精品解析：浙江省杭州市拱墅区文晖实验学校2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

2025－2026学年浙江省杭州市拱墅区文晖实验学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，应在方程两边同时加上（ ） A. 9 B. 6 C. 36 D. 3 4. 用反证法证明：“在中，对边分别是a、b．若，则．”第一步应假设（ ） A. B. C. D. 5. 根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（ ） x … … … … A. B. C. D. 6. 式子成立的条件是（    ） A. B. C. D. 7. 若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 8. 如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9. 若化简的结果为，则的取值范围是( ) A. 一切实数 B. C. D. 10. 已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式中，字母的取值范围是______． 12. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形． 13. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为_______． 14. 如图，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，设米，米，一个男孩从扶梯底走到滑梯的顶部，然后从另一滑梯滑下，那么男孩共经过了______米． 15. 已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，且，则的值为______． 16. 如图，在平行四边形中，，点为边上的一动点，连接．过点作，则的最小值为______． 三、解答题（本题有8个小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．使用无刻度直尺按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上． （1）如图1，画出线段绕点逆时针方向旋转后得到的线段； （2）如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形； （3）如图3，画一个以为对角线，且面积为9的平行四边形． 20. 如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 21. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 22. 【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． （1）函数的最小值是______； （2）对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； （3）【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 23. 已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根． （1）求的值； （2）试判断关于的方程的根的情况； （3）若为完全平方式，求常数的值． 24. 如图，在四边形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连结，若，，，求四边形的面积； （3）如图，在的条件下，若为线段上任意一点，作点关于点的对称点，连结，当点落在的边上时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年浙江省杭州市拱墅区文晖实验学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 3. 用配方法解方程，应在方程两边同时加上（ ） A. 9 B. 6 C. 36 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握完全平方式． 要使方程左边配成一个完全平方式，在二次项系数为1的情况下，左右两边应该加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：用配方法解方程， 两边都加上9， 得， 得． 故选：A． 4. 用反证法证明：“在中，对边分别是a、b．若，则．”第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，熟记反证法的步骤是解题关键．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可． 【详解】解：用反证法证明：“在中，对边分别是a、b．若，则．”第一步应假设， 故选：D． 5. 根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（ ） x … … … … A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算，找到的值由负变正时x所处的范围即可得到答案． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根的范围是， 故选：D． 6. 式子成立的条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴要使成立，需满足， ∴解得． 故选：C． 7. 若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】将n代入方程，提公因式化简即可. 【详解】解：∵n（）是关于x的方程的根， ∴，即n(n+m+2)=0, ∵， ∴n+m+2=0，即m+n=-2， 故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,提公因式求出m+n是解题关键. 8. 如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的尺规作图以及等腰三角形的判定，解题关键是利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线得到等腰三角形，再通过线段差计算DH的长度． 【详解】解：由题意是通过“作一个角的平分线”的尺规作图方法得到的， 因此， 在平行四边形中：，，，， 因为， 所以（两直线平行，内错角相等）； 结合，可得； 因此为等腰三角形，即； 因为，， 所以． 故选：B． 9. 若化简的结果为，则的取值范围是( ) A. 一切实数 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式先把多项式化简为|1−x|−|x−4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可． 【详解】原式可化简为， 当，时，可得无解，不符合题意； 当，时，可得时，原式； 当，时，可得时，原式； 当，时，可得时，原式. 据以上分析可得当时，多项式等于. 故选B. 【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论 10. 已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二方程的求根公式求出两根，进而用含的代数式表示出，即可得出结论． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 由求根公式，得， ∴或， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴； 故选B． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式中，字母的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件解答即可． 【详解】解：∵为二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下为非负数是解题的关键． 12. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形． 【答案】5 【解析】 【详解】设这个多边形是n边形，由题意得， (n-2) ×180°=540°，解之得，n=5． 13. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的定义求参数，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，方程是关于的一元二次方程， ∴，解得或 ， 当时，二次项系数，不符合一元二次方程的条件， 当时，二次项系数，符合一元二次方程的条件， ∴a的值为2． 故答案为：2． 14. 如图，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，设米，米，一个男孩从扶梯底走到滑梯的顶部，然后从另一滑梯滑下，那么男孩共经过了______米． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个坡度比求出和，再利用勾股定理求出和，最后加上就是经过的路程长． 【详解】解：扶梯的坡比为， ， 米， ， 米， 滑梯的坡比为， ，即， 米， 根据勾股定理得，米，米， 米， 即男孩共经过了米． 故答案为：． 15. 已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系和根的判别式得到，，，进而得到，结合可得出关于的方程，解之可得出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ，，， ， 或 （舍去），或， 故答案为：． 16. 如图，在平行四边形中，，点为边上的一动点，连接．过点作，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和三角形面积公式，可知的面积为定值，由，可得.要使最小，需最大；当点与点重合时，取得最大值，通过构造直角三角形利用勾股定理求出的长，进而求出的最小值． 【详解】解：过点作交的延长线于点，连接，， ∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ， ， 又， ∴， ∴要使最小，则需最大， ∵点为边上的一动点， ∴点与点重合时，最大此时， 的最小值为， 故答案为． 三、解答题（本题有8个小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把不是最简二次根式的项化简，再合并同类二次根式； （2）先用多项式乘法法则展开，再把化为最简二次根式，最后合并同类二次根式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解可得； （2）先将方程整理为一般形式，再利用公式法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解： ， ， ∴ ，． 19. 如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．使用无刻度直尺按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上． （1）如图1，画出线段绕点逆时针方向旋转后得到的线段； （2）如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形； （3）如图3，画一个以为对角线，且面积为9的平行四边形． 【答案】（1） 如图，线段即为所求， （2） 如图所示，即为所求， （3） 如图所示，即为所求， 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形以及直角三角形的性质作图； （2）根据平行四边形的定义和性质作图； （3）根据平行四边形的定义和性质作图． 【小问1详解】 解：在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段为线段绕点逆时针方向旋转后得到的线段； 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形为平行四边形， 且边上的高为3， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：∵， ∴四边形为平行四边形， 且边上的高为3， ∴的面积为． 20. 如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵，． ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是关键． （1）根据三角形中位线定理证明，由已知即可证明结论； （2）求出，，根据勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 21. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 22. 【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． （1）函数的最小值是______； （2）对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； （3）【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 【答案】（1）4 （2）， （3）当时，函数取得最小值，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意利用“基本不等式”进行求解即可； （2）根据题意利用“基本不等式”进行求解； （3）根据题意，利用“基本不等式”以及整体思想进行求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴函数的最小值是4； 【小问2详解】 解：同（1）得， ∴当时，取得最小值6， 解得或（舍去）， ∴当时，函数取得最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 当时，函数取得最小值，最小值为， 解得（舍去）或， ∴当时，函数取得最小值，最小值为． 23. 已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根． （1）求的值； （2）试判断关于的方程的根的情况； （3）若为完全平方式，求常数的值． 【答案】（1）， （2）方程没有实数根 （3） 【解析】 【分析】本题整体利用一元二次方程根的判别式求解； （1）分别根据两个方程的根的情况列不等式，得到，，再取各自范围内的最大整数即可； （2）代入，计算判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （3）根据完全平方式对应一元二次方程判别式为0，代入，整理求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴； 【小问2详解】 解：将代入方程，得方程为， 其判别式 ， ∴方程没有实数根； 【小问3详解】 解：把代入得， ∵为完全平方式， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 计算该方程的判别式得， ∴ ． 24. 如图，在四边形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连结，若，，，求四边形的面积； （3）如图，在的条件下，若为线段上任意一点，作点关于点的对称点，连结，当点落在的边上时，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ， 点是边的中点， ， ， ∴， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，得，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）如图，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质和含度角的直角三角形的性质求出，的值，即可解决问题； （3）结合分两种情况讨论：如图，当点落在的边上时，如图，当点落在的边上时，过点作的平行线交于点，过点作于点，分别画图进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作于点， ，，， ，， ， 四边形的面积； 【小问3详解】 如图，当点落在的边上时， 由题意可知：是的中点， ， 在平行四边形中，， ，， ≌， ， ； 如图，当点落在的边上时，过点作的平行线交于点，过点作于点， 同理可证≌， ，， 是的中位线， ，，，， 在中，． 综上所述：的值为或． 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，关键是分类讨论解决问题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $