精品解析：河北石家庄实验中学2026届高三第二次调研考试数学试卷

石家庄实验中学2026届高三年级第二次调研考试 数 学 命题：高三数学 考试时间：120分钟 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】全集， 又因为， 所以. 故选：C. 2. 已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2023，则序号n等于（ ） A. 667 B. 668 C. 669 D. 675 【答案】D 【解析】 【分析】依题意求出等差数列的通项公式，再解方程即可； 【详解】解：依题意 由，解得. 故选：D 3. 是虚数单位，复数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：， 故选：C． 4. 已知单位向量满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量数量积的运算律可得，再由向量夹角公式可求夹角的大小. 【详解】因为， 所以，即，故， 所以，故向量与的夹角为. 故选：B. 5. 物理学中的“波义耳定律”是指一定质量的气体，在温度不变的情况下，压强p与体积V成反比．若容器的容积为V，容器内某种气体的初始压强为，真空泵每次抽出该气体的体积为，n次抽气后，设容器内剩余该气体的压强为，则．若，设抽气时该气体温度不变，欲使容器内剩余该气体的压强低于初始压强的，则最少需要抽气的次数为（参考数据：）（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知波义耳定律代入计算结合等比数列通项及对数运算计算得 即得解. 【详解】因为，，所以， 所以，即得， 要使，即得， 即得 . 所以. 故选：C. 6. 对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），，对应的曲线为，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两个正态曲线的对称轴位置和集中分散程度判断结果. 【详解】由，故曲线的对称轴在曲线的左侧，排除C、D； 由，故曲线比曲线瘦高，曲线比曲线矮胖，排除A. 故选：B． 7. 已知直线 与 相交于 两点，若 是直角三角形，则实数 的值为（ ） A. 1 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意是等腰直角三角形，可得圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】根据题意，圆的圆心，半径，易知是等腰直角三角形， 所以圆心到直线的距离为，则，解得， 所以或. 故选：A. 8. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得， 假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，则（ ） A. 该圆台的母线长为 B. 该圆台的表面积为 C. 该圆台的体积为 D. 该圆台的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合圆台的几何结构特征，以及圆台的表面积和体积公式，结合球的截面圆的性质和球的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆台上底面的半径为，下底面的半径为． 对于A中，由于母线与底面所成的角为，则母线长，所以A正确； 对于B中，圆台的表面积 ，所以B不正确； 对于C中，由圆台的母线长为，且母线与底面所成的角为， 可得圆台的高为， 则体积，所以C正确； 对于D中，设圆台外接球的半径为，球心到下底面的距离为， 若外接球的球心在圆台下底面的下方，可得，解得， 此时圆台外接球的表面积为； 若外接球的球心在圆台上、下底面之间，可得，此时方程组无解， 综上可得，圆台外接球的表面积为. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值为； B. 函数的最小值为2； C. 已知，则的最小值为3； D. 若正数满足，则的最小值是3 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式“一正二定三相等”及“1”的妙用，对选项逐一分析检验即可. 【详解】对于A，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，则的最大值为，故A正确； 对于B，因为，所以，令，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 所以，即的最小值为，故B错误； 对于C，因为， 所以， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以，即的最小值为3，故C正确； 对于D，因为，， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 故，即的最小值是4，故D错误. 故选：AC. 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】证明，放缩可判断A，由，放缩可判断B，取，计算可判断C，可得，令，转化为，构造，利用导数判断单调性求函数最小值即可判断D. 【详解】，，，，， 构造，则，∴函数在上单调递增， ，，．，，故A正确； 令，则， 在上递增，，， ，，，故B错误； 当时，，则，，，，故C错误； ，，， 令，则，，， 设，，则， 令，，则， 可知函数在上单调递增，，则， 在上单调递增，，，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项为______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先由二项式定理求出的展开式的通项公式，再求出常数项即可． 【详解】因为展开式的通项公式为：， 令，解得， 所以常数项为：. 故答案为： 13. △的内角，，的对边分别为，，，若，，，则△的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理的边角关系可得，即可求，再利用三角形面积公式求面积即可. 【详解】由余弦定理得：，则，解得：， ∴. 故答案为：. 14. 现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】根据古典概型性质，先计算出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法数，根据古典概型计算概率，最后逐一将所有情况累加即可得出总概率，最后即可得到答案. 【详解】设选出的是第k个袋，连续四次取球的方法数为， 第四次取出的是白球的取法有如下四种情形： 4白，取法数为：， 1红3白，取法数为：， 2红2白，取法数为：， 3红1白：取法数为：， 所以第四次取出的是白球的总情形数为： ， 则在第k个袋子中取出的是白球的概率为：， 因为选取第k个袋的概率为，故任选袋子取第四个球是白球的概率为： ， 当时，. 故答案为：． 【点睛】思路点睛：本题为无放回型概率问题，根据题意首先分类讨论不同k值情况下的抽取总数(可直接用k值表示一般情况)，再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)，最后即可计算得出含k的概率一般式，累加即可，累加过程中注意式中n与k的关系可简化累加步骤. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面. （1）证明：； （2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：连接， 是菱形，是对角线， ， 又平面平面， ， 又平面平面， 平面， 又平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直以及线面垂直的性质，通过线面垂直的判定定理证明平面，进而得到； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及向量，再根据线面角的向量公式（其中为直线的方向向量，为平面的法向量，为直线与平面所成角）求出线面角的正弦值。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，则， 以为轴，以为轴，以为轴，建立如图空间直角坐标系， 令，则， ， 设平面的法向量为， 由，得，得， . 16. 近年来，随着人们对健康饮食的重视和市场对禽肉需求的增长，养鸡业发展迅速，我国养鸡企业发展也取得了显著成就．某小型养鸡场从2017年到2023年每年养鸡数量（单位：千只）的统计结果如下表所示． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 养鸡数量千只 2 3 7 5 8 11 13 （1）由统计表看出，可用线性回归模型拟合与 的关系，请用相关系数加以说明（系数精确到0.01）； （2）建立关于 的回归方程（系数精确到0.01），并预测该小型养鸡场2026年养鸡的数量． 参考数据：． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 【答案】（1），因为相关系数 接近1，所以与 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合． （2），17760只． 【解析】 【分析】（1）根据公式得到相关系数，与 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合； （2）得到，得到线性回归方程，并代入，预测该小型养鸡场2026年养鸡的数量. 【小问1详解】 由题意知，，， ， ， ， 则， 因为相关系数 接近1，所以与 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合． 【小问2详解】 由（1）得， ． 故与 的回归方程为． 将2026年对应的年份代码代入回归方程得， 所以预测该小型养鸡场2026年养鸡的数量为17760只． 17. 已知数列满足，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式； （3）求的前项和. 【答案】（1）∵，∴，即， ∴数列是以为首项， 为公比的等比数列 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等式构造数列相邻两项，并求得其比值，即可证明； （2）由（1）求得数列的通项公式，即可求得的通项公式； （3）由（2）中的通项公式，通过等比数列的前项和公式求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， ∴ 【小问3详解】 . 18. 已知函数. （1）当时，求过原点且与相切的直线方程； （2）若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设切点坐标，则切线方程为：，再把点带入切线可得参数即可得切线； （2）有两个不同零点，构造函数，则有两个不等实根，令，设，由的值域可得的取值范围为. 【小问1详解】 的定义域为，， 设切点坐标，则切线方程为：， 把点带入切线得：，，得， 所以的切线方程为：. 【小问2详解】 有两个不同零点， 则， 构造函数，， 所以为增函数，且， 即有两个不等实根，则， 令，，则，， 所以，则，， 故， 而两边取对数，可转化为，即，， 【方法一】：含参讨论单调性 由，可得，，即， 设， 则， 因为，根据对勾函数在上单调递减，易知，，所以， ①当，即时，，故当时，，符合题意； ②当，即时，显然存在，使得，即 当时，，当时，， 故，不符合题意， 综上，的取值范围为. 【方法二】：单调性求最值+洛必达法则 设，则在上恒成立，， 设，， 在递增，，则在递减， 所以的最小值接近极限值， 所以的最小值无限接近3，即得的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 19. 已知动点满足关系式. （1）求动点的轨迹方程； （2）设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①证明如下： 由（1）曲线:,，设， 对函数求导得， 所以两切线方程为：，即， 又切线过点P，所以， 即满足，即满足方程， 所以， 设， 则由， 所以，即三点在直线上，即三点共线； ②的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）由双曲线定义即可求解； （2）①由切线方程和导数几何意义依次求出和即可得证； ②求出直线的方程，与曲线联立，利用判别式结合焦半径公式即可求解. 【小问1详解】 设， 则即 ， 所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且 所以动点的轨迹方程为. 【小问2详解】 ①略 ②因为，所以直线的方程为， 即，联立，消去得， 由题意知方程有两个不等的负根. 所以， 解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄实验中学2026届高三年级第二次调研考试 数 学 命题：高三数学 考试时间：120分钟 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2023，则序号n等于（ ） A. 667 B. 668 C. 669 D. 675 3. 是虚数单位，复数等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知单位向量满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 物理学中的“波义耳定律”是指一定质量的气体，在温度不变的情况下，压强p与体积V成反比．若容器的容积为V，容器内某种气体的初始压强为，真空泵每次抽出该气体的体积为，n次抽气后，设容器内剩余该气体的压强为，则．若，设抽气时该气体温度不变，欲使容器内剩余该气体的压强低于初始压强的，则最少需要抽气的次数为（参考数据：）（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），，对应的曲线为，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线 与 相交于 两点，若 是直角三角形，则实数 的值为（ ） A. 1 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，则（ ） A. 该圆台的母线长为 B. 该圆台的表面积为 C. 该圆台的体积为 D. 该圆台的外接球的表面积为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值为； B. 函数的最小值为2； C. 已知，则的最小值为3； D. 若正数满足，则的最小值是3 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项为______．（用数字作答） 13. △的内角，，的对边分别为，，，若，，，则△的面积为_______． 14. 现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面. （1）证明：； （2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 近年来，随着人们对健康饮食的重视和市场对禽肉需求的增长，养鸡业发展迅速，我国养鸡企业发展也取得了显著成就．某小型养鸡场从2017年到2023年每年养鸡数量（单位：千只）的统计结果如下表所示． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 养鸡数量千只 2 3 7 5 8 11 13 （1）由统计表看出，可用线性回归模型拟合与 的关系，请用相关系数加以说明（系数精确到0.01）； （2）建立关于 的回归方程（系数精确到0.01），并预测该小型养鸡场2026年养鸡的数量． 参考数据：． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 17. 已知数列满足，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式； （3）求的前项和. 18. 已知函数. （1）当时，求过原点且与相切的直线方程； （2）若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知动点满足关系式. （1）求动点的轨迹方程； （2）设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $