第二十三章 四边形单元复习（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

第二十三章 四边形单元复习 多边形 1. 多边形的对角线 ①从一个顶点出发，n边形可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形； ②n边形每个顶点均可以引出（n-3）条对角线，所以n边形的对角线总条数为; 2. 多边形的内角和 n多边形从一个顶点出发可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形，所以n边形的内角和为（n-2）·180，四边形的内角和为360. 3. 多边形的外角和 （1）多边形在每一个顶点处有两个外角，但在各个顶点处只各取一个外角，这样得到所有外角的和叫作这个多边形的外角和。 （2）多边形的外角和定理: 多边形的外角和为360°. （3）四边形的外角和：四边形的外角和也是360°. 【即学即练】 1. 如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 平行四边形 1. 定义 有一组对边平行的四边形叫作梯形; 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 如图所示，四边形ABCD是平行四边形．记作：▱ABCD； 读作：平行四边形ABCD； 【即学即练】如图，在平行四边形中，，，且，相交于点O，则图中的平行四边形有（    ） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 2.平行四边形的性质 定理1 平行四边形的对边相等; 如右图所示，▱ABCD中，AB=CD,AD=BC 定理2 平行四边形的对角相等; 如右图所示，▱ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D 定理3 平行四边形的对角线互相平分. 如右图所示，▱ABCD中，AO=CO,B0=DO 3.平行四边形的判定 （1）平行四边形的定义本身就是平行四边形的一种判定方法； 如右图所示：∵AB//CD,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 （2）平行四边形的判定定理 定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AB//CD,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形 特殊的平行四边形——矩形 1． 定义 四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 2.性质 矩形的两条对角线相等. 3.判定 （1）根据定义： 四个内角均为直角的四边形就是矩形. （2）判定定理1：有一个内角是直角的平行四边形是矩形. （3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 特殊的平行四边形——菱形 1. 定义 四条边都相等的四边形叫作菱形.. 2.性质 定理：菱形的两条对角线互相垂直. 菱形的面积等于四个直角三角形的面积，也就等于对角线乘积的一半 3.判定 （1）根据定义四条边都相等的四边形就是菱形. （2）判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （3）判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 特殊的平行四边形——正方形 1. 定义 四个角都是直角，四条边都相等的四边形叫作正方形.. 2.性质和判定 （1）正方形是一种特殊的平行四边形，它具有矩形、菱形、平行四边形的所有性质； （2）要判定一个四边形是正方形可以判定它既是矩形又是菱形. 三角形的中位线与重心 1. 中位线 （1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 如图1，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，于是线段DE就是△ABC的一条中位线. 如图2，每一个三角形有三条中位线 （2）三角形中位线定理：（如图2）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. （3）中点四边形：顺次连接四边形ABCD各边中点得到的四边形叫作中点四边形； 任意四边形的中点四边形一定时平形四边形； 【即学即练】 求证：顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. 2. 重心 （1）定义：三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的重心. 如图，在△ABC中，E，F，D分别为三角形三边的中点，则AF、BD、CE交于一点O，O叫作△ABC的重心. （2）三角形重心的性质 三角形重心定理：三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。 三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个小三角形. 在上图中 【即学即练】 1. 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD和CE交于点O,连接AO并延长交边BC于点F. 求证：（1）AF是边BC上的中线；（2）OF=AO 题型01 多边形 【典例1】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】（24-25八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·上海·期末）若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是_______ ． 【变式3】（23-24八年级下·上海·期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【变式4】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，五边形中，分别是，的外角，，那么___________度． 【变式5】（23-24八年级下·全国·单元测试）如果一个多边形的各个外角都是，那么这个多边形的内角和是_________度． 题型02 平行四边形 【典例1】（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·上海松江·期中）平行四边形中，边上的高是，则平行四边形的周长是____________． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则较短边的长为_______． 【变式3】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平行四边形中，，点是边的中点，作，垂足在线段上，连接，则下列结论： ①；②；③；④． 一定成立的是_____．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【变式4】（24-25八年级下·上海徐汇·月考）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【变式5】（24-25八年级下·上海松江·期中）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 题型03 矩形 【典例1】如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 【变式1】如图，在中，，D是的中点，，， (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【变式2】如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形面积． 【变式3】如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 【变式4】如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【变式5】如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积； 题型04 菱形 【典例1】如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【典例2】如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，试判断四边形的形状，并说明理由． 【变式1】若菱形周长为，两对角线之和为，则菱形面积为______． 【变式2】如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 【变式3】如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点G，于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【变式4】如图，菱形 ABCD 中，∠B=60°,点 E,F分别在AB,AD 上，且∠ECF=60° . (1)求证：△ECF为等边三角形； (2)连接AC,若AC 将四边形AECF的面积分为1:2两部分，当AB=6时，则△BEC的面积为 题型05 正方形 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 【典例2】如图，在正方形中，点、分别在、上，且． (1)求证：； (2)连接、，分别取、、、的中点、、、，四边形是什么特殊的平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由． 【变式1】正方形具备而菱形不具备的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 【变式2】如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以、、、为顶点的四边形的面积为时，直接写出的长． 【变式3】【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． (1)【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； (2)【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解一元二次方程．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【变式4】如图①，在中，，是边上的高．将，分别沿，翻折得到，．延长，交于点F． ①求证：四边形是正方形； ②若，则的周长为________． 【变式5】已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N． (1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN (2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系 题型06 三角形的中位线与重心 【典例1】如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则________． 【典例2】如图，已知在四边形中，、相交于点O，且，E、F分别是、的中点，连接． (1)求四边形的面积； (2)求的长． 【变式1】已知是的重心，如果，，那么底边的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【变式3】如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 【变式4】如图，在中，E为边上一点，、分别平分、．    (1)求证：E为的中点； (2)如果点F为的中点，联结交于点G．写出与满足的数量关系，并说明理由． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 四边形单元复习 多边形 1. 多边形的对角线 ①从一个顶点出发，n边形可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形； ②n边形每个顶点均可以引出（n-3）条对角线，所以n边形的对角线总条数为; 2. 多边形的内角和 n多边形从一个顶点出发可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形，所以n边形的内角和为（n-2）·180，四边形的内角和为360. 3. 多边形的外角和 （1）多边形在每一个顶点处有两个外角，但在各个顶点处只各取一个外角，这样得到所有外角的和叫作这个多边形的外角和。 （2）多边形的外角和定理: 多边形的外角和为360°. （3）四边形的外角和：四边形的外角和也是360°. 【即学即练】 1. 如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 解：∵一个边形的内角和是， ∴， 解得， 故选：C． 平行四边形 1. 定义 有一组对边平行的四边形叫作梯形; 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 如图所示，四边形ABCD是平行四边形．记作：▱ABCD； 读作：平行四边形ABCD； 【即学即练】如图，在平行四边形中，，，且，相交于点O，则图中的平行四边形有（    ） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 【答案】D 2.平行四边形的性质 定理1 平行四边形的对边相等; 如右图所示，▱ABCD中，AB=CD,AD=BC 定理2 平行四边形的对角相等; 如右图所示，▱ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D 定理3 平行四边形的对角线互相平分. 如右图所示，▱ABCD中，AO=CO,B0=DO 3.平行四边形的判定 （1）平行四边形的定义本身就是平行四边形的一种判定方法； 如右图所示：∵AB//CD,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 （2）平行四边形的判定定理 定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AB//CD,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形 特殊的平行四边形——矩形 1． 定义 四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 2.性质 矩形的两条对角线相等. 3.判定 （1）根据定义： 四个内角均为直角的四边形就是矩形. （2）判定定理1：有一个内角是直角的平行四边形是矩形. （3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 特殊的平行四边形——菱形 1. 定义 四条边都相等的四边形叫作菱形.. 2.性质 定理：菱形的两条对角线互相垂直. 菱形的面积等于四个直角三角形的面积，也就等于对角线乘积的一半 3.判定 （1）根据定义四条边都相等的四边形就是菱形. （2）判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （3）判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 特殊的平行四边形——正方形 1. 定义 四个角都是直角，四条边都相等的四边形叫作正方形.. 2.性质和判定 （1）正方形是一种特殊的平行四边形，它具有矩形、菱形、平行四边形的所有性质； （2）要判定一个四边形是正方形可以判定它既是矩形又是菱形. 三角形的中位线与重心 1. 中位线 （1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 如图1，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，于是线段DE就是△ABC的一条中位线. 如图2，每一个三角形有三条中位线 （2）三角形中位线定理：（如图2）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. （3）中点四边形：顺次连接四边形ABCD各边中点得到的四边形叫作中点四边形； 任意四边形的中点四边形一定时平形四边形； 【即学即练】 求证：顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. 如图，已知在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为矩形各边的中点，求证：四边形EFGH为菱形. 证明：连接， ∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点， ∴， ∴， 同理：EH=BD ∴四边形是平行四边形， ∵四边形ABCD为矩形 ∴AC=BD ∴EF=EH ∴四边形EFGH为菱形. 2. 重心 （1）定义：三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的重心. 如图，在△ABC中，E，F，D分别为三角形三边的中点，则AF、BD、CE交于一点O，O叫作△ABC的重心. （2）三角形重心的性质 三角形重心定理：三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。 三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个小三角形. 在上图中 【即学即练】 1. 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD和CE交于点O,连接AO并延长交边BC于点F. 求证：（1）AF是边BC上的中线；（2）OF=AO 证明：如图,延长AF到点G,使OG=AO,分别连接BG、CG. ∵EB=EA,OG=AO, ∴EO//BG(三角形的中位线定理). ∴OC//BG. 同理，可得OB//CG. ∴四边形BGCO是一个平行四边形. ∴BF=FC(平行四边形的对角线互相平分), ∴AF是边BC上的中线. 同理，FG=OF ∴OF=OG=AO 题型01 多边形 【典例1】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了边形的内角和公式，依题意，列式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一个边形的内角和是， ∴， 解得， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·上海闵行·期中）如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，设原多边形的边数为n，则边数变化后的多边形边数为，根据多项式内角和计算公式分别表示出变化前后多边形内角和，二者相减即可得到答案． 【详解】解：设原多边形的边数为n，则边数变化后的多边形边数为， ∴原来多边形的内角和为，变化后的多边形内角和为， ∵， ∴内角和将增加， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·上海·期末）若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是_______ ． 【答案】54 【分析】本题考查了多边形内角和公式与对角线公式的结合应用，关键在于准确求出边数并代入计算．根据多边形的内角和公式求出边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即可求解． 【详解】解：设多边形的边数是n，则 ， 解得， 多边形的对角线条数公式为：， 代入： 故答案为：54． 【变式3】（23-24八年级下·上海·期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 【变式4】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，五边形中，分别是，的外角，，那么___________度． 【答案】 【分析】本题考查多边形的内角和和外角的综合应用，根据多边形的内角和定理，结合两直线平行，同旁内角互补，以及平角的定义求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵五边形，， ∴五边形的内角和为，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【变式5】（23-24八年级下·全国·单元测试）如果一个多边形的各个外角都是，那么这个多边形的内角和是_________度． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形内角与外角综合，根据正多边形外角和为360度，一个内角的度数与一个外角的度数之和为180度求出正多边形的边数和一个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵一个多边形的各个外角都是， ∴这个多边形的边数为，每个内角的度数为， ∴这个多边形的内角和是， 故答案为：． 题型02 平行四边形 【典例1】（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定进行逐项判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形成为平行四边形，故选项A不符合题意； B、由，，不能判定四边形成为平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴，不能判定四边形成为平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·上海松江·期中）平行四边形中，边上的高是，则平行四边形的周长是____________． 【答案】或 【分析】需分两种情况讨论，边上高的垂足位置分垂足在边上和垂足在延长线上两种，利用勾股定理求出的长，再根据平行四边形周长公式计算即可． 【详解】解：设边上的高为，，，为垂足． 在中，由勾股定理得： ， 在中，， 分两种情况讨论： 情况1：垂足在的延长线上时，如图    此时． 平行四边形周长为． 情况2：垂足在边上时，如图 此时． 平行四边形周长为． ∴平行四边形周长为或． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则较短边的长为_______． 【答案】5 【分析】本题考查平行四边形的性质和二元一次方程组的应用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形周长求出相邻两边之和，再根据差列出方程组求解． 【详解】解：设较长边为，较短边为， 由平行四边形性质，相邻两边之和为周长的一半， 即， 又相邻两边差为，即， 得方程组， 解得， 故较短边长为， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平行四边形中，，点是边的中点，作，垂足在线段上，连接，则下列结论： ①；②；③；④． 一定成立的是_____．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】② 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由中点的定义可得，再根据平行四边形的性质结合已知条件可得，则；再运用平行线的性质可得，进而得到即可判断①；如图：延长交延长线于运用平行四边形的性质以及已知条件可证(ASA)可得，再说明，即，再结合得到，即可判断②；说明即可判断③；说明即可判断④． 【详解】解析：①是的中点， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即；故①错误； ②如图：延长交延长线于 四边形是平行四边形， ， ， 为中点， ， 在和中， )， ， ， ， 又， ， ， ， ∴，故②正确； ，故③错误； ④， ， ， ，故④错误． 综上②正确． 故答案为：②． 【变式4】（24-25八年级下·上海徐汇·月考）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或时，为直角三角形 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质及含角的直角三角形的性质，熟练掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题关键． （1）由题意可知，，，根据含角的直角三角形的性质得出，根据，得出，即可证明四边形是平行四边形； （2）分和两种情况，画出图形，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示：当时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 如图所示，当时， 由（1）可得：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：； 综上所述：或，为直角三角形． 【变式5】（24-25八年级下·上海松江·期中）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 由平行四边形得到，，，证明出，得到，同理得到，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】∵，点为对角线的中点， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴同理可证， ∴ ∴四边形为平行四边形． 题型03 矩形 【典例1】如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到，，，由得到，进而得到，再通过证明得到，最后利用矩形的判定即可证明； （2）根据角平分线的定义得到，再利用平行线的性质得到，则有，由（1）中的结论可得，，设，在和利用勾股定理建立方程，解方程求出的值即可解答． 【详解】（1）证明：， ，，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． （2）解：， ，，， 平分， ， ， ， ， ， 由（1）中的结论得，，，四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：， 的长为． 【变式1】如图，在中，，D是的中点，，， (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的判定即可证明； （2）根据矩形的性质和三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵D是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质可得，结合，，命题得证； （2）根据矩形和菱形的性质可得，，从而计算出菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 【变式3】如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 【答案】(1)正方形，理由见解析； (2)①平行四边形，理由见解析；②的长为或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、正方形和平行四边形的判定以及勾股定理的应用． （1）根据矩形和折叠的性质判断四边形的形状； （2）①利用矩形和平行线的性质以及折叠性质来判定四边形的形状； ②根据点是的三等分点分情况讨论，结合勾股定理求出的长度． 【详解】（1）四边形为正方形． 理由:矩形， ， 折叠， ，， 四边形是正方形； （2）①四边形为平行四边形． 理由：矩形， ， 点是的中点， ， 折叠， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； ②四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ，，， 是矩形， 当是的下方的三等分点时， ，点是的中点， ， 是矩形， ∴， 由折叠可得， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当是的上方的三等分点时， ，点是的中点， ， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 综上所述，的长为或． 【变式4】如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用折叠的性质和平行线的性质证得，得到，设，则，，在中，由勾股定理求出的值，再由三角形的面积公式求出面积的值； （2）根据勾股定理和三角形面积公式可求的边上的高，再乘以2即可得到的长． 【详解】（1）解：由折叠可知，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：即， 解得：， ； （2）解：在中，， 连接，交于， ，关于对称， ，， ， 故的长为． 【变式5】如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练运用这些性质和定理是解答本题的关键． （1）利用折叠的性质得到，结合矩形的性质，在直角三角形中通过勾股定理建立方程求解的长度； （2）先根据折叠和矩形的性质证明三角形全等，得到，再在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，最后结合三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得， 四边形是长方形， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； （2）解：四边形是长方形， ， 由折叠的性质得， 又， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ． 题型04 菱形 【典例1】如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【答案】A 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． 【典例2】如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)矩形；详见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及矩形的判定： （1）利用平行线的性质和角平分线的定义证明是等腰三角形，得到，通过得到，结合判定四边形为平行四边形，利用邻边相等即可判定； （2）先证明，再证明四边形是平行四边形，利用菱形对角线互相垂直和三角形内角和定理证明，从而判定为矩形． 【详解】（1）证明：，点在边上，点在边的延长线上， ， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）矩形． 解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． 【变式1】若菱形周长为，两对角线之和为，则菱形面积为______． 【答案】11 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先求出菱形的边长为，再由菱形的性质得到，根据题意可得，设，则，由勾股定理得，据此根据完全平方公式的变形求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵菱形周长为， ∴菱形的边长为， 如图所示，菱形的对角线交于点O，则， ∵两对角线之和为， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 【变式2】如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等可得，由线段中点的定义可推出，则可证明四边形是平行四边形；再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可证明结论； （2）由菱形的性质得到，则由等边对等角和已知条件证明，得到；则可证明四边形是平行四边形；证明，进而可证明，则可证明平行四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵E、F分别是边和的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）证明：由（1）可得四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； ∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【变式3】如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点G，于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形性质和角平分线的性质证明； （2）证明，证明四边形是平行四边形，再根据即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【变式4】如图，菱形 ABCD 中，∠B=60°,点 E,F分别在AB,AD 上，且∠ECF=60° . (1)求证：△ECF为等边三角形； (2)连接AC,若AC 将四边形AECF的面积分为1:2两部分，当AB=6时，则△BEC的面积为 【答案】（1）见解析（2）3或6 【详解】(1)连接AC ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴CF=CE， ∴△ECF为等边三角形； (2) 过点C作CH⏊AB于点H， ∵AB=AC=6,∠B=60 ∴BH=3 ∴HC= ∴ 若△ACF与△ACE面积比为1：2，则AF:AE=BE:AE=1:2 ∴=3 若△ACE与△ACF面积比为1：2， 则=6 题型05 正方形 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【典例2】如图，在正方形中，点、分别在、上，且． (1)求证：； (2)连接、，分别取、、、的中点、、、，四边形是什么特殊的平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形．补全图形如图所示，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再由证明，即可证明； （2）设相交于点，根据三角形中位线和证明四边形是菱形，由得到，进而得到，得到，即可证明． 【详解】（1）解：．理由如下： 四边形是正方形， ，． 又， ． ； （2）解：四边形是正方形．补全图形如图．理由如下： 设相交于点， 分别是的中点， ． ． 四边形是菱形． ， ． ， ， ． 分别是的中点， ． ． 四边形是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形中位线，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式1】正方形具备而菱形不具备的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，菱形的性质，根据正方形和菱形的性质逐项判断，即可得出结论． 【详解】解：A、对角线互相平分是正方形和菱形都具备的性质，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直是正方形和菱形都具备的性质，故此选项不符合题意； C、对角线相等是正方形具备而菱形不具备的性质，故此选项符合题意； D、每条对角线平分一组对角是正方形和菱形都具备的性质，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以、、、为顶点的四边形的面积为时，直接写出的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)的长为或 【分析】（1）由正方形的性质可得，，作于，于，则，四边形为矩形，证明，即可得解； （2）由正方形的性质可得，，，由点在边的延长线上可得为钝角，证明，得出，即可得解； （3）分两种情况：当点在线段上时，作于，于；当点在的延长线上时，作于，延长交于；分别求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵四边形为正方形， ∴，， 如图，作于，于， ， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形边长为1， ∴，， ∴， ∵点在边的延长线上， ∴如图所示，为钝角， ， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当点在线段上时，作于，于， ， 由（1）可得，四边形为矩形，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴，即， ∴， 由（2）可得：， ∴； 当点在的延长线上时，作于，延长交于， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式3】【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． (1)【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； (2)【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 【答案】(1)补全图形见解析，，证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据题意补全图形，利用证明即可证明； （2）连接，，利用正方形的性质求得，，由，推出，，证明，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）当点运动到线段上时，有最小值，当点运动到延长线上时，有最大值，据此画出图形，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： .证明如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，， ∵正方形和正方形，，，， ∴，， 由（1）得， ∴，， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴； （3）解：如图， 当点运动到线段上时，有最小值， 最小值， ∴的最小值， 如图， 当点运动到延长线上时，有最大值， 最大值， ∴的最在值， ∴的面积的取值范围为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解一元二次方程．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【变式4】如图①，在中，，是边上的高．将，分别沿，翻折得到，．延长，交于点F． ①求证：四边形是正方形； ②若，则的周长为________． 【答案】①见解析；②12． 【分析】①根据折叠的全等性质，结合有一组邻边相等的矩形是正方形解答即可； ②根据三角形全等的性质，结合三角形的周长解答即可． 【详解】①证明：根据折叠的性质，得， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． ②解：根据折叠的性质，得， ∴， ∴， ∵， ∴正方形的边长为6， ∴的周长为， 故答案为：12． 【变式5】已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N． (1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN (2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】（1）延长到使，连接AG，先证明，由此得到，，再根据，，可以得到，从而证明，然后根据全等三角形的性质即可证明； （2）在BM上取一点G，使得，连接AG，先证明，由此得到，，由此可得，再根据可以得到，从而证明，然后根据全等三角形的性质即可证明； 【详解】（1）证明：如图，延长到使，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 在与中， ， ， ，， ，， ∴， ， ， 在与中， ， ， ， 又∵，， ； （2），理由如下： 如图，在BM上取一点G，使得，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 在与中， ， ， ，， ∴， ∴， 又， ， 在与中， ， ， ， 又∵，， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，能够作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 题型06 三角形的中位线与重心 【典例1】如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则________． 【答案】 【分析】本题考查了重心的应用，与中线有关的面积，熟练掌握重心的性质是解题的关键．先根据点G是的重心，得，则，，故，即可作答． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例2】如图，已知在四边形中，、相交于点O，且，E、F分别是、的中点，连接． (1)求四边形的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）取中点P，连接，，根据三角形的中位线定义得出，，，，根据平行线的性质并结合可得出，最后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：取中点P．连接，， ∵是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】已知是的重心，如果，，那么底边的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的重心．也考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．连接并延长交于点D，由等腰三角形的性质可得出，，由三角形重心的性质即可得出的长，再根据勾股定理求出的长，据此求解即可． 【详解】解：如图所示：连接并延长交于点D， ∵G是的重心，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质和矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断． 【详解】如图：菱形中，分别是的中点， ， 故四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是矩形． 故选：C． 【变式3】如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定定理，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键． 连接、、、，根据中位线定理和平行四边形的性质和判定定理，可证四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求证． 【详解】证明：连接、、、， 点E、F、G、H分别是、、、的中点， 、分别是与的中位线， ，， ， 同理， 四边形为平行四边形， 和互相平分． 【变式4】如图，在中，E为边上一点，、分别平分、．    (1)求证：E为的中点； (2)如果点F为的中点，联结交于点G．写出与满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定， 三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）如图，由得到，， 即，又由角平分线得到，从而，即可得到．同理得，即可得证； （2）取的中点H，联结．根据中位线的性质得到，，从而推出，即可证明，得到，进而推出． 【详解】（1）证明：如图，    ∵四边形是平行四边形， ，， ． 平分， ， ， ． 同理得． ， ，即E为的中点． （2）解：． 取的中点H，联结．   、H分别是、的中点， 是的中位线， ∴，． 是CD中点， ， ， ． ∵，， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $