专项01 整式和分式化简求值5大题型（大题专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项01 整式和分式化简求值5大题型 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年考情，整式和分式化简求值是中考数学的必考基础主干内容，分值约12–18分。 命题趋势： 解答题：稳定出现在解答题前两题（常为第16或17题），核心是先化简（因式分解、通分、约分），再代入求值，常结合不等式组解集、方程根、特殊角三角函数值、数轴表示范围等条件，要求选取合适的值代入。 2026年预测：解答题极大概率仍为“化简求值”常规题，形式稳定；可能增加整体代入或结合不等式组的整数解进行代入；分式化简仍是重点，尤其注意代入值不能使原分式分母为零这一高频陷阱。 题型01 实数的运算 析典例·建模型 1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）计算：． 研考点·通技法 1. 优先处理符号：先确定绝对值、乘方、开方的结果符号，尤其注意负数的奇偶次幂区别，避免符号出错。 2. 统一形式再计算：遇根号、小数、分数混合时，先化为最简形式（如√2≈1.414仅估算用，通常保留根号），或统一为分数/小数，再合并同类项。 3. 活用运算律：加法交换结合律、乘法分配律可简化过程，如先凑整、约分或抵消相反数，减少通分与复杂乘除。 破类题·提能力 1．（2026·陕西西安·模拟预测）计算：． 2．（2026·广东佛山·一模）计算：． 3．（2026·江苏盐城·模拟预测）计算：； 题型02 整式的化简求值 析典例·建模型 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 研考点·通技法 1. 先化简再代入：严格按照“去括号→合并同类项”顺序化简，避免边化简边代入导致符号或系数错误。 2. 灵活运用公式：遇平方差、完全平方时优先展开或逆用，能减少中间项。注意整体思想，如将\(x+y\)看作一个整体合并。 3. 条件转化技巧：若给出的是含字母的等式（如\(a+b=3\)），可整体代入化简结果；若为具体数值，先观察是否互为倒数或相反数，简化计算。 破类题·提能力 1．（2026·吉林长春·一模）先化简，再求值：，其中． 2．（2026·陕西渭南·一模）先化简，再求值：，其中． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）先化简，再求值：，其中． 题型03 数字类规律探究 析典例·建模型 1．（2026·安徽六安·一模）观察下面三行数组： 第一行：1  4  9  16  25… 第二行：0  3  8  15  24… 第三行：2  6  12  20  30… 根据规律，解答以下问题： (1)第一行第7个数是__________； (2)第二行第个数是__________（用含的式子表示）； (3)第三行第个数与第二行第个数的差为2027，求的值． 研考点·通技法 1. 观察相邻差值：先计算相邻项之差，若差值为常数则为等差数列；若差值再成等差，则可能与二次函数有关；若差值为等比，则考虑指数规律。 2. 拆解数字结构：将每个数拆成“序号运算”形式，如3,8,15可写成22-1, 32-1, 42-1，重点寻找与n（序号）的关系。 3. 验证前三个项：列出n=1,2,3对应的表达式，检验是否匹配。注意分母、符号交替（如 \((-1)^n\)）、分数中分子分母分别找规律。 破类题·提能力 1．（2026·安徽合肥·一模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式 ； (2)写出你猜想的第n（n为正整数）个等式：（用含n的等式表示），并证明． 2．（2026·广东佛山·一模）【问题提出】 如果一个整数的所有数位之和能被3整除，那么这个整数就能被3整除． 【问题探究】 以四位数为例，设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 这个结论的论证过程表述如下： ．显然能被3整除，因此，若能被3整除，则就能被3整除． 【类比探究】 判断一个三位数能否被7整除，先采用归纳的策略，列举一些简单的三位数，发现如下特征： 三位数 能否被7整除 特征 133 能 ，7能被7整除 224 能 ，14能被7整除 294 能 ，21能被7整除 148 不能 ，不能被7整除 (1)根据以上探究过程，提出猜想：一个三位数，如果________可以被7整除，那么就能被7整除； (2)证明这个猜想的正确性． 【拓展应用】 结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到当是的倍数时，原数能被整除； (3)①若一个正数能被整除，的最后三位数为，求的最小值． ②四位数，既能被整除，也能被整除，直接写出与之间满足的关系． 3．（2026·安徽·三模）综合与实践 密码学是研究信息安全加密的核心学科，在智能门锁、移动支付等日常场景中应用广泛．我们制定了一套拼音明文与数字密文的双向转换规则，其中正整数为密文，大写英文字母为明文，具体规则如下： 【核心转换规则】 1．大写英文字母A对应基础数字1，B对应基础数字2，C对应基础数字3，……，按英文字母表顺序依次顺延，最终大写英文字母Z对应基础数字26． 2．对于任意正整数密文n，将n除以26，得到非负整数商、余数r（满足）； 若，则密文n对应基础数字26的明文Z；若，则密文n对应基础数字r的明文． 例如：①密文“1”除以26余1，对应基础数字1，翻译为明文“A”； ②密文“27”除以26商为1余数为1，对应基础数字1，翻译为明文“A”； ③密文序列“1，26，14”依次翻译为明文“A”“Z”“N”，即最终明文为“”． 【二次加密规则（提升破译难度）】 为进一步提升密码安全性，我们对初始的基础密文（记为密文Ⅰ，用正整数t表示）进行二次加密，得到最终传输的密文Ⅱ，加密公式为：密文Ⅱ，对应数值关系如下表： 密文Ⅰ：t 1 2 3 4 密文Ⅱ： 5 7 9 11 根据以上规则，完成下列问题： (1)基础转换应用 ①请将密文序列“11，5，25”翻译成明文：________； ②请写出明文“A”对应的所有小于60的密文：________； (2)二次加密规律探究 ①若密文Ⅰ中的正整数t每增加1，则密文Ⅱ中对应正整数的变化规律为________； ②若密文Ⅰ中的“t”对应的明文，与密文Ⅱ中的“”对应的明文完全相同，则满足条件的t的最小正整数值是________． (3)综合拓展应用 若某明文对应的密文Ⅰ为两位正整数，且该密文Ⅰ的十位数字与个位数字之和为9，二次加密后的密文Ⅱ能被5整除，则该密文Ⅰ对应的所有可能的明文是________． 题型04 图形类规律探究 析典例·建模型 1．（2026·安徽合肥·一模）如图，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“”的个数为3，第2个图案中的“”的个数为8，第三个图案中的“”的个数为15，…，以此类推． (1)第5个图案中“”的个数是________； (2)请用含的代数式（n为正整数）表示第个图案中“”的个数________．判断是否存在图案中的“”的个数为120，并说明理由． 研考点·通技法 1. 分解图形结构：将图形拆分为“基础单元+增量”，如每次增加若干小正方形或三角形。先找出第1个图形的数量，再观察每步增加几个。 2. 建立序号模型：设序号为n，用含n的代数式表示数量。常见模型：一次函数型（kn+b）、二次函数型（an2+bn+c）、指数型。可用前3个图列方程求解系数。 3. 注意边界与重叠：图形拼接处易被重复计算，如周长的规律要看清内部线条是否计入。多画草图标注序号1,2,3的对应数值，对比验证。 破类题·提能力 1．（2026·安徽合肥·一模）【观察思考】 【规律发现】 (1)第5个图案中“◎”的个数为_____； (2)第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，．．．，第个图案中“★”的个数可表示为_____． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“◎”的个数的3倍． 2．（2026·安徽阜阳·模拟预测）合肥骆岗公园的“空中花园”展区设计了一组菱形装饰灯阵，灯阵的排布遵循如下规律： 第1层：1个菱形灯（如图①）； 第2层：在第1层菱形的四周各增加1个菱形灯，形成由5个菱形灯组成的图案（如图②）； 第3层；在第2层图案的基础上，继续在最外侧四周增加菱形灯，形成由13个菱形灯组成的图案（如图③）； …… 依此规律不断拓展，每层菱形灯的总数记为（n为层数，n为正整数），每层新增菱形灯的数量记为（，时，）． (1)直接写出________，________； (2)请用含的代数式表示________，________； (3)若该灯阵的菱形灯总数达到181个时，恰好完成第k层的铺设．求k． 3．（2026·安徽芜湖·一模）【综合实践】 观察下列式子和对应图形中小黑点的个数之和 探究1 如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次为1，2，3，…，个小黑点排列组成的，斜线右边的倒三角形图案是由上到下每层依次为，，…，3，2，1个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子的值，如图组成的整个图形恰好是一个“菱形”．则 ① （为正整数）； 探究2 如图，斜线左边的图案是由左到右每列依次为2，3，…，个小黑点排列组成的，斜线右边的图案是由左到右每列依次为，，…，3，2个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子的值，如图在两端加入两个小圆圈，可将整个图案补成“菱形”，则 ② （为正整数） 【规律发现】 根据探究1和探究2中的规律，完成下列问题： (1)填空： ①______；②______；③______（为正整数）． 【规律总结】 (2)猜想： ______，（，均为正整数，且），并证明你的猜想． 题型05 分式的化简求值 析典例·建模型 1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）先化简，再求值：，其中． 研考点·通技法 1. 先分解再通分：遇到多项式先因式分解（提公因式、平方差、完全平方），通分时用最简公分母，避免复杂计算。注意分子相减要加括号。 2. 除法变乘法：将除法转化为乘以倒数，再分解约分。避免先通分再除，导致计算量增大。约分后形式更简洁，便于代入求值。 3. 代入数值技巧：若条件给出方程（如x2-3x+1=0），可整体降次代入；若为具体值，优先化简后代入，且注意分母不为零验证。避免硬算复杂分式。 破类题·提能力 1．（2026·福建泉州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 2．（2026·江西吉安·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 3．（2026·贵州铜仁·一模）解答 (1)计算： (2)下面是小涵同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式    第一步     第二步         第三步 ①小涵同学的化简过程从第________步开始出现错误： ②请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择喜欢的数代入求值． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·湖南常德·一模）计算：； 2．（2026·陕西宝鸡·一模）化简：． 3．（2026·陕西西安·一模）先化简，再求值：，其中． 4．（2026·江苏宿迁·二模）求代数式的值：，其中． 5．（2026·广东湛江·一模）先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值． 6．（2026·辽宁锦州·一模）计算、化简求值： (1) (2)，请从，，，，中选择一个合适的数，求此分式的值． 7．（2026·四川绵阳·二模）计算、化简求值： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中． 8．（2026·四川广安·模拟预测）计算与化简求值： (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中满足． 9．（2026·安徽芜湖·一模）下面对每一列数，通过观察归纳，给出每个序列中的后继项： (1)，，，，，___________； (2)2，5，9，14，20， ； (3)小明把从0开始的自然数按照以下规则排序，按照从左到右的顺序，第行最后一个数是___________（用含的式子表示），并求出2026是第几行从左到右数的第几个数． 10．（2026·安徽安庆·一模）某校举办科技节，同学们用正六边形卡片拼出如图所示的图案，每个图案由若干个正六边形组成．按照图示规律，第1个图案有2个正六边形，第2个图案有5个正六边形，第3个图案有8个正六边形，． (1)按此规律，第6个图案中有多少个正六边形？第n个图案中有多少个正六边形？（用含n的代数式表示） (2)在这一组图案中存在两个相邻的图案，它们所含正六边形个数之和为2053，求这两个图案分别是第几个图案； (3)在这组图案中是否存在一个图案，其正六边形的个数是第a个图案与第b个图案正六边形个数之和的2倍？若存在，求出该图案是第几个图案（用含a，b的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 11．（2026·安徽合肥·一模）【项目主题】 某校数学社团开展“幻方与生活”实践活动，探究幻方的数式规律，并尝试将幻方思想应用于校园艺术节的灯箱阵列布置中． 【项目准备】 （1）幻方定义：在一个由若干个连续自然数排成的正方形方格中，如果每行、每列及两条对角线上的数的和都相等，那么这个方格表就叫做幻方，相等的和叫做幻和． （2）如图1是由1－9这9个数构造的一个三阶幻方． 【规律探究】 (1)观察图1，中心数是5，该三阶幻方的幻和（即幻和等于中心数的3倍）．若将图1中每个数都加上同一个正整数k，得到一个新的三阶幻方，则新幻方的幻和 （用含k的代数式表示） (2)若用m，，， …，这9个连续正整数构造一个三阶幻方，则幻和 （用含m的代数式表示）． (3)如图2是一个由1－16这16个数构造的经典四阶幻方，幻和.若将每个数都加上同一个整数k，得到一个新的四阶幻方，则新幻方的幻和 （用含k的代数式表示）． 【项目分析】 校园艺术节期间，数学社团负责在广场上布置一个“幻方灯箱阵列”．具体要求如下： 灯箱阵列为的方形阵列，共16个灯箱．每个灯箱上贴一个数，要求整个阵列构成一个四阶幻方．灯箱中的数必须是从某一起始数开始的连续自然数． (4)现有两种备选方案： 方案一：用1－16这16个连续自然数构造幻方（如图2所示）． 方案二：用5－20这16个连续自然数构造幻方．则方案二的幻和： ． 每个灯箱的制作成本为20元，数字贴纸费用为每个数字1元（即每个数按数字的个数收费，如贴纸8收费1元，贴纸37收费2元）．计算方案一总成本： 元． 【项目实施】 (5)根据以上分析，若社团要求灯箱上幻和为62，且数为连续自然数，此时总成本为 元． 12．（2026·安徽阜阳·一模）新方向·项目式学习  综合与实践：某数学兴趣小组研究正方形网格中的“网格正方形”数量与规律． 【项目主题】在小正方形组成的网格中，由格点为顶点组成的正方形称为“网格正方形”．如图1，我们将边长与网格线平行的正方形称为“正网格正方形”，如正方形；像边长与网格线不平行的正方形称为“斜网格正方形”，如正方形． 【探究活动一】探究“正网格正方形”的数量规律： 在网格中，“正网格正方形”有个； 在网格中，如图2，边长为2的“正网格正方形”有1个，边长为1的“正网格正方形”有（个），故“正网格正方形”有（个）； 在网格中，如图3，边长为3的“正网格正方形”有1个，边长为2的“正网格正方形”有（个），边长为1的“正网格正方形”有（个），故“正网格正方形”有（个）； (1)在网格中，边长为2的“正网格正方形”的个数为①______； (2)在网格中，“正网格正方形”的个数共有②______个． 【探究活动二】探究“斜网格正方形”的数量规律： 在网格中，“斜网格正方形”有0个； 在网格中，如图4，“斜网格正方形”有1个； 在网格中，如图5，“斜网格正方形”有（个）； 在网格中，如图6，“斜网格正方形”有（个）… 【探究活动三】将前面的研究结果制作成表格如下： … “正网格正方形”的个数和 1 5 14 91 … “斜网格正方形”的个数和 0 1 6 20 50 … “网格正方形”的总数 1 6 20 50 … 【归纳总结】从表格中数据看出，“斜网格正方形”的个数和与“网格正方形”的总数有着非常紧密的联系，总结表格数据规律完成下列问题． 【项目应用】 (3)在网格中，“斜网格正方形”的个数和是③______． (4)在网格中，“网格正方形”的总数是④______． 【项目延伸】在的正方形网格中，已知网格正方形的总数和为，那么．设，则⑤______（⑥______）． (5)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ⑤______；⑥______． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项01 整式和分式化简求值5大题型 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年考情，整式和分式化简求值是中考数学的必考基础主干内容，分值约12–18分。 命题趋势： 解答题：稳定出现在解答题前两题（常为第16或17题），核心是先化简（因式分解、通分、约分），再代入求值，常结合不等式组解集、方程根、特殊角三角函数值、数轴表示范围等条件，要求选取合适的值代入。 2026年预测：解答题极大概率仍为“化简求值”常规题，形式稳定；可能增加整体代入或结合不等式组的整数解进行代入；分式化简仍是重点，尤其注意代入值不能使原分式分母为零这一高频陷阱。 题型01 实数的运算 析典例·建模型 1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 研考点·通技法 1. 优先处理符号：先确定绝对值、乘方、开方的结果符号，尤其注意负数的奇偶次幂区别，避免符号出错。 2. 统一形式再计算：遇根号、小数、分数混合时，先化为最简形式（如√2≈1.414仅估算用，通常保留根号），或统一为分数/小数，再合并同类项。 3. 活用运算律：加法交换结合律、乘法分配律可简化过程，如先凑整、约分或抵消相反数，减少通分与复杂乘除。 破类题·提能力 1．（2026·陕西西安·模拟预测）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查实数的混合运算，解决问题的关键是掌握绝对值、负整数指数幂、零指数幂、二次根式乘方的运算法则，按运算顺序逐步化简．先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再分别计算负整数指数幂、二次根式的平方和零指数幂，最后按从左到右的顺序进行加减运算得出结果． 【详解】解：， ， 2．（2026·广东佛山·一模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 3．（2026·江苏盐城·模拟预测）计算：； 【答案】 【详解】解：原式. 题型02 整式的化简求值 析典例·建模型 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、单项式乘多项式、多项式除以单项式把原式化简，由得，再整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 研考点·通技法 1. 先化简再代入：严格按照“去括号→合并同类项”顺序化简，避免边化简边代入导致符号或系数错误。 2. 灵活运用公式：遇平方差、完全平方时优先展开或逆用，能减少中间项。注意整体思想，如将\(x+y\)看作一个整体合并。 3. 条件转化技巧：若给出的是含字母的等式（如\(a+b=3\)），可整体代入化简结果；若为具体数值，先观察是否互为倒数或相反数，简化计算。 破类题·提能力 1．（2026·吉林长春·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，19 【详解】解：原式 ， 将代入，得： 原式 ． 2．（2026·陕西渭南·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先算括号里的，运用平方差公式展开，然后合并同类项，再运用多项式除以单项式运算法则计算结果，最后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．（2026·陕西宝鸡·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】先利用整式的乘法去小括号，再将括号内合并同类项，最后利用整式的除法得到化简结果， 继而将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 题型03 数字类规律探究 析典例·建模型 1．（2026·安徽六安·一模）观察下面三行数组： 第一行：1  4  9  16  25… 第二行：0  3  8  15  24… 第三行：2  6  12  20  30… 根据规律，解答以下问题： (1)第一行第7个数是__________； (2)第二行第个数是__________（用含的式子表示）； (3)第三行第个数与第二行第个数的差为2027，求的值． 【答案】(1)49 (2) (3) 【分析】（1）分析第一行数的规律，得出表示第n个数的式子； （2）找出第二行数与第一行数的关系，得出表示第n个数的式子； （3）找出第三行数与第一行数的关系，得出表示第n个数的式子，再根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，，… ∴第一行第n个数为， ∴第一行第7个数是； （2）解：∵，，，，… ∴第二行第个数是； （3）解：∵，，，，… ∴第三行第个数是； ∵第三行第个数与第二行第个数的差为2027， ∴， 整理得， ∴． 研考点·通技法 1. 观察相邻差值：先计算相邻项之差，若差值为常数则为等差数列；若差值再成等差，则可能与二次函数有关；若差值为等比，则考虑指数规律。 2. 拆解数字结构：将每个数拆成“序号运算”形式，如3,8,15可写成22-1, 32-1, 42-1，重点寻找与n（序号）的关系。 3. 验证前三个项：列出n=1,2,3对应的表达式，检验是否匹配。注意分母、符号交替（如 \((-1)^n\)）、分数中分子分母分别找规律。 破类题·提能力 1．（2026·安徽合肥·一模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式 ； (2)写出你猜想的第n（n为正整数）个等式：（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， 第6个等式：； （2）解：根据前面的式子规律可得第n（n为正整数）个等式：，证明如下： 2．（2026·广东佛山·一模）【问题提出】 如果一个整数的所有数位之和能被3整除，那么这个整数就能被3整除． 【问题探究】 以四位数为例，设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 这个结论的论证过程表述如下： ．显然能被3整除，因此，若能被3整除，则就能被3整除． 【类比探究】 判断一个三位数能否被7整除，先采用归纳的策略，列举一些简单的三位数，发现如下特征： 三位数 能否被7整除 特征 133 能 ，7能被7整除 224 能 ，14能被7整除 294 能 ，21能被7整除 148 不能 ，不能被7整除 (1)根据以上探究过程，提出猜想：一个三位数，如果________可以被7整除，那么就能被7整除； (2)证明这个猜想的正确性． 【拓展应用】 结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到当是的倍数时，原数能被整除； (3)①若一个正数能被整除，的最后三位数为，求的最小值． ②四位数，既能被整除，也能被整除，直接写出与之间满足的关系． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)①；②是的倍数，且是的倍数 【分析】（1）利用表格中的规律得出可以被7整除，那么就能被7整除； （2）根据规律得到，分解式子得到，即可求解； （3）①设前面的数字为，即，整理得到，即是的倍数时，能被整除，求出即可；②由被整除的规律和被整除的规律列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：一个三位数，如果可以被7整除，那么就能被7整除； （2）解：∵， ， ∵是的倍数， ∴是的倍数时，那么就能被7整除， 即是的倍数时，那么就能被7整除； （3）解：①设中前面的数字为，则可表示为， ∵， ∴当是的倍数时，能被整除， ∵为整数， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②：∵能被整除， ∴ ∴是的倍数； ∵能被整除， ∴ ∴是的倍数； 综上所述，当是的倍数，且是的倍数时，四位数，既能被整除，也能被整除． 3．（2026·安徽·三模）综合与实践 密码学是研究信息安全加密的核心学科，在智能门锁、移动支付等日常场景中应用广泛．我们制定了一套拼音明文与数字密文的双向转换规则，其中正整数为密文，大写英文字母为明文，具体规则如下： 【核心转换规则】 1．大写英文字母A对应基础数字1，B对应基础数字2，C对应基础数字3，……，按英文字母表顺序依次顺延，最终大写英文字母Z对应基础数字26． 2．对于任意正整数密文n，将n除以26，得到非负整数商、余数r（满足）； 若，则密文n对应基础数字26的明文Z；若，则密文n对应基础数字r的明文． 例如：①密文“1”除以26余1，对应基础数字1，翻译为明文“A”； ②密文“27”除以26商为1余数为1，对应基础数字1，翻译为明文“A”； ③密文序列“1，26，14”依次翻译为明文“A”“Z”“N”，即最终明文为“”． 【二次加密规则（提升破译难度）】 为进一步提升密码安全性，我们对初始的基础密文（记为密文Ⅰ，用正整数t表示）进行二次加密，得到最终传输的密文Ⅱ，加密公式为：密文Ⅱ，对应数值关系如下表： 密文Ⅰ：t 1 2 3 4 密文Ⅱ： 5 7 9 11 根据以上规则，完成下列问题： (1)基础转换应用 ①请将密文序列“11，5，25”翻译成明文：________； ②请写出明文“A”对应的所有小于60的密文：________； (2)二次加密规律探究 ①若密文Ⅰ中的正整数t每增加1，则密文Ⅱ中对应正整数的变化规律为________； ②若密文Ⅰ中的“t”对应的明文，与密文Ⅱ中的“”对应的明文完全相同，则满足条件的t的最小正整数值是________． (3)综合拓展应用 若某明文对应的密文Ⅰ为两位正整数，且该密文Ⅰ的十位数字与个位数字之和为9，二次加密后的密文Ⅱ能被5整除，则该密文Ⅰ对应的所有可能的明文是________． 【答案】(1)①；②1，27，53 (2)①增加2；②23 (3)或 【分析】（1）①根据核心转换规则，进行运算求解即可；②根据题意得，明文“A”对应除以26余1的数，满足（为非负整数），结合，进行求解即可． （2）①密文Ⅱ公式为，当每增加1时，，即可得解；②由与除以26的余数相同，可得是26的倍数，进行求解即可； （3）设两位密文Ⅰ为，由得；结合能被5整除，进而可得，最后进行转换即可． 【详解】（1）解：①由题意得，，对应K； ，对应E； ，对应Y， ∴密文序列“11，5，25”翻译成明文为：； ②∵明文“A”对应基础数字1，即密文n除以26余1，满足（k为非负整数），且： ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时（超出范围，舍去）； （2）解：①∵密文Ⅱ公式为， ∴当增加1时， ； ②设t除以26，商是整数a，余数是， ∴， ∵除以26的余数也是r，设它的商是整数b，且， ∴， 得， ∵a和b都是整数， ∴也是整数， ∴， ∵最小正整数t对应， ∴； （3）解：由题意得，设两位密文Ⅰ的十位为，个位为，满足， ∴， ∴所有可能的为：18、27、36、45、54、63、72、81、90； ∵二次加密后能被5整除， ∴（为正整数） ∴， ∴除以5余1， ∵，， ∴符合条件的为36或81， ∴转明文为：，对应； ，对应， ∴该密文Ⅰ对应的所有可能的明文是或． 题型04 图形类规律探究 析典例·建模型 1．（2026·安徽合肥·一模）如图，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“”的个数为3，第2个图案中的“”的个数为8，第三个图案中的“”的个数为15，…，以此类推． (1)第5个图案中“”的个数是________； (2)请用含的代数式（n为正整数）表示第个图案中“”的个数________．判断是否存在图案中的“”的个数为120，并说明理由． 【答案】(1)35 (2)，存在，理由见解析 【分析】（1）根据所给图形，依次求出图案中“”的个数，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律即可得第个图案中“”的个数；令，解方程，n有正整数解则存在图案中的“”的个数为120． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个图案中“”的个数为：； 第2个图案中“”的个数为：； 第3个图案中“”的个数为：； 第4个图案中“”的个数为：； ∴第5个图案中“”的个数为：； （2）解：观察（1）中的规律可知， 第n个图案中“”的个数为个； 存在图案中的“”的个数为120，理由如下： 令， 解得（负值已舍去）， ∴第10个图案中的“”的个数为120． 研考点·通技法 1. 分解图形结构：将图形拆分为“基础单元+增量”，如每次增加若干小正方形或三角形。先找出第1个图形的数量，再观察每步增加几个。 2. 建立序号模型：设序号为n，用含n的代数式表示数量。常见模型：一次函数型（kn+b）、二次函数型（an2+bn+c）、指数型。可用前3个图列方程求解系数。 3. 注意边界与重叠：图形拼接处易被重复计算，如周长的规律要看清内部线条是否计入。多画草图标注序号1,2,3的对应数值，对比验证。 破类题·提能力 1．（2026·安徽合肥·一模）【观察思考】 【规律发现】 (1)第5个图案中“◎”的个数为_____； (2)第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，．．．，第个图案中“★”的个数可表示为_____． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“◎”的个数的3倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图形得出规律即可； （2）根据题意得出规律即可； （3）根据题意可知第个图案中“◎”的个数为个，，故可得出方程，解出的值即可． 【详解】（1）解：∵第1个图案中“◎”的个数为个； 第2个图案中“◎”的个数为6个； 第3个图案中“◎”的个数为9个； 第4个图案中“◎”的个数为12个； …… 第个图案中“◎”的个数为个； ∴当时，“◎”的个数为个． （2）解：结合题干信息，得出规律， 第个图案中“★”的个数可表示为． （3）解：第个图案中“◎”的个数为个， ∵， 结合题意，得出方程， 化简得， 解得（舍去）或． 2．（2026·安徽阜阳·模拟预测）合肥骆岗公园的“空中花园”展区设计了一组菱形装饰灯阵，灯阵的排布遵循如下规律： 第1层：1个菱形灯（如图①）； 第2层：在第1层菱形的四周各增加1个菱形灯，形成由5个菱形灯组成的图案（如图②）； 第3层；在第2层图案的基础上，继续在最外侧四周增加菱形灯，形成由13个菱形灯组成的图案（如图③）； …… 依此规律不断拓展，每层菱形灯的总数记为（n为层数，n为正整数），每层新增菱形灯的数量记为（，时，）． (1)直接写出________，________； (2)请用含的代数式表示________，________； (3)若该灯阵的菱形灯总数达到181个时，恰好完成第k层的铺设．求k． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）由题意可得，，由当时，，即可得出的值，观察图形可得，第层在第层的基础上，最外侧四周增加菱形灯，通过数图形可得的值； （2）先根据已知条件找出的规律，再利用与的关系求出的表达式； （3）根据的表达式列出方程，求解方程得到的值． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∵当时，， ∴； 观察图形可得，第层在第层的基础上，最外侧四周增加菱形灯，通过数图形可得． （2）解：∵，，，，…， ∴当时，； ∵当时，， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， …， ∴． （3）解：由（2）可得：， ∵该灯阵的菱形灯总数达到181个时，恰好完成第k层的铺设， ∴， 解得：或， ∵为正整数， ∴． 3．（2026·安徽芜湖·一模）【综合实践】 观察下列式子和对应图形中小黑点的个数之和 探究1 如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次为1，2，3，…，个小黑点排列组成的，斜线右边的倒三角形图案是由上到下每层依次为，，…，3，2，1个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子的值，如图组成的整个图形恰好是一个“菱形”．则 ① （为正整数）； 探究2 如图，斜线左边的图案是由左到右每列依次为2，3，…，个小黑点排列组成的，斜线右边的图案是由左到右每列依次为，，…，3，2个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子的值，如图在两端加入两个小圆圈，可将整个图案补成“菱形”，则 ② （为正整数） 【规律发现】 根据探究1和探究2中的规律，完成下列问题： (1)填空： ①______；②______；③______（为正整数）． 【规律总结】 (2)猜想： ______，（，均为正整数，且），并证明你的猜想． 【答案】(1)①；②；③； (2)，证明见解析 【分析】（1）①观察图形规律即可求解；②观察图形规律即可求解；③利用①的计算结论即可求解； （2）利用①的计算结论即可求解． 【详解】（1）解：①观察图形知，，， ……， 一般地：， 故答案为：； ②，，，……， 一般地：， 故答案为：； ③ ； 故答案为：； （2）解：． 证明：由（1）得：， ， ． 题型05 分式的化简求值 析典例·建模型 1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据平方差公式和分式的性质化简所求式子，将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 由于， 则原式． 研考点·通技法 1. 先分解再通分：遇到多项式先因式分解（提公因式、平方差、完全平方），通分时用最简公分母，避免复杂计算。注意分子相减要加括号。 2. 除法变乘法：将除法转化为乘以倒数，再分解约分。避免先通分再除，导致计算量增大。约分后形式更简洁，便于代入求值。 3. 代入数值技巧：若条件给出方程（如x2-3x+1=0），可整体降次代入；若为具体值，优先化简后代入，且注意分母不为零验证。避免硬算复杂分式。 破类题·提能力 1．（2026·福建泉州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】先利用平方差公式分解分母，对括号内的分式通分，将除法转化为乘法，约分后得到最简分式，再代入x的值计算即可求解． 【详解】 解： 原式 将代入得，原式． 2．（2026·江西吉安·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．（2026·贵州铜仁·一模）解答 (1)计算： (2)下面是小涵同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式    第一步     第二步         第三步 ①小涵同学的化简过程从第________步开始出现错误： ②请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择喜欢的数代入求值． 【答案】(1) (2)①二；②，当时，原式 【分析】（1）根据零指数幂的意义，绝对值的意义，负整数指数幂的意义，二次根式的性质等计算即可； （2）①根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可； ②先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有意义的条件，得出的值，最后将的值代入进行计算即可； 【详解】（1）解 ： ； （2）①解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号， ∴小涵同学的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； ②解：原式 ， ， ， 取，则原式． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·湖南常德·一模）计算：； 【答案】 【分析】先化简二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值，再合并计算即可得到结果． 【详解】解： 2．（2026·陕西宝鸡·一模）化简：． 【答案】 【分析】根据分式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 3．（2026·陕西西安·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【分析】根据整式混合运算法则，进行化简，然后根据得出，再整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·江苏宿迁·二模）求代数式的值：，其中． 【答案】 【分析】原式将除法转换为乘法，约分后得，再通分可得，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 5．（2026·广东湛江·一模）先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值． 【答案】， 【分析】先对括号内通分相加，再将除法化为乘法约分化简，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，得出的值，代入计算即可． 【详解】解： ， a、2、4恰好是等腰的三边长， 或， 当时，等腰三角形的三边长为2、2、4，不能构成三角形，不符合题意； 当时，等腰三角形的三边长为2、4、4，能构成三角形，符合题意； ， ． 6．（2026·辽宁锦州·一模）计算、化简求值： (1) (2)，请从，，，，中选择一个合适的数，求此分式的值． 【答案】(1) (2)，当时，原式 【分析】（1）先计算算术平方根和立方根，再计算绝对值和乘方，接着计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先把除法变成乘法后约分，再通分化简，最后根据分式有意义的条件确定a的值，并代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且且， ∴当时，原式． 7．（2026·四川绵阳·二模）计算、化简求值： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据负整数指数幂的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的运算法则、零指数幂的意义等计算即可； （2）先对括号内分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解约分进行化简，然后把x的值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， 当时，原式． 8．（2026·四川广安·模拟预测）计算与化简求值： (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中满足． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先利用负整数次幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零次幂化简，然后再计算即可； （2）由可得，然后运用分式的混合运算法则化简，最后将整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ． 当时，原式． 9．（2026·安徽芜湖·一模）下面对每一列数，通过观察归纳，给出每个序列中的后继项： (1)，，，，，___________； (2)2，5，9，14，20， ； (3)小明把从0开始的自然数按照以下规则排序，按照从左到右的顺序，第行最后一个数是___________（用含的式子表示），并求出2026是第几行从左到右数的第几个数． 【答案】(1) (2) (3)，2026为第64行从左到右数的第11个数 【分析】根据题意找数字变化规律即可． 【详解】（1）解：根据题意观察得：； （2）解：根据题意观察得： 则 则为：； （3）解：由题可知， 第一行第一个数为：0， 第二行第一个数为：1， 第三行第一个数为：， 第四行第一个数为：， 第五行第一个数为：， 第行第一个数为：， 第行最后一个数为：， 当时，第一个数为：， 则到共11个数， 故为第行从左到右数的第个数． 10．（2026·安徽安庆·一模）某校举办科技节，同学们用正六边形卡片拼出如图所示的图案，每个图案由若干个正六边形组成．按照图示规律，第1个图案有2个正六边形，第2个图案有5个正六边形，第3个图案有8个正六边形，． (1)按此规律，第6个图案中有多少个正六边形？第n个图案中有多少个正六边形？（用含n的代数式表示） (2)在这一组图案中存在两个相邻的图案，它们所含正六边形个数之和为2053，求这两个图案分别是第几个图案； (3)在这组图案中是否存在一个图案，其正六边形的个数是第a个图案与第b个图案正六边形个数之和的2倍？若存在，求出该图案是第几个图案（用含a，b的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)这两个图案分别是第个图案与第个图案 (3)在这组图案中存在这样的一个图案，该图案是第个图案，其正六边形的个数是第a个图案与第b个图案正六边形个数之和的2倍 【分析】（1）根据图形找到规律，即可求解； （2）根据规律，列出方程，求解检验即可； （3）先求出第a个图案与第b个图案正六边形个数之和的2倍，再根据规律得第n个图案中正六边形个数为，当时，，且符合实际意义． 【详解】（1）解：由图可得，第1个图案中正六边形的个数为：； 第2个图案中正六边形的个数为：； 第3个图案中正六边形的个数为：； 第n个图案中正六边形的个数为； 当时，， 则第6个图案中有个正六边形，第n个图案中有个正六边形； （2）设这两个相邻的图案分别是第n个图案与第个图案， 由题可列，， 解得，符合实际意义， ， 则这两个图案分别是第个图案与第个图案； （3）存在， 第a个图案与第b个图案正六边形个数之和的2倍是， 则， 而由（1）得，第n个图案中正六边形个数为， 令，则， a，b为正整数，n也是正整数， 在这组图案中存在这样的一个图案，该图案是第个图案，其正六边形的个数是第a个图案与第b个图案正六边形个数之和的2倍． 11．（2026·安徽合肥·一模）【项目主题】 某校数学社团开展“幻方与生活”实践活动，探究幻方的数式规律，并尝试将幻方思想应用于校园艺术节的灯箱阵列布置中． 【项目准备】 （1）幻方定义：在一个由若干个连续自然数排成的正方形方格中，如果每行、每列及两条对角线上的数的和都相等，那么这个方格表就叫做幻方，相等的和叫做幻和． （2）如图1是由1－9这9个数构造的一个三阶幻方． 【规律探究】 (1)观察图1，中心数是5，该三阶幻方的幻和（即幻和等于中心数的3倍）．若将图1中每个数都加上同一个正整数k，得到一个新的三阶幻方，则新幻方的幻和 （用含k的代数式表示） (2)若用m，，， …，这9个连续正整数构造一个三阶幻方，则幻和 （用含m的代数式表示）． (3)如图2是一个由1－16这16个数构造的经典四阶幻方，幻和.若将每个数都加上同一个整数k，得到一个新的四阶幻方，则新幻方的幻和 （用含k的代数式表示）． 【项目分析】 校园艺术节期间，数学社团负责在广场上布置一个“幻方灯箱阵列”．具体要求如下： 灯箱阵列为的方形阵列，共16个灯箱．每个灯箱上贴一个数，要求整个阵列构成一个四阶幻方．灯箱中的数必须是从某一起始数开始的连续自然数． (4)现有两种备选方案： 方案一：用1－16这16个连续自然数构造幻方（如图2所示）． 方案二：用5－20这16个连续自然数构造幻方．则方案二的幻和： ． 每个灯箱的制作成本为20元，数字贴纸费用为每个数字1元（即每个数按数字的个数收费，如贴纸8收费1元，贴纸37收费2元）．计算方案一总成本： 元． 【项目实施】 (5)根据以上分析，若社团要求灯箱上幻和为62，且数为连续自然数，此时总成本为 元． 【答案】(1) (2) (3) (4)50；343 (5)350 【分析】（1）根据幻方特征列出代数式即可； （2）根据幻方特征列出代数式即可； （3）根据幻方特征列出代数式即可； （4）根据幻方特征求出幻和，然后求出数字的个数，计算成本即可； （5）根据幻和求出值，确定该连续的16个自然数，然后求出数字的个数，计算成本即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意可知，该三阶幻方的中心数为， ∴幻和； （3）解：； （4）解：， 方案一中个位数有9个，两位数有（个）， ∴成本为（元）； （5）解：当时，解得， ∴16个连续自然数为8－23， ∴个位数有2个，两位数有（个）， ∴成本为（元）． 12．（2026·安徽阜阳·一模）新方向·项目式学习  综合与实践：某数学兴趣小组研究正方形网格中的“网格正方形”数量与规律． 【项目主题】在小正方形组成的网格中，由格点为顶点组成的正方形称为“网格正方形”．如图1，我们将边长与网格线平行的正方形称为“正网格正方形”，如正方形；像边长与网格线不平行的正方形称为“斜网格正方形”，如正方形． 【探究活动一】探究“正网格正方形”的数量规律： 在网格中，“正网格正方形”有个； 在网格中，如图2，边长为2的“正网格正方形”有1个，边长为1的“正网格正方形”有（个），故“正网格正方形”有（个）； 在网格中，如图3，边长为3的“正网格正方形”有1个，边长为2的“正网格正方形”有（个），边长为1的“正网格正方形”有（个），故“正网格正方形”有（个）； (1)在网格中，边长为2的“正网格正方形”的个数为①______； (2)在网格中，“正网格正方形”的个数共有②______个． 【探究活动二】探究“斜网格正方形”的数量规律： 在网格中，“斜网格正方形”有0个； 在网格中，如图4，“斜网格正方形”有1个； 在网格中，如图5，“斜网格正方形”有（个）； 在网格中，如图6，“斜网格正方形”有（个）… 【探究活动三】将前面的研究结果制作成表格如下： … “正网格正方形”的个数和 1 5 14 91 … “斜网格正方形”的个数和 0 1 6 20 50 … “网格正方形”的总数 1 6 20 50 … 【归纳总结】从表格中数据看出，“斜网格正方形”的个数和与“网格正方形”的总数有着非常紧密的联系，总结表格数据规律完成下列问题． 【项目应用】 (3)在网格中，“斜网格正方形”的个数和是③______． (4)在网格中，“网格正方形”的总数是④______． 【项目延伸】在的正方形网格中，已知网格正方形的总数和为，那么．设，则⑤______（⑥______）． (5)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ⑤______；⑥______． 【答案】(1)9 (2)55 (3)105 (4)336 (5)⑤ ⑥ 【分析】（1）根据题意，得到在的网格中，边长为2的“正网格正方形”的个数为，即可得出结果； （2）易得网格中，“正网格正方形”的个数为， （3）观察可知网格中，“斜网格正方形”的个数和等于网格中“网格正方形”的总数，进行求解即可； （4）根据（2）（3）规律进行求解即可； （5）根据题意，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵在网格中，边长为2的“正网格正方形”有1个，边长为1的“正网格正方形”有（个）， 在网格中，边长为3的“正网格正方形”有1个，边长为2的“正网格正方形”有（个），边长为1的“正网格正方形”有（个）， ∴在的网格中，边长为4的“正网格正方形”有1个，边长为3的“正网格正方形”有（个），边长为2的“正网格正方形”的个数为（个），边长为1的“正网格正方形”有（个）； （2）解：由题意，可知：网格中，“正网格正方形”的个数为， ∴在网格中，“正网格正方形”的个数共有（个）； （3）解：观察可知：网格中，“斜网格正方形”的个数和等于网格中“网格正方形”的总数， ∵在网格中，“正网格正方形”的个数共有55个；“斜网格正方形”的个数和50个， ∴在网格中，“网格正方形”的总数为个； ∴在网格中，“斜网格正方形”的个数和105个； （4）解：由（3）结合表格数据可知：在网格中，“斜网格正方形”的个数为个， 在网格中，“正网格正方形”的个数共有个； ∴在网格中，“网格正方形”的总数为个； （5）解：． 设，则 ． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $