高频考点01 数与式（22大命题点专项训练）（浙江专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

高频考点01 数与式 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（7大命题点+19道中考预测题，） 考点一 有理数的概念与计算 命题点 1 相反数、绝对值与倒数 命题点 2 有理数大小的比较 命题点 3 有理数的计算 命题点 4 科学记数法 中考预测题3道 考点二 实数数的概念与计算 命题点 1 平方根、立方根、算术平方根的计算 命题点 2 实数的分类 命题点 3 无理数的大小估算 命题点 4 实数的混合计算 中考预测题3道 考点三 整式乘法与因式分解 命题点 1 幂的计算 命题点 2 整式的运算 命题点 3 乘法公式 命题点 4 整式的化简求值 命题点 5 因式分解 中考预测题3道 考点四 分式的概念与计算 命题点 1 分式有意义、为0的条件 命题点 2 分式的化简、运算 中考预测题2道 考点五 二次根式的概念与计算 命题点 1 二次根式有意义的条件 命题点 2 二次根式的运算 中考预测题3道 考点五 规律探究问题 命题点 1 数与式的规律探究 命题点 2 图形的规律探究 命题点 3 传统文化结合规律的探究 中考预测题3道 考点七 新定义问题 命题点 1 新定义运算 命题点 2 新定义概念 中考预测题2道 04好题速递·分层闯关（精选9道最新名校模拟试题+8道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 有理数的概念与计算 1.有理数的分类、相反数、绝对值、倒数的概念辨析； 2.有理数的混合运算（含乘方、加减乘除）； 3.有理数的大小比较； 4.结合数轴考查有理数的相关性质。 1.题型以选择题、填空题为主，偶尔结合解答题第一问考查； 2.侧重基础，难度偏低，主要考查对概念的理解和运算的准确性； 3.常结合实际场景（如温度、海拔）考查有理数的应用； 4.易错点集中在符号、运算顺序、绝对值的非负性。 实数的概念与计算 1.实数的分类（有理数与无理数辨析）； 2.平方根、算术平方根、立方根的计算与辨析； 3.无理数的估算； 4.实数的混合运算（含无理数）； 5.实数与数轴的对应关系。 1.题型以选择、填空为主，解答题中偶尔穿插无理数运算； 2.难度中等偏低，重点考查概念辨析和估算能力； 3.命题常结合平方根、算术平方根的非负性设计求值题； 4.易考查无理数与有理数的区别，以及实数大小比较的技巧。 整式乘法与因式分解 1.幂的运算法则（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）； 2.单项式、多项式的乘法运算； 3.因式分解（提公因式法、公式法）； 4.整式化简求值； 5.因式分解与方程、不等式的结合应用。 1.题型覆盖选择、填空、解答题，是核心考点； 2.难度中等，侧重考查运算能力和逆向思维； 3.因式分解常结合化简求值、解方程考查，需注意分解彻底； 4.易出现幂的运算法则混淆、漏乘项、符号错误等命题陷阱。 分式的概念与计算 1.分式有意义、无意义、值为0的条件判断； 2.分式的化简、约分、通分； 3.分式的混合运算； 4.分式方程的解法及检验； 5.分式的化简求值（含字母取值范围）。 1.题型以解答题为主，选择、填空为辅； 2.难度中等，重点考查分式的运算能力和隐含条件（分母不为0）的把握； 3.分式方程常结合实际应用考查，需重点关注增根的检验； 4.命题陷阱多集中在约分忽略分母不为0、去分母漏乘、符号错误。 二次根式的概念与计算 1.二次根式有意义的条件判断； 2.二次根式的化简与性质； 3.同类二次根式的判断与合并； 4.二次根式的混合运算； 5.二次根式的化简求值、分母有理化。 1.题型以选择、填空、解答题为主，难度中等； 2.侧重考查二次根式的化简能力和性质应用； 3.常结合实数运算、整式化简考查，需注意运算前提（被开方数非负）； 4.易错点集中在二次根式化简不彻底、分母有理化失误、忽略有意义条件。 规律探究问题 1.数字规律探究（数列、数阵）； 2.图形规律探究（图形个数、形状变化）； 3.符号规律探究； 4.规律的提炼与代数式表示； 5.根据规律求解特定项、未知项。 1.题型以选择、填空为主，偶尔作为解答题中档题考查； 2.难度中等偏上，侧重考查观察、分析、归纳能力； 3.命题特点是“从特殊到一般”，需结合前几项规律提炼通用表达式； 4.常结合图形、数阵设计题目，易因观察不全面导致规律提炼错误。 新定义问题 1.新定义运算的应用（转化为常规运算）； 2.新定义概念的辨析与应用； 3.结合新定义求解求值、判断、解方程等问题； 4.新定义与已学知识的综合应用。 1.题型以选择、填空压轴题或解答题中档题为主； 2.难度中等偏上，侧重考查阅读理解能力和转化思想； 3.命题核心是“读懂定义、转化应用”，定义本身难度不大，关键是结合已学知识解题； 4.易因误解定义、忽略定义的适用条件导致错误。 考点一 有理数的概念与计算 《解题指南》 易错提醒： 混淆“正数/负数”与“正有理数/负有理数”：0既不是正数也不是负数，是整数但不属于正、负有理数；注意“非负数”是0和正数，“非正数”是0和负数，避免遗漏0。 绝对值计算失误：忽略绝对值的非负性（任何数的绝对值≥0），如|a|=-a时，易忽略a≤0的前提；计算|a-b|时，未判断a与b的大小就直接去绝对值符号。 有理数混合运算顺序错误：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内，易出现先算加减再算乘除，或忽略括号优先级的问题；尤其注意负号的传递，如-2²与(-2)²的区别（前者=-4，后者=4）。 命题点01 相反数、绝对值与倒数 【典例1】．（2025·四川绵阳·中考真题）的相反数是（   ） A． B．7 C． D． 【典例2】．（2024·甘肃兰州·中考真题）的绝对值是（   ） A． B． C．2024 D． 【典例3】．（2024·江苏宿迁·中考真题）的倒数为（    ） A． B． C． D． 【典例4】．（2025·浙江·模拟预测）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最远的是（　　） A． B． C．1 D．3 【典例5】．（2025·浙江·二模）有理数 是2025的（　　） A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．平方根 【典例6】．（2026·浙江温州·一模）______． 命题点02 有理数的大小比较 【典例1】．（2025·四川·中考真题）下列各数中，最大的是(    ) A． B． C．0 D．1 【典例2】．（2025·山西·中考真题）下列各数中比小的数是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·山东威海·中考真题）如表记录了某日我国四个城市的平均气温： 城市 北京 哈尔滨 威海 香港 气温（℃） 其中，平均气温最低的城市是（　　） A．北京 B．哈尔滨 C．威海 D．香港 【典例4】．（2025·湖北武汉·中考真题）在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是_________． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 【典例5】．（2026·浙江杭州·一模）下列各数中，比小的数是（） A．1 B．0 C． D． 【典例6】．（2025·浙江丽水·二模）下表是几种液体在标准大气压下的沸点，其中沸点最高的液体是（   ） 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氢 沸点/℃ A．液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氮 命题点03 有理数的计算 【典例1】．（2025·江苏无锡·中考真题）计算的结果为（　　） A． B． C．1 D．5 【典例2】．（2025·江苏南通·中考真题）计算，正确的结果是（   ） A． B．5 C． D．6 【典例3】．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【典例4】．（2025·四川巴中·中考真题）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 【典例5】．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算：________． 【典例6】．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 命题点04 科学记数法 【典例1】．（2025·四川绵阳·中考真题）据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【典例3】，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【典例4】．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【典例5】米，将这个数用科学记数法表示为______米． 【典例6】．（2025·浙江宁波·二模）2025年1月，中国人工智能企业深度求索（）宣布，其研发的智能助手的用户数量突破120000000，称为全球用户量最大的智能助手之一．数据120000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【典例7】.000000007米，那么7纳米用科学记数法可表示为（     ）米 A． B． C． D． 中考预测题 1.微信支付方便生活．如图是某人某天的微信支付账单，如果支出用负数表示，收入用正数表示，则这个人一天的收支情况表述正确的是（    ） A．收入元 B．支出元 C．支出元 D．结余元 2.若有理数与互为相反数，则下列表述错误的为（    ） A． B． C． D． 3.计算： 考点二 实数的概念与计算 《解题指南》 易错提醒：混淆“实数分类”：无理数是无限不循环小数，易将无限循环小数、带根号但能开尽方的数（如√4=2）归为无理数；忽略“实数与数轴上的点一一对应”，认为无理数不能在数轴上表示。 平方根与算术平方根混淆：算术平方根是非负数，如√4=2，而非±2；易忽略平方根的双重性（正数有两个平方根，互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根） 命题点01 平方根、立方根、算术平方根的计算 【典例1】．（2024·四川内江·中考真题）16的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【典例2】．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是______． 【典例3】．（2023·湖南·中考真题）的立方根是______． 【典例4】．（2025·浙江·中考真题）计算：________． 【典例5】．（2026·浙江湖州·一模）__________． 【典例6】．（2025·浙江·三模）计算： 命题点02 实数的分类 【典例1】．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【典例3】．（2022·山东日照·中考真题）在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例4】，，，这四个数中随机选取一个数，取出的数是有理数的概率是________． 命题点03 无理数的大小估算 【典例1】．（2024·天津·中考真题）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【典例2】．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【典例3】．（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【典例4】．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【典例5】．（2025·浙江温州·模拟预测）若m为小于1的正数，则m与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 命题点04 实数的混合计算 【典例1】．（2025·陕西·中考真题）计算：． 【典例2】．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 【典例3】．（2025·西藏·中考真题）计算：． 【典例4】．（2025·浙江·模拟预测）计算： 【典例5】．（2025·浙江丽水·二模）计算：． 中考预测题 1.5的平方根是______． 2.比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 3.计算：． 考点三 整式乘法与因式分解 《解题指南》 解题思维： 牢记三大幂的运算法则，计算时先判断运算类型，再分步计算；多项式乘多项式，可采用“十字相乘”“逐项相乘再合并同类项”的方法，避免漏乘；计算后合并同类项，化简结果。 因式分解：遵循“一提、二套、三查”原则——第一步提公因式（公因式包括系数的最大公约数、相同字母的最低次幂）；第二步套公式；第三步查是否分解彻底，确保每一个因式不能再分解。 命题点01 幂的计算 【典例1】．（2025·四川雅安·中考真题）下列运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【典例4】．（2025·浙江·模拟预测）下列运算中，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例5】．（2025·浙江温州·二模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 命题点02 整式的运算 【典例1】．（2025·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·江苏宿迁·中考真题）下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·四川雅安·中考真题）已知：和是同类项，则______． 【典例4】．（2025·浙江舟山·一模）综合与实践                  有趣的“乘法运算” 小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究． 【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘． 【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数． 例：，前积是13，后积是16 （1），前积是_______，后积是_______； 【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果． （2）______________________________， 【推理算法】记两位数分别是和，且，其中， （3）请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明． 【典例5】．（2025·浙江·模拟预测）已知，求代数式的值． 命题点03 乘法公式 【典例1】．（2025·四川·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____． 【典例4】．（2024·上海·中考真题）计算_____． 【典例5】．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知方程有4个根，，，．则_____ 【典例6】．（2026·浙江湖州·一模）化简求值：，其中． 【典例7】．（2026·浙江杭州·一模）化简求值：，其中． 命题点04 整式的化简求值 【典例1】．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 【典例2】．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【典例3】．（2025·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 命题点05 因式分解 【典例1】．（2024·甘肃甘南·中考真题）分解因式：______． 【典例2】．（2025·山东青岛·中考真题）因式分解___________ 【典例3】．（2025·浙江台州·二模）分解因式：__________． 【典例4】．（2025·浙江杭州·二模）因式分解：______． 中考预测题 1.下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2.因式分解______． 3.先化简，再求值：，其中． 考点四 分式的概念与计算 《解题指南》 解题思维： 概念优先：遇到分式相关题目，先判断分式有意义、无意义、值为0的条件，再进行后续运算；化简、求值时，先标注分母不为0的限制条件，避免出错。 运算技巧：分式加减，先找最简公分母，通分后再合并分子，最后约分；分式乘除，先将除法转化为乘法（乘倒数），再分解因式、约分，简化计算；分式混合运算，遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的顺序。 命题点01 分式有意义、为0的条件 【典例1】．（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【典例3】．（2025·四川德阳·中考真题）函数中自变量的取值范围是_____． 【典例4】．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知分式，若当时分式的值为0，则实数a的值为______． 【典例5】．（2025·浙江台州·二模）已知分式（，为常数），的部分取值及对应分式的值如下表，则的值是（   ） 3 无意义 0 2 A． B． C．3 D．4 命题点02 分式的化简、运算 【典例1】．（2025·山东东营·中考真题）化简____________． 【典例2】．（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 【典例3】．（2025·四川·中考真题）化简：． 【典例4】．（2025·浙江·模拟预测）地震规模大小通常用里氏震级表示，一次地震的里氏震级与距离震中处测得的最大振幅（单位：）之间的关系为（为常数）．若里氏震级提高2级，则距离震中处测得的最大振幅将增大到原来的（    ） A．100倍 B．20倍 C．10倍 D．2倍 【典例5】．（2025·浙江杭州·一模）把电阻值分别为的两电阻并联后接入某电路中，其并联总电阻值（单位：）满足．当时，___________． 【典例6】．（2025·浙江丽水·二模）先化简，再求值：，其中． 中考预测题 1.若分式的值为0，则x的值为_______． 2.，求代数式的值． 考点五 二次根式的概念与计算 《解题指南》 解题思维：概念辨析：牢记二次根式有意义的条件（被开方数非负），化简、计算前先确定字母的取值范围；判断同类二次根式，先将所有二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同。 运算策略：加减运算，只合并同类二次根式，非同类的保留原式；乘除运算，先化简再运算，巧用运算律简化计算；求值题，先化简二次根式，再代入符合条件的数值，减少计算量，提高准确率。 命题点01 二次根式有意义的条件 【典例1】．（2022·江苏徐州·中考真题）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·四川绵阳·中考真题）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·浙江杭州·模拟预测）使得函数有意义的的取值范围是______． 【典例4】．（2025·浙江·模拟预测）在二次根式中，字母a的取值范围是______． 命题点02 二次根式的运算 【典例1】．（2025·江苏淮安·中考真题）计算：______． 【典例2】．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是____________． 【典例3】．（2023·浙江杭州·中考真题）计算：______． 【典例4】．（2025·浙江嘉兴·一模）下列计算正确的为（   ） A． B． C． D． 【典例5】．（2025·浙江杭州·一模）计算：． 中考预测题 1.下列各式，正确的是（    ） A． B． C． D． 2.已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 3.化简：____． 考点六 规律探究问题 《解题指南》 解题思维：观察方法：从“图形特征、数字变化、符号变化”三个角度观察，先列出前5-6个项（图形的个数、数字的大小、符号的正负），对比分析，找出变化规律（如递增/递减、循环、倍数、平方关系等）。 规律提炼：分类型突破——① 数字规律：看相邻两项的差、比，或与序号的关系（平方、倍数、和差）；② 图形规律：看图形的组成部分（如小正方形的个数），转化为数字规律，再提炼代数式；③ 循环规律：先找到循环周期，除以周期，看余数确定结果。 验证规律：提炼出规律代数式后，代入前几个已知项，验证是否符合；若不符合，重新观察、调整规律，确保规律的普遍性。 规范表达：明确规律代数式中𝑛的取值范围，书写代数式时规范，避免符号、系数错误；最后根据代数式求解题目所求。 命题点01 数与式的规律探究 【典例1】，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是______． 【典例3】．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式为___________． 【典例4】．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 命题点02 图形的规律探究 【典例1】．（2025·浙江杭州·模拟预测）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第⑦个图案中黑色棋子有（    ） A．16个 B．17个 C．18个 D．19个 【典例2】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 【典例3】．（2025·浙江杭州·模拟预测）一组有规律的图案如图所示，第①个图案有4个五角星，第②个图案有7个五角星，第③个图案有10个五角星，……，第⑥个图案有_________个五角星． 【典例4】．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为_______．（用含n的代数式表示） 命题点03 传统文化结合规律的探究 【典例1】．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 【典例2】．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为____． 【典例3】．（2026·浙江温州·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为81时，则的值为__________． 【典例4】．（2026·浙江·模拟预测）中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下．如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的一次项系数为_____． 【典例5】．（2023·四川巴中·中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1                        1   1                      1   2   1                    1   3   3   1                  当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．2或 【典例6】．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 中考预测题 1.下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 2.苯是一种有机化合物，是结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图为小轩用小棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，，按照此规律，第个图形要用______根小棒．    3.某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 考点七 新定义问题 《解题指南》 解题思维：精读定义：认真阅读新定义的每一句话，圈画关键条件（如运算规则、适用范围、符号含义），明确新定义的本质（是运算、概念，还是性质），确保完全理解，不遗漏细节。 转化思想：将新定义转化为熟悉的数学知识——① 新定义运算：转化为整式、分式、实数的常规运算，按规则分步计算；② 新定义概念：转化为已学的概念（如新定义“对称数”，转化为轴对称、中心对称的知识），结合已学方法解题。 命题点01 定义新运算 【典例1】．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算： ，给出下列结论：① ；②若 ，则；③ ；④若 ，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则______． 【典例3】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是_____． 【典例4】．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______． 【典例5】．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义一种新运算：，则______． 【典例6】．