精品解析：湖北武汉市洪山高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ） A. B. C. D. 2. 有一对双胞胎学生和3位老师站成一排拍照，双胞胎不站在一起的不同排法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为（ ） A. 190 B. 210 C. 220 D. 420 5. 若函数在处有极大值，则实数的值为（ ） A. 1 B. 或 C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. B. 被8除的余数为1 C. 甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙、丙三人身高都不相等且三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种排法 D. 现有6本不同的书，分成三份，每份2本，共有90种分法 8. 已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）下列求导运算错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 将7个小球放入3个盒子中，结合小球的相同与不同属性、盒子的相同与不同特征，以及不同的放置限制条件，下列说法正确的有（ ） A. 若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 B. 若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21 C. 若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为301 D. 若小球相同、盒子不同，且恰有1个盒子放2个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 11. 如图，学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线：的一部分，则（ ） A. 点在上 B. 在轴左边的部分到坐标原点的距离均大于 C. 若在轴上方的部分为函数的图象，则是的极小值点 D. 在处的切线与的交点的横、纵坐标均为有理数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的前项和，则______. 13. 的不同正因数有_____________个． 14. 若对任意的，恒有，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求的值； （2）求展开式中项的系数． 16. 已知函数（，，）在处的切线方程为. （1）求的值； （2）分析函数的单调性. 17. 已知各项均为正数的数列的前项和为，，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）若，求的取值范围. 18. 已知函数，其中k为自然数． （1）当时，求在上极值点； （2）求； （3）当时，记数列，有限数列是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前100项和（化成最简形式）． 19. 柯西不等式是一个重要不等式，在代数、几何等领域中有广泛应用，柯西不等式的二维形式：对任意的实数都有，当且仅当时等号成立，已知函数． （1）当时，证明：． （2）已知有两个不同的零点． ①求a的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可； 【详解】解：如图分别令、、、、所对应的点为、、、、， 由图可知， 所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快； 故选：C 2. 有一对双胞胎学生和3位老师站成一排拍照，双胞胎不站在一起的不同排法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】先排无限制条件的元素，分析空隙数量，再插入不相邻元素，最后计算总排法数量． 【详解】先排3位老师，3人全排列的方法为：； 3位老师形成4个空隙，将2个双胞胎插入4个空隙的方法数为：， 总的排列法为：种，故B正确． 故选：B． 3. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 4. 已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为（ ） A. 190 B. 210 C. 220 D. 420 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得，即可求出数列的通项，最后根据等差数列求和公式计算可得； 【详解】解：依题意等比数列的各项都为正数，且当时有 所以，所以 所以 所以数列的前20项和为 故选：B 【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及等差数列求和公式的应用，属于基础题. 5. 若函数在处有极大值，则实数的值为（ ） A. 1 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助极值点定义可得，即可得或，再分类进行讨论排除极小值情况即可得. 【详解】， 则有，解得或， 当时，， 则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在处有极小值，不符合题意； 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在处有极大值，符合题意． 综上可得，. 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式，结合赋值法逐项计算可判断每个选项的正误. 【详解】由， 所以，，皆为负值，，，皆为正值，令，则， 令，则①，故C项错误； 即，故A项正确； 由①知，故B项错误； 在中， 令，则，故D项错误. 故选：A. 7. 下列说法正确的是（ ） A. B. 被8除的余数为1 C. 甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙、丙三人身高都不相等且三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种排法 D. 现有6本不同的书，分成三份，每份2本，共有90种分法 【答案】C 【解析】 【详解】对A：根据组合数的性质，，故A错误； 对B：因为（）， 所以被8除的余数为7，故B错误； 对C：满足条件的排法有种，故C正确； 对D：按平均分组的方法，不同的分法有种，故D错误. 8. 已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化有且只有一个负整数解，构造函数与，利用导数法求函数的最值，并在同一坐标系分别作出函数的图象，通过数形结合即可求解. 【详解】已知函数，则 有且只有一个负整数解. 令，则， 当时，， 当时，， 所以在上递减，在上递增， 当时，取得最小值为. 设，则恒过点 在同一坐标系中分别作出和的图象，如图所示 显然，依题意得且即 且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：将问题转化为有且只有一个负整数解，构造函数 与，利用导数法求函数的最值，作出函数的图象，通过数形结合即可. 二、多选题：本题共3题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）下列求导运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，是常数，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 10. 将7个小球放入3个盒子中，结合小球的相同与不同属性、盒子的相同与不同特征，以及不同的放置限制条件，下列说法正确的有（ ） A. 若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 B. 若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21 C. 若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为301 D. 若小球相同、盒子不同，且恰有1个盒子放2个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AB，根据隔板法求解；对于C，先分组，再选球放入；对于D，先分组，再排列盒子即可． 【详解】对于A，将7个小球分成3组即可，由隔板法得不同的放法种数有种，故A正确； 对于B，允许有空盒子，先给每个盒子一个虚拟的球， 即10个小球分成3组，每个盒子至少一个， 由隔板法得不同的放法种数有种，故B错误； 对于C，根据题意，每个盒子里球的个数情况有：；；；， 则不同的放法种数有，故C正确； 对于D，小球相同、盒子不同，恰有1个盒子放2个球（即只有1个盒子为2个）， 其余两个盒子至少1个球且不能为2个球：先选放2个球的盒子：， 剩余两个盒子共5个球，均不为2的放法只有共2种， 总放法，故D错误． 11. 如图，学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线：的一部分，则（ ） A. 点在上 B. 在轴左边的部分到坐标原点的距离均大于 C. 若在轴上方的部分为函数的图象，则是的极小值点 D. 在处的切线与的交点的横、纵坐标均为有理数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题设将代入曲线方程可判断A；设曲线上的点为，则到原点的距离可化简为，构造函数求出最小值可判断B；通过的导数，然后求解的解可判断C；求出切线方程与曲线方程联立可判断D. 【详解】对于A，因为，所以点在上，故A正确； 对于B，设的解为，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，， ， 所以，设是在轴左边的部分上的一点， 则，则点到坐标原点的距离， 令， 令，得， 因为，所以可以取， 当，，单调递增， 当，，单调递减， ，， 所以，，故B错误； 对于C，，则， 令得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则是的极小值点，故C正确； 对于D，由C中，， 在处的切线方程为，即， 代入曲线的方程，得， 即，显然是方程的根， 所以，解得，或， 且时，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的前项和，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用即可求出，并验证是否满足，即可写出数列的通项公式. 【详解】， ， ， 当时，，不满足条件， 所以. 故答案为： 13. 的不同正因数有_____________个． 【答案】36 【解析】 【分析】把进行质因数分解，然后结合分步乘法原理即可求解. 【详解】将进行质因数分解：， 设的正因数为，其中， 所以有种可能，有种可能，有种可能， 则根据分步乘法原理，共有个正因数. 14. 若对任意的，恒有，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先对不等式进行移项，将含的部分合并得到，观察到两边可以统一为函数，利用其单调性将问题转化为在上恒成立，进而通过求的最大值得到参数范围. 【详解】不等式可化为. 令，则，所以. 设，则，所以单调递增. 又，， 则等价于，即在上恒成立， 也即在上恒成立. 令，则， 令，则，解得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 要使在上恒成立，只需. 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求的值； （2）求展开式中项的系数． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】（1）利用排列数和组合数的性质求解即可. （2）利用二项式定理求解指定项系数即可. 【小问1详解】 因为，所以， 可得， 化简得，解得(另一个根舍去)，故的值为10. 【小问2详解】 由上问得，所以， 由二项式定理得通项展开式为， 令，解得，所以项的系数为. 16. 已知函数（，，）在处的切线方程为. （1）求的值； （2）分析函数的单调性. 【答案】（1）2 （2）当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义结合切线方程建立关于的方程求解即可；（2）求出函数的导数，分类讨论，判断导数正负，即可求得答案. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 由题意得：，解得：，所以. 【小问2详解】 由（1）得：， ①当时，即，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递增； ②当时，若，，函数在区间上单调递增； 若，，函数在区间上单调递减. 17. 已知各项均为正数的数列的前项和为，，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） 因为各项均为正数的数列的前项和为，则对任意的，， 当时，， 即，所以，， 因此，数列是等差数列，且其首项为，公差为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知等式变形得出，化简得出，结合等差数列的定义可证得结论成立； （2）结合（1）中的结论可得出数列的通项公式，由此可求得数列的通项公式； （3）由参变量分离法得出，令，分析数列的单调性，即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，则当时，， 也满足，故，. 【小问3详解】 由可得 ， 令，则 则 ，即， 所以，数列为单调递增数列，则， 因此，的取值范围是. 18. 已知函数，其中k为自然数． （1）当时，求在上极值点； （2）求； （3）当时，记数列，有限数列是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前100项和（化成最简形式）． 【答案】（1）极大值点为，极小值点为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设，对函数求导并研究其区间单调性，进而确定其极值点； （2）结合求导公式计算即可； （3）由（2）得，则，再由等差数列定义有，最后应用倒序求和及二项式定理可得结果. 【小问1详解】 ， 令，解得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故的极大值点为，极小值点为； 【小问2详解】 ， 故 【小问3详解】 由（2）知，因为，所以， 又是首项为1，公差为2的等差数列，故， 则，其中， 令， 考虑， 则， 由组合数性质，将倒序写为：， 即 则， ，故， 故. 19. 柯西不等式是一个重要不等式，在代数、几何等领域中有广泛应用，柯西不等式的二维形式：对任意的实数都有，当且仅当时等号成立，已知函数． （1）当时，证明：． （2）已知有两个不同的零点． ①求a的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） 证明：当时，函数， 则函数定义域为，， 所以当时，当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. （2）① ②证明：令， 先证，即证，即证， 由①易知，则，令， 所以，则在上单调递增， 所以，故得证， 再证， 由，而， 所以，即， 结合，所以得证， 由， 又，则，得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数工具研究函数单调性得到即可分析求证； （2）①问题化为有两个不同的正实根，构造函数并应用导数研究交点个数求参数范围； ②令，首先证明、，再应用柯西不等式、作差法证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①令，在定义域上有两个零点， 所以有两个不同的正实根， 令且，则， 当时，则在上单调递增， 当时，则在上单调递减， 所以，时，时， 所以； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $