 【详解】解：∵， ∴点位于第四象限． 【变式2】（2025八年级上·上海·专题练习）已知点，则点到轴的距离为____________． 【答案】7 【分析】本题考查了点的坐标的几何意义，纵坐标的绝对值就是点到轴的距离．根据点在平面直角坐标系中的坐标特点解答即可． 【详解】解：点的纵坐标为7，其绝对值为7，故点到轴的距离为7； 故答案为7． 【变式3】（25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 【答案】 () 【分析】利用勾股定理求得的长，再利用菱形的性质求得，再根据菱形对边平行可得点B与点C的横坐标相同，据此求解即可． 【详解】解：∵点C的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴B点的坐标为，即． 【变式4】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图1，点，，的坐标分别是，， (1)如图1，过点作于点，的值为___________； (2)如图2，点为线段的延长线上的一动点，当点在的延长线上向下运动时，作于点，于点，式子的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 【答案】(1)12 (2)不变，其值为24 【分析】（1）根据点，，的坐标可得，，，，再利用等面积法即可求值； （2）先证出，得出，再利用等量代换和变形，得出，最后利用三角形的面积公式即可求值． 【详解】（1）解：，，， ，，，． ， ， ． （2）解：不变， ，，， ， ． 如图所示，连接， ，，， ． ，， ， ． 题型02 用坐标表示图形和图形的位置 【典例1】（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·上海·月考）若点在y轴上，则点在第________象限． 【答案】二 【分析】先根据y轴上点的坐标特征求出a的值，再代入得到点B的坐标，最后根据各象限点的坐标特征判断点B所在象限． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标为0，点在y轴上， ∴， 将代入点B的坐标得，， ∴点B的坐标为， ∵第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴点B在第二象限． 【变式2】（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）点到轴和轴的距离相等，则点的坐标是__________． 【答案】或 【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据“点到轴和轴的距离相等”得到绝对值方程，求解后即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点到轴和轴的距离相等， ∴， ∴或， 解方程，得： ∴，， 此时点坐标为； 解方程，得：， ∴，， 此时点坐标为； 综上所述，点的坐标是或． 【变式3】（25-26八年级上·上海·期末）若点在轴上，则点在第___________象限． 【答案】四 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点的坐标特征，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据y轴上点的横坐标为0，求出m的值，再代入点B的坐标，判断其所在象限即可． 【详解】点A在y轴上， ，解得， ，故点B在第四象限． 故答案为：四． 【变式4】（25-26八年级下·四川达州·开学考试）在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动2个单位长度，其行走路线如图所示，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了规律型问题在点的坐标问题中的应用，利用移动规律得出坐标变化规律是解题的关键． 根据图象先计算出和的坐标，进而得出点的坐标为，再用，可得出点的坐标，即可求解． 【详解】解：由图可知，都在x轴上， ∵青蛙每次移动2个单位， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 则， ∴点的坐标是． ∵点向上移动2个单位长度得到点， ∴点的坐标是 【变式5】（25-26八年级下·上海·期中）如图是学校的平面示意图，已知大门的坐标为，花坛的坐标为． (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)建筑物A的坐标为，请在图中标出点A的位置； (3)建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向，请在图中标出点B的位置并写出点B的坐标； (4)求的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， (4) 【分析】（1）以花坛向上1个单位为坐标原点，建立平面直角坐标系即可； （2）根据平面直角坐标系标出点A的位置即可； （3）根据方向角确定点B的位置即可； （4）利用网格，根据勾股定理求即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示； （2）解：点A如图所示； （3）解：点B如图所示； 根据图形可得点B的坐标为； （4）解：， 即的距离为． 题型03 两点距离公式 【典例1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，由平行四边形的性质可得，，设，再结合勾股定理或中点坐标公式计算即可得出结果． 【详解】 方法一： 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 设， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴， 解得：或， ∵点C在第二象限， ∴， ∴， 故选：A． 方法二： 解：设AC、BO交于点M设， ∵四边形是平行四边形， ∴OM=MB，CM=AM ∵点O，B的坐标分别为(0,0)，， ∴M(1.5,1) ∵Ａ（４，１），Ｃ（ａ，ｂ） ∴（ａ＋４）＝1.5；（b＋1）＝1 ∴a=-1，b=1 ∴， 【变式1】（24-25八年级上·上海静安·期末）如果点P在y轴上，点A坐标是，且，那么点P的坐标是_________． 【答案】或 【分析】根据y轴上点的坐标特征设出点P的坐标，再利用两点间距离公式列方程求解，即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵点P在y轴上． ∴设点P的坐标为， ∵点A坐标是，且， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 【变式2】（25-26八年级·上海·寒假作业）如果点与点的距离等于，那么的值等于___． 【答案】0或 【分析】本题主要考查两点间的距离公式，掌握已知，则是解题的关键． 根据两点间距离公式列出方程，平方后化简求解即可． 【详解】由点和点的距离为， 得， 两边平方，得， 展开并整理：， ， ， ， 解得或，经检验均符合题意． 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级下·上海·月考）按要求解答问题： (1)已知点，求两点间的距离； (2)已知点、、，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形 【分析】（1）利用两点间距离公式计算A、B两点的距离，化简后得到结果； （2）先计算出三边的长度，再根据边的长度关系结合勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵、、， ∴，，， ，， 是等腰直角三角形． 【变式4】（25-26八年级下·上海·月考）已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为________． 【答案】直角三角形 【分析】先计算出三角形三边的平方，再利用勾股定理逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形． 【变式5】（25-26八年级下·全国·课后作业）利用勾股定理可以得出两点间的距离公式，如下图，平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离，例如：若点，，则． (1)若点，，则 ． (2)在（1）的条件下，已知点，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据两点间的距离公式和勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 故答案为： ； （2）是直角三角形．理由如下： ， ， ， 是直角三角形． 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，解决本题的关键是理解题意，熟练掌握两点间的距离公式． 题型04 用坐标表示平移 【典例1】（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，关于点和点的说法错误的是（   ）． A．点在第四象限，点在第二象限 B．点和点关于原点对称 C．点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点 D．两点间的距离是10 【答案】C 【分析】本题考查坐标系中点的特征，点的平移，勾股定理，熟练掌握相关知识是关键． 根据点的坐标，可判断选项A和选项B；根据平移规律，可判断选项C；使用勾股定理，可判断选项D． 【详解】解：∵，， ∴点在第四象限， ∵，， ∴点在第二象限，故A正确； ∵，， ∴点和点关于原点对称，故B正确； 点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度后，坐标为，故C错误； 由勾股定理可得，，故D正确． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的平移，掌握图形的平移与点的坐标变化规律，是解题的关键． 先通过点，点确定平移方式，再由平移方式确定点的对应点的坐标． 【详解】解：∵点，点，平移线段，使点落在点处， ∴可得，向左平移4个单位，向上平移1个单位， ∴点向左平移4个单位，向上平移1个单位得到， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知点A的坐标是，则点A向右平移2个单位长度后的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律即可解决问题． 【详解】解：点向右平移2个单位长度，可得点的坐标，即， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·天津·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化—平移，以及关于x轴对称点的坐标，首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案，关键是掌握点的坐标变化规律． 【详解】解：点向右平移5个单位长度得到点B的坐标为，即， 则点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 【变式4】（25-26八年级上·安徽池州·期末）点向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移．根据平移的性质，向上平移改变纵坐标，向左平移改变横坐标，直接计算坐标变化即可． 【详解】解：点向上平移个单位， 纵坐标变为，此时点为； 又向左平移个单位， 横坐标变为， 此时点为. 故选：A． 【变式5】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，． (1)将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后得到，请写出点的坐标；（不必画图） (2)将绕坐标原点旋转得到，请用没有刻度的直尺和圆规画出，并写出点的坐标．（不写画法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质可得出答案． （2）以点为圆心，的长为半径画弧，交轴正半轴于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴负半轴于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接，，即可，根据中心对称的性质可得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，点的坐标为，即． （2）解：如图， 以点为圆心，的长为半径画弧，交轴正半轴于点， 以点为圆心，的长为半径画弧，交轴负半轴于点， 以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点， 连接，，，则△即为所求， 由题意得，点的坐标为． 题型05 对称点 【典例1】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点F的坐标为，其关于轴的对称点E坐标为，则值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据关于y轴对称的点的性质，得，求出n值代入计算即可． 【详解】解：∵关于y轴对称， ∴， 解得，， ∴． 【典例2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)将、、三点的横坐标分别乘以，纵坐标保持不变，得到，请在图中画出，并直接写出与的位置关系； (2)若轴上存在一点，使得的值最小，请标出点的位置． 