专题7 数列-【满分思维】2026年高考数学真题分类

专题七数列 昆考点1等差数列 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.(2025·全国Ⅱ卷)记Sm为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=一5，则S6= A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 二、填空题 2.(2025·上海卷)已知等差数列{am}的首项a1=一3，公差d=2,则该数列的前6项和为 考点2 等比数列 一、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 1.(2025·全国Ⅱ卷)记Sm为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0.若S3=7,a3=1,则 A9-月 B.as-9 C.S5=8 D.am十Sm=8 二、填空题 2.(2025·全国I卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数 列的公比等于 昆考点3 数列求和 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和Sm=一n2十8n.则{|an1}的前12项和为 A.112 B.48 C.80 D.64 易考点4 数列的综合应用 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.(2025·北京卷)已知{am}是公差不为零的等差数列，a1=一2.若a3,a4,a6成等比数列，则a1o=() A.-20 B.-18 C.16 D.18 2.(2025·上海卷)设数列{am},{bn},{cn}的通项公式分别为an=10m-9,bn=2”,cm=am十(1一入)b,其 中入为常数.若对任意入∈[0,1]，长为am,bn,c,的线段均能构成三角形，则满足条件的正整数n的个 数为 () A.1 B.3 C.4 D.无穷 ·12· 二、解答题 3.(2025·天津卷)已知数列{am}是等差数列，数列{bn}是等比数列.a1=b1=2,a2=b2十1，a3=b3. (1)求{am}与{bn}的通项公式. (2)Vn∈N,I={0,l},有Tm={p1a1b1十p2a2b2+…+pnanbn|p1,p2,pn∈I. (i)求证：对任意实数t∈Tn,均有t<am+1·bm+1. (iⅱ)求Tm中所有元素之和. ·13·十归纳总结 巧妙引入动态坐标，转化平面向量为圆、直线、点的位置关系， 是求解平面向量模的范围或最值问题相对简便的方法. 3.√2平面向量的坐标运算+向量垂直的性质+平面向量的模 由题意得a-b=(1,1-2x).a⊥(a-b),∴.a·(a-b)=x十 (1-2x)=0,解得x=1.∴.|a|=√1+1=√2. 4.(1,W5)平面向量的模+三角函数的性质 1【思维导图】已知条件→>a·b,c·a,b·c必为一正值、一负 !值和一个0→建立平面直角坐标系，设出符合条件的坐标→ !利用坐标运算将其转化为函数的范围问题→求解. 由题意可知a·b,:a,b:c必为二正值一负值和一个Q(题 眼)，不妨设a·b>0,c·a<0,b·c=0,可建如图所示的平面 直角坐标系.设a=(cos0,sim0),0∈（受，x),b=(0,1),c (1,0),则a+b+c=(cos0+1,sim0+1),0∈（受，），故1a十 b+cl-√cs0+ID2+(sin0+1-√3+22sim(0+F) 0(受，因此1a+b+c的取值范围是(15). 个y a=(cos 0.sin 0) b=(0,1) c=(1,0) 5名a+号6一15平面向量的线性运算+平面向量的数量积 因为C市=C+A市=-A+号A店=？a-b,所以A范=A衣+ 花-+市-b+}(分a-b)-石a+号b,-应 专题七 考点1等差数列 1.B等差数列的性质、通项公式及前n项和公式由题知S3= 6=3a2,S5=-5=5a3a2三2，a3一1（题眼）..公差d= -3.∴.am=2+(n-2)X(-3)=-3n+8.∴.a1=5,a6=-10. S。=510×6=-15,故选B. 2 2.12等差数列的前n项和由等差数列的前项和公式得 前6项和S,=6x(-3)+学×2=12 ·数学 AC=a-b,则由AE1CB,得A应.C亩=(ga+子b)·(a-b) 合a+ab-号=0@.1正=日a+号b= 六a2+号a·b+号b=25@.①-@，整理得六a+言4· b-号=-5，即20+ab-号8=-15，所以A证.d (合a+号)小（分a-b)=立a+日ab-子6=-15. 考点2复数的概念与运算 1.C复数的运算+复数的概念(1+5i)i=一5+i,其虚部为1， 故选C 2A复致的运掉由题意得，日=-放选人 3.B复数的运算+复数的模：i·之+2=21，=21-2=2十 2i.∴.x=2√2.故选B. 4.√10复数的运算及复数的模 解法-：因为3-801-1-3所以生-1-31 2 √12+(-3)2=√10， 3+=3+i=3+1 解法二： 1 =/10. 5.2√2复数的几何意义+共轭复数+复数的模令之=a+bi, ab=0, /a=0, a,b∈R,由题意得 题眼).则-1<6≤1 或 0≤a2+b2≤1 b=0, 当a=0且-1≤b≤1时，|之-2-3i|= -1≤a≤1. √4十(b-3)≥2√2（提示：因为求最小值，故只考虑一侧的范 围即可)；当b=0且-1≤a≤1时，lx-2-3il=√(a-2)2+9≥ √10>22.因此，x-2-3ilm=22. 数列 考点2等比数列 1.AD等比数列的通项公式与前项和公式对于A,由题意易 知g≠1,5=0二9）=411十g十g2)=7,a=a,g 1-q 1①，所以a1(1+g)=6②，由①②可得1+g=6g2(关键：方 程思想).解得g=2或q=一3又因为g>0,所以g=2,故 A正确，对于B.a,=a:X(兮）)°=子放B错误对于C.S, 答9· S十a,十a,=7+号+日≠8，故C错误对于D.a,-号= 1)2 =4所以a,+s=4×() 4x1-(号)] 2 1一2 故D正确.故选AD. 2.2等比数列的前n项和公式 通解：设等比数列的公比为q,q>0,且q≠1，则 a1(1-g) =4, 1-9 解得g=2. a11-g2=68, 1-q 快解：设等比数列{an}的公比为q,q>0,且q≠1，前n项和为 Sm,则S8=S4十a5+a6十a7十a8=S4十qS4,故68=4十4g, 解得g=2. 考点3数列求和 C数列求和+数列的通项公式+数列的递推关系由S,= -n2+8n①，得当n≥2时，Sm-1=-(n-1)2+8(n-1)= -n2+10n-9②.①-②，得当n≥2时，am=-2m十9. 又a1=S1=一1十8=7满足上式，所以am=一2m十9.所以{am》 的前12项和为a1十a2十a3十a4十la5十a6+…十a12|=7+5十 3+1+-1-3-…-15|=16+ 8×(-1-15) =16+64= 2 80.故选C 考点4数列的综合应用 1.C等差数列的通项公式+等比数列的性质设{am}的公差为 d,d≠0，a3,a1,a6成等比数列，∴a=a3a6.∴.(a1十3d)2 (a1十2d)(a1+5d),即a+d三0（题眼）.a1=-2,∴.d=2. ∴.a1o=a1十9d=16.故选C. 2.B数列+三角形的三边关系 :【思维导图】已知条件→c,的范国分a,ba,0,讨论 n的 三角形三边关系 !值→得解 由cw=aan十(1-入)bn=(an-bn)入+bn,入∈[0，l],得mina b,≤C≤maxiab(题眼).当an≥bn时，由cn十bn>an(关 键：三角形任意两边之和大于第三边)得2bn>am≥bn,即2”+1> 10m-9≥2”，n∈N,解得n=4,5.当an<bn时，由cm十an>b, 得2am>bn>am,即20-18>2">10m-9,n∈N,解得n=6. 综上，满足条件的正整数n的个数为3，故选B. 3.等差数列与等比数列的通项公式+数列求和 解：(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn)的公比为q, ·数学 q≠0. 2+d=2g+1, 由已知得 2+2d=2g2, d=3, 因为g≠0，解得 q=2, 所以{an}的通项公式为an=2+3(n-1)=3m一1，{bn}的通项 公式为bn=2×2”-1=2”. (2)(i)证明：因为Tm={p1a1b1十p2a2b2+…+pnanbn|p1, p2,…,pn∈I}, 且I={0,1}, 所以p1a1b1十p2a2b2+…+pnabn≤a1b1十a2b2十…+anbn: 由(1)知anbn=(3n-1)×2”, 设Sn=a1b1十a2b2十…+anbn, 则Sn=2×2+5×22+8×23+…十(3m-1)×2”,① 2Sn=2×22+5×23+8×2+…+(3-1)X2m+1,② ①-②得， -Sm=2X2+3(22+23+24+…+2")-(3m-1)×2+1 =4+3×41-2）-（3m-1)X21 1-2 =4+3X(2+1-4)-(3m-1)×2+1 =-(3n-4)X2+1-8, 所以Sn=(3n-4)×2"+1+8. 又a+1bn+1=(3m十2)X2+1, 所以am+1b-1-Sn=(3n十2)X2+1-[(3m-4)X2+1+8]= 6X211-8. 因为n∈N*, 所以6X2+1-8>0, 即Sn<a+1bm+1 又因为t≤Sm, 所以对任意实数t∈Tm,均有t<an+1bn1· (i)对于p1a1b1十p2a2b2十…十p.anb,中的每一项p,a,b,(i= 1,2,…,n), p:取0或1，而除p;以外其余(n一1)个p,(j≠i)都有0和1两 种取值， 根据分步乘法计数原理，p取1的情况共有2”-种， 即计算T。中所有元素之和时， a,b,这一项共计会被累加2”-1次 根据以上分析，利用(2)(i)的结论可知a1b,十a2b2十…十anbn= 2(3i-1)2=(3m-4)2+1+8, 可得T,中所有元素之和 S=2-12(3i-1)2=2-1[(32-4)21+8]=(3-4)2+22. 答10·