精品解析：浙江台州市路桥中学2025-2026学年高三下学期四月阶段性检测数学试题

2025-2026学年四月阶段性检测试题 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则与集合M相等的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国某城市2019年4月的空气质量状况统计如下表所示: 污染指数 30 60 100 110 130 140 天数 3 5 10 7 4 1 当时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染.该城市2019年4月空气质量达到良或优的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 计算（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱的体积，若三者的体积之和为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点F是抛物线的焦点，经过F的两条直线分别交抛物线于A、B和C、D，其中B、C两点在x轴上方，若，则四边形面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 8. 设数列满足，则下列结论中不可能的是（ ） 注：和分别表示，，…中的最小值和最大值． A. 数列从某一项起，均有 B. 数列从某一项起，均有 C. 数列从某一项起，均有 D. 数列从某一项起，均有 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 图象的对称中心为 C. 直线是图象的一条对称轴 D. 的最小正周期为 10. 已知，，表示不大于实数x的最大整数，则下列正确的有（ ） A. B. 若n为奇数，则取最大值时， C. 当时，的个位数是6 D. 11. 正方形、的边长为1，且它们所在的平面互相垂直.点、分别在正方形对角线和上移动，且．则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 平面 C. 当时，的长最小，且最小值为 D. 当的长最小时，点到平面的距离为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，，且，则_____ ． 13. 设双曲线的右焦点为，点在的右支上，点满足．若，则的离心率为__________． 14. 将二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相邻，若存在，则记随机变量，否则记，则________． 四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 在中，角所对的边分别是，且． （1）求边长的值； （2）求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是的中点，， （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 17. 为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，传播节能降碳和绿色发展理念，倡导绿色低碳生活方式，某市积极响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展系列的措施控制碳排放.下表为该市统计的近5年内燃油车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增燃油车数量. 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号 1 2 3 4 5 新增燃油车/万辆 6.1 5.2 4.9 4 3.8 （1）计算相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.（保留到小数点后两位） （2）求关于的线性回归方程，并据此估计该市2024年的新增燃油车数量. 参考数据： 参考公式： 18. 已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的上、下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点．求证：直线与的交点在定直线上． 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）若函数有两个不同的零点，. （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）设，且的最大值为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年四月阶段性检测试题 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则与集合M相等的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合类型判断AB；分奇偶讨论可判断C；根据范围和元素特征可判断D. 【详解】选项A，B是点集，不符合题意； 对于C：当为奇数时，当为偶数时，所以C等价于，不符合题意； 对于D：因为，由知可取，所以D等价于，符合题意. 故选：D. 2. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，将两边平方，利用平方关系求解后即可判断；对于B，结合A可得，从而得，，进一步求得，开方后得，即可判断；对于C，结合A，B可得，代入求解后即可判断；对于D，结合B即可判断. 【详解】对于A，因为， 所以，即， 解得，故A正确； 对于B，由A可知， 又因为， 所以，， 所以， 又因为， 解得，故B正确； 对于C，因为，， 所以， 所以， 所以，故C正确； 对于D，由B的分析可知，故D错误. 故选：D. 3. 我国某城市2019年4月的空气质量状况统计如下表所示: 污染指数 30 60 100 110 130 140 天数 3 5 10 7 4 1 当时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染.该城市2019年4月空气质量达到良或优的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由表知，4月空气质量达到良或优的有18天，即可算出概率 【详解】由表知，4月空气质量达到良或优的有 故概率为 故选：A 【点睛】本题考查的是概率中的古典概型，较简单 4. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的定义及对数的运算性质，求解即可. 【详解】因为， 故选：B. 5. 已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱的体积，若三者的体积之和为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设三者半径均为，根据圆锥、圆柱、球的体积公式结合题设可求得，再求得圆锥的高、母线长，进而根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】不妨设三者半径均为，由题意知圆柱的高为，故其体积为， 故圆锥的体积为，而球的体积为， 故，解得， 记圆锥的高为，由，得， 故圆锥的母线长， 于是圆锥的侧面积. 故选：D 6. 已知点F是抛物线的焦点，经过F的两条直线分别交抛物线于A、B和C、D，其中B、C两点在x轴上方，若，则四边形面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线CD的方程为，将直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、关于的表达式，利用基本不等式求最小值. 【详解】设直线CD的方程为，设点、， 联立，可得，，所以， 所以，同理得， 所以，四边形的面积为， 当且仅当时，等号成立，所以四边形面积的最小值为. 故选：D 7. 已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数，再根据复数为纯虚数求参，最后求出的对应点即可. 【详解】因为， 若z为纯虚数，则，即， 则在复平面内对应的点为, 则复数在复平面内对应的点在第一象限. 故选：A. 8. 设数列满足，则下列结论中不可能的是（ ） 注：和分别表示，，…中的最小值和最大值． A. 数列从某一项起，均有 B. 数列从某一项起，均有 C. 数列从某一项起，均有 D. 数列从某一项起，均有 【答案】D 【解析】 【分析】考虑，，，，，几种情况，计算出数列，再对比选项得到答案. 【详解】当，时，，，，； 当，时，，，，； 当，时，，，， ，，，，AC可能； 当，时，，，，，，，，，AC可能； 当，时，，，，，； 当，时，，，，，， ，，B可能； 故选：D. 【点睛】分类讨论的取值情况是本题的关键 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 图象的对称中心为 C. 直线是图象的一条对称轴 D. 的最小正周期为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象性质一一判断求解即可. 【详解】时，， 由在上单调递增， 及在上递增， 知在上单调递增，A正确； 令，得B错误； 令，得C错误； 的最小正周期,D正确． 故选:AD． 10. 已知，，表示不大于实数x的最大整数，则下列正确的有（ ） A. B. 若n为奇数，则取最大值时， C. 当时，的个位数是6 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由通项公式得到，即可判断，对于B，通过，解得，进而可判断，对于C，由，计算，再结合可判断C，对于D，由，结合，即可判断. 【详解】由题意，所以，， 所以，即，故A正确； 当时，取最大值，时，取最大值， 当时，取最大值时满足， 即，解得，因为n为奇数， 所以，故B正确； 当时，， ， 两式相减得． 又因为，所以， ， 所以除以10的余数与除以10的余数相等， 即的个位数即为的个位数， 当时，，当时，， 所以的个位数还可以是4，故C错误； ， 一方面代数式的展开式中，的系数为， 另一方面代数式中，的系数为， 因为，所以， 从而，故D正确． 故选：ABD． 11. 正方形、的边长为1，且它们所在的平面互相垂直.点、分别在正方形对角线和上移动，且．则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 平面 C. 当时，的长最小，且最小值为 D. 当的长最小时，点到平面的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可建立适当空间直角坐标系，则可表示出各点坐标；对A：表示出向量，后，利用向量夹角的余弦公式计算即可得；对B：求出平面的法向量及向量后，计算即可得；对C：借助向量与模长的关系计算即可得；对D：结合C中所得，可得到向量，再计算出平面的法向量后，利用点到平面距离公式计算即可得. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、、， 对A：，， 则， 故直线与所成的角为，故A错误； 对B：由，则， ，则， ，， 设平面的法向量为， 则有，可取，则， 则，有， 故，又平面，故平面，故B正确； 对C：， 则， 故当且仅当时，取最小，且最小值为，故C正确； 对D：由C知，当的长最小时，，此时， ，则， 设平面的法向量为， 则有，可取，则， 则，又， 则点到平面的距离，故D错误. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，，且，则_____ ． 【答案】9 【解析】 【详解】已知，，且， 根据向量平行的充要条件可知，解得. 13. 设双曲线的右焦点为，点在的右支上，点满足．若，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线定义结合勾股定理计算得出则，再应用齐次式计算求解. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连接． 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形． 又四边形为矩形． 设， 由双曲线的定义可得， 又为直角三角形，则， 即， 解得，则，且为直角三角形， ，即， 即的离心率为． 故答案为：. 14. 将二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相邻，若存在，则记随机变量，否则记，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】二项式的通项公式为， 显然该二项式展开共有项， 当时，即第项系数为负数， 因为各项等可能地随机重新排列， 所以排列数为， 系数为负数的项相邻的排列数为， 所以， 因此. 四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 在中，角所对的边分别是，且． （1）求边长的值； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理易得； （2）由三角形内角和求得角，再由和角公式求出的值，最后由三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 则； 【小问2详解】 由（1）得， 由可得 ， 则， 故． 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是的中点，， （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 连接交于，连接， 因为为的中点，四边形为矩形，可得为的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 则， 可得， 设平面的法向量， 则，即，令，可得， 设平面的法向量， 则，即，令，可得， 可得， 所以， 设平面与平面所成角为， 所以． 即平面与平面所成角的正弦值为． 17. 为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，传播节能降碳和绿色发展理念，倡导绿色低碳生活方式，某市积极响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展系列的措施控制碳排放.下表为该市统计的近5年内燃油车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增燃油车数量. 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号 1 2 3 4 5 新增燃油车/万辆 6.1 5.2 4.9 4 3.8 （1）计算相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.（保留到小数点后两位） （2）求关于的线性回归方程，并据此估计该市2024年的新增燃油车数量. 参考数据： 参考公式： 【答案】（1），可以用线性回归模型拟合与的关系 （2），3.06万辆 【解析】 【分析】（1）根据题意求相关系数r，结合相关系数的性质分析理解； （2）根据题意求得回归方程为，令，代入运算即可得结果. 【小问1详解】 由题意可得：， 则 ， 因为，故可以用线性回归模型拟合与的关系. 【小问2详解】 由题意可得：，， 则，当时，， 所以估计该市2024年新增燃油车3.06万辆. 18. 已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的上、下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点．求证：直线与的交点在定直线上． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用点在椭圆上的条件与离心率公式建立关于参数的方程组；结合椭圆基本关系消元求解长半轴与短半轴的值，进而写出标准方程； （2）设出直线方程并与椭圆联立，运用韦达定理得到交点坐标的和与积的关系；通过写出两条已知点直线的方程并联立，将交点坐标之比转化为代数表达式，再利用韦达定理整体代换化简，消去变量得出定值纵坐标. 【小问1详解】 已知椭圆过点，且离心率为， 则，解得， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 由题意，直线的方程为,，， 设，， 联立，消去整理得：， 判别式，解得：或， 由韦达定理可得， 直线的方程为，直线的方程为， 联立，消去x可得：， 从而③， 由①②知， 代入式③得：， 从而，解得：， 所以点在定直线上． 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）若函数有两个不同的零点，. （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）设，且的最大值为，求的最大值. 【答案】（1）当时，无极值；当，有极大值，无极小值. （2）（ⅰ） （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求导，含参讨论单调性确定极值即可； （2）（ⅰ）根据单调性及函数有两个不同的零点，可确定m的取值范围； （ⅱ）设，根据零点解得，则，，求导分析单调性确定最值即可. 【小问1详解】 定义域为，， 当时，，在单调递增，无极值点， 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，无极小值， 综上，当时，无极值；当，有极大值，无极小值. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知当时，在单调递增至多有一个零点，所以不符合题意； 当时，在单调递增，在单调递减， 又函数有两个不同的零点，，且时，，时，， 所以，解得. （ⅱ）令，，又， 所以， 解得，即， ， 又，且的最大值为，所以， 令， ， 令，， 所以，即， 所以在单调递增， ， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $