精品解析：江苏扬州市高邮市2025-2026学年第二学期期中检测试卷高一数学

2025-2026学年度第二学期期中检测试卷 高一数学 202604 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考试号填在答题卡上. 2.将每题的答案或解答写在答题卡上，在试卷上答题无效. 3.考试结束，只交答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 0 3. 已知，点在直线上，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 4. 在中，角所对的边分别为，若，，，则角（ ） A. B. C. D. 或 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 4 7. 记的内角的对边分别为，已知，，当的面积的最大值时，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 在边长为2的正三角形的边上分别取两点，沿线段折叠三角形，使顶点正好落在边上，则的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. D. 11. 已知的内角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，AD为△ABC的边BC上的中线，且，，那么为__________（用，表示） 13. 已知，则__________. 14. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 17. 已知的三个内角所对的边分别为，. （1）求角的大小. （2）若，的面积为，求a的值. （3）若，，点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长. 18. 如图，在等腰梯形ABCD中，，，P为线段CD上的一个动点. （1）若，，，求BP的值； （2）若，Q为线段AP上一点，且，求实数m的值； （3）设x，，，求的值. 19. 已知的面积为. （1）求的大小； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； （3）如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中检测试卷 高一数学 202604 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考试号填在答题卡上. 2.将每题的答案或解答写在答题卡上，在试卷上答题无效. 3.考试结束，只交答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】由二倍角的余弦公式得. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以. 3. 已知，点在直线上，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由得或，利用坐标运算即可求解. 【详解】由题意得：或，设点， 所以， 当时，所以，解得，所以， 当时，所以，解得，所以. 4. 在中，角所对的边分别为，若，，，则角（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】直接由正弦定理并结合大边对大角定理可得. 【详解】由正弦定理得：， 又因为  且，所以. 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形面积公式、正余弦定理求边长，代入目标式化简即可得. 【详解】由题意知，所以， 由余弦定理知，所以， 由正弦定理得，则，，， 所以. 6. 设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】由正弦定理可得， 又， 所以， 移项整理得， 若为直角，不满足原式，则， 所以可得，即． 7. 记的内角的对边分别为，已知，，当的面积的最大值时，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得当的值最大等价于的面积最大，由条件根据余弦定理求的表达式，利用基本不等式求的最小值，再由同角关系求的最大值. 【详解】由于，， 所以的面积， 则当的值最大时，的面积最大， 由余弦定理可得，又，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，又，故为锐角， 所以， 则面积最大时，的值为 8. 在边长为2的正三角形的边上分别取两点，沿线段折叠三角形，使顶点正好落在边上，则的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】在图（2）中，连接，由折叠可知，根据等边对等角可得，又因为为的一个外角，设，可得， 再设，根据正弦定理可得出关于的关系式，结合正弦型函数的有界性可求得的最小值. 【详解】显然两点关于折线对称，连接，图(2)中，可得，则有， 设，，再设，则有， 在中，，∴，又， 在中，由正弦定理知，即，∴， ∵，∴，∴当，即时，． 此时取得最小值，则的最小值为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及两角和差的余弦公式，两角和差的正切公式逐项分析即可. 【详解】因为，所以A正确； 因为，所以B错误； 因为， 所以，即，所以C正确； 因为，所以D错误. 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由余弦定理解出的长，确定为直角三角形，结合向量的模长及数量积运算公式即可求解. 【详解】由余弦定理得，所以， 解得，因为，所以为直角三角形，， 所以，所以A正确； ，所以B错误； ，， 所以，所以C正确； 因为，所以， 所以D正确. 11. 已知的内角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过已知条件，结合二倍角公式和三角形内角和的性质，及不等式性质，推导出角之间的关系，进而判断选项的正确性. 【详解】因为，所以， 整理得，即 又因为，所以， 即， 整理得：， 因为，所以. 选项A： ，与推导结果一致. 正确. 选项B：由，得， 因为， 因此，即. 正确. 选项C： 由，可知均为锐角； 又因为， 又因为， 即，所以. C正确. 选项D：因为，（因）， 得且，但无法确定和的大小，故无法推出. 错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，AD为△ABC的边BC上的中线，且，，那么为__________（用，表示） 【答案】## 【解析】 【详解】已知AD是中线， 则， 移项得． 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将已知条件化为，利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】因为， 即， 所以，， 所以， 所以. 14. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值为__________. 【答案】6 【解析】 【详解】由三角形内角和得，故. 由正切和角公式， 代入得：，整理得. 结合题设，联立得. 因，故. 已知，由余弦定理， 代入得：. 由基本不等式，得， 即，当且仅当时取等号. 因为，所以. 故，当且仅当时取等号. 因此周长，即周长最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系式得，，结合两角差的余弦公式计算得出答案； （2）利用二倍角公式化简原式，代入计算可得结果； 【小问1详解】 因为，， 所以，. 所以 . 【小问2详解】 . 16. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个向量垂直，则它们的数量积为0，并利用向量数量积公式计算. （2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以， 即， 解得． 【小问2详解】 设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以． 17. 已知的三个内角所对的边分别为，. （1）求角的大小. （2）若，的面积为，求a的值. （3）若，，点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理将转化为， 再根据对上式进行化简，最后求出的值. （2）根据三角形面积公式可求出的值，再结合余弦定理以及的值求解出的值. （3）先根据求解出的值，再利用面积法求解出角平分线的长度. 【小问1详解】 ，. 在中，， ，可得， ，，，又，可得． 【小问2详解】 由，解得， 由余弦定理得，所以，故． 【小问3详解】 由，， 设AD的长为x，由，， 解得，即. 18. 如图，在等腰梯形ABCD中，，，P为线段CD上的一个动点. （1）若，，，求BP的值； （2）若，Q为线段AP上一点，且，求实数m的值； （3）设x，，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据同角三角函数关系求出的值，再利用余弦定理求解出. （2）设，然后利用表示出，然后利用向量相等列出方程组，求解出. （3）设，然后利用表示出，再利用向量相等列出方程组，求解出的值. 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理得， ， . 【小问2详解】 ，，. 因为点Q为线段AP上一点，所以存在，使得， ，，解得. 【小问3详解】 由已知， ①， 因为点P在线段CD上，所以存在，使得， 则， 又， ②， 由①②得，. 19. 已知的面积为. （1）求的大小； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； （3）如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合三角形的面积公式和余弦定理求解即可； （2）由正弦定理可得，由为锐角三角形，可得，从而可得范围，根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据四边形的内角和为，可得，设，在，中，结合正弦定理可得，代入，可求得，求出两三角形的面积即可得答案. 【小问1详解】 因为， 所以， 整理得， 又， 所以 【小问2详解】 在中，由正弦定理知，， 所以 ， 若为锐角三角形， 则, 解得， 所以，， 所以， 所以的面积， 故的面积的取值范围为. 【小问3详解】 因为四边形的内角和为， 所以， 设，则， 又， 在中，由正弦定理知，， 即， 在中，由正弦定理知，， 即， 两式作商得，， 又， 则， 整理得，即， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，， 而， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $