上海市青浦区2025-2026学年第二学期高三期中质量调研（二模）数学试卷

上海市青浦区2025-2026学年第二学期高三期中质量调研（二模） 数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 2026.4 学生注意： 1. 本试卷包括试题纸和答题纸两部分. 1. 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题。 1. 可使用符合规定的计算器答题 一. 填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 每题 4 分，第 7-12 每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合 ，集合 ，则 _______。 1. 2.抛物线 的准线方程是_______。 1. 在平面直角坐标系 中, 角 的顶点与坐标原点 重合、始边与 轴的正半轴重合, 其终边经过点 , 则 _______。 1. 已知复数 ，则 _______。 1. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为_______。 1. 某电子元件厂有甲、乙两条互不影响的生产线生产同型号元件，甲生产线的产量占全厂总产 量的 ，其产品次品率为 ；乙生产线的产量占全厂总产量的 ，其产品次品率为 。若从全厂产品中随机抽取 1 件，抽到次品的概率为_______。 1. 已知 ，若 ，则 _______。 1. 若函数 （常数 ）在区间 上没有最值，则 的取值范围是_______。 1. 已知 为等腰三角形，且 ，则 _______。 1. 已知点 是双曲线 的左焦点，经过原点 的直线 与双曲线 交于 、 两点，若 且 ，则双曲线 的离心率为 ______. 1. 若数列 共 10 项, 其中 , , 且 , , 则这样的不同数列共有 ______ 个. (用数字作答) 1. 已知平面内的三个非零向量 、 、 满足： ， ， ，则当 取得最大值时， _______。 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 1. 下列说法中错误的是（ ） A. 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量 B. 极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量 C. 一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多 D. 总体的数据都分布在样本的极差范围内 1. 设 是定义在 上且周期为 2 的奇函数，当 时， ，则 （ ）. A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 1. 已知垂直竖在水平地面上相距 20 米的两根旗杆的高分别为 10 米和 15 米，地面上的动点 到两旗杆顶点的仰角相等，则点 的轨迹是（ ）. A. 椭圆 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 1. 对于数列 ，若存在 ，使得对任意 ，有 ，则称 为“有界变差数列” 有以下两个结论： ① 若各项均为正数的等比数列 为“有界变差数列”，则其公比 的取值范围是(0,1)； ② 若数列 均为“有界变差数列”，且 ，则数列 是“有界变差数列”． 则以下选项正确的是（ ）. A. ①是假命题, ②是真命题 B. ①是假命题, ②是假命题 C. ①是真命题, ②是假命题 D. ①是真命题, ②是真命题 三．解答题（本大题共有5题，满分78分)，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期。一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格： 潜伏期（单位：天） [0,2] (2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,14] 人数 50 150 200 300 200 60 40 （1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数值 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果四舍五入为整数）； （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过8天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断，是否有 的把握认为潜伏期与患者年龄有关？ 潜伏期≤8天 潜伏期>8天 总计 50岁以上（含50） 100 50岁以下 65 总计 200 附： 1. (本题满分 14 分, 第 1 小题 6 分, 第 2 小题 8 分) 已知函数 ，其中 . 1. 若 , 求 的值; 1. 若方程 在区间 上恰有两个不同的零点 ，求实数 的取值范围及 的值. 1. (本题满分 14 分, 第 1 小题 6 分, 第 2 小题 8 分) 如图所示, 在三棱锥 中, 是 外接圆的直径, 是边长为 2 的等边三角形, 分别是 的中点, , . 1. 求证: 平面 平面 ; 1. 求直线 与平面 所成角的正弦值. 1. (本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 已知椭圆 与椭圆 , 椭圆 的左、右焦点分别为 ,点 为椭圆 上异于其左、右顶点的任一点, 直线 均过点 . 1. 求 面积的最大值. 1. 若 过点 且与 交于 两点, 过点 且与 交于 两点, 当直线 的斜率 满足 时, 证明: 为定值; 1. 是否存在点 , 满足 均与 相切, 且 ? 若存在, 求出点 的坐标; 若不存在, 请说明理由. 1. (本题满分 18 分, 第 1 小题 4 分, 第 2 小题 6 分, 第 3 小题 8 分) 函数 和 有相同的定义域，导函数分别为 ， ，若在定义域内均有 ，则称 是 的“ 函数”。 1. 判断 是否为 的“ 函数”，并说明理由； （2）已知函数 和 都是定义域在 上的偶函数，且 是 的“ 函数”，证明： （ 为常数）； 1. 若 , 证明: 函数 是函数 的“ 函数”. 学科网（北京）股份有限公司 $