专题10 计数原理&专题11 统计与概率-【满分思维】2026年高考数学真题分类

专题十计数原理 易考点1分步乘法计数原理、排列与组合 填空题 【生产生活】(2025·上海卷)已知4名家长与2名儿童去爬山，并拍摄亲子郊游活动照片.若6个人需要 排成一条队列，且队列的头和尾均是家长，则不同的排列方式有 种 昆考点2 二项式定理 填空题 1.(2025·上海卷)在(2x一1)5的展开式中，x3的系数为 2.(2025·天津卷)在(x一1)6的展开式中，x3的系数为 3.(2025·北京卷)已知(1-2x)=a0-2a1x十4a2x2-8a3x3+16a4x4,则ao=a1十a2十a3+ a4=】 ·21· 专题十一统计与概率 昆 考点1样本的数字特征 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (2025·全国Ⅱ卷)样本数据2,8,14,16,20的平均数为 A.8 B.9 C.12 D.18 昆 考点2 事件的相互独立性 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， (2025·上海卷)已知事件A,B相互独立，事件A发生的概率P(A)=号，事件B发生的概率P(B)= ,则事件A∩B发生的概率P(A∩B)日 A.0 B c D.1 昆考点3 离散型随机变量的分布列与数学期望 一、填空题 1.(2025·上海卷)已知随机变量X的分布为 56 7 ,则期望E(X)= 0.20.30.5/ 2.(2025·全国I卷)有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取3次，每次取1个 球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)= 二、解答题 3.(2025·北京卷)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参 加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的 答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75. 假设学生之间答题相互独立.用频率估计概率， (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名.设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X= 1的概率及X的数学期望. ·22· (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该 知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%. 设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1,p2,判断p1与p2的大小.（结论不要 求证明)》 昆考点4二项分布、正态分布 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.(2025·天津卷)下列说法错误的是 A.若X~N(,o2),则P(X≤一o)=P(X≥十o) B.若X~N(1,2),Y~N(2,2),则P(X<1)<P(Y<2) C.r越接近1，线性相关程度越强 D.r越接近0，线性相关程度越弱 二、填空题 2.(2025·天津卷)小桐操场跑圈，一周2次，一次跑5圈或6圈，第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第 一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6.若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概 率为0.6，跑6圈的概率为0.4，则 ①小桐一周跑11圈的概率为 ②若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记达标周数为X,则期望E(X)= ·23· 考点5 统计与概率的综合应用 解答题 1.【生产生活】(2025·全国I卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调 查了1000人，得到如下列联表： 单位：人 超声波检查结果 组别 正常 合计 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p,求p的估计值. (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关 n (ad-bc)2 附：X2=(a+b)(c+d)(a+c)b+d) a 0.050 0.010 0.001 Ta 3.841 6.63510.828 ·24· 2.(2025·上海卷)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌，以下是历届奥运会男 子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列. 206.78207.46207.95209.34209.35 210.68213.73214.84216.93216.93 (1)求这组数据的极差和中位数. (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率， (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y=一0.311x十b,年份x的平均数为2006，预测2028年冠 军队的成绩（精确到0.01秒）. ·25·因为线段AM的中垂线L的斜率为2（题眼）， 所以。=-之，即m-号（提示：两直线垂直，则两直线的针 0-a 率之积等于一1) 所以直线1的方程为y=2(x-号)+受， 即y=2x-兴 y=2x-4 联立 +-. 消去y并整理得(6+4a)r-ax+a(%-）=0, △>0. 设C(x1y1),D(x2y2), 专题十计 考点1分步乘法计数原理、排列与组合 288排列先排头尾，再排其他位置（题眼），有A?A=288种. 考点2二项式定理 1.80二项式定理展开式的通项T二C:(2x): 1C:2·1·x(题眼)，令5-r=3,解得 r=2,所以x3的系数（易错：项的系数和二项式系数混淆）为 专题十一 考点1样本的数字特征 C平均数2+8+14+16+20-12，故选C 5 考点2事件的相互独立性 B事件的相互独立性因为A,B相互独立，所以P(A∩B)= P(A)P(B)=子放选B 考点3离散型随机变量的分布列与数学期望 1.6.3离散型随机变量的期望由期望公式得期望E(X)=5× 0.2+6×0.3+7×0.5=6.3. 2%离散型随机变量的数学期望 ·数学 3a3 9a4-80a2 所以x1+x,=5十4ax1:=16(5+4a) 若∠CMD为钝角，则cos∠CMD<0, 所以W.流=（1y-m）(2-m）=(2,-婴）· (2x,）-5w-受十）+2g <0(技巧：当题 16 目中出现钝角，且求参数的取值范围时，一般借助向量的数量积 小于0解题)， 即5(9a‘-80a2) 15a4 16(5+4a2(5+4a2)中160 整理得a2(a一√11)(a+√11)<0， 解得一11<a<11. 又因为a>5,所以w5<a<√1I. 所以a的取值范围为(5，√T). 数原理 C×23×(-1)2=80. 2.一20二项式定理(x一1)6的展开式的通项为T,+1= C%x6-r·(-1)'=(-1)'C5x8-.由6-r=3,得r=3,所以该展 开式中x3的系数为（一1）3C%=一20. 3.115二项式定理(1-2x)1=1一8x+24x2一32x3+16x1= ag-2a1x十4a2x2-8a3x3十16a1x(题眼)（技巧：利用二项式 定理直接展开成多项式，确定相应系数的值)，所以a0=l,a1= 4,a2=6,a3=4,a4=1.所以a1+a2+a3+a4=15. 统计与概率 :【思维导图】X的所有可能取值→对应概率→数学期望. 5×4×3 由题可知X的所有可能取值为1,2,3，且P(X=3)= 5×5×5 12 P(X=2)=发SS-号P(X=1)=x5-店，故 CCC 12 5 61 E(X)=25 3.概率+离散型随机变量的数学期望 解：(1)根据甲校的抽样数据可知，100名学生中有80名学生选 择正确， 所以概*p可以估计为器-Q8 (2)设乙校高一年级学生该题选择正确的概率为q. 由题意知9可以估计为品=05 答21· 设事件A:从甲校高一年级抽取的学生该题选择正确； 事件B:从乙校高一年级抽取的学生该题选择正确， 根据题意，X的所有可能值为0,1,2，且 P(X=0)=P(AB)=P(A)P(B)=(1-p)(1-g), P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=pq, P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=p+q-2q. EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2XP(X=2)=饣+q, 所以X=1的概率可以估计为0.8十0.75-2×0.8×0.75=0. 35, EX可以估计为0.8+0.75=1.55. (3)p1<p2 【解题过程】设甲校抽取的100名学生中有m名学生掌握该知识 点.则m十(10-m)×=80(题眼). 人人人人人入 解得m=3· 220 用频率估计概率，得甲校高一年级学生掌握该知识点的概率 11 p=15 设乙校抽取的100名学生中有n名学生掌握该知识点，则 n×0.85+(100-n)× 4=75(题眼)， 解得n=250 用频率估计概率，得乙校高一年级学生掌握该知识点的概率 5 p2=6 .p1<p2 考点4二项分布、正态分布 1.B正态分布曲线的性质+样本相关系数对于A,由X~ N(u,)知，该正态分布曲线关于直线x=μ对称，所以P(X≤ -o)=P(X≥十o),故A正确.对于B,由X~N(1,2)知，该 正态分布曲线关于直线x=1对称，所以P(X<1)=0.5.由Y~ V(2,2)知，该正态分布曲线关于直线x=2对称，所以P(Y<2) 0.5.所以P(X<1)=P(Y<2).故B不正确.对于C,D,对于样 本相关系数r,其取值范围是[一1,1]，当r越接近1，成对样本 数据的线性相关程度越强；当越接近0，成对样本数据的线性 相关程度越弱，故C,D正确.综上，故选B. 2.①0.6②3.2概率计算+二项分布①小桐一周跑11圈的 概率为0.5×0.6十0.5×0.6=0.6；②一周运动达标的概率为 0.5×0.6+0.5×0.6+0.5×0.4=0.8.由题意知X B(4,0.8),所以E(X)=4×0.8=3.2. ·数学 考点5统计与概率的综合应用 1.概率+独立性检验 【思维导图1)由题表得超声波检查结果不正常的人数不！ ·正常的人中患该疾病的人数→得解」 (2)零假设→X:与临界值来对比得出结论 解：(1)由题表知超声波检查结果不正常的有200人，这200人 中患该疾病的有180人，则b=20010: 1809 (2)零假设H。:超声波检查结果与是否患该疾病无关 则X2=1000×(20×20-180×780)2 =765.625>10.828 200×800×800×200 (题眼). 根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立 即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关. 2.极差+中位数+古典概型的概率公式+线性回归方程的应用 极差定义 【思维导图】(1)已知条件 极差、中位数」 中位数定义 计数原理、组合数 :(2)已知条件古典标型的概率公式 概率 :(3)已知条件7，y6一回归方程=2028预测2028年冠 !军队的成绩 解：(1)这组数据的极差为216.93一206.78=10.15（秒）. 中位数为(209.35+210.68)÷2=210.015（秒）. (2)由题知，共有10个数据，其中在21以上的数据有4个，在 211以下的数据有6个（题眼）， 放所水数率为瓷 3 101 (3)由题知，x=2006,y=10×(206.78+207.46+207.95+ 209.34+209.35+210.68+213.73+214,84+216.93大 216,93)三211399（题眼）. 又y=-0.311x+6, 所以211.399=一0.311×2006十b(关键：线性回归方程过样本 点的中心(x,y) 所以b=211.399+0.311×2006=835.265. 所以y=-0.311x+835.265. 当x=2028时，y=-0.311×2028+835.265=204.557≈ 204.56. 故预测2028年冠军队的成绩约为204.56秒. 答22·