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 命题点02 定义新概念 【典例1】．（2024·四川成都·三模）在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数，否则称为合数．若一个偶数可以写成两个奇合数的和，则称这个偶数为“佳偶数”，例如：，则24和30都称为“佳偶数”．最大的一个非“佳偶数”是_______． 【典例2】．（2025·山东泰安·三模）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义：对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：1，4，9这三个数，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是2，最大的算术平方根是6．已知2，a，8三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则a的值________． 【典例3】．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【典例4】．（2022·四川凉山·模拟预测）阅读下列材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为，依此类推，排在第 n位的数称为第n项，记为． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）．如：数列2，4，8，16，…为等比数列，其中，公比为． 若要求这个等比数列的和，即求的值．可按照下列方法： 解：设①， 得：②， 得， 即． 然后解决下列问题． (1)等比数列，，，的公比q为______，第5项是______． (2)如果已知一个等比数列的第一项（设为）和公比（设为q），则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：，，，，．由此可得第n项______（用和q的代数式表示）． (3)已知一等比数列的第3项为10，第6项为60，求这个等比数列的第9项． (4)请你用上述方法求的值（设，结果用表示）． 【典例5】．（2024·四川宜宾·中考真题）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（    ） A．8 B．18 C．28 D．32 【典例6】．（2024·重庆·中考真题）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”，分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是______．把一个“方减数”进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数为______． 中考预测题 1.若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字之和的平方正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和数”，比如：，满足；若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字的平方差正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差数”，比如：，满足；那么最大的“和数”与最小的“差数”之和是___________．如果一个“和数”与一个“差数”的个位数字均为、十位数字均为，且，若为整数时，记，则的最大值是___________． 2.定义新运算：，若，则的值为_________． 好题速递 1.（2026·浙江·模拟预测）截至2月8日（春运第7天）全社会跨区域人员流动量为227713000人次，227713000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 2.（2026·浙江杭州·一模）下列各数中，比小的数是（） A．1 B．0 C． D． 3.（2026·浙江温州·一模）下列式子运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4.（2026·浙江杭州·一模）小金在学习平方差公式时，得到了估算一个数的算术平方根的近似公式：（其中是与接近的完全平方数，且）其推理过程见下图． 推理过程： 若接近于，则有， ． 例如，估算的近似值，此时，取，即，则． (1)请用上述方法估算的值． (2)在估算近似值时，小金发现取6或7，所得估值都相同． ①请验证小金的发现． ②求取13或14时，所得近似值相同的无理数． 5.（2026·浙江杭州·一模）化简求值：，其中． 6.（2026·浙江嘉兴·一模）已知一列数，我们将第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，…，第个数记为，这个数的和记为（即），并且这列数从第3个数开始满足，，…，．例如，当，时，，，…，，，…… (1)当，时，求和的值． (2)若，且，求的值． 7.（2026·浙江舟山·一模）因式分解：_____． 8.（2026·浙江温州·一模）计算的结果为__________． 9.（2026·浙江温州·一模）若,则的值为__________． 中考闯关 1.计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2.下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3.的相反数是（   ） A． B．1 C．0 D． 4.如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第7个图形中黑色棋子的个数为（    ） A．9 B．22 C．25 D．19 5.多项式因式分解的结果是__________． 6.2026年2月2日至3月13日春运期间，全社会跨区域旅客流动量达9410000000人次，请将9410000000用科学记数法表示为________． 7.式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 8.计算：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点01 数与式 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（7大命题点+19道中考预测题，中考必考·（8-15）分） 考点一 有理数的概念与计算 命题点 1 相反数、绝对值与倒数 命题点 2 有理数大小的比较 命题点 3 有理数的计算 命题点 4 科学记数法 中考预测题3道 考点二 实数数的概念与计算 命题点 1 平方根、立方根、算术平方根的计算 命题点 2 实数的分类 命题点 3 无理数的大小估算 命题点 4 实数的混合计算 中考预测题3道 考点三 整式乘法与因式分解 命题点 1 幂的计算 命题点 2 整式的运算 命题点 3 乘法公式 命题点 4 整式的化简求值 命题点 5 因式分解 中考预测题3道 考点四 分式的概念与计算 命题点 1 分式有意义、为0的条件 命题点 2 分式的化简、运算 中考预测题2道 考点五 二次根式的概念与计算 命题点 1 二次根式有意义的条件 命题点 2 二次根式的运算 中考预测题3道 考点五 规律探究问题 命题点 1 数与式的规律探究 命题点 2 图形的规律探究 命题点 3 传统文化结合规律的探究 中考预测题3道 考点七 新定义问题 命题点 1 新定义运算 命题点 2 新定义概念 中考预测题2道 04好题速递·分层闯关（精选9道最新名校模拟试题+8道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 有理数的概念与计算 1.有理数的分类、相反数、绝对值、倒数的概念辨析； 2.有理数的混合运算（含乘方、加减乘除）； 3.有理数的大小比较； 4.结合数轴考查有理数的相关性质。 1.题型以选择题、填空题为主，偶尔结合解答题第一问考查； 2.侧重基础，难度偏低，主要考查对概念的理解和运算的准确性； 3.常结合实际场景（如温度、海拔）考查有理数的应用； 4.易错点集中在符号、运算顺序、绝对值的非负性。 实数的概念与计算 1.实数的分类（有理数与无理数辨析）； 2.平方根、算术平方根、立方根的计算与辨析； 3.无理数的估算； 4.实数的混合运算（含无理数）； 5.实数与数轴的对应关系。 1.题型以选择、填空为主，解答题中偶尔穿插无理数运算； 2.难度中等偏低，重点考查概念辨析和估算能力； 3.命题常结合平方根、算术平方根的非负性设计求值题； 4.易考查无理数与有理数的区别，以及实数大小比较的技巧。 整式乘法与因式分解 1.幂的运算法则（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）； 2.单项式、多项式的乘法运算； 3.因式分解（提公因式法、公式法）； 4.整式化简求值； 5.因式分解与方程、不等式的结合应用。 1.题型覆盖选择、填空、解答题，是核心考点； 2.难度中等，侧重考查运算能力和逆向思维； 3.因式分解常结合化简求值、解方程考查，需注意分解彻底； 4.易出现幂的运算法则混淆、漏乘项、符号错误等命题陷阱。 分式的概念与计算 1. 分式有意义、无意义、值为0的条件判断； 2. 分式的化简、约分、通分； 3. 分式的混合运算； 4. 分式方程的解法及检验； 5. 分式的化简求值（含字母取值范围）。 1. 题型以解答题为主，选择、填空为辅； 2. 难度中等，重点考查分式的运算能力和隐含条件（分母不为0）的把握； 3. 分式方程常结合实际应用考查，需重点关注增根的检验； 4. 命题陷阱多集中在约分忽略分母不为0、去分母漏乘、符号错误。 二次根式的概念与计算 1. 二次根式有意义的条件判断； 2. 二次根式的化简与性质； 3. 同类二次根式的判断与合并； 4. 二次根式的混合运算； 5. 二次根式的化简求值、分母有理化。 1. 题型以选择、填空、解答题为主，难度中等； 2. 侧重考查二次根式的化简能力和性质应用； 3. 常结合实数运算、整式化简考查，需注意运算前提（被开方数非负）； 4. 易错点集中在二次根式化简不彻底、分母有理化失误、忽略有意义条件。 规律探究问题 1. 数字规律探究（数列、数阵）； 2. 图形规律探究（图形个数、形状变化）； 3. 符号规律探究； 4. 规律的提炼与代数式表示； 5. 根据规律求解特定项、未知项。 1. 题型以选择、填空为主，偶尔作为解答题中档题考查； 2. 难度中等偏上，侧重考查观察、分析、归纳能力； 3. 命题特点是“从特殊到一般”，需结合前几项规律提炼通用表达式； 4. 常结合图形、数阵设计题目，易因观察不全面导致规律提炼错误。 新定义问题 1. 新定义运算的应用（转化为常规运算）； 2. 新定义概念的辨析与应用； 3. 结合新定义求解求值、判断、解方程等问题； 4. 新定义与已学知识的综合应用。 1. 题型以选择、填空压轴题或解答题中档题为主； 2. 难度中等偏上，侧重考查阅读理解能力和转化思想； 3. 命题核心是“读懂定义、转化应用”，定义本身难度不大，关键是结合已学知识解题； 4. 易因误解定义、忽略定义的适用条件导致错误。 考点一 有理数的概念与计算 《解题指南》 易错提醒： 混淆“正数/负数”与“正有理数/负有理数”：0既不是正数也不是负数，是整数但不属于正、负有理数；注意“非负数”是0和正数，“非正数”是0和负数，避免遗漏0。 绝对值计算失误：忽略绝对值的非负性（任何数的绝对值≥0），如|a|=-a时，易忽略a≤0的前提；计算|a-b|时，未判断a与b的大小就直接去绝对值符号。 有理数混合运算顺序错误：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内，易出现先算加减再算乘除，或忽略括号优先级的问题；尤其注意负号的传递，如-2²与(-2)²的区别（前者=-4，后者=4）。 命题点01 相反数、绝对值与倒数 【典例1】．（2025·四川绵阳·中考真题）的相反数是（   ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握“数的相反数是”是解题的关键． 根据相反数的定义，求-7的相反数． 【详解】解：的相反数是． 故选：B． 【典例2】．（2024·甘肃兰州·中考真题）的绝对值是（   ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】该题考查了绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】解：的绝对值是2024． 故选：C． 【典例3】．（2024·江苏宿迁·中考真题）的倒数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义，一个数的倒数是指与该数相乘等于的数，即可求解． 【详解】解：的倒数为， 故选：A． 【典例4】．（2025·浙江·模拟预测）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最远的是（　　） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的计算；利用数轴与绝对值的知识解答． 【详解】解：∵， ∴距离原点最远． 故选：A． 【典例5】．（2025·浙江·二模）有理数 是2025的（　　） A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．平方根 【答案】B 【分析】本题考查相反数，绝对值，倒数，平方根，熟练掌握相关概念是银题的关键． 根据相反数、绝对值、倒数、平方根的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不是2025的倒数，故此选项不符合题意； B、∵与2025互为相反数，∴是2025的相反数，故此选项符合题意； C、∵2025的绝对值是2025，∴不是2025的绝对值故此选项不符合题意； D、∵2025的平方根是，∴不是2025的平方根，故此选项不符合题意； 故选：B． 【典例6】．（2026·浙江温州·一模）______． 【答案】 【详解】解：． 命题点02 有理数的大小比较 【典例1】．（2025·四川·中考真题）下列各数中，最大的是(    ) A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较时绝对值大的反而小． 先将选项中的数按“负数、0、正数”分类，明确正数大于0、0大于负数的基本关系；再对负数部分比较绝对值大小，最后综合判断所有数的大小顺序，找出最大的数． 【详解】解：根据有理数大小比较法则可知，仅有D选项符合题意．   故选：D． 【典例2】．（2025·山西·中考真题）下列各数中比小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可判断求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于负数， ∴比小的数在，，中， ∵两个负数，绝对值大的数反而更小， 又∵， ∴， ∴比小的数是， 故选：． 【典例3】．（2025·山东威海·中考真题）如表记录了某日我国四个城市的平均气温： 城市 北京 哈尔滨 威海 香港 气温（℃） 其中，平均气温最低的城市是（　　） A．北京 B．哈尔滨 C．威海 D．香港 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，比较四个城市的平均气温，找出最小的数值即可，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：根据表格数据可知，， ∴平均气温最低的城市是哈尔滨， 故选：B． 【典例4】．（2025·湖北武汉·中考真题）在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是_________． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 【答案】液态氧 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，根据有理数比较大小的方法比较出四个物质凝固点的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴凝固点最低的物质是液态氧， 故答案为：液态氧． 【典例5】．（2026·浙江杭州·一模）下列各数中，比小的数是（） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数大小比较规则：正数大于，大于所有负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．求解即可． 【详解】解∶∵，，，， ∴， ∴比小的数是． 【典例6】．（2025·浙江丽水·二模）下表是几种液体在标准大气压下的沸点，其中沸点最高的液体是（   ） 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氢 沸点/℃ A．液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氮 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据“两个负数相比较，绝对值大的反而小”，可得答案． 【详解】解：∵ 沸点值：液态氧 ，液态氢 ，液态氮 ，液态氦 ， 且均为负数， ∴ 比较绝对值：，，，， ∵ ， ∴ ， ∴ 沸点最高的是液态氧， 故选：A． 命题点03 有理数的计算 【典例1】．（2025·江苏无锡·中考真题）计算的结果为（　　） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法运算．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，由此可解． 【详解】解：， 故选：C． 【典例2】．（2025·江苏南通·中考真题）计算，正确的结果是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】根据有理数乘法法则中“两数相乘，同号得正”来计算的结果．本题主要考查有理数的乘法法则，熟练掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：． 【典例3】．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 【典例4】．（2025·四川巴中·中考真题）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方的应用． 根据题意可知每经历一个半衰期，质量变为原来的，由此可得经历个半衰期后的质量． 【详解】解：， ∴经历了个半衰期后的质量为． 故选：D． 【典例5】．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算：________． 【答案】0 【分析】此题考查了乘方和零指数幂，根据乘方和零指数幂计算后再计算加法即可． 【详解】解： 故答案为：0 【典例6】．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【详解】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 命题点04 科学记数法 【典例1】．（2025·四川绵阳·中考真题）据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 【典例2】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： ， 故选：C． 【典例3】，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 【典例4】．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】∵1皮秒秒， ∴400皮秒秒． ∴秒． 故选：A． 【典例5】米，将这个数用科学记数法表示为______米． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 【典例6】．（2025·浙江宁波·二模）2025年1月，中国人工智能企业深度求索（）宣布，其研发的智能助手的用户数量突破120000000，称为全球用户量最大的智能助手之一．数据120000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的形式为，其中，n为整数，确定n的值时，看原数小数点移动的位数． 【详解】解：∵，且1.2满足， ∴ 用科学记数法表示为， 故选：B． 【典例7】.000000007米，那么7纳米用科学记数法可表示为（     ）米 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示的形式为，其中，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）． 【详解】解：． 中考预测题 1.微信支付方便生活．如图是某人某天的微信支付账单，如果支出用负数表示，收入用正数表示，则这个人一天的收支情况表述正确的是（    ） A．收入元 B．支出元 C．支出元 D．结余元 【答案】C 【分析】本题考查正负数的意义，支出用负数表示，收入用正数表示，根据某人某天的微信支付账单，可知，表示某人某天收入元，表示某人某天支出元，结余元，判断出正确选项． 【详解】解：由微信支付账单可知，表示某人某天收入元，表示某人某天支出元，结余元， 正确的选项是． 故选：C． 2.若有理数与互为相反数，则下列表述错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 根据相反数的意义，逐一分析选项即可判断对错． 【详解】∵有理数与互为相反数 ∴根据相反数的定义，得， A．，故本选项表述正确，不符合题意； B．由移项，得，故本选项表述正确，不符合题意； C．由移项，得，即，故本选项表述正确，不符合题意； D．若，则，此时与相等而非互为相反数，故本选项表述错误，符合题意； 故选：D． 3.计算： 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减乘法运算，解题的关键是掌握绝对值的定义以及有理数的运算法则．计算绝对值、括号内的式子、再根据有理数的乘法法则计算，最后计算加减． 【详解】解： ． 考点二 实数的概念与计算 《解题指南》 易错提醒：混淆“实数分类”：无理数是无限不循环小数，易将无限循环小数、带根号但能开尽方的数（如√4=2）归为无理数；忽略“实数与数轴上的点一一对应”，认为无理数不能在数轴上表示。 平方根与算术平方根混淆：算术平方根是非负数，如√4=2，而非±2；易忽略平方根的双重性（正数有两个平方根，互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根） 命题点01 平方根、立方根、算术平方根的计算 【典例1】．（2024·四川内江·中考真题）16的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，根据平方根的性质，一个正数的平方根有两个，互为相反数， 16 的平方根是． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：D． 【典例2】．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是______． 【答案】2 【分析】根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 【典例3】．（2023·湖南·中考真题）的立方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，先计算的值，再求其立方根即可，掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：因为表示的算术平方根， 所以 ， 所以的立方根是 ，即的立方根是， 故答案为：． 【典例4】．（2025·浙江·中考真题）计算：________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 【典例5】．（2026·浙江湖州·一模）__________． 【答案】1 【分析】先算平方和算术平方根再相加即可． 【详解】解： 【典例6】．（2025·浙江·三模）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、负整数指数幂等．先计算算术平方根、化简绝对值、负整数指数幂，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 命题点02 实数的分类 【典例1】．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【典例2】．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 【典例3】．（2022·山东日照·中考真题）在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答． 【详解】解：在实数，x0（x≠0）=1，，中，有理数是，x0=1， 所以，有理数的个数是2， 故选：B． 【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 【典例4】，，，这四个数中随机选取一个数，取出的数是有理数的概率是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数分类，有理数定义，概率公式计算，根据实数分类方法，得出，，，这四个数中有理数有3个，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：四个数中，，是有理数，故从四个数中随机选取一个数，取出的数是有理数的概率是． 故答案为：． 命题点03 无理数的大小估算 【典例1】．（2024·天津·中考真题）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键，要估计的值，可以通过比较已知的平方数来确定其范围． 【详解】解：∵，，且10介于9和16之间， ∴应在3和4之间， 故选：C． 【典例2】．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 【典例3】．（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键； 根据，可得，即可得到答案 【详解】解：∵， ∴， ∴估计的值在1和2之间， 故选：A 【典例4】．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 【典例5】．（2025·浙江温州·模拟预测）若m为小于1的正数，则m与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，求一个数的算术平方根，结合题意，举出例子进行分析，即可作答． 【详解】解：∵m为小于1的正数， ∴ ∴， ∴ 故选：C． 命题点04 实数的混合计算 【典例1】．（2025·陕西·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，先运算乘法，乘方，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 【典例2】．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 【典例3】．（2025·西藏·中考真题）计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零次幂，平方根等，解题的关键是熟练掌握各运算法则．利用特殊角的三角函数值，零次幂，平方根的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【典例4】．（2025·浙江·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】先根据负整数指数幂、算术平方根、绝对值的性质化简，再合并即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：                【典例5】．（2025·浙江丽水·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根，零指数幂，绝对值等知识点，正确化简是解题的关键． 根据立方根的定义、零指数幂的性质以及绝对值的性质，分别对各项进行化简，再进行加减计算． 【详解】解： 中考预测题 1.5的平方根是______． 【答案】± 【分析】根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，据此求解5的平方根. 【详解】因为，所以的平方根是． 2.比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】对于两个正数，可通过比较平方后结果的大小判断原数大小，平方更大的原数更大，据此求解. 【详解】解：∵ ，， 又∵ ， ∴ . 3.计算：． 【答案】 【分析】根据、、进行计算即可． 【详解】解： ． 考点三 整式乘法与因式分解 《解题指南》 解题思维： 牢记三大幂的运算法则，计算时先判断运算类型，再分步计算；多项式乘多项式，可采用“十字相乘”“逐项相乘再合并同类项”的方法，避免漏乘；计算后合并同类项，化简结果。 因式分解：遵循“一提、二套、三查”原则——第一步提公因式（公因式包括系数的最大公约数、相同字母的最低次幂）；第二步套公式；第三步查是否分解彻底，确保每一个因式不能再分解。 命题点01 幂的计算 【典例1】．（2025·四川雅安·中考真题）下列运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项，，不符合题意； 选项，，符合题意； 选项，，不符合题意； 选项，与不是同类项，不能合并，不符合题意． 【典例2】．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解： ， ， 故选：A． 【典例3】．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，正确运算是解题的关键．从左到右先进行同底数幂的乘法运算，再进行同底数幂的除法运算即可． 【详解】解：, 故选：D． 【典例4】．（2025·浙江·模拟预测）下列运算中，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了算术平方根，幂的乘方，同底数幂的除法，有理数的乘方，根据正数的算术平方根是正数可知A选项错误，根据幂的乘方，底数不变指数相乘B选项错误，根据幂的除法，底数不变，指数相减C选项错误，根据有理数乘方，负数的平方为正数D选项正确． 【详解】解：A、，A选项错误； B、，B选项错误； C、，C选项错误； D、，D选项正确； 故选：D． 【典例5】．（2025·浙江温州·二模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相乘．根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：A． 命题点02 整式的运算 【典例1】．（2025·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 【典例2】．（2025·江苏宿迁·中考真题）下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法，根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法逐一排除即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不可以合并，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 【典例3】．（2025·四川雅安·中考真题）已知：和是同类项，则______． 【答案】/ 【分析】根据同类项的定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”可得，，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵和是同类项，     ∴， 解得：， ∴． 【典例4】．（2025·浙江舟山·一模）综合与实践                  有趣的“乘法运算” 小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究． 【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘． 【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数． 例：，前积是13，后积是16 （1），前积是_______，后积是_______； 【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果． （2）______________________________， 【推理算法】记两位数分别是和，且，其中， （3）请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明． 【答案】（1）22，36；（2），2125；（3）算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且，其中，，那么．证明见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的乘法，数字变化的规律，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． （1）利用题干中的示例的方法解答即可； （2）仿照例题的解答过程运算即可； （3）利用多项式乘以多项式的法则运算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴前积是22，后积是36． 故答案为：22，36； （2）． 故答案为：，2125； （3）算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且，其中，，那么． 证明：∵，，， ∴ ， ∵， ∴ ． 【典例5】．（2025·浙江·模拟预测）已知，求代数式的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代数式求值．利用整式混合运算法则把式子进行整理，再将变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值为5． 命题点03 乘法公式 【典例1】．（2025·四川·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了去括号，合并同类项，完全平方公式和积的乘方等计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 【典例2】．（2025·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂的乘法计算，单项式乘以多项式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据幂的乘方计算，同底数幂的乘法计算，单项式乘以多项式，完全平方公式逐项计算判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 【典例3】．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 【典例4】．（2024·上海·中考真题）计算_____． 【答案】 【分析】根据平方差公式计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【典例5】．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知方程有4个根，，，．则_____ 【答案】 【分析】本题考查多项式方程根的相关性质、多项式乘以多项式及代数式的巧妙变形，关键在于得出． 根据方程的四个根得出，根据多项式乘以多项式法则展开，根据系数对应关系得出，利用平方差公式把所求式子变形，利用多项式乘以多项式法则得出，，利用平方差公式把所求式子变形即可得答案． 【详解】设多项式 有四根， ∴， ∴ 同理：， ∴ ． 故答案为： 【典例6】．（2026·浙江湖州·一模）化简求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 【典例7】．（2026·浙江杭州·一模）化简求值：，其中． 【答案】5 【分析】利用完全平方公式和单项式乘以多项式将所求式子化简，再将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 命题点04 整式的化简求值 【典例1】．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】，13 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【典例2】．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】利用完全平方公式和整式加减的运算法则进行化简，根据平方根的性质即可求得答案． 【详解】原式 ． 当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式、整式的加减、平方根，牢记完全平方公式和整式加减的运算法则是解题的关键． 【典例3】．（2025·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，再进行合并，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 命题点05 因式分解 【典例1】．（2024·甘肃甘南·中考真题）分解因式：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解． 【详解】解： ． 【典例2】．（2025·山东青岛·中考真题）因式分解___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【典例3】．（2025·浙江台州·二模）分解因式：__________． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【典例4】．（2025·浙江杭州·二模）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，掌握知识点是解题的关键． 根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 中考预测题 1.下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据积的乘方运算法则、合并同类项法则、完全平方公式、平方差公式，逐一计算各选项即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 2.因式分解______． 【答案】 【分析】先提取公因式.再利用平方差公式分解即可. 【详解】解： . 3.先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了完全平方公式和多项式的乘法，求代数式的值等知识，利用完全平方公式和多项式乘法法则展开，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解：原式， 当时， 原式． 考点四 分式的概念与计算 《解题指南》 解题思维： 概念优先：遇到分式相关题目，先判断分式有意义、无意义、值为0的条件，再进行后续运算；化简、求值时，先标注分母不为0的限制条件，避免出错。 运算技巧：分式加减，先找最简公分母，通分后再合并分子，最后约分；分式乘除，先将除法转化为乘法（乘倒数），再分解因式、约分，简化计算；分式混合运算，遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的顺序。 命题点01 分式有意义、为0的条件 【典例1】．（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母 . 【详解】∵ 分式 有意义需分母 ， ∴ ， 故选： A． 【典例2】．（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【答案】A 【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 【典例3】．（2025·四川德阳·中考真题）函数中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】此题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零是解题的关键． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，从而确定x的取值范围． 【详解】解：使分式有意义的条件是分母不为0， 因此， 解得． 故答案为：． 【典例4】．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知分式，若当时分式的值为0，则实数a的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零，根据题意把代入，得出，即可解得实数a的值． 【详解】解：∵分式，当时分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例5】．（2025·浙江台州·二模）已知分式（，为常数），的部分取值及对应分式的值如下表，则的值是（   ） 3 无意义 0 2 A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查分式综合问题，涉及分式无意义条件、解一元一次方程、解分式方程等知识，读懂题意，由的部分取值及对应分式的值表，代值列方程求解即可得到答案，熟练掌握分式求值及解方程是解决问题的关键． 【详解】解：由表可知， 当时，，分式无意义，则，解得； 当、时，，则，即，解得； 当、、时，，则，解得； 故选：B． 命题点02 分式的化简、运算 【典例1】．（2025·山东东营·中考真题）化简____________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【典例2】．（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减的应用，因式分解应用，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．先求出，根据，得出，，，即可得出，从而得出． 【详解】解：∵ ， ∵， ∴，，， ∴， ∴． 【典例3】．（2025·四川·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 【典例4】．（2025·浙江·模拟预测）地震规模大小通常用里氏震级表示，一次地震的里氏震级与距离震中处测得的最大振幅（单位：）之间的关系为（为常数）．若里氏震级提高2级，则距离震中处测得的最大振幅将增大到原来的（    ） A．100倍 B．20倍 C．10倍 D．2倍 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握知识点是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则计算，即可解答． 【详解】由，得 ， 即． 故选A． 【典例5】．（2025·浙江杭州·一模）把电阻值分别为的两电阻并联后接入某电路中，其并联总电阻值（单位：）满足．当时，___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、异分母的分式加减运算等知识点，掌握分式的基本性质成为解题的关键． 将代入用分式的加减运算法则运算，然后运用分式的基本性质整理即可解答． 【详解】解：将代入可得：， 所以． 故答案为：． 【典例6】．（2025·浙江丽水·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先利用完全平方公式和因式分解法化简分式，再代入求值． 【详解】解：原式 当 时，原式． 中考预测题 1.若分式的值为0，则x的值为_______． 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件，可得分子等于0，且分母不等于0，求解后舍去使分母为零的解，即可得到的值． 【详解】解：由题意得：，且． 因式分解得． 解得或． 由得． 因此． 2.，求代数式的值． 【答案】6 【分析】先算括号内的分式减法，然后算分式除法，通过约分化成最简，最后代入即可求解． 【详解】解： =， =， =， =， ∵， ∴， 则原式=． 考点五 二次根式的概念与计算 《解题指南》 解题思维：概念辨析：牢记二次根式有意义的条件（被开方数非负），化简、计算前先确定字母的取值范围；判断同类二次根式，先将所有二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同。 运算策略：加减运算，只合并同类二次根式，非同类的保留原式；乘除运算，先化简再运算，巧用运算律简化计算；求值题，先化简二次根式，再代入符合条件的数值，减少计算量，提高准确率。 命题点01 二次根式有意义的条件 【典例1】．（2022·江苏徐州·中考真题）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 【典例2】．（2025·四川绵阳·中考真题）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键． 逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可． 【详解】解：选项A：，故一定有意义； 选项B：当时，，故不一定有意义； 选项C：当时，，故不一定有意义； 选项D：，故仅在时有意义， 故选：A． 【典例3】．（2025·浙江杭州·模拟预测）使得函数有意义的的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查了函数的自变量、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0和二次根式的被开方数是非负数是解题关键． 根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数是非负数求解即可得． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 所以自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 【典例4】．（2025·浙江·模拟预测）在二次根式中，字母a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义即被开方数为非负数解答即可． 【详解】解：根据题意得， 解得 故答案为： 命题点02 二次根式的运算 【典例1】．（2025·江苏淮安·中考真题）计算：______． 【答案】 2 【分析】利用平方根的乘法性质，将两个平方根合并为一个平方根，再计算根号内的表达式． 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式乘法法则是解决关键． 【详解】解：根据平方根的性质，， 所以 ， 计算 ， 因此 ． 故答案为：2． 【典例2】．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是____________． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【典例3】．（2023·浙江杭州·中考真题）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简与减法运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简，再进行二次根式的减法运算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【典例4】．（2025·浙江嘉兴·一模）下列计算正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质和运算，根据二次根式的性质和运算法则逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 【典例5】．（2025·浙江杭州·一模）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了实数的运算，涉及二次根式的乘法运算等知识点，掌握运算法则是解题的关键． 先计算乘方和二次根式的乘法运算，再进行有理数的乘法运算，最后进行加减计算． 【详解】解：原式，   ， ． 中考预测题 1.下列各式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，求一个数的算术平方根，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．根据算术平方根的定义，二次根式性质，逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B正确； C．，算术平方根结果为非负数，不应有负数，故C错误； D．和在实数范围内无意义，故 D错误． 故选：B． 2.已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 3.化简：____． 【答案】 / 【分析】根据二次根式的性质，结合绝对值的性质计算即可． 【详解】解：． 考点六 规律探究问题 《解题指南》 解题思维：观察方法：从“图形特征、数字变化、符号变化”三个角度观察，先列出前5-6个项（图形的个数、数字的大小、符号的正负），对比分析，找出变化规律（如递增/递减、循环、倍数、平方关系等）。 规律提炼：分类型突破——① 数字规律：看相邻两项的差、比，或与序号的关系（平方、倍数、和差）；② 图形规律：看图形的组成部分（如小正方形的个数），转化为数字规律，再提炼代数式；③ 循环规律：先找到循环周期，除以周期，看余数确定结果。 验证规律：提炼出规律代数式后，代入前几个已知项，验证是否符合；若不符合，重新观察、调整规律，确保规律的普遍性。 规范表达：明确规律代数式中𝑛的取值范围，书写代数式时规范，避免符号、系数错误；最后根据代数式求解题目所求。 命题点01 数与式的规律探究 【典例1】，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是， 小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9， ∴第n个数小数部分是， ∴第n个数是， 故选：A． 【典例2】．（2025·山东滨州·中考真题）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．华罗庚解释如下： ①由，，，可得，由此确定是两位数； ②59319的个位上的数是9，因为只有的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，，又，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39． 已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是______． 【答案】72 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，根据华罗庚的方法，首先判断立方根的位数：由于，因此立方根是两位数；其次，根据个位数字8，确定立方根的个位数字是2；最后，划去后三位248得到373，通过比较，，确定十位数字是7，从而得到立方根为72． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ∴ 是两位数． ∵ 373248 的个位数字是 8，且只有 的个位数字是 8， ∴ 的个位数字是 2， 划去 373248 后三位数字 248，得到 373． ∵ ，，且 ， ∴ 的十位数字是 7． 因此，． 故答案为 ：72． 【典例3】．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1，据此可得答案． 【详解】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1， 所以第个等式为：， 故答案为：． 【典例4】．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 【答案】(1)小明的猜想不正确，反例： (2)见解析 (3)当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是 【分析】（1）举反例即可； （2）①当且时，可得，得，不合题意； ②当且时，可得，可得，得，即得． （3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．当时，必有，，即；当时，必有，，即． 【详解】（1）解：小明的猜想不正确． 反例：． （2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意； ②，所以，又，所以， 由（*）知，所以． （3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是． 证明如下： 由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则． 由小华的命题知，当时，必有， 此时，，所以； 当时，必有， 此时，，所以． 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是， 【点睛】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键． 命题点02 图形的规律探究 【典例1】．（2025·浙江杭州·模拟预测）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第⑦个图案中黑色棋子有（    ） A．16个 B．17个 C．18个 D．19个 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是根据图形的变化找出规律． 根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，根据规律列出式子，即可求出答案． 【详解】解：图1有1个棋子； 图2有4个棋子，比图1多了3个； 图3有7个棋子，比图1多了个； 图4有10个棋子，比图1多了个； …… 则图7有个棋子； 故选：D． 【典例2】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查找几何图形中的数字规律，根据前面几个图归纳出数字规律是解决问题的关键．先观察图形，得到每个图形中小正方形的个数，进而得到数字规律，即可求解． 【详解】解：拼第一个正方形需要个小正方形； 拼第二个正方形需要个小正方形； 拼第三个正方形需要个小正方形； ．．．．．． 按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形； 第六个正方形需要个小正方形， 故选：C． 【典例3】．（2025·浙江杭州·模拟预测）一组有规律的图案如图所示，第①个图案有4个五角星，第②个图案有7个五角星，第③个图案有10个五角星，……，第⑥个图案有_________个五角星． 【答案】19 【分析】本题主要考查了图形类的规律问题， 根据第①个图案有4个五角星，第②个图案有个五角星，第③个图案有个五角星，依次类推，可得数字变化的规律，进而解答即可． 【详解】解：第①个图案有4个五角星； 第②个图案有个五角星； 第③个图案有个五角星； ， 依次类推， 第⑥个图案有个五角星. 故答案为：19． 【典例4】．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为_______．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多3个黑色棋子即可解决． 【详解】解：观察发现： 第一个图形有个黑色棋子， 第二个图形有个黑色棋子， 第三个图形有个黑色棋子， …， 第n个图形有个黑色棋子， 故答案为：． 命题点03 传统文化结合规律的探究 【典例1】．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 【典例2】．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为____． 【答案】 【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果． 【详解】根据题意得：展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律． 【典例3】．（2026·浙江温州·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为81时，则的值为__________． 【答案】5或 【分析】根据给出的规律得到，则，解方程即可． 【详解】解：由题意得， 即， 解得或． 【典例4】．（2026·浙江·模拟预测）中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下．如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的一次项系数为_____． 【答案】228 【分析】本题考查数学常识，解题的关键是掌握数学的历史文化．据此解答即可． 【详解】解：根据“天元式”规定的意义，图2表示的多项式是：， ∴一次项系数为228， 故答案为：228． 【典例5】．（2023·四川巴中·中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1                        1   1                      1   2   1                    1   3   3   1                  当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．2或 【答案】C 【分析】由规律可得：，令，，可得，再解方程即可． 【详解】解：由规律可得：， 令，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故选：C． 【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键． 【典例6】．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】(1) (2)，，，其中、、都是正整数，，证明见解析 (3)280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 中考预测题 1.下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意发现方格中各部分数字的变化规律及之间的关系是解题的关键． 根据所给方格中的数字，发现数字的变化规律即可解决问题． 【详解】每个方格中左上角的数字依次为， 所以第n个方格中左上角的数字可表示为， 每个方格左下角的数字是左上角数字的一半，所以第n个方格中左下角的数字可表示为， 每个方格右上角数字比左上角的数字大5，所以第n个方格中右上角的数字可表示为: ， 当时，，，， 又， 所以． 故选：B． 2.苯是一种有机化合物，是结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图为小轩用小棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，第个图形用了根小棒，，按照此规律，第个图形要用______根小棒．    【答案】 【分析】本题考查了图形类的规律变化问题，由已知图形可得第个图形用了根小棒，进而即可求解，由已知图形找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵第个图形用了根小棒， 第个图形用了根小棒， 第个图形用了根小棒， ， ∴第个图形用了根小棒， 当时，， ∴第个图形要用根小棒， 故答案为：． 3.某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 【答案】(1)；； (2)存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383 【分析】本题考查了图形的变化类问题．解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 仔细观察图形发现：每一个图形的中心有一个圆，周围是图形序数减1的差乘图形序数2倍减1的差．利用这一规律解题即可． 【详解】（1）解：补充航航同学的分析： ， ． 补充悦悦同学的分析： 图n中有个圆， ∴． 故答案为：37；；． （2）解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383， 由题意得， 解得，（舍去）， 存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383. 考点七 新定义问题 《解题指南》 解题思维：精读定义：认真阅读新定义的每一句话，圈画关键条件（如运算规则、适用范围、符号含义），明确新定义的本质（是运算、概念，还是性质），确保完全理解，不遗漏细节。 转化思想：将新定义转化为熟悉的数学知识——① 新定义运算：转化为整式、分式、实数的常规运算，按规则分步计算；② 新定义概念：转化为已学的概念（如新定义“对称数”，转化为轴对称、中心对称的知识），结合已学方法解题。 命题点01 定义新运算 【典例1】．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算： ，给出下列结论：① ；②若 ，则；③ ；④若 ，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴ ，故①正确， ②∵ ， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③ 不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 【典例2】．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则______． 【答案】15 【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15． 【典例3】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得， ； 故答案为 ． 【典例4】．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴关于a的不等式组即 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为， ∴ 解得： 故答案为：． 【典例5】．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义一种新运算：，则______． 【答案】 【分析】本题考查新定义下的运算，完全平方公式，解题的关键是理解新定义运算．根据新定义运算法则和完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 【典例6】．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）直接按照新定义计算即可； （2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可； （3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 命题点02 定义新概念 【典例1】．（2024·四川成都·三模）在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数，否则称为合数．若一个偶数可以写成两个奇合数的和，则称这个偶数为“佳偶数”，例如：，则24和30都称为“佳偶数”．最大的一个非“佳偶数”是_______． 【答案】38 【分析】本题是自定义类规律题，主要考查奇数偶数和合数的概念． 通过理解奇合数的定义，然后通过举例和推理，找出不能表示为两个奇合数之和的最大偶数． 【详解】奇合数有：， 以上分别为：， 可以知道：为两个奇数之积，一定是奇合数， 所以大于等于 40 的偶数都能写成两个奇合数之和， 而 ， 均不为两个奇合数之和， 所以 38 即为不能写成两个奇合数之和的最大偶数； 故最大的一个非“佳偶数”是最大的一个是 38 ． 故答案为：38． 【典例2】．（2025·山东泰安·三模）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义：对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：1，4，9这三个数，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是2，最大的算术平方根是6．已知2，a，8三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则a的值________． 【答案】18 【分析】本题考查了算术平方根的概念以及对新定义“和谐组合”的理解与运用，解题的关键是根据＂和谐组合＂的定义列出关于的等式，再结合最大算术平方根与最小算术平方根的关系求解． 先根据“和谐组合”的定义，再结合最大算术平方根是最小算术平方根的3倍分情况讨论求出的值． 【详解】由题意可分3种情况， （1）， 解得：，不符合题意， （2）， 解得：，符合题意， （3）， 解得：，不符合题意， 综上，的值为18， 故答案为：18． 【典例3】．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 【典例4】．（2022·四川凉山·模拟预测）阅读下列材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为，依此类推，排在第 n位的数称为第n项，记为． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）．如：数列2，4，8，16，…为等比数列，其中，公比为． 若要求这个等比数列的和，即求的值．可按照下列方法： 解：设①， 得：②， 得， 即． 然后解决下列问题． (1)等比数列，，，的公比q为______，第5项是______． (2)如果已知一个等比数列的第一项（设为）和公比（设为q），则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：，，，，．由此可得第n项______（用和q的代数式表示）． (3)已知一等比数列的第3项为10，第6项为60，求这个等比数列的第9项． (4)请你用上述方法求的值（设，结果用表示）． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据等比数列和公比的定义，即可求解； （2）根据等比数列的定义，即可求解； （3）设这个等比数列的第一项为和公比为q，根据等比数列的定义和同底数幂的乘除法法则，即可求解； （4）根据题意，，设①，左右两边同乘得，②，得，即可求解． 【详解】（1）解： ， ； 第5项是； （2）解：等比数列的第一项（设为）和公比（设为q）， 第n项； （3）解：设这个等比数列的第一项为和公比为q， 第3项为10，第6项为60， ，， ， 第9项为； （4）解：设，①， 得：②， 得，则，即， ． 【典例5】．（2024·四川宜宾·中考真题）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（    ） A．8 B．18 C．28 D．32 【答案】C 【分析】本题考查新定义，解题的关键是正确读懂新定义．根据新定义逐个判断即可得到答案． 【详解】解∶∵，， ∴8不是完美数，故选项A不符合题意； ∵，， ∴18不是完美数，故选项B不符合题意； ∵，， ∴28是完美数，故选项C符合题意； ∵，， ∴32不是完美数，故选项D不符合题意； 故选：C 【典例6】．（2024·重庆·中考真题）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”，分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是______．把一个“方减数”进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数为______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，设，则（，）根据最小的“方减数”可得，代入，即可求解；根据除以余数为，且（为整数），得出为整数，是完全平方数，在，，逐个检验计算，即可求解． 【详解】设，则（，） 由题意得：， ∵，“方减数”最小， ∴， 则，， ∴， 则当时，最小，为， 故答案为：； 设，则（，） ∴ ∵除以余数为， ∴能被整除 ∴为整数， 又（为整数） ∴是完全平方数， ∵， ∴最小为，最大为 即 设，为正整数， 则 当时，，则，则是完全平方数，又，，无整数解， 当时，，则,则是完全平方数，又，，无整数解， 当时，，则，则是完全平方数， 经检验，当时，，，， ∴， ∴ 故答案为：，． 中考预测题 1.若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字之和的平方正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和数”，比如：，满足；若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字的平方差正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差数”，比如：，满足；那么最大的“和数”与最小的“差数”之和是___________．如果一个“和数”与一个“差数”的个位数字均为、十位数字均为，且，若为整数时，记，则的最大值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，完全平方公式，平方差公式，根据新定义以及最大，最小的四位数的特征写出，求其差；根据依题意表示出，进而根据是整数，得出，从而得到为偶数，再讨论求解，进而求得的值，求得，取最大值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴最大的 “和数”千位最大只能为，则百位为 ∵ ∴最大的十位为，则个位为 ∴最大的 “和数”为 最小的“差数”的千位为，百位最小为时，完全平方数之差没有相差10的数， 则百位数为，此时 ∴最小的“差数”为 ∴最大的“和数”与最小的“差数”之和是； ∵一个“和数”与一个“差数”的个位数字均为、十位数字均为， ∴， ∴ ∵ ∵为整数时 ∴能被整除 ∴ ∴为偶数， 当时， ∵， ∴不合题意， 当， 解得：，则此时N不是四位数，不符合题意； 当时，， ∵， ∴或 ∴或（舍去）， ∴， 当时， ∵， ∴或 ∴（舍去）（舍去）； 当时，，同理可求得只有符合题意， ∴ ……， 综上所述，的最大值为， 故答案为：；． 2.定义新运算：，若，则的值为_________． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是正确理解题意． 根据题意，可得，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 好题速递 1.（2026·浙江·模拟预测）截至2月8日（春运第7天）全社会跨区域人员流动量为227713000人次，227713000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的标准形式为，要求，为整数，的值等于原数的整数位数减1，据此得出结论． 【详解】解：用科学记数法可表示为． 2.（2026·浙江杭州·一模）下列各数中，比小的数是（） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数大小比较规则：正数大于，大于所有负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．求解即可． 【详解】解∶∵，，，， ∴， ∴比小的数是． 3.（2026·浙江温州·一模）下列式子运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘除，同类项合并，幂的乘方的运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，故运算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故运算错误，不符合题意； C、，故运算错误，不符合题意； D、，故运算正确，符合题意． 4.（2026·浙江杭州·一模）小金在学习平方差公式时，得到了估算一个数的算术平方根的近似公式：（其中是与接近的完全平方数，且）其推理过程见下图． 推理过程： 若接近于，则有， ． 例如，估算的近似值，此时，取，即，则． (1)请用上述方法估算的值． (2)在估算近似值时，小金发现取6或7，所得估值都相同． ①请验证小金的发现． ②求取13或14时，所得近似值相同的无理数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据题意，估算的近似值，此时，取，即，代入求值即可； （2）①或7，分别代入求值即可； ②根据题意或14，代入然后列方程即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得此时，取，即， ； （2）①解：当，时， ； 当，时， ； 所以小金的发现正确； ②解：当时， ； 当时， ； ∴ 解得， ． 5.（2026·浙江杭州·一模）化简求值：，其中． 【答案】5 【分析】利用完全平方公式和单项式乘以多项式将所求式子化简，再将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 6.（2026·浙江嘉兴·一模）已知一列数，我们将第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，…，第个数记为，这个数的和记为（即），并且这列数从第3个数开始满足，，…，．例如，当，时，，，…，，，…… (1)当，时，求和的值． (2)若，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，求解即可； （2）先表示出，，，然后根据列式求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以； 因为， 所以． （2）解：若， 则，，． 由得， 所以， 所以， 所以． 7.（2026·浙江舟山·一模）因式分解：_____． 【答案】 【详解】解：． 8.（2026·浙江温州·一模）计算的结果为__________． 【答案】5 【分析】根据绝对值的性质和算术平方根的定义分别化简两项，再求和得到最终结果． 【详解】解：． 9.（2026·浙江温州·一模）若,则的值为__________． 【答案】4 【分析】先通过合并同类项进行化简，再代数求值即可． 【详解】解：原式， 将代入，原式． 中考闯关 1.计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式将分母有理化，化简后即可得到结果． 【详解】解：原式． 2.下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用积的乘方法则、同类项定义、完全平方公式、平方差公式，逐一判断选项正误． 【详解】解：．因此，A选项错误； （无法合并）．因此，B选项错误； ．因此，C选项错误； ，因此，D选项正确． 3.的相反数是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】先根据零指数幂的运算法则计算出的值，再根据相反数的定义求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴的相反数是． 4.如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第7个图形中黑色棋子的个数为（    ） A．9 B．22 C．25 D．19 【答案】B 【分析】根据图形得出规律第个图形中，黑色棋子的个数为，再令，计算即可得出结果． 【详解】解：第个图形中，黑色棋子的个数为； 第个图形中，黑色棋子的个数为； 第个图形中，黑色棋子的个数为； …， 第个图形中，黑色棋子的个数为， 故第7个图形中黑色棋子的个数为． 5.多项式因式分解的结果是__________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：原式． 6.2026年2月2日至3月13日春运期间，全社会跨区域旅客流动量达9410000000人次，请将9410000000用科学记数法表示为________． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，根据科学记数法的定义确定和的值即可． 【详解】解：． 7.式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，即可得到答案． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， 即， 解得． 8.计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $