精品解析：河南郑州市2026届高三高中毕业年级第二次质量预测数学试题

郑州市2026年高中毕业年级第二次质量预测 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为 ， 所以， 所以， 所以. 2. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以将代入分别得， 则 满足， 所以. 3. 已知，则的值所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数单调递增，所以只需，即可得. 比较5与：. 比较5与：. 比较5与：，，因为，即，所以. 比较5与：，，因为，即，所以. 综上，，所以. 4. 已知平面上不共线的四点 ，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求得，进一步得到，再结合投影向量定义即可求解. 【详解】由，得，即， 所以，所以与共线且同向，且，所以在上的投影向量为, 因为与共线且同向，所以，所以在上的投影向量为. 5. 设是斜三角形的一个内角，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， ，整理得. 或（舍），为三角形的内角， ，又是斜三角形的一个内角， . 综上，不等式的解集为. 6. 已知椭圆，椭圆上一点 到直线距离的最大值为，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设椭圆上任意点，, 根据点到直线的距离公式，可知 到直线的距离为： ，其中， 所以 的最大值为：， ​ 两边平方整理得， 椭圆中，则， 即离心率：. 7. 已知函数，若函数与函数的图象的交点有 个，记为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】判断出两函数的图象都关于点中心对称，根据复合函数的性质判断出函数 的定义域为上单调递增，作出两函数的图象，可得交点个数，根据函数的对称性求解即可. 【详解】因为， 且， 所以的图象关于点中心对称； 又因为， 由，可得， 即函数 的定义域为， 且， 易知函数 在上单调递增， 又， 所以的图象关于点中心对称； 所以两函数的交点也关于点中心对称； 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得两函数图象共有3个交点，其中一个交点为， 设另外两个交点分别为， 则， 所以. 8. 若方程的三个根成等比数列，则该数列的公比为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用数形结合判断根的分布，再结合对数运算，通过代换变形可求得公比. 【详解】 如图可知：方程的三个根的分布为：， 因此， 再设公比为 ，则 ，，由等比中项性质得， 将等式相减得： ， 代入可得： 再代入，可得， 代入 ，，可得， 解得或（负根舍去），且满足，即公比为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者．竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.04 B. 估计样本成绩的众数约为85 C. 估计样本成绩的上四分位数约为87.5 D. 若规定成绩排名前的同学可入围决赛，估计进入决赛的同学成绩应不低于90分 【答案】ABC 【解析】 【分析】由所有矩形的面积和为1，求出的值，即可判断A；由众数的定义求出其值，即可判断B；求出上四分位数，即可判断C；由题意可得绩不低于90分的同学占总体的，即可判断D. 【详解】对于A，由题意可得， 解得，故A正确； 对于B，设样本的众数为，则，故B正确； 对于C，设样本成绩的上四分位数为 ， 由题意可得， 所以， 所以，故C正确； 对于D，因为成绩不低于90分的同学占总体的，不满足题意，故D错误. 10. 已知函数，函数，则（ ） A. 当时， B. 和的奇偶性相同 C. 和的周期相同 D. 和的最值相同 【答案】BD 【解析】 【分析】首先分析、的奇偶性，对于A，判断范围内的大小即可比较；对于B，根据奇偶性定义即可判断；对于C，分开讨论、、 、的周期性，再判断、的周期性即可；对于D，根据三角函数的取值范围，判断和的最值即可． 【详解】， 因此，是偶函数，同理可判断也为偶函数， 对于A，时，，， 所以此时，又因为、均为偶函数， 所以时，，故A错误； 对于B，由前述分析可知、均为偶函数，故B正确； 对于C，由于的图象如下所示， 易知其为非周期函数，又为周期性函数，周期为，故为非周期函数， 而，由于 、为周期函数， 所以为周期函数，因此两者周期性不同，故C错误； 对于D，，当且仅当且 时成立， 例如即可取到最大值2， 当且仅当且或且 时成立， 例如 即可取到最小值0， ，当且仅当且时成立， 例如 即可取到最大值2， 当且仅当且或且时成立， 例如即可取到最小值0，故D正确． 11. 已知抛物线为坐标原点，过点作斜率为的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线 交抛物线于另一点，其中，直线 与直线 交于点 ．则（ ） A. B. 当 时，直线的方程为 C. 当四点共圆时， D. 点 落在定直线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求解判定A，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，根据已知条件判定B，C，根据条件求出 的横坐标，再结合韦达定理计算判定D. 【详解】因为点，则，又，则， 所以，代入抛物线，得到，解得，A选项正确； 所以抛物线的方程为， 设直线方程为， 设，联立， 消 得到， 则， 当 时，， 所以 或 ，且，即得 ， 所以直线的方程为，B选项错误； 当四点共圆时，则有，故， 则，所以， 又， 所以，即， 整理得到，又，所以，故直线的方程为，C选项正确； 由，得到直线， 由，得， 直线，联立方程，解得，， ， 由，得， 所以点 落在定直线上，D选项正确； 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的所有极值点之和为______． 【答案】 【解析】 【详解】，令，解得，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增. 所以在取得极大值，在取得极小值，所以函数所有极值点之和为. 13. 已知为等差数列，记公差为 ，前 项和为，当且仅当时取得最大值，则 的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，据此可得答案. 【详解】因，且存在最大值，则，又仅在时取最大值，则前7项为正数，从第8项开始为负数， 从而. 14. 已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为．若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的表面积公式得到母线，根据圆锥截面的性质、圆的截面性质及相互之间关系求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，则，解得. 则圆锥的轴截面为边长为10的等边三角形. 沿圆锥内三个球的球心的截面如图，则为边长为的等边三角形， 根据圆锥的性质易知截面圆的圆心 为的外心，所以. 沿 ，所在轴截面如图，易知，所以. 所以，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，为 边上的一点，满足，且． （1）求； （2）若 ，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理可得、，由可得，再结合即可得的值； （2）设，利用余弦定理可表示出、，再利用（1）中所得即可得解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理可得，则， 在中，由正弦定理可得，则， 故， 由，则， 则，故； 【小问2详解】 设，则， ， 在中，由余弦定理可得 ， 在中，由余弦定理可得 ， 由（1）知，则， 故， 解得. 16. 如图，在四棱锥 中， 底面，平面平面，， ，四棱锥 的体积为2． （1）求证：； （2）求平面 与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，连接 ，过点作于点 ，则可利用面面垂直性质定理得到 平面，再利用线面垂直性质定理可得 、，则可由线面垂直判定定理得到平面 ，再利用线面垂直性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，可设出点坐标，结合（1）中所得与四棱锥 的体积可计算出点坐标，再求出平面 与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【小问1详解】 设，连接 ，过点作于点 由平面平面，平面平面，平面 ， 故 平面，又平面，故 ， 由 底面 ，平面 ，故， 又，、 平面 ，故平面 ， 又平面 ，故； 【小问2详解】 由题意，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、， 设，则，又， 则由可得，即， 由四棱锥 的体积为 ，即， 则，则， ， 则， 故， 故 ， 整理得，解得（负值舍去）， 故，即，则， 、， 设平面 与平面的法向量分别为、， 则有，， 取 ，则、，，， 即可取、， 则， 故平面 与平面的夹角的余弦值为. 17. 函数，， 为自然对数的底数． （1）当时，过点可以作曲线三条切线，求实数 的取值范围； （2）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设切点坐标，利用导数求出切线斜率，结合点斜式写出切线方程，将点 代入切线方程，得到关于切点横坐标的方程，再构造函数，利用导数研究该函数的单调性与极值，根据极值的符号确定参数 的范围； （2）依题意等价于，即，存在使得该式成立，所以先利用导数求出的最大值，构造关于的函数，再求该函数的最大值，进而确定的范围. 【小问1详解】 当时，， 设切点为 ，切线方程为： ， 切线过 ，代入得：， 依题意有三条切线，即方程有三个不同实根， 设，求导得恒成立： 时， 单调递增； 时， 单调递减； 时， 单调递增； 极值为，且 时时 ， 因此与有三个交点时：； 【小问2详解】 ，求导得， 令得（ 为极值点横坐标）， 由得， 的最大值为，代入得：， 依题意若存在使得对任意恒成立，即：， 整理得：对某个成立，即， 设，求导得：， 可得：时递减； 时递增。因此 最小值为，故： 即的取值范围是. 18. 已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为1，点在双曲线上； （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线 与圆 相切，求的最小值； （3）如图，是双曲线上两点，直线与 轴分别交于点，点 在直线 上；若关于原点对称，且 ，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离为1以及点 在双曲线上，列出的方程，求解出，即可写出双曲线的标准方程. （2）根据切线的性质可得，将问题转化成求的最小值问题，结合两点间距离公式将表示成的函数表达式，求解出最小值即可. （3）设出坐标以及直线 的方程，联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，再写出直线方程，可求得坐标，利用关于原点对称列出方程，找出之间的关系，从而可得直线 所过定点，再借助直角三角形判断是否为定值即可. 【小问1详解】 因为焦点到一条渐近线的距离为1，即. 又点 在双曲线上，所以，解得. 所以双曲线的方程为 . 【小问2详解】 圆的圆心，半径为. 因为是圆 上的动点，直线 与圆 相切，所以，. 所以. 设，因为是双曲线上的动点，所以. 所以. 当时，取得最小值，此时. 所以. 【小问3详解】 由题意知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为. 联立，整理得：. 且 . 设，则. 直线的方程为. 令 ，则，即. 同理可得，. 因为关于原点对称，所以， 即. 整理得. 即. 整理得，即. 所以 或 . 若 ，则 ，则直线方程为 ，即， 此时直线 过点 ，不符合题意. 若，则直线方程为，恒过定点. 所以为定值，又 ，在 中，为斜边， 所以当为中点时，. 因此存在点，使得为定值. 19. 某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到 的 张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为． （1）当 时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率． （2）若 ． ①求最终拿到标号不大于的奖券的概率； ②求随机变量的期望（用 表示）． （3）当 时，证明：． 【答案】（1）； （2）① ；② （3） ， 则随机变量 的期望为 . 设 ， ， 当 时， ，等号成立； 当 时，当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以. 设， 又因为， 所以，所以． 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）利用对立事件和差事件求概率： ，计算两次有放回抽取的结果概率； （2）①标号不大于 即每次抽取都不超过 ，用独立重复试验求概率；②用分布列或尾和公式求期望，化简得到结果； （3）先写出期望表达式，再构造对称和式，结合函数单调性放缩证明不等式. 【小问1详解】 表示最大标号为 ，等价于所有抽取结果都不超过 ，且至少有一次等于 ， 则 两次都不超过2； 两次都不超过2 两次都不超过1. 【小问2详解】 ①最终标号不大于 等价于 次抽取的所有结果都不大于 ，每次抽到不大于 的概率为， 因此 . ②由于 ， 随机变量 的期望得 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州市2026年高中毕业年级第二次质量预测 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面上不共线的四点 ，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 设是斜三角形的一个内角，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆，椭圆上一点 到直线距离的最大值为，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数与函数的图象的交点有个，记为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若方程的三个根成等比数列，则该数列的公比为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者．竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.04 B. 估计样本成绩的众数约为85 C. 估计样本成绩的上四分位数约为87.5 D. 若规定成绩排名前的同学可入围决赛，估计进入决赛的同学成绩应不低于90分 10. 已知函数，函数，则（ ） A. 当时， B. 和的奇偶性相同 C. 和的周期相同 D. 和的最值相同 11. 已知抛物线为坐标原点，过点作斜率为的直线交抛物线于 两点，其中 在第一象限，直线 交抛物线于另一点 ，其中，直线与直线交于点 ．则（ ） A. B. 当时，直线的方程为 C. 当四点共圆时， D. 点 落在定直线上 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的所有极值点之和为______． 13. 已知为等差数列，记公差为 ，前项和为，当且仅当时取得最大值，则 的取值范围为______． 14. 已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为．若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在 中， 为边上的一点，满足，且． （1）求； （2）若 ，求的值． 16. 如图，在四棱锥 中， 底面，平面平面，， ，四棱锥 的体积为2． （1）求证：； （2）求平面 与平面的夹角的余弦值． 17. 函数，， 为自然对数的底数． （1）当时，过点可以作曲线三条切线，求实数 的取值范围； （2）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围． 18. 已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为1，点在双曲线上； （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线 与圆 相切，求的最小值； （3）如图， 是双曲线上两点，直线与 轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 19. 某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到的张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为 ． （1）当 时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率． （2）若 ． ①求最终拿到标号不大于的奖券的概率； ②求随机变量 的期望（用 表示）． （3）当 时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $