精品解析：江苏扬州市高邮市2025-2026学年第二学期期中检测试卷高一数学

2025-2026学年度第二学期期中检测试卷 高一数学 202604 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考试号填在答题卡上. 2.将每题的答案或解答写在答题卡上，在试卷上答题无效. 3.考试结束，只交答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 0 3. 已知，点在直线上，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 4. 在中，角所对的边分别为，若，，，则角（ ） A. B. C. D. 或 5. 在中，若，，其面积为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 4 7. 记的内角的对边分别为，已知，，当的面积的最大值时，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 在边长为2的正三角形的边上分别取两点，沿线段折叠三角形，使顶点正好落在边上，则的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. D. 11. 已知的内角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，AD为△ABC的边BC上的中线，且，，那么为__________（用，表示） 13. 已知，则__________. 14. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 17. 已知的三个内角所对的边分别为，. （1）求角的大小. （2）若，的面积为，求a的值. （3）若，，点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长. 18. 如图，在等腰梯形ABCD中，，，P为线段CD上的一个动点. （1）若，，，求BP的值； （2）若，Q为线段AP上一点，且，求实数m的值； （3）设x，，，求的值. 19. 已知的面积为. （1）求的大小； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； （3）如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网组卷网 2025-2026学年度第二学期期中检测试卷 高一数学 202604 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考试号填在答题卡上 2.将每题的答案或解答写在答题卡上，在试卷上答题无效 3.考试结束，只交答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 12-sin2 x C0s2 n12() A B② D.1 2 【答案】C 【解析】 【分析】直接由二倍角的余弦公式计算可得 【详解】由倍角的余会式符u沿sm-c2× =cos-V5 62 2.已知向量a=（2,x,b=（x,3),若a⊥b,则x=() A.-1 B.-5 C.6 D.0 【答案】D 【解析】 【详解】因为a⊥b, 所以2x+3x=0→x=0 3.已知A1,2,B(3,4),点P在直线AB上，且AP=3AB,则点P的坐标为() A.（-5,6 B.-5,-4) C.（7,8 D.（-5,-4或(7,8 【答案】D 第1页/共16页 可学科网 命组卷网 【解析】 【分析】由AP=3AB得AP=3AB或AP=-3AB,利用坐标运算即可求解. 【详解】由题意得：AP=3AB或AP=-3AB,设点P(x,y), 所以AP=x-1,y-2),AB=（2,2), x-1=3×2 x=7 当AP=3AB时，所以 (y-2=3x2'解得 y=8'所以P(7,8), x-1=-3×2 x=-5 当AP=-3AB时，所以 (y-2=-3x2'解得 y4' 所以P(-5,-4) 4在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=25,B=云，则角A=() 3 Aπ B. C.Sn π D.或 6 3 6 33 【答案】A 【解析】 【分析】直接由正弦定理并结合大边对大角定理可得 【详解】由正弦定理a b 、π1 sin A sin B 得：sinA=a.sinB= b 25si32 又因为a<b→A<B=T且0<A<,所以A=T 3 6 5.在ABC中，若∠A=60°，b=2,其面积为2√5，则， a+b+c sinA+sinB+sinC A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解即可 【详解】由题意知，S=besin=2c5-5。 c2=2c=25,所以c=4 由余弦定理知，42=b2+c2-2hcc0sA=22+4-2-24.=12,所以a=25 2 第2页/共16页 可学科网 丽组卷网 b a 25 由正弦定理得，sinB sinC sinA√3 =4,a=4sinA.b=4sinB,c-4sinc. 2 所以 a+b+c 4sind+4sinB +4sinC=4. sinA+sinB+sinC sinA+sinB+sinC 6.设ABC的内角4，B,C所对的边长分别为a,b,c,若acos B-bc0sA=2c,则an4 的值为( 3 tan B ) A.-4 B. C.5 D.4 【答案】C 【解析】 2 【详解】由正弦定理可得sin Acos B-sin B cos A=二sinC, 又sinC=sinπ-A+B)=sinA+B, 所以sinAcosB-sinBcosA= sin(A+B)sindcosB+cosAsinB) 移项整理得，sin4cosB=3c0 3cosAsinB, 若A,B为直角，不满足原式，则cosA,cosB≠0， 所以可得方anA=anB,即m 5 =5. 3 tan B 7.记△ABC的内角的A,B,C对边分别为a,b,c,已知ab=5,c=2,当△ABC的面积的最大值时，则 sinC的值为() B. 2 3 C. D.1 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得当siC的值最大等价于△ABC的面积最大，由条件根据余弦定理求cosC的表达式，利 用基本不等式求cosC的最小值，再由同角关系求sinC的最大值. 【详解】由于ab=5,c=2, 所以ABC的面积S=-absinC=5sinC, 2 则当sinC的值最大时，△ABC的面积最大， 由余弦定理可得c2=a2+b2-2 abcosC,又ab=5,c=2, 第3页/共16页 学科网组卷网 所以cosC=Q2+b2-4 10 由基本不等式可得a2+b2≥2ab=10,当且仅当a=b=√5时等号成立， 所以cosC≥ 204=又Ce0,故C为脱角， 所以sinC=V-cos2C≤-5 3 4 则AABC面积最大时，sinC的值为 X 8.在边长为2的正三角形ABC的边AB、AC上分别取M、N两点，沿线段MN折叠三角形，使顶点A正 好落在边BC上，则AM的长度的最小值为() A.3 B.2V5 C.43-6 D.2 2 3 【答案】C 【解析】 【分析】在图(2)中，连接MP,由折叠可知AM=PM,根据等边对等角可得∠BAP=∠APM,又因 为∠BMP为△APM的一个外角，设∠BAP=0,可得∠BMP=20, 再设AM=MP=x,根据正弦定理可得出关于x的关系式，结合正弦型函数的有界性可求得x的最小值. 【详解】显然A,P两点关于折线MN对称，连接MP,图(2)中，可得AM=PM,则有 ∠BAP=∠APM, 设∠BAP=0,∠BMP=∠BAP+∠APM=20,再设AM=MP=x,则有MB=2-x, 在△ABC中，∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-0，∴.∠BPM=120°-20，又∠MBP=60°， BM MP 2-x 在△BMP中，由正弦定理知 sin∠BPMsin∠MBP，即sin120°-29sin60，÷ 5 X= 2+sin120°-20) ,0°≤0≤60°，∴.0°≤120°-20≤120°，.当120°-20=90°，即0=15°时，sin(120°-20）=1. 52W5 时瑰有小性可2店45-6.则4指的是小务45-6 2 第4项/共16页 可学科网可组卷网 P(A (1) (2) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列各式中运算正确的是() A.sin15°cos150=1 B.cos cos-sinπ nπV6+√2 4 sin- 1 6 12 64 C.tan20°+tan25°+tan20°tan25°=1 1-tan15 D 1+tan15 =V5 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及两角和差的余弦公式，两角和差的正切公式逐项分析即可. 【详解】因为sin15°c0s15°=x2sinl5°cos15°=sin30°=，所以A正确， 2 因为cos刀 V2 =cOs- ,所以B错误； 42 因为an45°=tan(250+20)=tan25°+tan200 =1, 1-tan25°tan20° 所以tan25°+tan20°=1-tan25°tan20°，即tan20°+tan25°+tan25°tan20°=1，所以C正确； 因为1-tanl5°。tan45°-tanl5o gn15a+an459am15am45-I59=am30e=5,所以D错菱 3 0在ABC中，4C=5,BC=4,c0s∠BAC=,则()y A.sin∠BAC=H B.ABC的面积为8 5 C.AC.BC=16 D.BA+BC=5 【答案】ACD 【解析】 【分析】由余弦定理解出AB的长，确定ABC为直角三角形，结合向量的模长及数量积运算公式即可求 第5页/共16页 可学科网可组卷网 解 【详解】由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACc0S∠BAC,所以16=AB2+25-6AB, 解得AB=3,因为AB2+BC2=AC2,所以△ABC为直角三角形，∠B=90°， 所以sin∠BAC=BC-4 AC5,所以A正确， 1 dC)4B:BC二，×4x3=6,所以B错 AC.Bc=CA.CB=CA,CBcos∠ACB,cos∠ACB=BC-4, AC5' 所以AC-BC=5x4×=16,所以C正确 因为∠B=90°，所以BA+BC=BA+2BA·BCcos LABC+BC=V9+16=5, 所以D正确 ABC的内角4B,C的对边分别为ab,c,且cos,=)cos Bc0sC+,则下列游 的是() A.tan B tan C=2 B.tan B+tan C-tan A=0 C.A>π 3 D.a>b>c 【答案】ABC 【解析】 分析】通过已知条件c0s-)Bc0sC结合二倍角公式和三角形内角和的性质，及不等式性扇 推导出角之间的关系，进而判断选项的正确性 【详】因为coco38cosC+号，所以1+eo34 1 =÷cosBcosC+ 22 2 22 整理得1+coSA=cosBcosC+1,即coSA=cosBc0sC 又因为A=π-B+C),所以CosA=-cosB+C, -(cosBcosC-sinBsinC)=cosBcosC, 整理得：sinBsinC=2 cosBcosC, 因为cosBcosC≠0，所以tanBtanC=2. 选项A:tanBtanC=2,与推导结果一致.正确 选项B:由A=π-（B+C),得tanA=-tanB+C), 第6页/共16页 可学科网可组卷网 tanB+tanC tanB tanC 因为tanB+C)= 1-tanBtanC 1-2 =-(tanB+tanc), 因此tanA=tanB+tanC,即tanB+tanC-tanA=0.正确 选项C:由tanBtanC=2>0,可知B,C均为锐角； 又因为tanA=tanB+tanC≥2√tan Bitan C=2√2， 又因为tan=√5， 3 即2V2>V3,所以4>交.C正确 3 选项D:因为tanA=tanB+tanC>tanB,tanA>tanC(因tanB,tanC>0), 得A>B且A>C,但无法确定B和C的大小，故无法推出α>b>c.错误 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图，AD为△ABC的边BC上的中线，且AD=a,AC=b,那么AB为 (用a，,b表示) D 【答案】2a-b拼-b+2d 【解析】 【详解】已知AD是中线， AD-B+BD-AB+BC-B+(C-B)-(B+C). 移项得AB=2AD-AC=2ā-b. 7 【答案】- 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将已知条件化为cos +6厂一3，利用二倍角的余弦公式求解即可 第7页/共16页 可学科网可组卷网 5π1 【详解】因为sina+cosa+ 63' 即sina- 1 2-cosa- 1 sina= 3 所以)sina- cosa=,-cos(a+=1 1 2 3 631 所以cosa+)= 6 3 所以co 2+os2a+=2osa+-1= 6 l4.△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2,tanA+tanB+√3=tan Atan Btan C,则△ABC 周长的最大值为 【答案】6 【解析】 【详解】由三角形内角和得A+B=π-C,故tan(A+B)=-tanC. 由正切和角公式tan(A+B)= tan A+tan B 1-tan A tan B tan A+tan B 代入得： 1-tan A tan B =-tanC,整理得tanA+tanB=-tanC+tan Atan B tan C 结合题设tanA+tanB+√3=tan Atan Btan C,联立得tanC=√3 因0<C<π，故C= 3 已知c=2,由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC, 代入得：4=a2+b2-ab 由基本不等式a2+b2≥2ab,得4=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab, 即ab≤4，当且仅当a=b时取等号 因为4=(a+b)2-3ab,所以(a+b)2=4+3ab≤4+12=16 故a+b≤4，当且仅当a=b=2时取等号 因此ABC周长L=a+b+c≤4+2=6，即周长最大值为6 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 第8页/共16页 可学科网可组卷网 15.已知0<0< 4 12 2 <B<元，sma5,sinB 13 (1)求cosB-a)的值： (2)求sin2a-cosa的值 1+cos2a 33 【答案】(1) 65 5 (2) 6 【解析】 3 【分析】)利用同角三角函数关系式得cos0=cosB=一-】 日，结合两角差的余弦公式计算得出答案， (2)利用二倍角公式化简原式，代入计算可得结果； 【小问1详解】 因为0<a<T<B<元，sina=4,sin6= 4 12 13 所以c0sa=子c0sB=-各 3 13 所以cosB-a)=cosβcosa+sinβsina 5.3.12433 = 一X一十 X一 13513565 【小问2详解】 sin2a-cos'a 2sinacosa-cos'a 2sina-cosa 1+cos2a 1+2c0s2a-1 2c0s0 43 2× =55- 36 2× 5 16.已知向量ā，b满足|d=2,万=1，且ā与6的夹角为 3 (1)若(2a+b)1(ā-6)，求实数元的值： (2)求D与ā+2b的夹角的余弦值. 【答案】(1)2=3. 第9页/共16页 耐学科网 组卷网 (2) 3 2 【解析】 【分析】(1)根据两个向量垂直，则它们的数量积为0，并利用向量数量积公式计算2· (2)先计算b·(a+2b),再计算a+2万，最后根据向量夹角的余弦公式求解 【小问1详解】 竖意可得a6=a5cos弩=2x1x1 因为(2a+b)1(a-b),所以(2a+b)a-b)=0, 即2a2-21a.b+a.b-1b2=2x4-2元x1+1-1×1=9-31=0, 解得入=3. 【小问2详解】 设万与a+2b的夹角为0，由(1)可知，ab=1, 由题意可得6ā+2b)=a.万+262=1+2×1=3， 由a+26=a2+4a.b+462=4+4+4=12,得la+26=25, 6ā+2b 所以cos0 35 5la+26 1×2V52 17.已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinC=V3(b-acosC) (1)求角A的大小. (2)若b+c=4,ABC的面积为5 求a的值 (3)若b=1,AB.AC=1,点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长 【省10)4-音 (2)a=V10 (3) 2V3 3 【解析】 第10页/共16页 学科网组卷网 【分析】(1)先根据正弦定理将asin C=√3(b-a cos C)转化为sin Asin C=√3(sinB-sin Acos C), 再根据sinB=sin(A+C)对上式进行化简，最后求出A的值 (2)根据三角形面积公式可求出bc的值，再结合余弦定理以及b+c的值求解出a的值. (3)先根据b=1,AB·AC=1求解出C的值，再利用面积法求解出角平分线AD的长度 【小问1详解】 asinC=3(b-acosC),:.sin Asin C=3(sin B-sin AcosC). 在ABC中，sinB=sinA+C)=sin AcosC+cos Asin C, ∴.sinB-sin AcosC=cos Asin C,可得sin Asin C=√3 cos Asin C, :C∈(0，，sinC≠0，tanA=sin4-5,又A∈(0，，可得A= cosA 3 【小问2详解】 dhiS.uc besindbex 2 22 ,解得bc=2, 由余弦定理得a2=b2+c2-bc,所以a2=(b+c2-3bc=16-6=10,故a=√10. 【小问3详解】 由b=1,AB.AC=1→cbc0sA=1→c=2, 2 besin、1 、1 设AD的长为x,由SMBc=S。MDB+S。Dc, π，1 62 2 bxsin 6 解得x 25,即4D=25 3 18.如图，在等腰梯形ABCD中，AB/DC,AB=2BC=2CD,P为线段CD上的一个动点 D 1)若AB=4,AP=万，sin∠PAB=V2I,求BP的值： 7 (2)若DP=2PC,Q为线段4P上一点，且A0=mAD+1AB,求实数m的值： 6 第11页/共16页 学科网组卷网 (3)设x,y∈R,AC=xDB+yAP,求y-x的值 【答案】(1)BP=√万 1 (2)m= 2 (3)y-x=1 【解析】 【分析】(1)先根据同角三角函数关系求出CoS∠PAB的值，再利用余弦定理求解出BP (2)设AO=tAP,然后利用AD,AB表示出AO,然后利用向量相等列出方程组，求解出m (3)设DP=DC,然后利用DB,AP表示出AC,再利用向量相等列出方程组，求解出y-x的值 【小问1详解】 在&ABP中，：sin∠PAB=VZ cos∠PAB=2 7 由余弦定理得， BP-P-2AP:4BC0SZPAR-7+16-2xx4x2 77, ∴BP=7. 【小问2详解】 DP=2PC.DP-3DC-48.AP-AD+DP-4D+AB 因为点Q为线段AP上一点，所以存在t∈[0，，使得A0=tAP=1AD+AB, m=t 40=mAD+14B, 1 ,，解得m=t= 6 2 63 【小问3详解】 由已知，C=而+c=而+号而@， 国为点P在袋段cD,所以存在e0,小，使得DP=2DC-号B, 第12页/共16页 学科网组卷网 则P=0+0P=D+, 又DB=AB-AD, c=丽+y那-（丽-列++号y-0+{g*@ y-x=1 x=y-1 由①②得 +x2 入y 3，y-x=1 2 λ+2 19已即BC份面积为S=怎(4B+BC-4C】 (1)求∠ABC的大小： (2)若ABC为锐角三角形，且BC=2,求ABC的面积S的取值范围； (3)如图，以ABC的边AC作△ACD形成凸四边形ABCD,记△ACD的面积为S2,若CD=√3BC, ∠CD-管∠BCD-,且∠CB<∠CAD,受的t 6 【答案】(1)∠ABC= 3 ,2V5 (3)3-V3 【解析】 【分析】(1)结合三角形的面积公式和余弦定理求解即可； (2)由正弦定理可得AB=1+ √5 tan∠BAC 由ABC为镜角三角形，可得君<∠BAC<受，从面可符 6 AB范围，根据三角形的面积公式求解即可； 第13页/共16页 学科网组卷网 (3)根据四边形的内角和为2元，可得∠BAC+∠ADC=2”,设∠BAC=a,在ABC,△ACD中， 3 sin 结合正弦定理可得 2 代入CD=V5BC,可求得a=文，求出两三角形的面积 CDsina Sin R 12 即可得答案 【小问1详解】 因为s-98+c2-4c 所以54B-BCsin∠A8C=5.2AB-BCcos∠ABC, 4 整理得tan∠ABC=√5， 又∠ABC∈(0，π， 所以∠ABC=T 【小问2详解】 AB BC 在ABC中，由正弦定理知， sin∠4CB sin∠BAC 所以AB= BC·sin∠ACB sin∠BAC 元-∠CAB) BC.sin( sin∠BAC BC.sin ZBAC+ sin∠BAC sin∠BAC+ -cos∠BAC 2 sin∠BAC =1+ V3 tan∠BAC 若ABC为锐角三角形， 第14页/共16页 可学科网可组卷网 0<∠BAC<T 则 0<∠ACB= 2 3 -∠BAC< 2 解得工<∠BAC< 6 ian∠BHce(0,V5, 1 所以tan∠BAC∈ 所以AB∈(1,4， 所以48C面488 C-9425 3 故ABC的面积S的取值范围为 25 【小问3详解】 因为四边形的内角和为2π， 所以∠BAC+∠ADC=2π π，5π，π2π 一十 一十一 、6633 设∠BAC=,则∠ADC= 2π 3 又a∈0，r 6 BC AC 在ABC中，由正弦定理知， sin∠BAC sin∠ABC BC AC 即sino 元， CD AC 在△ACD中，由正弦定理知， sin∠CAD sin∠ADC CD AC 即sin 2π sin -0 6 3 sin 2π -0 两式作商得， 2 3 CDsina sin 第15页/共16页 学科网列组卷网 又CD=V3BC, 1 1 2 -cosa +-sina 则一 2 23 sina 3 整理得2√3 sina cosa=1-2sin2a，即3sin2a=cos2a, 所以an2a= 3 因为ac06 所以2ae(0引 所以2a=元，即a=元 6 12 所以∠ACB=π ππ7π 12312 ，∠ACD=∠BCD-7π=四 12-4 而sim12 十 4 所以9=CDsin∠ACD BCsin ZACD v5.② 2=3-V3 S,BCsinπ-∠ACB)BCsin∠ACB 6+√2 第16页/共16页