专题9 解析几何-【满分思维】2026年高考数学真题分类

因为A'B丈平面CD'F,PCC平面CD'F, 所以A'B平面CD'F, 证法三（向量法）：易知四边形AEFD为矩形， 所以EF⊥DF,EF⊥FC, 即EF⊥D'F 因为D'F∩FC=F,DF,FCC平面CD'F, 所以EF⊥平面CD'F. 又F为CD的中点， 所以DF=DF'=FC. 易得∠DFC为平面EFD'A'与平面EFCB所成的二面角， 所以∠D'FC=60°. 所以△CD'F为正三角形 取CF的中点Q,连接QD', 则D'Q,FC,EF两两相互垂直. 以Q为坐标原点，过点Q作平行于EF的直线为x轴，FC所在 直线为y轴，QD'所在直线为之轴建立空间直角坐标系， 设AD=a, 则A(ao,）,B(a,号o）则A市-(b号-2）， 易知平面CD'F的一个法向量为m=(1,0,0), 所以m·A官=0. 所以A'B平面CD'F. (2)解法一（几何法）：延长EF交BC延长线于点C1,则 ∠C1FC=90°. 由平面EFD'A'与平面EFCB所成二面角为60°，得∠D'FC= 60°. 又D'F=FC, 所以△CD'F是正三角形. 设DF=FC=1, 则EF=1,BE=2. 故FC1=1. 故V三枝锥D-C,心=3 XIXIX×号 且D'C1=√2，D'C=1,C1C=√2， 所以S△DC,c=4 专题九 考点1直线与圆、圆与圆的位置关系 1.B直线与圆的位置关系+点到直线的距离公式易求得圆心 ·数 则F到平面DC,C的距离h=, 7 F到DG的距海d=号 故平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角的正弦值为 7 解法二（向量法）：建系同(1)证法三 设AD=a, 则A(ao.2）B(a,号）.c(o号，D'(oo.2） E(a,-20)F(o,-号0 则BC=(-a,-a,0.而=(o,-号，2)，A店 o-g9）)i-(-,) 设平面BCD'的法向量为n=(x1y1,之1)， BC·n=0, 则 CD.n=0, -ax1-ay1=0, 即 则a=(.-1,-号)月 设平面EFD'A'的法向量为p=(x2y2,之2)， A它·p=0, 则 A市·p=0, a 2y-22=0, 即 3a -a-号-=0 则p=(0,3,-3). 所以1sap1=只 所以平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角的正弦值为 解析儿何 (0,-2)到直线y=√3.x+2的距离d=2.当r=1时，该圆上到 直线的距离为1的点有且仅有一个.当r=3时，该圆上到直线 的距离为1的点有且仅有三个，故当1<r<3时，圆x2+(y十 答16· 2)2=r2(r>0)上到直线y=√3x+2的距离为1的点有且仅有 两个.故选B. 2.2点到直线的距离公式+直线与圆的位置关系由题意，得 A(一6,0)，B(0,6),圆心（一1,3），所以AB=6√2.所以 1CD|=22.圆心(-1,3)到直线x-y十6=0的距离d= -1=3+6l=2,则由1CD1=2VP-d,即22= √12+(-1) 2√，2-2，解得r=2. 考点2椭圆的定义、标准方程及几何性质 椭圆的定义+椭圆的标准方程+三角形的面积 :【思维导图】(1)已知条件精国基本量间的关系 a=2,b=1 12,c=2x 21题#A(,2）,B(,-2）一 iIOA、 ！OBh2 →证出h1=h2反→得解. 「2a=4(提示：椭圆的定义)， 解：(1)由题意得 a 2’ a2=b2+c2. 解得a=2,b=√2，c=2(题眼). 所以椭圆E的方程为号+号-1 xox+2yoy-4=0, (2)设A(xA,2),由 x0≠0)得xA= y=2 4-4y0 xo 因此A(一4少，2）. 同理得B(4牛4，-2). xo 设△OAM的OA边上的高为h1,△OBM的OB边上的高为h2, 则S 之OAX1OAlL(题眼)】 BIXh2 OBh2 2 直线OA,OB的方程分别为xox-(2-2yo)y=0, xox+(2+2yo)y=0. 所以h1= Ixoxo-(2-2yo)yo Ixoxo+(2+2yo)yol ,h2= √x6+(2-2yo)2 √x6+(2+2y)7 因为点M(x,yo)在椭圆E上， 所以x号十2y8=4. ·数学 x6+2y3-2yo 14-2yo1 所以h,= 2l2-yl=2, √x6+4y6-8y十4√2话-8y,+8√2|y-2 1x8+2y8+2yo1 |4+2yl h2= 2l2+yol=2. √Jx+4y话+8y+4√2y6+8y+8√2lyo十2l 所暖0×始18 考点3直线与椭圆的位置关系 1.椭圆的标准方程与几何性质+弦长公式+点到直线的距离公 式+直线与椭圆的位置关系 ----------21 2 离心率e= i【思维导图】(1)长轴长2a=4→a=2 →b2=2→1 b2 ! e=/1- a2 !椭圆方程。 :(2)易知直线1的斜率存在→设直线1：y=kx-2,A(x1, y1),B(x2,y2) 代入椭圆方程 △>0，x1十x2,x1x21 点到直线的距离公式|AB,点0到直线1的距离d 弦长公式 !三角形面积公式 k2→AB. -------------- 解：(1)因为椭圆的长轴长为4， 所以2a=4. 所以a=2. 由离心率公式e=1 a及e 21 得 ,b2 2=√1- 4 解得b2=2. 因此稀网（的方程为听+苦-1 (2)当直线（的斜率不存在时，显然不成立， 所以直线1的斜率存在（提示：斜率不存在时，A,O,B不构成三 角形，故斜率必存在) 不妨设直线l:y=kx-2,A(x1y1),B(x2y2), 将直线L的方程代入椭圆方程得(1+2k2)x2一8kx+4=0, 8k △=(-8k)2-16(1+2k2)>0,x1+x2=1十2k2, 4 x1x2=1+2k2 得子 由弦长公式得|AB|=√1+k2·|x1一x2|=√1十k2· 4√2k2-1 1+2k (k>)(提示：弦长公式中，x1-x1 答17· √(x1十x2)2一4x1x2,利用韦达定理简化计算). 1-21 2 点O到直线l的距离d= √R2+1√k2+1 则5m=8d1.6. 2 1+2k2 √2+1 42k-1=2, 1+2k2 解得=（满足：>）（随联）。 3 所以AB=√1+2 42x号-1 1+2x号 ×9-5 4 」方法技巧 直线与圆锥曲线相交问题： 直线y=.x十b与圆锥曲线交于点A(x1y1),B(x2y2). 弦长公式：AB|=√1十k|x1一x2|; 面积问题：结合点到直线的距离公式，转化为关于斜率k的 方程. 2.椭圆的方程+直线与椭圆的位置关系 解：(1)F(-c,0),设P(a,yo), 则直线PF的斜率为牛。宁 可得y,-, 3 则58m合a+o)x告子， 3 得(a十c)2=9, 即a+c=3.① 又离心率名-}即8=2，巴 联立①②解得a=2,c=1, 所以b2=a2-c2=3. 所以椭圆的方程为了+苦1 (2)证明：由(1)知P(2,1),易知直线PB的斜率存在， 设直线PB的斜率为k, 则直线PB的方程为y一1=k(x-2), (y-1=k(x-2), 联立x2y 得(4k2+3).x2+8k(1-2k)x十4(1-2k)2-12=0, 则△=192k+96, 令△=0，得k=-2 1 ·数学 所以直线PB的方程为y一1=-之x-2》. 即y=-2x+2. =+2. 联立 号-. 化简得x2-2x+1=0, 3 解得x=1,则y=2, 所以B(,号） 则℉弦=(2，)，F市=(3,1)Fi=(30. FB.FP 2x3+×1 所以cOs∠BFP= 南市+（号）×v+中 3√/10 10 FA.F产 3×3+0×1 cOs∠AFP= 3√/10 1FA1IF1√32+02X√32+1F10 因为cos∠BFP=cos∠AFP,∠BFP,∠AFP∈(O,π)， 所以∠BFP三∠AFP(题眼)， 即PF平分∠AFB. 考点4双曲线的标准方程及几何性质 1.D双曲线的离心率依题意得b=√7a,所以c=2√2a(提示： 双曲线中a2十b2=c2).故e=2√2.故选D. 2.B双曲线的离心率与标准方程由题知双曲线的标准方程为 若-y=1a=2,6=1.c=V后于不=5双曲线的离 心率e号故选R 考点5抛物线的定义、标准方程及几何性质 1.C抛物线的定义与几何性质设A(xAyA),B(xByB).因为 lr:y=-2x十2，令y=0,得x=1,∴.F(1,0).p=2(关键：根 据已知条件，确定p的值)，即xB=一1.将xB=一1代入y= -2.x十2，得yB=4,yA=4将yA=4代入y2=4x,得xA=4. lAF=十号-5（提示：抛物线的定义）.故选C 26抛物线的几何性质由题意，得号-3[提示：抛物线y- 2pr(p>0)的焦点坐标为（台0）小解得p=6 答18· 考点6直线与抛物线的位置关系 ACD抛物线的定义+抛物线的几何性质+直线与抛物线的位 置关系对于A,易得F(受，0)，直线1：x=-号是抛物线C 的准线（关键：发现直线是抛物线的准线，从而运用抛物线的 定义求解).由抛物线的定义知|AD=AF|,故A正确.对于 B.显然直线AB的斜率不为0可设直线AB:x=y十号，代 入抛物线C的方程y2=6x,消去x得y2一6y一9=0，△>0.设 A(x1y1),B(x2y2),则y+y2=6,y1y2=-9.|AB|= √1十n2·√y1十y2)2-4y1y2=6(1+n2).EF⊥AB,.直 线EF:y=-n(-).易得E(-号，3m）,∴EF= 3√1+n2..|AE|=√1EF2+AFP=√(1+n)(9+y). 当n=0时，|AB|=6,|AE=3√2，此时|AE|≠|AB|.故B错 误.对于C,由选项B知AB|=6(1+n)≥6，当且仅当n=0时 取等号，故C正确.对于D,由选项B知AE= √(1+n2)(9+y),|BE|=√(1+n2)(9+y),.|AE|· |BE=(1+n2)·/(9+y2)(9+y)=(1+ n2)/81+9(y2+y2)+y2y号=18(1+n2)√/1+n2≥18，当且仅 当n=0时取等号.故D正确.综上，故选ACD. 考点7圆锥曲线的综合应用 1.A抛物线的定义+双曲线的定义与几何性质设P(xoyo), F,(c,0),过点P作抛物线准线的垂线，垂足为A,由题意得 台-c,所以p=2.由双曲线的定义可得PF,1-PF,=2a 又|PF,|+|PF2=3|F,F2|=6c,所以|PF,|=3c+a, |PF2|=3c一a.由抛物线的定义，得|PA|=|PF2|=xo+c= 3c-a,所以xo=2-a.在Rt△PAF,中，|FA2=IPFI2- |PA|2,即y=(3c+a)2-(3c一a)2,即4c(2c一a)=(3c+ a)2-(3c一a)2,整理得c=2a,所以e=C=2.故选A a 2.ACD双曲线的几何性质+圆的方程+直线与圆的位置关系+ 四边形的面积 ,【思维导图】连接MA2,VA2 令点N在第一象民四边形 5π ∠VA,M= 6 1NA,MA2为平行四边形 →判 ∠A1MA2=6 I断A. ·数学 OA,=a ,已知条件→|ON|=|OF,|=c 直线ON的方程为y= b INA2|=b→点N,M的坐标，∠NA2A1= π1 21 NAM=6MA:MA:AA的值→判断B :∠NA,A,= ,b=3→判断C 当4=2时a6c=1:25:E6=26→代入 S四边形NA1MA2=|A1A2|·NAz→判断D. 如图，连接MA2,NA2.不妨令点N在第一象限.对于A,易知四 边形NAMA2为平行四边形（提示：双曲线的对称性）.由 ∠NA,M=要，得∠A,MA:=吾，放A正确对于B.因为以 FF2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点，所以 ION|=|OF1|=c.又因为|OA2|=a,直线ON的方程为y= 会.所以IA,=6则Nab.M(-a,-b.∠M,A=受 由于∠NA,M=,则∠A,A,M=号，从而MA,: |MA2|:|A1A2|=√3：2：1（关键：几何问题代数化），即 IMA,-号.A1,故B错误对于C由于∠NM,A=子 则会-尽.则a:6:c=1:25:V百，放C的离心率为V丽。 故C正确.对于D,当a=√2时，由于a:b:c=1:23:√13， 故b=2W6.故S网边形，，=|A1A2|·|NA2=2b=2X2× 2√6=83.故D正确.综上，故选ACD. 归纳总结 层级清晰：从“已知→推导选项”逐层展开，体现逻辑链.公式 浓缩：用核心公式（如夹角、离心率、面积）串联计算，避免冗余， 符号直观：突出关键表达式，快速定位考点（如双曲线方程及相 关运算).通过“几何条件→代数转化性质验证”的思雏路径 高效拆解综合题的复杂关系， 答19· 专项最值、范围问题 1.椭圆的标准方程+椭圆的几何性质+平面向量的数量积+共线 向量 AP·|AR=3 【思维导图】(2)(1)设R(x,y)平而向量的数童积公式 AP. 1A=3- 平面向量的坐标运 →mx+(n+1)(y+1)=3① !A,P,R三点共线 (n+1)x=m(y+1)②0@解方程 3m 3(n+1) m2+(n+1)2y= x= m2+(n+1)2-1→得解。 !(i)已知条件→k0R=3kop→m2+(n+4)2=18→点P(m, !n)在以N(0,一4)为圆心，r=32为半径的圆上→|PQ|mx= NQl十3V2设Q3as0.m9[0,2得解. 二次函数的性质 lAB|=√a2+b=√10， a=3, 解：(1)由题意得 e=c 2w2 所以 a 3 b=1. a2=b2+c2, 所以稀圆C的方程为号+y”-1. (2)(i)设R(x,y), 由题意得AR·AP=1AR11A卫L·cos(AR,AP)=1AR1: 1A21=3(题眼)，且P(m,n),A(0,-1), 所以A求.AP=(x,y+1)·(m,n十1)=3. 所以m.x+(1+1)(y+1)=3.① 又A,P,R三点共线， 所以(n+1)x=m(y+1).② 3m 3(n+1) 由0@得xm+n+1y=m牛m+1)-1, n+w+1Dmn十-片 所以R（ 3m 3(n+1) (iⅱ)由题意得k(R=3kP, 则3n+D-m+m+》-=3·2 3m 化简得m2+n2+81-2=0,所以m2+(1十4)2=18. 所以点P(m,n)在以N(0,二4)为圆心r三32为半径的圆上 (题眼)（关键：求出点P的轨迹是解答本题的关键） 所以|PQ|max=|NQ|nax十3√2. 因为点Q在C上， 所以可设Q(3cos0,sin0),0∈[0,2π]. 所以|NQ=√/(3cos0)2+(sin0+4)2 =√-8sin0+8sin0+25 ·数学 -8(m-2》】 十27（总结：将问题转化为求二 次函数最值问题求解) 所以当sim0=2时，Q有最大值33。 所以|PQ|mx=3W3+32. 知识延伸 向量a,b共线，则有a·b=a|b|或a·b=一ab;两动 ,点距离的最值可转化为一个定点到一个动，点距离的最值. 2.椭圆的离心率+平面向量的数量积+直线与椭圆的位置关系 1【思维导图】(1)已知条件→c,b2→Q→离心率. !(2)已知条件→椭圆T→A(4,0)→点P在第一象限，且1 MPIpm-yp1. MAI4 m =3→xp→yp→m. :3》已知条件→m=号，直线1的方程联这方程 △>0 设C(x1, 韦达定理 ∠CMD为钝角！ 1y1),D(x2,y2) x1十x2,x1x2 :M心.MD<0→a的取值范围. 解：(1)由题知，c=2,b2=5(题眼)， 所以a2=5十22=9. 所以a=3. 所以椭圆T的离心率e=S=名 a3· (2)由题知，a=4, 所以图r后+号=1 所以A(4,0). 因为M(0,m)(m>0),PA=2M, MP-平=m一P=(题眼)（难 所以点P在第一象限，且MA车” 3 点：根据向量的线性关系得线段比例关系) 所以xp= 4 3 =1 所以16+5 210 解得yp= 3 (舍负) 2√/10 m 所以 3 1 n 3’ 解得m=√10. (3)由题知，A(a,0),M(0,n), 则线段AM的中点为（号受）： 答20· 因为线段AM的中垂线L的斜率为2（题眼）， 所以。=-之，即m-号（提示：两直线垂直，则两直线的针 0-a 率之积等于一1) 所以直线1的方程为y=2(x-号)+受， 即y=2x-兴 y=2x-4 联立 +-. 消去y并整理得(6+4a)r-ax+a(%-）=0, △>0. 设C(x1y1),D(x2y2), 专题十计 考点1分步乘法计数原理、排列与组合 288排列先排头尾，再排其他位置（题眼），有A?A=288种. 考点2二项式定理 1.80二项式定理展开式的通项T二C:(2x): 1C:2·1·x(题眼)，令5-r=3,解得 r=2,所以x3的系数（易错：项的系数和二项式系数混淆）为 专题十一 考点1样本的数字特征 C平均数2+8+14+16+20-12，故选C 5 考点2事件的相互独立性 B事件的相互独立性因为A,B相互独立，所以P(A∩B)= P(A)P(B)=子放选B 考点3离散型随机变量的分布列与数学期望 1.6.3离散型随机变量的期望由期望公式得期望E(X)=5× 0.2+6×0.3+7×0.5=6.3. 2%离散型随机变量的数学期望 ·数学 3a3 9a4-80a2 所以x1+x,=5十4ax1:=16(5+4a) 若∠CMD为钝角，则cos∠CMD<0, 所以W.流=（1y-m）(2-m）=(2,-婴）· (2x,）-5w-受十）+2g <0(技巧：当题 16 目中出现钝角，且求参数的取值范围时，一般借助向量的数量积 小于0解题)， 即5(9a‘-80a2) 15a4 16(5+4a2(5+4a2)中160 整理得a2(a一√11)(a+√11)<0， 解得一11<a<11. 又因为a>5,所以w5<a<√1I. 所以a的取值范围为(5，√T). 数原理 C×23×(-1)2=80. 2.一20二项式定理(x一1)6的展开式的通项为T,+1= C%x6-r·(-1)'=(-1)'C5x8-.由6-r=3,得r=3,所以该展 开式中x3的系数为（一1）3C%=一20. 3.115二项式定理(1-2x)1=1一8x+24x2一32x3+16x1= ag-2a1x十4a2x2-8a3x3十16a1x(题眼)（技巧：利用二项式 定理直接展开成多项式，确定相应系数的值)，所以a0=l,a1= 4,a2=6,a3=4,a4=1.所以a1+a2+a3+a4=15. 统计与概率 :【思维导图】X的所有可能取值→对应概率→数学期望. 5×4×3 由题可知X的所有可能取值为1,2,3，且P(X=3)= 5×5×5 12 P(X=2)=发SS-号P(X=1)=x5-店，故 CCC 12 5 61 E(X)=25 3.概率+离散型随机变量的数学期望 解：(1)根据甲校的抽样数据可知，100名学生中有80名学生选 择正确， 所以概*p可以估计为器-Q8 (2)设乙校高一年级学生该题选择正确的概率为q. 由题意知9可以估计为品=05 答21·专题九解析几何 易考点1直线与圆、圆与圆的位置关系 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.(2025·全国I卷)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=√3x+2的距离为1的点有且仅有两 个，则r的取值范围是 () A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,十) 二、填空题 2.(2025·天津卷)已知直线L1:x一y十6=0与x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x十1)2+(y-3)2=r2 (r>0)交于C,D两点.若|AB|=3CD|,则r= 昆 考点2 椭圆的定义、标准方程及几何性质 解题答 尼知椭圆龙产十口>>0的离心率为号椭圆E上的点死 为4. (1)求椭圆E的方程， (2)设O为坐标原点，点M(xo,yo)(xo≠0)在椭圆E上，直线xox十2yoy一4=0与直线y=2,y= -2分别交于点A,B.设△OAM与△OBM的面积分别为SS2,比较与B的大小 ·17· 昂 考点3直线与椭圆的位置关系 解答题 1(2025·全国Ⅱ客已知特圆C+若1a>6>0)的商心率为号长轴长为 (1)求C的方程. (2)过点(0，一2)的直线1与C交于A,B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为√2，求AB|. 2(2025·天津卷)已知椭圆二+ 2 方=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,P为直线x=a上一点，且 直线PF的斜率为，△PFA的面积为号，离心率为号 (1)求椭圆的方程. (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A),求证：PF平分∠AFB ·18· 考点4双曲线的标准方程及几何性质 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.(2025·全国I卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的√7倍，则C的离心率为 A.√2 B.2 C.7 D.22 2.(2025·北京卷)双曲线x2一4y2=4的离心率为 √3 5 A.2 2 C.4 D.5 昆 考点5 抛物线的定义、标准方程及几何性质 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.(2025·全国Ⅱ卷)设抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂 足为B.若直线BF的方程为y=一2x十2，则|AF|= A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题 2.(2025·北京卷)已知抛物线y=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则p= 易考点6直线与抛物线的位置关系 选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， (2025·全国I卷)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点，过A作直线 l:x= 多的垂线，垂足为D,过F且与直线AB重直的直线交！于点E,则 A.AD=AF B.AE=AB C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18 昆 考点7 圆锥曲线的综合应用 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1,(2025·天津卷)双曲线二1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F.以石焦点P,为焦点的抛物 线y2=2x(p>0)与双曲线在第一象限的交点为P.若|PF1|十|PF2|=3F1F2|,则双曲线的离心 率为 () A.2 B.5 C241 D5+1 2 2 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 2.(2025·全国卷)双曲线C:。一 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1, A,以FF,为直径的圆与C的一条渐近线交于M.N两点，且∠A,M-,则 ·19· A∠AMA:-否 B.MA1|=2|MA2| C.C的离心率为13 D.当a=√2时，四边形NA,MA2的面积为8√3 昆 专项 最值、范围问题 解答题 1.(2025·全国工卷)已知椭圆C:三大 ,1(Q>b>0)的离心率为22，下顶点为A,右顶点为B |AB|=/10. (1)求C的方程. (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AP|·AR=3. (i)设P(m,n),求R的坐标（用m,n表示）. (ⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ的最大值. 2(2025·上海卷)已知椭圆T:名+y +方=1(a>5),M(0,m)(m>0),A是T的右顶点. (1)若Γ的右焦点为(2,0)，求离心率e. (2)若a=4,且T上存在一点P,满足PA=2MP,求m的值. (3)若线段AM的垂直平分线l的斜率为2，直线l与T交于C,D两点，∠CMD为钝角，求a的取值 范围 ·20·