精品解析：四川省雅安市名山区第三中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

2025-2026学年第二学期4月月考 高一数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题 58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 计算的结果是（ ）. A. B. C. D. 2. 已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 求值：（ ） A. B. C. 1 D. 4. 已知平面向量，且，则λ的值为（ ） A. -2 B. C. 2 D. 5. 已知为锐角，为钝角，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点为的重心，分别是边上一点，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 7. 若是第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知六边形为正六边形，设，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列关于三角恒等变换正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，点是函数(，)图象的最高点，､是图象与轴的交点，若，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列式子正确的是（     ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，是方程的两个根，且，，则的值是__________. 13. 已知向量，，且，则t=____. 14. 已知，则________. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）若，求的值域. 16. 已知向量，，，． （Ⅰ）若四边形是平行四边形，求，的值； （Ⅱ）若为等腰直角三角形，且为直角，求，的值． 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若，且，求的值． 18. 如图所示，等腰梯形中，，，已知E，F分别为线段，上的动点（E，F可与线段的端点重合），且满足，. （1）求关于x，y的关系式并确定x，y的取值范围； （2）若，判断是否存在恰当的x和y使得取得最大值?若存在，求出该最大值及对应的x和y；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）求； （2）求函数的单调增区间； （3）将函数的图象向右平移个单位得的图象，求方程在区间上所有根之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期4月月考 高一数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题 58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 计算的结果是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接化简求值即可. 【详解】解： . 故选：C. 2. 已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】解：由题意得： 故选：C 3. 求值：（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和差的正切公式即可得出． 【详解】． 故选：D． 【点睛】本题考查两角和差的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题． 4. 已知平面向量，且，则λ的值为（ ） A. -2 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，及向量垂直的坐标表示求出. 【详解】依题意，，由，得， 因此，所以. 故选：D 5. 已知为锐角，为钝角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方关系和两角和的余弦展开式计算可得答案. 【详解】因为为锐角，为钝角，， 所以， ， 则 . 故选：C. 6. 已知点为的重心，分别是边上一点，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据重心性质可得，再由三点共线得出，根据“1”的变形技巧利用均值不等式求最值. 【详解】由点为的重心，为的中点知， , 所以， 因为三点共线，分别是边上一点， 所以，即， ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A 7. 若是第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，可得，可将本题转化为，已知，求，进而利用诱导公式、二倍角公式，求解即可. 【详解】解：设，则，则， 所以，解得， 所以. 故选：D. 8. 已知六边形为正六边形，设，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算可得出，，再结合正六边形性子逐项计算即可判断. 【详解】如下图所示： 由正六边的几何性质可得， 所以，， 所以，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列关于三角恒等变换正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据三角恒等变换公式判断恒等关系，即可求解. 【详解】对于A，正确； 对于B， 正确； 对于C，由和差化积公式有错误； 对于D， ，错误； 故选：AB. 10. 如图所示，点是函数(，)图象的最高点，､是图象与轴的交点，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题设可得为等腰直角三角形，故可得半周期，从而可得的值及各点坐标，通过的坐标可求，从而可得判断各项的正误. 【详解】由题知的纵坐标为，又，所以，， 所以，所以的周期，所以，，故B正确； 所以，故C正确；，故A错误， 将代入函数解析式可得：，()，故D错误. 故选：BC. 11. 下列式子正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦二倍角公式可得A正确，利用余弦二倍角公式可得B错误，再由两角差的正弦公式计算可得C正确，根据两角和的正切公式整理可得D正确. 【详解】对于A，易知，即A正确； 对于B，显然，可得B错误； 对于C，易知，所以C正确； 对于D，易知， 整理可得，即，即D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，是方程的两个根，且，，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合根与系数关系可得，，进而可得，即可得解. 【详解】由根与系数关系可得，， 所以，， 又，， 所以，，， 则， 所以， 故答案为：. 13. 已知向量，，且，则t=____. 【答案】 【解析】 【分析】由可得：，进而计算求解. 【详解】因为，所以，则有， 又，，所以，解得：， 故答案为：. 14. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】化简，代入即可求解. 【详解】因为，所以 . 故答案为：. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）若，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可求出的单调递增区间； （2）由求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出其值域. 【小问1详解】 函数， 令， 可得， 故函数的单调递增区间为：； 【小问2详解】 由，可得， 结合正弦函数的性质可得，当，即时，有最小值， 当，即时，有最大值2， 即函数的值域为. 16. 已知向量，，，． （Ⅰ）若四边形是平行四边形，求，的值； （Ⅱ）若为等腰直角三角形，且为直角，求，的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由得到x,y的方程组，解方程组即得x,y的值; （Ⅱ）由题得和，解方程组即得，的值． 【详解】（Ⅰ），，， ，，由，，； （Ⅱ），，为直角，则，， 又，，再由，解得：或． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和模的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简，求出最小正周期；（2）将代入可求出，结合的范围，求出，因为，由两角和的余弦公式求出结果. 【详解】． （1）函数的最小正周期． （2）由，得，即． 由，得， ∴， ∴． 18. 如图所示，等腰梯形中，，，已知E，F分别为线段，上的动点（E，F可与线段的端点重合），且满足，. （1）求关于x，y的关系式并确定x，y的取值范围； （2）若，判断是否存在恰当的x和y使得取得最大值?若存在，求出该最大值及对应的x和y；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），， （2）存在最大值2，， 【解析】 【分析】（1）法一：先计算出，再把用表示出来，再按照数量积运算即可； 法二：建立直角坐标系，表示出，按照数量积的坐标运算计算即可. （2）先通过得到，再换元后利用双勾函数的内容求出最值即可. 【小问1详解】 法一：由等腰梯形的性质可知， 即，又， 则. 由F，F分别为线段，上动点，故，. 法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，易得，，，， ， 则. 由E，F分别为线段，上动点，故，. 【小问2详解】 由可得，则， 又解得，. 故，令，则，即， 显然函数在上单调递增，故当即且时，取得最大值为2. 19. 已知函数. （1）求； （2）求函数的单调增区间； （3）将函数的图象向右平移个单位得的图象，求方程在区间上所有根之和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，代入求值即可； （2）结合三角函数的单调性进行求解即可； （3）利用三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合方程进行求即可解． 【小问1详解】 化简得， . 【小问2详解】 令，解得， 故函数的单调增区间为. 【小问3详解】 函数的图象向右平移个单位的图象， 即， 令，得， 或，， 解得或，， ，故当时，或， 即方程在区间上所有根之和为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $