内蒙古自治区呼和浩特市土默特左旗民族中学2025-2026学年高三下学期三月冲刺考试数学试题

三月冲刺考试数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知a，b∈R，a﹣2i＝（b﹣i）i（i为虚数单位），则（　　） A．a＝﹣1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝2 C．a＝1，b＝﹣2 D．a＝1，b＝2 2．已知，，若，则实数m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 3．已知集合M＝{1，0}，则与集合M相等的集合为（　　） A．{（x，y）|x＝1，y＝0} B． C． D．{x|﹣1＜x＜2，x∈N} 4．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，4），若P（ξ≥2）＝0.3，则P（ξ≥﹣2）＝（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 5．点M（1，2，1）到平面2x+y+z﹣7＝0的距离是（　　） A． B． C． D． 6．已知，部分图象如图，则f（）＝（　　） A．2 B． C． D． 7．已知函数f（x）＝（x﹣1）3+a与具有相同的对称中心，则（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 8．动点M在正方体ABCD﹣A1B1C1D1从点B1开始沿表面运动，且与平面A1DC1的距离保持不变，则动直线A1M与平面A1DC1所成角正弦值的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二．多选题:本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥CD，EC⊥平面ABCD，AD＝CE＝2，BC＝CD＝1，M、N分别为棱DE、CE上的动点，设，，则（　　） A．当μ＝0时，存在λ，使得MN∥平面ABE B．当μ＝0时，存在λ，使得AN⊥BM C．当，且AN与BM相交时， D．三棱锥E﹣BCD的外接球在底面ABCD上的截痕长为 10．已知函数f（x）＝ex+e﹣x﹣2cosx，则下列说法正确的是（　　） A．函数y＝f（x）是偶函数，且在（﹣∞，+∞）上不单调 B．函数y＝f′（x）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上不单调递增 C．函数y＝f（x）在 上单调递增 D．对任意m∈R，都有f（|m|）＝f（m），且f（m）≥0 11．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交C的右支于点A，B，若•||||，则（　　） A． B．双曲线的渐近线方程为 C． D．△AF1F2，△BF1F2面积记为S1，S2，则S1＝3S2 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．某超市有两个人工收银区A，B和一个自助收银区C，通过统计，顾客在A，B，C区进行付款的概率分别为，在A，B，C区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数m＝　 　 ． 13．已知数列{an}的前n项和（其中c为常数，c∈R），写出使{an}为等差数列的一个通项公式an＝　 　 ． 14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，csinC﹣（a+b）（sinA﹣sinB）＝bsinC，2b+c＝4，点D在边BC上，且，则线段AD长度的最小值为 　 　 ． 四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．（13分）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P（A|C）＝0.95，P（|）＝0.95．现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P（C）＝0.005，求P（C|A）． 16．（15分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），椭圆的长轴长等于|OA|，离心率为． （1）求E的方程； （2）设直线为椭圆E短轴上的动点（不落在短轴的两端点），过B作y轴的垂线交E于P，Q两点．直线AP与E的另一个交点为C，且与l交于点M；直线AQ与E的另一个交点为D，且与l交于点N． （i）试探究直线CD是否经过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由； （ii）当B位于x轴上方时，求的取值范围． 17．（15分）如图，正方形ABCD中，边长为a，E为AB中点，F是边BC上的动点，将△AED，△BEF分别沿着DE，EF折起，使A，B两点重合于点S． （1）求证：SE⊥DF； （2）当F是边BC的中点时，将△AED，△BEF，△DCF分别沿着DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点S，求三棱锥SDEF的外接球的表面积； （3）a＝4，若BF＞1，设直线SE与平面DEF所成角为θ，求sinθ的最大值． 18．（17分）已知函数f（x）＝eax﹣1•cosx，h（x）＝ex﹣kx﹣1，（a，k∈R）． （1）求函数h（x）在x＝0处的切线方程； （2）若h（x）≥0恒成立，求实数k的取值范围； （3）设a＞0，证明：当时，函数f（x）存在唯一的极大值点x0，且． 19．（17分）设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互质．若n为正整数且n≥2，集合Xn＝{1，2，…，n﹣1}，规定函数φ（n）的值等于集合Xn中与n互质的正整数的个数． （1）试求φ（5），φ（7），φ（35）的值． （2）设p，q是两个不同的质数，写出φ（pq）与φ（p）和φ（q）的关系． （3）RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言： ①准备两个不同的、足够大的质数p，q；②计算φ（m），其中m＝p•q；③选取一个大整数e，满足与φ（m）互质，求正整数k，使得ke除以φ（m）的余数是1；④其中（m，e）称为公钥，（m，k）称为私钥． 已知某RSA加密算法中的公钥是（143，17）．若满足私钥条件的正整数k按从小到大排列得到的一列数记为数列{bn}，数列{an}满足120an＝bn+7，Sn为数列{an}的前n项和，记，证明：Tn≥1． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D C B D C A 二．多选题 题号 9 10 11 答案 AC AD ACD 三．填空题 12．． 13．2n． 14．． 四．解答题 15．解：因为P（A|C）＝0.95，P（|）＝0.95， 所以P（A|）＝1﹣P（|）＝0.05， 因为P（C）＝0.005，所以P（）＝0.995， 所以由全概率公式可得P（A）＝P（A|C）•P（C）+P（A|）•P（）， 因为P（AC）＝P（C|A）•P（A）＝P（A|C）•P（C）， 所以P（C|A） ． 16．解：（1）因为A（﹣4，0），所以|OA|＝4， 而椭圆的长轴长等于|OA|，得到2a＝4，解得a＝2， 由题意得离心率为，则，解得c＝1， 而12+b2＝22，解得（负根舍去），故E的方程为． （2）（i）如图，设C（x1，y1），D（x2，x2），P（s，t），则Q（﹣s，t）， 而P，Q在椭圆上，得到3s2+4t2＝12，且设直线AP的方程为y（x+4）， 直线AQ的方程为y（x+4）， 联立方程组，得到（2s+5）x2+（8﹣2s2）x﹣s（5s+8）＝0， 由韦达定理得，故， 则 ， 同理可得， 则 ， 则，， 可得CD的斜率为 ， 则CD的方程为， 得到， 则y＝3t[x， 而直线CD过定点，且由椭圆性质可得，又B位于x轴上方， 且不在短轴的两个端点，可得，且s≠0， 则令， 同乘4（2s+5）2可得4（2s+5）﹣s（5s+8）﹣s（2s+5）x＝0， 故8s+20﹣5s2﹣8s﹣（2s2+5s）x＝0， 可得20﹣5s2﹣2s2x﹣5sx＝0，即s2（﹣5﹣2x）+20﹣5sx＝0， 令，解得，此时变为， 令﹣5﹣2x＝0，20+8x＝0，解得， 此时直线CD经过一个定点， 故猜测在普遍情况下直线CD经过一个定点， 而P，Q在椭圆上，得到3s2+4t2＝12，且设直线AP的方程为y（x+4）， 联立方程组，得到（2s+5）x2+（8﹣2s2）x﹣s（5s+8）＝0， 由韦达定理得，故． 同理可得， 则，， 故）（x1+4） ， 得到，又因为直线TC，TD有公共点T， 所以C，D，T三点共线，即直线CD过定点T． （iì）联立方程组，解得， 同理可得， 因此由弦长公式得． 由椭圆性质可得，又B位于x轴上方， 且不在短轴的两个端点，可得， 由已知得3s2+4t2＝12，解得，则，， 得到，则 ， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故的取值范围为． 