【答案】(1)见解析，与关于轴对称 (2)见解析 【分析】（1）作出关于轴对称的图形，即可求解； （2）作关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， 与关于轴对称； （2）解：如图所示，点即为所求． 【变式1】（25-26八年级下·上海·期中）已知点与关于轴成轴对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．7 【答案】A 【分析】直接利用关于x轴对称的点的坐标特点得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵点与关于轴成轴对称， ，， ． 【变式2】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）点与点关于轴对称，则的值为（   ） A．3 B．5 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与对称，熟练掌握以上知识是解题的关键． 关于轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，分别求解即可. 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，且， 解得：，， ∴， 故选；B． 【变式3】（25-26八年级下·北京海淀·期中）已知点的坐标为，设点关于轴对称的点为点，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是___________，点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标平面内关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，即可分别求出点B和点C的坐标． 【详解】解：根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数， 且点坐标为，点关于轴对称的点为点， 因此点的坐标为， 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数， 点关于轴对称的点为点， 因此点的坐标为． 【变式4】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，， (1)画出关于y轴对称的图形，其中点A，B，C的对称点分别为点，，，直接写出点，，的坐标； (2)在x轴上找一点D，使的周长最小，在图中画出点（保留必要的画图痕迹） 【答案】(1)见解析；，， (2)见解析 【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出点，，的坐标，然后描点连线即可； （2）作C点关于x轴的对称点，连接交x轴于D点，根据两点之间线段最短可判断D点满足条件． 【详解】（1）解：如图，为所作，，，． （2）解：如图，点D为所作． 【变式5】（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为． (1)求，的值及点关于轴对称的点的坐标； (2)若轴上的点坐标为，求的面积； (3)若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．（直接写出坐标） 【答案】(1)， (2)8 (3)或或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性即可求解，再由关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解； （2）由三角形面积公式即可求解； （3）先画出图形，再由平行四边形的性质以及平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∵点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为； （2）解：由（1）可得，如图： ∴； （3）解：由（1）知，，而， ∵四边形是平行四边形时， 如图：当，时，则，， ∴，； ②当时，， ∵，，， ∴点向左平移3个单位，向下平移4个单位得到点， ∴点向左平移3个单位，向下平移4个单位得到点， ∴，即， 综上：点的坐标为或或． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十四章 平面直角坐标系单元复习 平面直角坐标系基本概念 1. 我们在平面上画两条互相垂直且有公共原点的数轴，建立一个直角坐标系。x轴又叫作横轴，y轴叫作纵轴. 2. 点的坐标：坐标平面内的点与有序实数对一一对应. 易错点：有序数对（a,b）与（b,a）表示两个不同的点. 3. 象限 坐标平面内的点不属于任一象限. 用坐标表达简单的图形 用坐标表示象限内的点 用坐标表示坐标轴 点P到x轴的距离：PE=|y|；点P到y轴的距离：PF=|x|； 轴上点不属于任何象限； x轴：（y=0） y轴：（x=0） 用坐标表示横平线 用坐标表示竖直线 横平线上的点纵坐标相等； 如图所示，该直线记作y=b; 竖直线上的点横坐标相等； 如图所示，该直线记作x=a; 用坐标表示一三象限角平分线 用坐标表示二四象限角平分线 横坐标、纵坐标相等 如图所示，该直线记作y=x; 横坐标、纵坐标相反 如图所示，该直线记作y=-x; 两点间距离公式 1.坐标轴上两点间的距离 如图1，图2所示 ①点A、B在x轴上，AB=|-| ②点A、B在y轴上，AB=|-| 2.当AB平行于x轴或y轴时 如图3，图4所示 ①当AB平行于x轴时，AB=|-| ②当AB平行于y轴时，AB=|-| 3.两点间距离公式 如图5，利用勾股定理可求得两点的距离公式： AB= 4.线段中点坐标公式 如图6，C为线段AB的中点，则C点坐标为() 平移与轴对称 1. 点的平移与坐标变化规律 一般地，如果点M(x,y)沿着与x轴或y轴平行的方向平移m(m>0)个单位长度，那么 向右平移所对应的点的坐标为(x+m，y); 向左平移所对应的点的坐标为(x-m，y); 向上平移所对应的点的坐标为(x，y+m); 向下平移所对应的点的坐标为(x，y-m). 归纳：右加左减、上加下减 2. 点的对称 ①一般地，在平面直角坐标系中， 点M(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y); 点M(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y); 点M(x，y)关于原点对称的点的坐标为(-x，-y). ②反过来，已知点M(x，y), 若点N的坐标为(x，-y)，则点M、N关于x轴对称； 若点N的坐标为(-x，y)，则点M、N关于y轴对称； 若点N的坐标为(-x，-y)，则点M、N关于原点对称。 题型01 平面直角坐标系基本概念 【典例1】（25-26八年级下·上海·月考）已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（25-26八年级下·上海·月考）点的坐标为，若，，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（2025八年级上·上海·专题练习）已知点，则点到轴的距离为____________． 【变式3】（25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 【变式4】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图1，点，，的坐标分别是，， (1)如图1，过点作于点，的值为___________； (2)如图2，点为线段的延长线上的一动点，当点在的延长线上向下运动时，作于点，于点，式子的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 题型02 用坐标表示图形和图形的位置 【典例1】（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·上海·月考）若点在y轴上，则点在第________象限． 【变式2】（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）点到轴和轴的距离相等，则点的坐标是__________． 【变式3】（25-26八年级上·上海·期末）若点在轴上，则点在第___________象限． 【变式4】（25-26八年级下·四川达州·开学考试）在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动2个单位长度，其行走路线如图所示，则点的坐标为__________． 【变式5】（25-26八年级下·上海·期中）如图是学校的平面示意图，已知大门的坐标为，花坛的坐标为． (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)建筑物A的坐标为，请在图中标出点A的位置； (3)建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向，请在图中标出点B的位置并写出点B的坐标； (4)求的距离． 题型03 两点距离公式 【典例1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·上海静安·期末）如果点P在y轴上，点A坐标是，且，那么点P的坐标是_________． 【变式2】（25-26八年级·上海·寒假作业）如果点与点的距离等于，那么的值等于___． 【变式3】（25-26八年级下·上海·月考）按要求解答问题： (1)已知点，求两点间的距离； (2)已知点、、，判断的形状． 【变式4】（25-26八年级下·上海·月考）已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为________． 【变式5】（25-26八年级下·全国·课后作业）利用勾股定理可以得出两点间的距离公式，如下图，平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离，例如：若点，，则． (1)若点，，则 ． (2)在（1）的条件下，已知点，判断的形状，并说明理由． 题型04 用坐标表示平移 【典例1】（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，关于点和点的说法错误的是（   ）． A．点在第四象限，点在第二象限 B．点和点关于原点对称 C．点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点 D．两点间的距离是10 【变式1】（25-26八年级上·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为_____． 【变式2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知点A的坐标是，则点A向右平移2个单位长度后的坐标是_____． 【变式3】（25-26八年级上·天津·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是_____． 【变式4】（25-26八年级上·安徽池州·期末）点向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，． (1)将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后得到，请写出点的坐标；（不必画图） (2)将绕坐标原点旋转得到，请用没有刻度的直尺和圆规画出，并写出点的坐标．（不写画法，保留作图痕迹） 题型05 对称点 【典例1】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若图中点F的坐标为，其关于轴的对称点E坐标为，则值为（    ） A． B． C． D．1 【典例2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)将、、三点的横坐标分别乘以，纵坐标保持不变，得到，请在图中画出，并直接写出与的位置关系； (2)若轴上存在一点，使得的值最小，请标出点的位置． 【变式1】（25-26八年级下·上海·期中）已知点与关于轴成轴对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．7 【变式2】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）点与点关于轴对称，则的值为（   ） A．3 B．5 C． D．1 【变式3】（25-26八年级下·北京海淀·期中）已知点的坐标为，设点关于轴对称的点为点，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是___________，点的坐标是___________． 【变式4】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，的三个顶点的坐标分别为，， (1)画出关于y轴对称的图形，其中点A，B，C的对称点分别为点，，，直接写出点，，的坐标； (2)在x轴上找一点D，使的周长最小，在图中画出点（保留必要的画图痕迹） 【变式5】（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为． (1)求，的值及点关于轴对称的点的坐标； (2)若轴上的点坐标为，求的面积； (3)若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．（直接写出坐标） 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $