专题训练33 抽象函数中函数的基本性质-2026届高三数学三轮冲刺

专题33　抽象函数中函数的基本性质 题型01 单调性问题 1．（25-26高三下·湖南·月考）（多选）已知是定义域为的奇函数，且，则（    ） A． B．为奇函数 C．为增函数 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为是定义域为的奇函数，所以， 令，代入得，故A正确； 对于B，由奇函数性质有，故B正确； 对于C，表明，对于任意，比大， 但并不意味着为增函数，例如：函数满足题意， 当时，， 当时，， ，但，所以不是增函数，故C错误； 对于D， ，故D正确. 2．（2026·四川宜宾·一模）（多选）定义在上的函数，对都有，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列单调递减 C． D．数列的前n项和为，则 【答案】ACD 【详解】由函数方程可得，又， 可推出，可得，对任意正整数数成立. 对于选项:正确. 对于选项:递增，故单调递减错误. 对于选项:是凸函数，满足，正确. 对于选项:前项和，正确. 3．（25-26高三下·山东·月考）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性，将不等式变成，利用函数单调性求解即可. 【详解】函数的图象关于点对称， 则函数的图象关于原点对称，即， 从而等价于，即 由函数在定义域上单调递减， 则，解得. 4．（2026·河北石家庄·一模）已知定义在上的偶函数，满足，且当时，若，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数性质可得函数的周期为4，再根据周期性和对称性及单调性即可判断大小. 【详解】因为是R上的偶函数，故； 由，令得，故的周期； 当时，，是增函数，故在上单调递增. 又因为，即. ，即, 由，得， 所以 ， 且，即. 即,且在上单调递增，所以,即. 5．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 【答案】（答案不唯一） 【分析】抓住第四个条件对应的函数解析式运算特征，分析学过的基本初等函数模型中，幂函数能与之对应，随即可解. 【详解】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减； 条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征， 在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合； 在中，取为负偶数即可. 6．（2026·江西吉安·一模）（多选）已知函数的定义域为，且对均有成立，当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C．当时， D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】利用赋值，判断A，令，判断函数的奇偶性；设，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，从而判断C，根据，利用作差法，结合函数的性质，判断D. 【详解】A.令，，再令，得，得，故A正确； B.令，得，，得，所以函数是奇函数，故B错误； C.设，为偶函数，原式两边同时除以， 得，即， 当时，，则， 在中，令，，得， 其中，，则，所以当时，，即当时，， 当时，，，故C正确； D. 由得，且为奇函数，所以为偶函数， 由，可知，当时，，即， 所以在上单调递增，则在上单调递减，结合C可知此时均有, 设，， 因为，且，所以，， 所以，所以在上单调递增，故D正确. 题型02 奇偶性问题 7．（25-26高三下·河北衡水·期中）设是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】已知是定义在上的偶函数，故； 又，代入得， 因此，即是周期为的周期函数， 当时，， 因此：， ， 已知，代入得：， 利用对数运算化简： ， 可得：，整理得，解得或， 由对数真数要求对成立，故，舍去， 所以. 8．（2026·山东东营·模拟预测）若定义在上的奇函数满足，则（   ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 【答案】B 【分析】先根据函数性质得到，再通过对已知等式进行赋值和变形，推导出函数的递推关系，进而求出的值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，， 由， 用代替可得， 因为是奇函数，， 则， 用代替可得， 所以， 函数满足， 则， ，令得， 所以. 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（ ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件，可求得函数关于轴对称，关于中心对称，周期为4，再根据函数的对称性和周期性，即可求解. 【详解】因为为偶函数，为奇函数， 所以，， 所以函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 所以，令，则，即， 所以，令，则，所以的周期为4， 又，，所以，所以， 又函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 又的周期为4，所以，，， 所以函数一个周期内的函数值为，，，， 所以， 所以 ，所以. 10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义在上的函数满足：①，都有；②，，恒有．则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为偶函数 D．若，则 【答案】D 【分析】由条件①，可判断是上的增函数，利用单调性可判断A；结合换元法将复杂的自变量的范围求出来，利用的单调性可判断B；对于条件②，通过赋值法，给、赋特殊值，推导函数的性质，进而分析的奇偶性，可判断C；可结合函数单调性或构造函数，利用基本不等式判断自变量的关系，进而推导函数值的关系可判断D. 【详解】对于A，由，令，得，则． 因为，都有，所以在上单调递增，故，故A错误． 对于B，设，令，所以， 可知在上单调递增，所以， 所以，即，故B错误． 对于C，由，令，，得， 所以．因为， 所以， 所以函数为奇函数，故C错误． 对于D，令，，则， 所以，因为， 当且仅当时等号成立，又在上单调递增， 所以， 即，故D正确． 11．（2026·重庆渝中·二模）（多选）已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．， C． D．在区间上，有2027个零点 【答案】ABD 【分析】先由已知的两个中心对称条件推导出函数周期为，再结合对称关系证明其为奇函数，验证A；再利用对称性求出时的解析式，验证B；接着分析一个周期内的函数值，通过分组求和判断C错误；最后分析函数在区间内的零点分布，得出整数点均为零点，共个，验证选项D． 【详解】对于A，由，得，即， 又，所以，即是以周期为的周期函数， 由，得，所以， 即，所以是奇函数，A正确； 对于B，由，得，所以，B正确； 对于C，，，，， 一个周期内的和：， 所以，C错误； 对于D，是以周期为的周期函数，，， 时，，，所以， 时，，，所以， 所以在内的零点有， 而包含个完整周期， 所以是的零点，共个，D正确． 12．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知函数为奇函数，当时，，则_____. 【答案】 【详解】由函数为奇函数，得：， 令，得：， ， 又因为当时，， 得， 因此. 题型03 对称性问题 13．（2026·广东茂名·二模）（多选）已知是定义在上的函数，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．是的周期 【答案】ACD 【详解】在中,令，可得，所以，故A正确； 由，可得的图象关于直线对称，故C正确； 在中，令，可得，又由选项A知，故， 若是定义在上的奇函数，则与矛盾，故不是奇函数，故B错误； 由，可得的图象关于点对称，又因为的图象关于直线对称， 故，故D正确． 14．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数定义域为，下列是无最小值的充分条件的是（   ） A．为偶函数且图象关于直线对称 B．为偶函数且图象关于点对称 C．为奇函数且图象关于直线对称 D．为奇函数且图象关于点对称 【答案】D 【分析】根据对称性可判断函数的周期，故可判断ABC的正误，根据对称性可得，据此可判断D的正误. 【详解】对于A，因为为偶函数，故， 而的图象关于直线对称， 故，故， 故为周期函数且周期为4， 而在必有最小值，故必有最小值，故A错误. 对于B，而的图象关于点对称， 故，故， 因为为偶函数，故， 故，， 故为周期函数且周期为8， 而在必有最小值，故必有最小值，故B错误. 对于C，因为为奇函数，故， 而的图象关于直线对称，故，故， 所以故为周期函数且周期为8， 而在必有最小值，故必有最小值，故C错误. 对于D，因为为奇函数，故， 而的图像关于点对称，故， 故，设， 则，当时，， 故无最小值，故D正确. 15．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对进行变形可判断A，分析的对称性和周期性可判断B，由已知变形得到和的两个方程并联立可判断C，先计算得到的值，由的周期性及和的值计算可判断D. 【详解】对于A，由，可得， 两式相减可得，故A正确； 对于B，由为偶函数，可得， 即，所以的图象关于直线对称， 由，两边求导得，即， 所以是以4为周期的周期函数， 则有，无法推出，故B错误； 对于C，由，两边求导得， 即，令，可得， 又，令，可得， 并联立，解得，故C正确； 对于D，由，当时，，又，可得， 当时，可得， 由，即， 所以，令，可得， 所以，令，可得，，， 由A知的周期为4，则，所以， ，故D正确. 16．（25-26高三下·陕西咸阳·月考）若为奇函数，则函数的图象关于（   ） A．点对称 B．点对称 C．点对称 D．直线对称 【答案】A 【分析】根据函数的平移变换求解即可. 【详解】因为为奇函数，则关于原点对称， 根据函数的平移变换，函数的图象是将的图象向右平移个单位，再向上平移个单位， 则对应的对称中心也向右平移个单位，再向上平移个单位， 故关于点对称. 题型04 周期性问题 17．（25-26高三下·贵州黔东南·月考）定义在上的函数与满足：，若是奇函数，则（　　） A．0 B．2025 C．4050 D．6075 【答案】A 【分析】先利用奇函数性质推导的对称性与奇偶性相关结论，根据，分析的周期性，确定其周期，结合的性质推导的相关性质，进而得到的表达式，根据的周期性，计算一个周期内的和，再结合2025与周期的关系，求解总和. 【详解】因为是奇函数，所以，换元得， 说明关于点中心对称，令得； 由，得关于轴对称，结合可推得： ，因此的周期，且； 由，得，计算（一个周期）的和： ：，故， ：， ：，故， ：，故， 一个周期和为：； ，即前项共个完整周期，和为； 剩余最后一项，， 故， 因此. 18．（2026·江西赣州·二模）设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由是偶函数可知，又满足， 则. 19．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将本题转换成两个函数交点数量的问题，利用图像法进行求解. 【详解】由，知函数的一个周期为2． 因为方程等价于． 令，又当时，， 由此作出函数与的图象， 如图所示．因为，，， 所以和的函数图象交点个数为4，故方程有4个实数根． 20．（2026·安徽淮北·二模）已知是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是定义在上周期为4的奇函数， 又当时，， 故. 21．（2026·陕西西安·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，且，，，，则（    ） A．的图象关于轴对称 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】，令，可得，令，，得，可判断A选项；令，，得，再由，得的周期，取特殊值得，可求判断B选项；令，，得，再求导判断C选项；令，，则，化简计算判断D选项． 【详解】，， 对于A，令，则，所以，故， 令，，则，故， 故为奇函数，图象关于原点对称，故A选项错误． 对于B，令，，故，所以， 所以，故的周期， 令，解得，令，，解得， 又0，则， 故，故B选项正确． 对于C，令，，则， 又，所以，求导可得，， 即0，故C正确. 对于D，由题意知，， 令，，则， 所以 ， 又，所以， 故，故D选项正确． 22．（2026·安徽滁州·二模）已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性定义分析函数的对称性和周期性，根据函数性质逐项分析判断. 【详解】由为偶函数，得，即关于对称. 由为奇函数，得，令可得. 所以，， 联立得，，周期为. 选项A：仅知关于对称，无任何条件可推出，值不确定，A错误. 选项B：由为奇函数得，由对称性，未知，故不一定成立，B错误. 选项C：由，令，得，即恒成立，C正确. 选项D：在中，令，得，由， 所以，故，不一定等于，D错误. 23．（2026·湖北黄冈·一模）已知是定义在R上的偶函数，且，若3，则（   ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据已知及奇偶性的定义可知当时有，根据已知及周期性的定义可得的周期是8，结合周期性及奇函数性质求函数值即可. 【详解】因为是定义在R上的偶函数， 所以，所以当时有， 由，得，所以， 所以，可得的周期是8． 所以. 24．（2026·广西河池·二模）（多选）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A．为的周期 B．关于对称 C． D． 【答案】ABD 【分析】先用赋值法求特殊值，可以排除C，再通过判断奇偶性，结合中心对称性进一步推出周期性判断A，利用中心对称性验证选项B，利用周期性拆分求和项，即可判断D. 【详解】因为定义域为的函数，对任意实数、都有， 所以令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故， 所以，所以，可知C错误； 令，得，即， 在原函数方程中，令，得，即， 所以，由，令替换为，得， ，所以，， 所以，故函数的一个周期为4，得A正确； 因为，所以是偶函数，所以， 又因为周期为4，所以，所以， 所以关于对称，选项 B正确； 因为周期为4，所以，所以D正确. 强化训练 1．（2026·浙江金华·二模）若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意，，当时，都有，则称该函数为“阶梯形函数”．下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（   ） A．（不超过x的最大整数） B． C． D． 【答案】D 【分析】先准确理解“阶梯形函数”的定义，对于A，结合取整函数定义判断该函数的单调性，再结合关系即可判断，对于B，结合指数函数性质判断函数的单调性，再结合函数的值域为即可判断；对于C，利用导数判断函数的单调性，再结合余弦函数性质证明即可判断，对于D，利用导数判断函数单调性，利用反证法证明不存在满足条件的平行线即可判断. 【详解】对于选项A，若，则对于任意的，都有， 由已知，故函数的图象夹在平行直线和之间， 故函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数； 对于选项B，若，​ 因为为增函数，故函数为增函数，且函数的值域为， 所以函数为减函数，函数的值域为， 因此在上单调递增，且函数的值域为， 故函数的图象夹在平行直线和之间， 所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数； 对于选项C，若， 则恒成立，当且仅当时取等号， 所以函数在上单调递增， 由得， 故函数的图象夹在平行直线和之间， 所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数； 对于选项D，若 则， 当时，，，故 当时，，，故， 所以对于任意的，，故函数在上单调递增， 假设存在两条平行直线， ​和，则对任意需要​， 但当时，三次项增长速度远快于一次项，，矛盾， 故的图象无法被两条平行直线夹住，不满足条件， 因此函数不满足“阶梯形函数”的定义，不是阶梯形函数. 2．（2026·安徽马鞍山·二模）已知函数的定义域为，当时，，对任意，有．若是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为是增函数，所以需保证相邻区间的函数值满足递增关系，根据已知时的函数表达式求出该区间的最大值，再结合递推关系，建立关于不等式求解. 【详解】当时，，和都是单调递增函数，因此在内单调递增， 左端点； 在区间内，对任意，都有， 由递推关系： 当时，，因此， 若整体递增，则必有，若，函数值正负交替，不可能递增， 则该区间内部同样单调递增；而区间左端点， 区间内任意，都有， 函数整体为增函数，必须满足的最大上限值的最小起点值， 得到，解得. 再看区间，左端点， 要保持递增，需的上限值，得，和之前结论一致， 以此类推，对所有后续区间，只要，分段衔接处永远满足递增，每一段内部也保持递增. 3．（25-26高三下·湖南长沙·月考）函数为定义在上的奇函数，当时，，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，. 4．（25-26高三下·甘肃定西·月考）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则＝（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】利用奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以, 当时，，则, 则, 所以。 5．（2026·湖南衡阳·二模）（多选）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，则（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数是周期为2的周期函数 D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【详解】对于A：因为为偶函数，当时，， 所以，故A正确； 对于B：因为函数为偶函数，所以， 所以函数的图象关于直线对称，故B错误； 对于C：因为和均为偶函数，所以， 在中，将替换为，得，故， 所以的一个周期为2，故C正确； 对于D：当时，， 故， 故当时，，所以函数在上单调递增，故D正确． 6．（25-26高三下·陕西西安·月考）（多选）已知函数是定义在上的非常数函数，，，且，下列结论正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．若是的导函数，则 D． 【答案】ACD 【分析】A令即可；B令即可；C令得出是周期为6的函数，再结合偶函数得出，对其求导得出，再对求导即可求出；D令即可. 【详解】对于A，令，得，所以， 又是非常数函数，所以，A正确； 对于B，令，得，整理得， 则是偶函数，B错误； 对于C，令，得，则， 所以，即是周期为6的函数， 所以，两边同时求导得，即， 又，所以， 即，所以，C正确； 对于D，令，得， 所以，D正确． 7．（2026·河北沧州·一模）（多选）定义在上的奇函数周期为2，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为函数周期为2，所以， 所以，故A正确； 对于B，若，又函数周期为2，则， 所以，所以函数为偶函数，与函数为上的奇函数矛盾，故B错误； 对于C，因为函数为上的奇函数，所以， 所以，所以，故C正确； 对于D，若，又函数周期为2， 所以，所以， 所以对任意，都有， 如为上的奇函数，周期为2，但不满足恒为0，故D错误. 8．（2026·河北保定·一模）（多选）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时 D． 【答案】ACD 【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及时的解析式可判断C；利用周期性可计算的值，然后求出的范围可判断D. 【详解】，拿换，得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A正确； 由和偶函数性质，得：， 因此，图象关于直线对称，而非点对称，故选项B错误； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，， 所以， 又因为为奇函数，当时，， 所以， 从而的值域为，在此区间上， 所以， 故恒成立，选项D正确. 9．（2026·甘肃兰州·一模）（多选）已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D．若，则在区间上的零点之和为0 【答案】BC 【分析】利用函数对称性、奇偶性、周期性、单调性判断A、B、C选项，再结合函数零点判断D选项. 【详解】对于A，因为函数的图象关于点中心对称， 所以，即， 也即， 当时，成立， 当时，， 又函数是定义在上的偶函数， 所以，故A错误； 对于B，， 由，所以函数的周期为6， 所以，故B正确； 对于C，因为函数的图象关于点中心对称，且在区间上是增函数， 由中心对称的性质可得函数在上是增函数，故C正确； 对于D，令，则或， 此时在区间有一个零点， 因为函数是定义在上的偶函数，且周期为6，， 所以， 此时， 所以在区间共有个零点分别为， 此时，故D不正确. 10．（2026高三·江苏·专题练习）已知函数的图象关于直线对称，且，若对任意的，函数满足，则_______. 【答案】0 【分析】通过对给定的函数关系式进行赋值，利用函数的奇偶性、对称性和周期性，推导前四项的函数值，进而求和. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，令，， 因为，所以， 所以函数的图象关于点中心对称，则， 所以，故8是函数的一个周期. 因为，所以，， 因为，， 所以. 故答案为：. 11．（25-26高一上·海南·期末）已知函数满足，且当时，且），则_______，_______． 【答案】 2 【分析】取，求得，代入解析式求得，然后利用函数满足的等式求得函数周期性即可求得结果. 【详解】在中，令，可得， 所以，所以. 在中，用替换，可得， 又，所以， 用替换得，∴， 即以4为周期. 所以. 故答案为：2 ； 12．（25-26高三上·北京石景山·期末）关于定义域为的函数是偶函数，且，，给出下列四个结论： ①函数的图象关于对称； ②函数的图象关于对称； ③函数是以6为周期的周期函数； ④函数是以4为周期的周期函数． 其中正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【分析】利用已知条件以及函数的对称性、周期性的定义逐项推导，可得出合适的选项. 【详解】对于①，因为为偶函数，所以， 由，可得，则， ，所以函数的图象关于直线对称，故①正确； 对于②，因为，所以， 又，可得， 所以函数的图象关于点对称，故②正确； 对于③，由，且，所以， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数，故③错误； 对于④，因为，且，所以， 由，所以，又， 所以，所以， 所以，因此，函数是周期为4的周期函数，故④正确. 故答案为：①②④. 13．（25-26高三上·江西·月考）设是定义在上的偶函数，且对任意，恒有，当时，，则______. 【答案】/ 【分析】根据题目信息得到，代入即可求出答案. 【详解】令，由得， 又因为是定义在上的偶函数，则， 因为当时，， 所以，即. 故答案为：. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $专题33抽象函数中函数的基本性质 题型01单调性问题 1.(25-26高三下·湖南月考)（多选）已知f(x)是定义域为R的奇函数，且∫x+1)=∫(x+2,则() A.f1=2 B.f(f(x)为奇函数 C.f(x)为增函数 D.f(f(x+1))=f(f(x))+4 2.(2026四川宜宾一模)（多选）定义在(0，+0)上的函数f(x),对Hx,y∈(0，+0)都有f(x+)=2f(xf(y),且 ∫()=1，则下列说法正确的是() A.f(2)=2 B.数列f(n}单调递减 cs 2 D.数列f(n}的前n项和为Tn,则T=2”-1 3.(25-26高三下山东·月考)已知函数f(x)在定义域[-3,3]上单调递减，且函数y=f(x-1)的图象关于点A1,0)对 称，不等式f22-t)+f(-3)>0的解集为() A.(0,2 B.(0,] C. D. 4.(2026河北石家庄.一模)己知定义在R上的偶函数f(x,满足fx+2)=f(x-2),且当x∈[0,2]时， f(x=e-1若a=f(-3,，b=f(4),c=f(log27),则a,b,c的大小关系为() A.c<b<a B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 5.(2026山东东营.一模)写出一个满足下列条件的函数解析式①f(-x)=f(x;②x,x2∈(0，+∞，且 5有[了-5-<0，B50+o小且5*o有>f卢)：@ 2 fx·x2)=f(x)fx) 6.(2026江西吉安.一模)（多选）已知函数∫(x)的定义域为D=（-0,0)U(0,+0),且对x,y∈D均有 (-列=/月成立，当>1时，>0，则() A.f(-1)=0 B.f(x为偶函数 1/6 C.当-1<x<0时，f(x>0 D.f(x在(-o0,-l上单调递增 题型02奇偶性问题 7.(25-26高三下.河北衡水期中)设f(x是定义在R上的偶函数，且f(x=f(4-x),当xe[0,2]时， f川=o8,x+a,若2fo=/1,则a=(） A.-1 B.1 C.2 D.3 8.(2026山东东营·模拟预测)若定义在R上的奇函数fx)满足f1+x)=f(1-x+x,则f(2026)=() A.1012 B.1013 C.1014 D.1015 9.(2026高三·全国.专题练习)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x-2)为偶函数，f(2x-1)为奇函数，f(0)=1 ,则三f()=（) 202 A.1 B.0 C.-1 D.-2 10.(2026陕西西安模拟预测)已知定义在R上的函数fy满足：①x≠y,都有f-f以>0，②Ya, x-y b∈R,恒有f(2a=∫(a+b)+f(a-b)-1,则下列结论正确的是() A.f(2<1 B.f2x2+1-Vx2+1s1 C.函数gx=fx-1为偶函数 D.若meR,则2+2之f0 2 11.(2026重庆渝中.二模)（多选）已知fx)是定义在R上的函数，对任意x∈R,满足f2-x+f(x=0, f(3-x+f(x+1=0,若x∈[1,2]时，f(x)=(x-2)lnx,则下列说法正确的是() A.f(x)是奇函数 B.xe0,1,f(x)=xIn(2-x) c. D.在区间[0,2026上，(x)有2027个零点 12.(2026海南省直辖县级单位二模)已知函数f(x+2为奇函数，当x<2时，f(x)=2x2-x,则f(3)= 题型03对称性问题 13.(2026广东茂名·二模)（多选）己知f(x是定义在R上的函数，且∫1-x)=∫1+x),f(x+f(4-x)=1,则 () Af2-月 B.∫(x是奇函数 C.f(x)的图象关于直线x=I对称 D.4是fx)的周期 2/6 14.(2026海南海口模拟预测)已知函数y=f(x定义域为R,下列是∫(x无最小值的充分条件的是() A.f(x)为偶函数且图象关于直线x=2对称B.∫(x为偶函数且图象关于点(2，)对称 C.f(x)为奇函数且图象关于直线x=2对称D.f(x为奇函数且图象关于点(2,1)对称 15.(2026内蒙古鄂尔多斯一模)（多选）已知函数f(x)及其导函数'(x的定义域均为R,记gx='(x.若 ∫(2)=5，f(x)+f(x+2)=6,g1-2x为偶函数，则下列结论中正确的是() A.f(x+4)=f (x) B.g(-x)=g(x) 2026 C.g2)=0 D. fi)=6080 16.(25-26高三下陕西咸阳月考)若f(x)为奇函数，则函数g(x)=f(x-2)+1的图象关于() A.点(2,1对称B.点-2,1对称 C.点(2，-1对称D.直线x=2对称 题型04周期性问题 17.(25-26高三下·贵州黔东南月考)定义在R上的函数∫(x与gx)满足：f(x)=g(3-x)+2,g(x)=g(4-x),若 gx+1山是奇函数，则觉fkg=（) A.0 B.2025 C.4050 D.6075 18.(2026江西赣州二模)设f()是定义在R上的偶函数，且满足fx=f2-x,当x∈0，)时， 2 赠八3 f(x=2x+1, () B. > 1 A·3 C. 3 D.3 19.(2026陕西西安·模拟预测)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)=f(x+2),且当-2≤x<0时，f(x=e, 则方程8f(x)+x-4=0的实数根个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 20.(2026安微淮北二模)已知∫(x)是定义在R上周期为4的奇函数，当4<x<6时，∫(x=l0g2(x+3),则 f(-1)=() A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 21.(2026陕西西安·模拟预测)（多选）已知函数∫(x的定义域为R,且x,x2∈R, f(x,+x2)=f(x1-x2)+2f1-xf(x2,f1=1,gx)=f'(x,则() 3/6 A.f(x的图象关于y轴对称 B. C.g3-x+g3+x=0 D.[f(4-x]+[f3-x]=1 22.(2026安徽滁州二模)已知函数f(x)的定义域为R,若满足∫(x+1)为偶函数，且∫x-1为奇函数，则下列 选项一定正确的是() A.f(1)=0 B.f(-1=f(2)C.f(0)=-f(4)D.f-2)+f(3)=1 23.(2026湖北黄冈一模)已知y=f(x)sinx是定义在R上的偶函数，且f(x+2)+f(x-2)=0,若fI)=3,则 f(2027)=() A.0 B.1 C.3 D.-3 24.(2026广西河池·二模)（多选）已知定义域为R的函数∫x),对任意实数x,y都有 ∫(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),且f(2)=-2,则以下结论一定正确的有() A.T=4为f(x)的周期 B.f(x关于x=2对称 C.f(1)=-1 D.f（2026)-f(2025)-f(2024=-4 强化训练 1.(2026浙江金华·二模)若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意x,:2,当 x<x2时，都有(x,)≤∫(x2,则称该函数为“阶梯形函数”.下列选项中，不是“阶梯形函数”的是() 1 A.f(x)=[x](不超过x的最大整数)B.f(x)=- e*+1 C.f(x)=x+cosx D.f(x)=x+sinx 2.(2026安徽马鞍山二模)已知函数y=f(x的定义域为1，+0，当x∈1,3)时，f(x)=2(x+1),对任意x≥1， 有f(x+2)=af(x)(a≠0).若y=f(x)是增函数，则实数a的取值范围是() A.4,+0) B.[4,+0) C.8,+0 D.8,+0 3.(25-26高三下·湖南长沙月考)函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=l10g2(6-x),则f(2)的值 为() A.-3 B.1 3 C.1 D.2 4.(25-26高三下·甘肃定西月考)已知函数f(x是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x=x2+2x,则 4/6 f(-1+f(0)=() A.-1 B.1 C.-3 D.3 5.(2026湖南衡阳二模)（多选）已知函数∫(x)的定义域为R,f(x)和f(x+)均为偶函数，且当x∈[0，]时 f(x)=-(x-1)2+2,则() a B.函数∫(x)的图象关于点(1，O)中心对称 C.函数f(x)是周期为2的周期函数 D.函数f(x)在(-2，-1)上单调递增 6.(25-26高三下·陕西西安·月考)（多选）已知函数f(x是定义在R上的非常数函数，x,y∈R, f(x+y)+f (x-y)=2f(x)f(y)f =0,下列结论正确的是() A.f(0)=1 B.f(x为奇函数 C.若gx)是f(x)的导函数，则gx+3-g6-x=0 D. 2-3/= 7.(2026河北沧州一模)（多选）定义在R上的奇函数f(x)周期为2，则() A.f(2x=f(2x+2 B.f(2x)=f(-2x+2 C.fx+f(2-x)=0 D.f(x-1)+f(x+1)=0 8.(2026河北保定一模)（多选）己知定义在R上的函数fx)为偶函数，且满足f(1+x)+f(x-1)=0,当 x∈[1,2]时，fx)=x2-4x+3,则下列说法正确的是() A.f(x)为周期函数 B.f(x)的图象关于点(2,0)对称 C.当x∈[-1,1时f(x=1-x2 D.f2026)<f 9.(2026甘肃兰州一模)（多选）己知函数∫(x)是定义在R上的偶函数且在区间(0,3)上单调，函数 gx)=(x-3)fx的图象关于点(3,0)中心对称，则以下说法正确的是() A.f(x+3=f(x) B.若8=-1，则f创月 C.若gx)在区间(0,2)上是增函数，则gx在区间(4,6)上是增函数 5/6 D.若[)-0，则g在区同-5可上的华发之和为0 10.(2026高三江苏专题练习)已知函数∫(x)的图象关于直线x=4对称，且∫(4)=2，若对任意的x∈R,函数 gx满足fx=g3x-4)-g8-3x,则咒/2= k-1 11.(25-26高一上海南期末)已知函数f(x)满足f(x)=f(2-x),f(x)+f(4-x)=0,且当1≤x≤2时， f(x)=a-4(a>0且a≠1)，则a=,f(2025)+f(2026)=· 12.(25-26高三上·北京石景山期末)关于定义域为R的函数f(x,gx),∫(x是偶函数，且f(x)+g2-x=1, gx)-∫(x-4)=3,给出下列四个结论： ①函数gx的图象关于x=2对称： ②函数f(x的图象关于(-1，-1)对称； ③函数f(x)是以6为周期的周期函数； ④函数gx)是以4为周期的周期函数。 其中正确结论的序号是」 13.(25-26高三上·江西·月考)设f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意xeR,恒有f1+x=f1-x,当 -25x5-1时，f到=2x+3,则/) 6/6