17．解：（1）证明：在正方形ABCD中，AD⊥AE，BE⊥BF， 所以翻折后SD⊥SE，SE⊥SF，又SD∩SF＝S，SD，SF⊂平面SDF， 所以SE⊥平面SDF，又DF⊂平面SDF， 所以SE⊥DF． （2）在正方形ABCD中，CD⊥CF，翻折后SD⊥SF， 又SD⊥SE，SE⊥SF，所以SD，SE，SF两两垂直， 三棱锥SDEF可放入以SD，SE，SF为边的长方体中，此时三棱锥SDEF与长方体具有同一个外接球， 所以长方体体对角线就是其外接球直径，长度为 ， 即外接球半径，表面积， 故三棱锥SDEF的外接球的表面积． （3）设BF＝m，1＜m≤4，设点S到平面DEF的距离为h， 则， ， ， 则， S△DEF＝SABCD﹣S△ADE﹣S△BEF﹣S△CDF ， 又由（1）知SE⊥平面SDF， 所以， ， 因为VS﹣DEF＝VE﹣SDF， 所以， 解得， 又直线SE与平面DEF所成角为θ， 所以， 又因为， 当，即m＝6时取等， 所以在（1，4]单调递减， 即， 则， 所以sinθ的最大值为． 18．（1）解：由题意，h′（x）＝ex﹣k，∴h′（0）＝1﹣k， 又h（0）＝0， ∴切线方程为y＝（1﹣k）x； （2）解：h′（x）＝ex﹣k， 当k≤0时，h′（x）＞0，h（x）为R上的增函数， ∴存在x0＜0，h（x0）＜h（0）＝0，不符合题意； 当k＞0时，由h′（x）＝ex﹣k＝0，得x＝lnk， x∈（﹣∞，lnk）时，h′（x）＜0，h（x）是减函数， x∈（lnk，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）是增函数， ∴h（x）≥h（lnk）＝k﹣klnk﹣1，∴只需k﹣klnk﹣1≥0， 设r（k）＝k﹣klnk﹣1，则r′（k）＝﹣lnk， 当0＜k＜1时，r′（k）＞0，r（k）为增函数；当k＞1时，r′（k）＜0，r（k）为减函数， 则r（k）≤r（1）＝0，∴当且仅当k＝1时不等式成立， 综上所述：k＝1，即k的取值范围是{1}； （3）证明：， ∵y＝a﹣tanx是上的减函数，由正切函数的性质及a＞0可知， 在内，存在唯一实数x0，使得tanx0＝a， 当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当时，f′（x）＜0，f（x）为减函数， ∴x0是f（x）的极大值点， 易知，当时，x≥sinx，由（2）可知ex≥x+1， ∴， 下面证明， 令，即证，即（1+t2）et﹣1＜0， 设φ（t）＝（1+t2）et﹣1，则φ′（t）＝et（1+t）2≥0，∴φ（t）是（﹣∞，0）上的增函数， ∴t＜0时，φ（t）＜φ（0）＝0，（1+t2）et﹣1＜0成立，命题得证． 19．解：（1）设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互质， 若n为正整数且n≥2，集合Xn＝{1，2，…，n﹣1}，规定函数φ（n）的值等于集合Xn中与n互质的正整数的个数， 则不超过5且与5互质的正整数有1，2，3，4，则φ（5）＝4； 不超过7且与7互质的正整数有1，2，3，4，5，6，则φ（7）＝6； 不超过35且与35互质的正整数有1，2，3，4，6，8，9，11，12，13，16，17，18，19，22，23，24，26，27，29，31，32，33，34，则φ（35）＝24； （2）设p，q是两个不同的质数，则φ（pq）＝φ（p）•φ（q），证明如下： p，q是两个不同的质数，得φ（p）＝p﹣1，φ（q）＝q﹣1， 在不超过pq﹣1的正整数中，p的倍数有q﹣1个，q的倍数有p﹣1个， 于是φ（pq）＝pq﹣1﹣（p﹣1）﹣（q﹣1）＝pq﹣p﹣q+1＝（p﹣1）（q﹣1）， 所以φ（pq）＝φ（p）•φ（q）； 证明：（3）某RSA加密算法中的公钥是（143，17），则m＝143，e＝17， 由（2）得，φ（143）＝φ（11×13）＝（11﹣1）×（13﹣1）＝120， 即正整数k满足的条件为17k＝120x+1，x∈N， 则， 取x＝17n﹣1，得k＝120n﹣7，于是bn＝120n﹣7， 因此120an＝bn+7＝120n， 得an＝n，Sn为数列{an}的前n项和， 则， 记， 则， ， 因为n∈N*，所以n+1≥2， 所以，所以， 则，原式得证． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/21 21:49:09；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $