精品解析：上海市浦东新区2025-2026学年下学期期中考试高三数学试卷

2025学年第二学期期中考试 高三数学试卷 考生注意： 1．本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟； 2．请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知全集，集合，则________． 2. 若复数满足，则复数______. 3. 已知，若，则实数a的值为________． 4. 在中，若，，，则________． 5. 某校高中三年级600名学生参加了区质量检测，已知数学检测成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）．统计结果显示，数学检测成绩介于80分到120分之间的人数为450名，则此次检测中成绩不低于120分的学生人数约为总人数的________（精确到0.1%）． 6. 已知直线是曲线在处的切线，则的斜率为________． 7. 从4名男生3名女生中选取3人，依次进行面试，其中恰好有1名女生，则有________种不同的面试方法． 8. 一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________． 9. 已知数列的通项公式是，为数列的前n项和，则使得不等式成立的最小正整数n的值为________． 10. 已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为________． 11. 某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高为3米．为营造动态光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A，在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处安装射灯I，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的交汇点G始终落在实验室天花板上．则交汇点G形成的轨迹长度为________米． 12. 已知中，，，存在实数，使得向量的模的最小值为．若点是线段上任意一个动点，则的最小值是______． 13. 已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以后再求和．若集合，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 14. 某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（ ） A. 表示x与y之间的函数关系 B. 表示x与y之间的不确定关系 C. 反映x与y之间的真实关系 D. 反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合 15. 已知实数满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 16. 已知与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、（其中为实数） 17. 定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．则下列说法正确的是（ ） A. 存在函数为函数 B. 若函数为函数，且当时函数在上是严格增函数，则函数在上是严格增函数 C. 若函数为函数，且在处取得最小值，则 D. 若函数为函数，且恒成立，则为周期函数 18. 对定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．现有以下两个命题：①若函数为函数，则，且；②既存在严格增的函数，也存在严格减的函数．则下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 19. 如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，． （1）求证：平面PAD； （2）若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积． 20. 如图，在多面体中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，． （1）求证：平面； （2）若与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 21. 已知，． （1）若函数是定义在上的奇函数，求常数的值； （2）若，若关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 22. 已知，． （1）若函数是定义在R上的奇函数，求常数的值； （2）若，求函数在的极值． 23. 某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 （1）估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； （3）该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？ 24. 已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． （1）若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； （2）若，为直角三角形，求点M的坐标； （3）若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围． 25. 已知双曲线的左顶点为，过点的直线交双曲线于、两点，点在第一象限． （1）若双曲线的焦距为，求该双曲线的离心率； （2）若，为直角三角形，求点的坐标； （3）若双曲线的一条渐近线方程为，且直线上存在一点，过点可以作双曲线的两条互相垂直的切线，求直线斜率的取值范围． 26. 对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． （1）若，，判断函数是否属于集合，并求的值； （2）若，，且，．求的值及函数的解析式； （3）若，，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 27. 对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． （1）若，判断函数是否属于集合，并求的值； （2）若，且，求函数的解析式； （3）若，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中考试 高三数学试卷 考生注意： 1．本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟； 2．请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知全集，集合，则________． 【答案】 【解析】 【详解】，，. 2. 若复数满足，则复数______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【详解】解：∵，∴， 故答案为：. 3. 已知，若，则实数a的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】若，则，解得 若，则，解得，不满足 综上 4. 在中，若，，，则________． 【答案】3 【解析】 【详解】由余弦定理得：， 所以 5. 某校高中三年级600名学生参加了区质量检测，已知数学检测成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）．统计结果显示，数学检测成绩介于80分到120分之间的人数为450名，则此次检测中成绩不低于120分的学生人数约为总人数的________（精确到0.1%）． 【答案】12.5% 【解析】 【详解】由可知，正态分布曲线对称轴为， 可知， 所以，可得，即成绩不低于120分的学生人数约为总人数的12.5%. 6. 已知直线是曲线在处的切线，则的斜率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数导数求出函数在某点处切线斜率即可. 【详解】由，所以， 所以曲线在处的切线斜率为：. 7. 从4名男生3名女生中选取3人，依次进行面试，其中恰好有1名女生，则有________种不同的面试方法． 【答案】 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理结合组合排列分析计算即可. 【详解】第一步：从3名女生中选取1名，有种选法， 第二步：从4名男生中选取2名，有种选法， 第三步：选取的3人依次进行面试，则有种排法， 所以一共有种不同的面试方法. 8. 一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________． 【答案】 【解析】 【详解】两个孩子的生肖组合有种， 记事件A“其中一个孩子属马”，事件B“两个孩子都属马”， 则，， 所以. 9. 已知数列的通项公式是，为数列的前n项和，则使得不等式成立的最小正整数n的值为________． 【答案】11 【解析】 【详解】令，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 设数列的前项和为，则， 所以， 因为单调递增， 又，， 所以使得不等式成立的最小正整数n的值为11. 10. 已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】根据题意可知优弧所在的圆方程为，劣弧所在的圆方程为， 因为直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点， 所以直线与优弧和劣弧各有两个不同的交点， 所以，解得， 又直线经过点时，， 所以要使直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点， m的取值范围为 11. 某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高为3米．为营造动态光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A，在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处安装射灯I，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的交汇点G始终落在实验室天花板上．则交汇点G形成的轨迹长度为________米． 【答案】 【解析】 【详解】如图建立空间直角坐标系： 则，设交点， 所以， 因为，所以， 整理得， 所以交点在天花板上的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以交汇点G形成的轨迹长度为. 12. 已知中，，，存在实数，使得向量的模的最小值为．若点是线段上任意一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件确定角的大小，判断的形状，再利用基底表示向量，利用数量积的运算律求数量积的最小值. 【详解】由题意，， . 设，因为为内角，所以， 所以当时，有最小值. 所以，所以. 所以， 所以， 所以为直角三角形，. 如图，，， 设，，. 所以，. 所以当时，取得最小值，为. 13. 已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以后再求和．若集合，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将中所有非空子集分类考虑，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，从而可求其和，同理求得含有的部分的和，问题即可解决. 【详解】， 中所有非空子集含有1的有2026类： 单元素集合只有含有1，即1出现了次； 双元素集合含有1的有，即1出现了次； 三元素集合中含有1的有，即1出现了次， …… 有2026个元素的集合中含有1的有，1出现了次； 1共出现， 同理都出现次， 的所有非空子集中，这些和的总和是 . 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 14. 某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（ ） A. 表示x与y之间的函数关系 B. 表示x与y之间的不确定关系 C. 反映x与y之间的真实关系 D. 反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合 【答案】D 【解析】 【详解】根据线性回归方程的概念可知，回归方程反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合. 15. 已知实数满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A，可知，无法判断正负，所以选项A错误； 对于选项B，可知时，所以，所以选项B错误； 对于选项C，因为，所以， 可知，当且仅当，即时取等号，所以等号取不到， 所以，选项C正确； 对于选项D，当时，无法判断不等式是否成立，所以选项D错误； 16. 已知与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、（其中为实数） 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共面的定义逐项分析即可. 【详解】对于A，设， 由与是不共面的向量，则，即方程组有解， 所以向量、、共面，故A错误； 对于B，设， 由与是不共面的向量，则，方程组无解， 所以向量、、不共面，故B正确； 对于C，设， 由与是不共面的向量，则，即方程组有解， 所以向量、、共面，故C错误； 对于D，设， 由与是不共面的向量，则， 当时，方程组有解为，此时向量、、共面， 当时，方程组无解，此时向量、、不共面， 所以向量、、不一定共面，故D错误. 17. 定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．则下列说法正确的是（ ） A. 存在函数为函数 B. 若函数为函数，且当时函数在上是严格增函数，则函数在上是严格增函数 C. 若函数为函数，且在处取得最小值，则 D. 若函数为函数，且恒成立，则为周期函数 【答案】D 【解析】 【分析】利用定义计算可得 A；举出反例可得B、C；利用定义计算可得，，再利用可得的值，最后利用周期性定义即可得D. 【详解】对A：存在一个非零常数，使得对任意，都有成立， 则，整理得， 则有且恒成立，由，则由可得， 此时有，则，矛盾，故不存在这样的非零常数，故A错误； 对B：假设，当时，， 且函数为定义在上的函数，则在上是严格增函数， 但，不满足在上严格递增，故B错误； 对C：假设，当时，， 且函数为定义在上的函数，则， 当时，， 即对任意整数，都有， 当时， ， 故当时，， 故满足在处取得最小值，但，故C错误； 对D：由题意可得， ， 因为为非常值函数，所以存在使得， 由恒成立，可得和对任意正整数成立， 若或，则当足够大时，上述不等式至少有一个不成立， 故必有，即或， 若，则，则为周期函数，且周期为； 若，则， 故， 则为周期函数，且周期为； 综上可得为周期函数，故D正确. 18. 对定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．现有以下两个命题：①若函数为函数，则，且；②既存在严格增的函数，也存在严格减的函数．则下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦函数的周期性和有界性分析等式恒成立的条件，并构造函数结合函数单调性进行判断. 【详解】命题①，若是函数，根据定义得， 展开整理得对任意恒成立，因此系数必全为.   ，由得，因此. 当时，； 当时，，得，这也满足条件，例如时， 成立. 命题①只给出，遗漏了的情况，因此①是假命题. 命题②，构造指数函数， 验证函数条件，只需满足， 取，则，是严格增函数， 且，满足函数定义，存在严格增的函数； 取，则，是严格减函数， 且，满足函数定义，存在严格减的函数. 因此②是真命题. 综上，①假②真. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 19. 如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，． （1）求证：平面PAD； （2）若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理进行证明； （2）将多面体拆分成直棱柱和三棱锥两部分，分别计算体积再求和. 【小问1详解】 证明：取AD的中点O，连接PO, 因为为等边三角形，且O为AD中点， 所以 又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面 . 又平面，因而 因为，，所以 由平面，平面PAD，， 所以平面 . 【小问2详解】 连接PC、OC，由题（1）可知，平面ABCD， 所以PC在平面ABCD内的投影为OC， 故是与平面所成的角，即 ，由题得，， 因为平面PAD，，所以平面PAD，所以． 因此，， 取CD的中点M，连接BM、QM， 则 所以多面体PQABCD的体积是. 20. 如图，在多面体中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，． （1）求证：平面； （2）若与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用线面角推出所需线段长度，再将三棱锥转换顶点进行求解. 【详解】（1）因为平面平面，为等边三角形，取中点，连接， 则，又平面，平面平面， 由面面垂直的性质得平面， 平面，因此.又， 平面，故平面. 又因为，所以平面，得证. （2） 连接，因为是边长为​的等边三角形， 所以. 由线面角定义可知，与平面所成角为​， 在中，​，得​​. 设，则，​​， 代入得，解得，即. 因为平面，平面，， 故平面平面，且为等边三角形， 则到平面的距离等于到的距离， ​​所以， 因此体积​. 21. 已知，． （1）若函数是定义在上的奇函数，求常数的值； （2）若，若关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义进行求解即可； （2）化简，分离参数，令，求导，得到函数在上的最小值，进而求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 若函数是定义在上的奇函数， 则对任意恒成立， 即 即对恒成立． 即对恒成立． 因此．又，故． 因此，若函数是定义在上的奇函数，常数的值为； 【小问2详解】 若，则， 由题意，即对任意恒成立． 令，即 ， 由， 可知函数在内的两个驻点为，， 比较，，，的大小， 可知函数在上的最小值为． 因此，实数a的取值范围为. 22. 已知，． （1）若函数是定义在R上的奇函数，求常数的值； （2）若，求函数在的极值． 【答案】（1） （2）极大值，极小值． 【解析】 【小问1详解】 函数， 因为是定义在上的奇函数， 所以，即， 化简可得，因为，解得， 代入可得， ，为奇函数. 【小问2详解】 ，， 令， ， 所以， 令，即， ，解得和， 因为当，，单调递增， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以当时，的极大值为， 当时，的极小值为. 23. 某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 （1）估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； （3）该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？ 【答案】（1）6.7 （2） 1 2 3 ， （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均数的概念，求出结果即可； （2）根据超几何分布的概念，求出分布列，再根据期望和方差的概念，求出结果即可； （3）根据二项分布的概念，求出概率的通式，进而列出不等式组，求出最大值即可. 【小问1详解】 由题意，随机抽取的100名顾客的甜度偏好分数的平均数为 估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数为6.7 【小问2详解】 用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在这组中抽取2人，甜度偏好分数在这组中抽取3人． 故，， 因此，X的分布列为 1 2 3 故，. 【小问3详解】 由题，抽到“七分糖爱好者”的概率是0.4， 抽到“七分糖爱好者”的人数服从二项分布，即，， 则 当，即时 当，即时 因此，，且， 所以，当时，最大. 24. 已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． （1）若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； （2）若，为直角三角形，求点M的坐标； （3）若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦距和离心率公式求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据垂直条件代入双曲线方程求解； （3）根据渐近线方程得双曲线的方程，设直线l的方程为，联立方程，根据韦达定理求出，，根据得到的范围，构造的不等式，解出的范围，进而求出倾斜角的范围. 【小问1详解】 由题，，得 故 【小问2详解】 因为点M在第一象限，故不可能为直角； 若，将代入曲线，得符合题意，； 若，设点，则， 则 又因为点M满足，可得，此时， DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，舍去． 综上，点M的坐标； 【小问3详解】 由题可得，双曲线 ， 当直线l的斜率不存在时，根据双曲线的对称性，，不满足， 所以直线l的斜率一定存在， 又，说明三点共线，且都在双曲线的右支上，所以直线l的斜率不为0，， 设直线l的方程为，、，且，， 联立方程，可得 显然，， ，，故 由，可得，且． 故 因此 ， 根据对勾函数的性质：在上单调递减， 可知， 又， 故，可得． 所以，直线l斜率的取值范围为， 直线l倾斜角的取值范围为. 25. 已知双曲线的左顶点为，过点的直线交双曲线于、两点，点在第一象限． （1）若双曲线的焦距为，求该双曲线的离心率； （2）若，为直角三角形，求点的坐标； （3）若双曲线的一条渐近线方程为，且直线上存在一点，过点可以作双曲线的两条互相垂直的切线，求直线斜率的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的标准方程，焦距和离心率公式求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据垂直条件代入双曲线方程求解； （3）根据渐近线方程得双曲线的方程，设切线方程为，联立双曲线方程，再根据，从而得到与的关系，再设直线，从而得到，再代入切线方程，从而得到关于的一元二次方程，再结合，进而求出直线斜率的取值范围． 【小问1详解】 由双曲线，则， 双曲线的焦距为，即，得， 所以． 【小问2详解】 由，则有双曲线，且， 又为直角三角形，且点M在第一象限， 则不可能为直角； 若，则点的横坐标为， 将代入中，得，所以符合题意； 若，设点， 则，， 所以， 又因为点M满足， 解得(不符合题意)，或， 则，可得，所以， 又双曲线的渐近线为， 则DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，即不符合题意， 综上，点M的坐标． 【小问3详解】 由双曲线的一条渐近线方程为，即， 则，得双曲线 ， 又双曲线的切线不平行于坐标轴，不妨设切线方程为， 联立，整理得， 则，得， 设直线，， 将代入切线方程得， 则， 整理得， 又双曲线的两条切线互相垂直， 则， 所以， 又点存在，则，解得， 又点在第一象限，则 所以直线斜率的取值范围为． 26. 对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． （1）若，，判断函数是否属于集合，并求的值； （2）若，，且，．求的值及函数的解析式； （3）若，，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 【答案】（1）是， （2）当时，，当时； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先计算二次函数在闭区间上的最值，再根据题中所给的定义判断计算可得； （2）先由函数最值之差为1可得，再通过不等式两边夹逼求得函数解析式； （3）必要性：分单调递增和单调递减结合函数的最值分别证明可得；充分性：采用反证法，如果函数不单调，则函数在局部的上最值差大于整体上函数最值差，出现矛盾，得证充分性. 【小问1详解】 对任意，所以， 又因为，且， 所以，故函数属于集合． 由，，由二次函数的性质可知，． 故. 【小问2详解】 由可知，存在满足． 又，故必有． 因此必有，且，所以， 又，，所以或 当时，由题意，对任意，，，即. 又因为，即，故． 故. 当时，由题意，对任意，，，即， 又因为，，即，故 ． 综上，当时，；当时；. 【小问3详解】 先证必要性：若是定义在上的增函数， 设任意正实数、满足， 则，，． 因此，得证． 若是定义在上的减函数， 设任意正实数、满足， 则，，． 因此，得证． 综上，必要性得证. 再证充分性：（反证法）假设函数在上不单调， 则必存在，使得或． 不妨设，且是函数在区间上的最大值． 设函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为 由题，，， 故，又， 故 即， 即，即， ，矛盾． 因此假设不成立.是上的单调函数． 因此，是单调函数的充要条件是：对任意正实数， 恒成立 27. 对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． （1）若，判断函数是否属于集合，并求的值； （2）若，且，求函数的解析式； （3）若，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 【答案】（1）函数属于集合， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出在上的最大值和最小值​，再计算； （2）因为，所以对任意，有且结合 ，通过不等式推导确定的解析式； （3）充分性：分别假设单调递增、单调递减进行证明； 必要性：假设不单调，推出矛盾，从而证明单调. 【小问1详解】 任取，， 又，所以函数属于集合 易知在上严格单调递减 故最大值，最小值 因此 【小问2详解】 取，则 又，所以； 取，则 又，所以 综上，所以 【小问3详解】 必要性：若单调递增，则对任意，，在定义域上单调递增， 所以； 若单调递减，则对任意，，在定义域上单调递增， 所以 必要性得证. 充分性：若不单调，则在存在极值点，导致，与题意矛盾，故是单调函数 充分性得证 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $