专题06四边形及其多边形压轴专项训练(10大题型+突破题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题06四边形及其多边形压轴专项训练 💦【温馨提示】10大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.多边形内角和外角和综合 题型02.多边形截角问题 题型03.多边形边数分类讨论问题 题型04.多边形对角线计算问题 题型05.多边形内外角特殊关系问题 题型06.多边形边角综合推理问题 题型07.多边形规律探究问题 题型08.多边形折叠问题 题型09.多边形动点问题 题型10.多边形最值问题 知识点01:多边形核心概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（n≥3，正整数），分为凸 / 凹多边形（初中重点研究凸多边形） 2.正多边形：各边相等且各内角相等的多边形（双重条件缺一不可） 3.多边形元素：边、顶点、内角（相邻两边夹角）、外角（一边与邻边延长线夹角）、对角线（连接不相邻两个顶点的线段） 在平面内，线段 AB,BC,CD,DE,EA 首尾顺次相接，围成封闭图形，称为五边形 ABCDE。 任意一边所在直线（如直线 AB），图形所有顶点都在直线同侧，故为凸多边形。 从顶点 C 出发，可作对角线 CA,CB 4.对角线关键结论：n 边形从一个顶点出发可作 **(n-3)** 条对角线，总对角线条数为​ 知识点02:核心公式(熟记会用.必考) 1. 内角和定理 n 边形内角和 = (n−2)×180°（n≥3，正整数） ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形）. 2. 外角和定理 任意多边形外角和均为 360°（与边数 n 无关，固定值） 3. 正 n 边形专属公式 每个内角度数：​ 每个外角度数：​（正多边形外角相等，此公式更简便） 易错点警示 1. 混淆凸凹四边形：课本默认研究凸四边形，无需考虑凹四边形。 2. 混用内外角和：二者均为360°，求内角用内角和，求外角用外角和。 3. 误判正多边形：需同时满足“各边相等、各内角相等”，缺一不可。 4. 错算对角线：n边形一个顶点可作（n-3）条对角线，勿多算或少算。 题型01.多边形内角和外角和综合 【典例】一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有_______条． 【跟踪专练1】如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，太阳光平行照射在放置于地面的六边形上．若六边形的每个内角都相等，且，则__________． 【跟踪专练3】如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 题型02.多边形截角问题 【典例】如题图，五边形为正五边形，一条直线将它分割成两个多边形，这两个多边形的内角和分别为x、y，则的最大值为__________． 【跟踪专练1】一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【跟踪专练2】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【跟踪专练3】若过多边形的一个顶点作一条直线，把这个多边形截掉两个角，它的内角和变为1260°，则这个多边形原来的边数为（    ） A．12 B．10 C．11 D．10或11 【跟踪专练4】已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 题型03.多边形边数分类讨论问题 【典例】若平铺地面的瓷砖每一个顶点处由块相同的正多边形组成，此时的正多边形只能是（   ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【跟踪专练1】如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是（  ）边形． A．四 B．五 C．六 D．八 【跟踪专练2】一个多边形被一条直线截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．10或11 B．9或10或11 C．11或12或13 D．10或11或12 【跟踪专练3】一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为________________． 【跟踪专练4】阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 题型04.多边形对角线计算问题 【典例】从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 【跟踪专练1】某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 【跟踪专练2】过边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 题型05.多边形内外角特殊关系问题 【典例】如果一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角都大于，那么这个多边形的边数最少为______． 【跟踪专练1】若一个正多边形的每一个内角比它的每一个外角都大60°，则这个多边形的边数是_____ ． 【跟踪专练2】（1）如果一个多边形每一个外角都是，那么这个多边形的边数为____________． （2）正边形的一个内角为，则的值是____________． 【跟踪专练3】若一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个正多边形一个内角的度数． 题型06.多边形边角综合推理问题 【典例】如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为__________． 【跟踪专练1】一台可折叠的床头伸缩壁灯实物图如图①，其数学示意图如图②．调整前、后的灯杆使，前臂杆之间的夹角，后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化后的角度_____． 【跟踪专练2】如图，，是上一点，是，外一点，连接，．若，，则的度数为______． 【跟踪专练3】如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 题型07.多边形规律探究问题 【典例】“剪纸”是我国一项传统民间艺术，现有一张正方形纸片，用剪刀沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，…以此类推，为了得到7个十一边形和一些多边形纸片，则至少要剪_______ 刀． 【跟踪专练1】小红要用一块大三角形纸板制作拼图，制作方式如下：用剪刀沿一条不经过该图形任何顶点的直线将这块大三角形纸板剪成两块；再从分割得到的两块纸板中任选一块，沿一条不经过该图形任何顶点的直线将其剪成了两块，这样共有3块纸板：从这3块纸板中任选一块，重复上述操作，得到4块纸板；…，如此下去，她数了数共有8块纸板，其中三角形纸板有5块，四边形纸板有1块，五边形纸板有1块，那么剩下的1块纸板的边数是_________________． 【跟踪专练2】（1）如图1所示，_________； （2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为；图2称为二环四边形，它的内角和为，则二环四边形的内角和为__________；二环五边形的内角和为__________；二环n边形的内角和为_________． 【跟踪专练3】阅读材料： 如图1所示，线段与相交于点，称与为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．       （图1）                 （图2）                （图3） （1）如图2所示，线段与相交于点，与的平分线和相交于点，交于点，交于点，已知，，则的度数是__________． （2）如图3所示，__________． 【跟踪专练4】我们知道，四边形内角和为，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然互补．因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”．例如：在四边形中，若（或），则称四边形为“双补四边形”． (1)已知四边形是“双补四边形”． ①若，则______； ②如图1，若，，，，则______； (2)如图3，四边形是“双补四边形”，，点M，N分别在边，上，且满足．试探究和之间满足的数量关系，并证明你的结论． 题型08.多边形折叠问题 【典例】如图，四边形中，点M、N分别在、上，将沿翻折，得，若，，，，则的度数为 _______． 【跟踪专练1】如图，将四边形纸片沿折叠，使落在边上的处，已知，，则___________． 【跟踪专练2】如图，把长方形纸片沿折叠，点C落到点E处，与相交于点F，连接，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)求图中阴影部分的面积． 题型09.多边形动点问题 【典例】如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，____________________ 【跟踪专练1】如图，在四边形ABCD中，，点E是AB边的中点．P点从点B出发以的速度沿BC方向运动，同时点Q从点C出发沿CD方向运动，若能够在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为_______． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练3】在四边形中，，，点，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图，已知，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设，当时，求的值． (2)如图，若，，点，，，的速度都是，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 题型10.多边形最值问题 【典例】如图，四边形中，，，，，点在折线段上运动，令，点到的距离为，则的最小值为_______． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，点、分别为边上的点、且，则的最小值是_____． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（   ） A．7 B．5 C． D． 【跟踪专练3】如图，四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），，分别为，的中点，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06四边形及其多边形压轴专项训练 💦【温馨提示】10大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.多边形内角和外角和综合 题型02.多边形截角问题 题型03.多边形边数分类讨论问题 题型04.多边形对角线计算问题 题型05.多边形内外角特殊关系问题 题型06.多边形边角综合推理问题 题型07.多边形规律探究问题 题型08.多边形折叠问题 题型09.多边形动点问题 题型10.多边形最值问题 知识点01:多边形核心概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（n≥3，正整数），分为凸 / 凹多边形（初中重点研究凸多边形） 2.正多边形：各边相等且各内角相等的多边形（双重条件缺一不可） 3.多边形元素：边、顶点、内角（相邻两边夹角）、外角（一边与邻边延长线夹角）、对角线（连接不相邻两个顶点的线段） 在平面内，线段 AB,BC,CD,DE,EA 首尾顺次相接，围成封闭图形，称为五边形 ABCDE。 任意一边所在直线（如直线 AB），图形所有顶点都在直线同侧，故为凸多边形。 从顶点 C 出发，可作对角线 CA,CB 4.对角线关键结论：n 边形从一个顶点出发可作 **(n-3)** 条对角线，总对角线条数为​ 知识点02:核心公式(熟记会用.必考) 1. 内角和定理 n 边形内角和 = (n−2)×180°（n≥3，正整数） ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形）. 2. 外角和定理 任意多边形外角和均为 360°（与边数 n 无关，固定值） 3. 正 n 边形专属公式 每个内角度数：​ 每个外角度数：​（正多边形外角相等，此公式更简便） 易错点警示 1. 混淆凸凹四边形：课本默认研究凸四边形，无需考虑凹四边形。 2. 混用内外角和：二者均为360°，求内角用内角和，求外角用外角和。 3. 误判正多边形：需同时满足“各边相等、各内角相等”，缺一不可。 4. 错算对角线：n边形一个顶点可作（n-3）条对角线，勿多算或少算。 题型01.多边形内角和外角和综合 【典例】一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有_______条． 【答案】5 【分析】先根据多边形外角和等于建立方程，解方程求出这个多边形的边数，再根据以边形的一个顶点为端点的对角线有条求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵一个多边形的内角和与外角和的和是，多边形的外角和等于， ∴， 解得， ∴以这个多边形的一个顶点为端点的对角线条数为（条）． 【跟踪专练1】如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题. 先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，五边形的内角和为：， ∵ ， ∵， ∴； 故选：A． 【跟踪专练2】如图，太阳光平行照射在放置于地面的六边形上．若六边形的每个内角都相等，且，则__________． 【答案】41° 【分析】此题考查多边形的内角与外角、平行线的性质，熟记多边形的外角和是及“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 由每个内角都相等的六边形的每个外角都相等得出，根据三角形的内角和得出，即可根据三角形的外角定理和平行线的性质求解． 【详解】解：如图，延长交于点，则． 六边形的每个内角都相等， 其每个外角都相等， ， ． ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 【答案】(1)14 (2)21 【分析】（1） 根据图②的构成，确定三个正多边形的边数，计算外轮廓周长时需减去重叠的边，从而得到总周长． （2） 设，推导以为内角的正多边形的边数表达式，写出周长的代数表达式；根据边数为正整数确定的取值，代入计算找到最大周长． 【详解】（1）解：图②中，，因此：  以 为内角的正多边形是正方形， 以为内角的正多边形是正八边形， 两个正八边形各贡献条边，共， 正方形贡献条边， 总周长：． （2）解：设， 以为内角的正多边形的边数为， 以，为内角的正多边形的边数均为， 会标的外轮廓周长是． 根据题意可知与均为整数， 的值只能为，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，当时，周长最大，此时会标的外轮廓周长是21． 【点睛】本题考查了正多边形的内角与边数的关系、代数表达式推导与整数解分析，掌握正多边形边数与内角的换算公式，以及通过代数表达式求最值的方法是解题的关键． 题型02.多边形截角问题 【典例】如题图，五边形为正五边形，一条直线将它分割成两个多边形，这两个多边形的内角和分别为x、y，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】此题考查了多边形的内角，分类讨论的思想，如图，一条直线将该五边形分割成两个多边形（含三角形）的情况有5种，分别求出每一个图形的两个多边形的内角和即可作出判断． 【详解】解：图①中，； 图②中，； 图③中，； 图④中，； 图⑤中，． 由上述分析可知，的最大值为． 故答案为：． 【跟踪专练1】一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案. 【详解】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形， 如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形， 如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形， 故选： 【点睛】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论. 【跟踪专练2】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况． 【跟踪专练3】若过多边形的一个顶点作一条直线，把这个多边形截掉两个角，它的内角和变为1260°，则这个多边形原来的边数为（    ） A．12 B．10 C．11 D．10或11 【答案】D 【分析】分从顶点到顶点裁剪和从顶点到边裁剪两种情况求解． 【详解】多边形裁掉2个角，有两种情况，从顶点到顶点裁剪，从顶点到边裁剪． ∵新多边形内角和为1260°， ∴根据多边形内角和公式180°×（n-2）=1260°， 解得：n=9， ∴新多边形的边数为9． ①从顶点到顶点裁剪，多边形会减少两个角，则原多边形的边数为11； ②从顶点到边裁剪，多边形会减少一个角，则原多边形的边数为10． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握截角的方法是解题的关键． 【跟踪专练4】已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)这个多边形的边数为7． (2)截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式与外角和定理是解题的关键． （1）根据多边形的内角和公式，外角和定理列出方程，求解即可； （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1，三种情况，依据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】（1）设这个多边形的边数为， 则内角和为，外角和为， 由题意，得 解得． 这个多边形的边数为7． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1． 截完后所形成的新多边形的边数可能是6或7或8． ①当多边形为六边形时．其内角和为； ②当多边形为七边形时，其内角和为； ③当多边形为八边形时，其内角和为． 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 题型03.多边形边数分类讨论问题 【典例】若平铺地面的瓷砖每一个顶点处由块相同的正多边形组成，此时的正多边形只能是（   ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能． 【详解】解：A、正三角形的每个内角是个正三角形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； B、正四边形的每个内角是个正四边形满足同一顶点处的周角为，故本选项符合题意； C、正六边形的每个内角是个正六边形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； D、正八边形的每个内角是个正八边形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是（  ）边形． A．四 B．五 C．六 D．八 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的判断，掌握正多边形的内角和是解决本题的关键． 先判断出图形由三个完全相同的正多边形拼成的镶嵌，再根据正多边形的内角和进行求解即可． 【详解】解：是三个完全相同的正多边形拼成的镶嵌， 每个内角度数， 那么边数为：． 故这种多边形是正六边形． 故选C． 【跟踪专练2】一个多边形被一条直线截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．10或11 B．9或10或11 C．11或12或13 D．10或11或12 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是10或11或12． 【跟踪专练3】一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为________________． 【答案】或或 【分析】本题考查的知识点是多边形的概念，解题关键是列举出所有可能的情况．一个多边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为，， 故答案为：，，． 【跟踪专练4】阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 【答案】(1)多加的外角度数为，多边形的边数为 (2)；或或 【分析】（1）设多加的外角度数为，多边形的边数为，由多边形内角和公式可得，则，再由建立不等式组求解即可； （2）由于多边形的外角和始终为，则剪完后所形成的新多边形的外角和不变；然后分三种情况求解剪完后所形成的新多边形的内角和． 【详解】（1）解：设多加的外角度数为，多边形的边数为， 由题意得，， ∴ ∵ ∴， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴ ∴多加的外角度数为，多边形的边数为； （2）解：剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为八边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为七边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为六边形，则内角和为； 综上：剪完后所形成的新多边形的内角和为或或． 题型04.多边形对角线计算问题 【典例】从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 【答案】27 【分析】本题主要考查了多边形的定义和性质，解题的关键是掌握相关公式． 根据从n边形一个顶点出发连接其余顶点可分割成个三角形的规律，求出n值，再代入n边形对角线条数公式计算． 【详解】解：由题意，从n边形一个顶点出发分割三角形数为个， 已知分成7个三角形，得， 解得， n边形的对角线条数公式为，代入，得， 故答案为：27． 【跟踪专练1】某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 【答案】 【分析】本题考查了图论基础知识，具体涉及完全图的边数计算和去重思想．题目中传感器均匀分布在正八边形顶点上，相当于一个8个顶点的图，每个顶点需要与其他所有顶点连接，但相邻顶点之间已有连接（即正八边形的边），需要计算额外添加的连接通道数．掌握完全图边数公式和去重原理是解题的关键． 【详解】解：∵对于每个核心传感器，除去相邻传感器，还需要连5个传感器，故需额外建立5条连接通道， ∴一共需要额外建立的连接通道数量为（条）． 故答案为：． 【跟踪专练2】过边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线，解题的关键是掌握：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形．据此列式求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵过边形的一个顶点可以画出条对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 故选：C． 【跟踪专练3】【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 【答案】（1）2，3；（2）；（3） 【分析】本题考查多边形对角线与三角形分割规律、角平分线性质、角度和差运算及方程思想在几何角度问题中的应用，利用角的倍数关系、平分线性质建立方程或利用多边形规律是解题的关键。 （1）通过多边形从一个顶点出发的对角线数量规律和三角形分割规律，代入五边形边数即可得出结果； （2）通过角度的和差计算即可得出的度数； （3）通过设未知数表示角的倍数与平分关系，结合已知角建立方程，再利用角度和差运算整体代换，最终求出的度数； 【详解】解：（1）时， 从一个顶点出发的对角线数量为， 三角形分割数量为． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴． 设，则，． ∵， ∴，解得， ∴， 故小路与小路的夹角（即）的度数为． 题型05.多边形内外角特殊关系问题 【典例】如果一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角都大于，那么这个多边形的边数最少为______． 【答案】7 【分析】利用多边形外角和定理，结合内角与相邻外角的互补关系列不等式求解，即可得到边数的最小值． 【详解】解：设该多边形的边数为，为不小于的正整数， 因为多边形的每一个内角都相等，且每一个内角都大于，多边形的内角与相邻外角互为邻补角，因此每个外角都小于， 根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和为，可得不等式， ， 解得， 因为为正整数，所以的最小值为． 【跟踪专练1】若一个正多边形的每一个内角比它的每一个外角都大60°，则这个多边形的边数是_____ ． 【答案】6 【分析】根据多边形内角与相邻外角互补列方程求出外角度数，再利用多边形外角和为即可求出边数． 【详解】解：设这个正多边形的一个内角为，则相邻外角为． 由多边形内角与相邻外角和为，得： ， 解得：， 则外角为， 任意多边形的外角和为，正多边形各外角相等， 该多边形边数为． 【跟踪专练2】（1）如果一个多边形每一个外角都是，那么这个多边形的边数为____________． （2）正边形的一个内角为，则的值是____________． 【答案】 6 5 【分析】（1）利用任意多边形的外角和为，用外角和除以每个外角的度数，即可得到多边形的边数； （2）先根据内角与相邻外角互补求出正边形的一个外角的度数，再利用多边形外角和为，用外角和除以每个外角的度数，得到的值． 【详解】解：（1）∵任意多边形的外角和为，且该多边形每个外角为， ∴边数． （2）∵正边形的一个内角为，内角与外角互补， ∴一个外角的度数为， ∵多边形外角和为， ∴． 【点睛】本题考查了多边形的外角和与内角和的性质，掌握任意多边形的外角和恒为，及内角与相邻外角的互补关系是解题的关键． 【跟踪专练3】若一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个正多边形一个内角的度数． 【答案】 【分析】先设正多边形的边数，根据题干条件列方程求出边数，再计算一个内角的度数即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 则， ∴， ∴正多边形一个内角的度数为． 题型06.多边形边角综合推理问题 【典例】如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为__________． 【答案】40 【分析】由正多边形内角和定理求出的度数，则可求出的度数，再由三角形外角的性质求出的度数，最后根据平行线的性质可得的度数． 【详解】解：如图所示， 由题意得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵太阳光线是平行光线， ∴． 【跟踪专练1】一台可折叠的床头伸缩壁灯实物图如图①，其数学示意图如图②．调整前、后的灯杆使，前臂杆之间的夹角，后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化后的角度_____． 【答案】/25度 【分析】本题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行线的性质得出，然后利用三角形的外角定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，，是上一点，是，外一点，连接，．若，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质．延长交于点G，根据两直线平行同位角相等得到，再利用三角形外角的性质即可得到． 【详解】解：延长交于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【跟踪专练3】如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在五边形中， ∴． 题型07.多边形规律探究问题 【典例】“剪纸”是我国一项传统民间艺术，现有一张正方形纸片，用剪刀沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，…以此类推，为了得到7个十一边形和一些多边形纸片，则至少要剪_______ 刀． 【答案】 【分析】本题考查多边形内角和定理，一元一次不等式的应用和规律探究，解题关键是得到每剪一次所有多边形总内角和增加，其余多边形最小内角和至少为，据此列不等式求解． 【详解】解：根据题意，每剪一刀，所有多边形的内角和共增加． 设一共剪了刀，则共得到个多边形，所有多边形的内角和总和为． 已知共有7个十一边形，根据多边形内角和定理，7个十一边形的内角和总和为 根据题意得， 不等式两边同除以，得 整理得． 故至少要剪刀． 【跟踪专练1】小红要用一块大三角形纸板制作拼图，制作方式如下：用剪刀沿一条不经过该图形任何顶点的直线将这块大三角形纸板剪成两块；再从分割得到的两块纸板中任选一块，沿一条不经过该图形任何顶点的直线将其剪成了两块，这样共有3块纸板：从这3块纸板中任选一块，重复上述操作，得到4块纸板；…，如此下去，她数了数共有8块纸板，其中三角形纸板有5块，四边形纸板有1块，五边形纸板有1块，那么剩下的1块纸板的边数是_________________． 【答案】7 【分析】本题主要考查了三角形及多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形内角和公式及每剪一次增加的度数． 设未知纸板边数为m，则内角和为，求出其它图形的内角和，然后根据内角和列出方程求解即可． 【详解】解：初始为1块三角形纸板，内角和，8块纸板图形总内角和为， 5块三角形内角和为， 1块四边形的内角和为， 1块五边形的内角和为， 设未知纸板边数为m，则内角和为，根据题意得， ， 解得， ∴剩下的1块纸板的边数是7， 故答案为：7． 【跟踪专练2】（1）如图1所示，_________； （2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为；图2称为二环四边形，它的内角和为，则二环四边形的内角和为__________；二环五边形的内角和为__________；二环n边形的内角和为_________． 【答案】 360° 720° 1080° 【分析】（1）结合题意，根据对顶角和三角形内角和的知识，得，再根据四边形内角和的性质计算，即可得到答案； （2）连接，交于点M，根据三角形内角和和对顶角的知识，得；结合五边形内角和性质，得；结合（1）的结论，根据数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）如图所示，连接AD，交于点M ∵，， ∴； 故答案为：360° （2）如图，连接，交于点M ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴二环四边形的内角和为： ∵二环三角形的内角和为： 二环四边形的内角和为： ∴二环五边形的内角和为： ∴二环n边形的内角和为： 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了多边形内角和、对顶角、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、多边形内角和、数字规律的性质，从而完成求解． 【跟踪专练3】阅读材料： 如图1所示，线段与相交于点，称与为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．       （图1）                 （图2）                （图3） （1）如图2所示，线段与相交于点，与的平分线和相交于点，交于点，交于点，已知，，则的度数是__________． （2）如图3所示，__________． 【答案】 /97度 /360度 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，根据“对顶三角形”的性质，得出，，则得到，即可求解； （2）连接，如图，可知：，根据等量代换和四边形内角和即可求解． 【详解】解：（1）和的平分线和相交于点， ，， ，， 得：， 即， ，， ． 故答案为：； （2）连接，如图，    可知：， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查多边形内角和，解题的关键是根据题中给出的思路，用等量代换将要求的角转化在同一个多边形内，根据多边形的内角和求解即可． 【跟踪专练4】我们知道，四边形内角和为，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然互补．因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”．例如：在四边形中，若（或），则称四边形为“双补四边形”． (1)已知四边形是“双补四边形”． ①若，则______； ②如图1，若，，，，则______； (2)如图3，四边形是“双补四边形”，，点M，N分别在边，上，且满足．试探究和之间满足的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①；②6 (2)，证明见解析 【分析】（1）①根据“双补四边形”的定义得到，，再根据角的大小关系可得到，则，据此求出的度数，进而求出的度数即可得到答案； ②根据“双补四边形”的定义得到，由勾股定理求出的长，进而可求出的长； （2）延长到P，使得，连接，可证明；根据“双补四边形”的定义得到，则可证明，证明，得到，再证明，得到，则可证明，再由，可得． 【详解】（1）解：①∵四边形是“双补四边形”， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵四边形是“双补四边形”， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； （2）解：， 证明如下：如图所示，延长到P，使得，连接， ∵，， ∴，即； ∵四边形是“双补四边形”， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是“双补四边形”， ∴， ∴． 题型08.多边形折叠问题 【典例】如图，四边形中，点M、N分别在、上，将沿翻折，得，若，，，，则的度数为 _______． 【答案】 【分析】利用平行线的性质得出，，再利用翻折变换的性质得出，，进而求出的度数以及得出 的度数． 【详解】解：∵，，，， ， ∵将沿翻折得， ， ， ． 【跟踪专练1】如图，将四边形纸片沿折叠，使落在边上的处，已知，，则___________． 【答案】160 【详解】解：∵，， ∴，， 由折叠的性质可知：， ∴，， 在四边形、中，，， ∴． 【跟踪专练2】如图，把长方形纸片沿折叠，点C落到点E处，与相交于点F，连接，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质，矩形的性质，平行线的判定及全等三角形的判定与性质．根据已知条件及每个选项的结论进行逐一分析判断即可选出答案． 【详解】解：A项：假设， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 在长方形中， ∴， ∴， ∴， 依题意得：不一定等于， ∵假设是错误的， ∴该选项错误，符合题意； B项：在长方形中，， ∴， ∴， ∴该选项正确，不符合题意； C项：在长方形中，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴该选项正确，不符合题意； D项：∵是和的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该选项正确，不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据折叠得出，从而证明，根据等角对等边，即可证明结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案； （3）根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形；理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵沿折叠得， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰三角形． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， 设， 由（1）知，则， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：． 题型09.多边形动点问题 【典例】如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，____________________ 【答案】或 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图，在四边形ABCD中，，点E是AB边的中点．P点从点B出发以的速度沿BC方向运动，同时点Q从点C出发沿CD方向运动，若能够在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为_______． 【答案】2或m/s/2或m/s/或m/s/或m/s 【分析】本题考查三角形全等动点问题，解题的关键是掌握全等三角形的性质，进行分类讨论．根据三角形全等性质分，或，两类讨论求解即可得到答案． 【详解】解：∵m，E是AB的中点； ∴m； ∵，且与全等； ∴，或，； 当，时； m，m设运动时间为t； 则，解得； ； 此时点Q的运动速度为：m/s； 当，时； ； 解得：； 此时，点Q的运动速度为：m/s； 故答案为：2或m/s． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，表示出，，和的长，当四边形为矩形时，根据，列出方程求解即可；当四边形为平行四边形时，根据，列出方程求解即可；当时，分两种情况：四边形是平行四边形时；四边形是等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，可得，， ∵，， ∴，， 当四边形为矩形时，， 即，解得，故①不正确； 当四边形为平行四边形时，则， 即，解得，故②不正确； 当时，分两种情况： 当四边形是平行四边形时，则， 即，解得， 当四边形是等腰梯形时， 过点作于点，过点作于点，如图所示，    则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又，，， ∴， 即， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确， ∴正确的结论有个． 故选： 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含的代数式表示各线段的长度是解题的关键． 【跟踪专练3】在四边形中，，，点，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图，已知，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设，当时，求的值． (2)如图，若，，点，，，的速度都是，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 【答案】(1)①，为整数且；②； (2)，，，，为整数且． 【分析】（1）①分别找到，和，的周期以及，，，共同的周期即可求解；②找到当时，，，此时的位置，计算，的值即可求解； （2）找到，，，的周期，画出一个周期内，的距离，根据周期内有次，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求出的值即可． 【详解】（1）解：①因为，回到初始位置的周期为，，回到初始位置的周期为， 又因为， 所以点，，，恰好同时回到初始位置的时间，为整数且； ②由①得，当时，，的位置为， 当时，， ，的位置为， 当时，， 所以； （2）因为以，，，为顶点的四边形是平行四边形仅与，的长度有关， 所以为一个周期， 如图，以时间为轴，，的距离，，的距离为轴，在同一直角坐标系中画出图象， 由图可得，在一个周期内有次，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 由，，解得，由，，解得， 再由对称性，得，， 所以的所有可能取值是，，，，为整数且． 题型10.多边形最值问题 【典例】如图，四边形中，，，，，点在折线段上运动，令，点到的距离为，则的最小值为_______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理，巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． 根据题意，对点M在和上的情况进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在上时， ∵，且， ∴点到的距离为定值5， 即； 当点在上时， 过点作的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 连接，则， ∵点在上， ∴， 则当时，的值最小为3． 综上所述，的最小值为3． 故答案为：3． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，点、分别为边上的点、且，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，两点之间线段最短，通过平移转化线段是解题关键． 先通过条件得出是等边三角形且垂直平分，再将向左平移个单位转化为，把转化为，最后根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理算出的最小值． 【详解】解：如图，连接，将向左平移两个单位得到，则，， ，， 是等边三角形， ， ，， 垂直平分， ， ， 当、、共线时，最小，最小值为， ，， ， ，， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】要解决的最小值问题，需通过线段平移将分散的线段和转化为共线形式，再结合“两点之间线段最短”与勾股定理求解．利用的垂直关系和平移性质构造直角三角形，将的和转化为直角三角形斜边的长度，进而确定最小值． 【详解】解：如图，将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段． ，；，． ，且， ，即． ∵，， ． 在中，根据勾股定理： 由，可得． ∵． 的最小值为的长度，即． 【跟踪专练3】如图，四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），，分别为，的中点，求的最大值． 【答案】6.5 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，动点最值问题，掌握利用中位线定理将转化为的一半，通过分析的最大值来求的最大值是解题的关键． 连接，利用三角形中位线定理将转化为的一半，再分析的最大值，从而求出的最大值． 【详解】解：如图，连接． ，分别为，的中点， 为的中位线， ， 当的值最大时，的值最大． 当点与点重合时，的值最大， 此时， 的最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $