专题训练35函数的零点问题-2026届高考数学三轮冲刺

专题35　函数的零点问题 题型01 函数零点的判断 1．（2026·陕西商洛·模拟预测）（多选）已知函数，则（   ） A． B．有4个极值点 C．在上有零点 D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】对于A，代入计算即可；对于B，求原函数的极值点即求导函数的变号零点即可；对于C，求函数在某区间是否有零点，利用零点存在性定理判断即可；对于D，判断函数在某区间的单调性即求其导函数在该区间的正负情况即可. 【详解】对于A选项，由，所以选项A正确； 对于B选项，令函数， 则， 所以为偶函数，， 令函数，则， 令函数，则， 当时，，所以在上单调递减， 即在上单调递减，所以， 则在上单调递减，所以， 即，所以在上单调递减， 则在上单调递增，即在上单调递增， 在上单调递减，因为， ，， 所以在上有1个极值点，在上有1个极值点， 所以只有2个极值点，所以选项B错误； 对于C选项，由，， 由零点的存在性定理可知在上有零点，所以选项C正确； 对于D选项，， 当时，，， 因为，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，所以选项D正确. 2．（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算函数在各区间端点的函数值，利用零点存在定理，判断函数值异号的区间，从而确定零点所在的大致区间. 【详解】 因为，且函数是连续函数，所以零点在区间内. 故选：C 3．（25-26高三上·天津和平·期末）函数的零点所在的一个区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用零点存在定理及对数函数值计算求解. 【详解】因为，所以，，， 又因为单调递增， 所以函数的零点所在的一个区间为. 故选：C. 4．（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系可得的解析式，将问题转化为函数与直线交点个数问题，采用数形结合的方式可求得结果. 【详解】，，，，， ，； 函数的零点个数等价于函数与直线的交点个数； 作出与的图象如下图所示， 结合图象可知：当时，与在每个区间上有且仅有一个交点，则当时，与共有个交点； 当时，与没有交点，即当时，与没有交点； 当时，与有且仅有一个交点，即当时，与有且仅有个交点； 当时，，，二者没有交点，即当时，与没有交点； 综上所述：当时，函数的零点个数为个. 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将本题转换成两个函数交点数量的问题，利用图像法进行求解. 【详解】由，知函数的一个周期为2． 因为方程等价于． 令，又当时，， 由此作出函数与的图象， 如图所示．因为，，， 所以和的函数图象交点个数为4，故方程有4个实数根． 6．（2026·四川·二模）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性、对称性以及单调性分析即可. 【详解】由，则， 所以， 所以函数关于直线对称， 由， 即， 因为是上的奇函数， 所以， 所以， 所以函数最小正周期为8， 由在上单调递增，根据函数对称性知在上单调递减， 由，，， 所以当时，函数与函数大致图象为：        所以与函数交点个数为2个. 7．（25-26高三上·山东德州·期末）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可. 【详解】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为4个. 故选：B. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）函数与函数图象的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用数形结合即可求解. 【详解】在同一坐标系内画出函数与的图象，如图所示： 由图象知，函数与图象在内有一个交点，在上无交点. 故选：B. 题型02 根据函数零点个数求参数取值范围 9．（25-26高三上·广东广州·月考）函数与有三个交点，那么______. 【答案】或 【分析】画出函数和函数的图象，借助图象求解. 【详解】在同一坐标系中画出函数和函数的图象，如图所示， 有两种情况满足题意： 一种情况是过点，解得. 另一种情况是与相切， 由，得，， 解得. 故答案为：或 10．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知函数，若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别分析分段函数各部分的图象特征，再结合图象确定直线与函数图象有三个不同交点时的取值范围. 【详解】将的图象向下平移个单位长度得到的图象， 再将的图象的轴下方的图象以轴为对称轴翻转至轴上方， 可得到的图象， 将的图象向右平移个单位长度得到的图象， 所以的图象如图所示，    由图可知，当时，函数图象与直线有且仅有三个不同的交点. 故选：B 11．（2026·全国·模拟预测）已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 12．（2026·河北衡水·模拟预测）已知函数在上有且仅有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过对分正负讨论，结合正弦函数的零点规律，确定的区间范围，进而求出的取值范围. 【详解】当时，因为，所以， 要使在上有且仅有3个零点， 需满足，解得：； 当时，因为，所以， 要使在上有且仅有3个零点， 需满足，解得：， 综上所述，的取值范围是. 13．（2026·湖北荆州·一模）（多选）已知函数，其中，则（    ） A．若函数有且仅有1个零点，则 B．若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C．不存在，使函数存在唯一的极值点 D．若对恒成立，则 【答案】ABD 【分析】利用参变分离的思想，结合函数图象进行求解 【详解】对于A，显然0不是函数的零点，当时，令，变形为， 令，，则， 令得或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，作出的图象，如下： 直线与其仅有一个公共点，则； 对于B，，令， 函数有且仅有2个极值点，故有2个变号零点， 令得，显然0不是函数的零点， 当时，变形为，令， 则，令得，令得或， 故在上单调递减，在上单调递增， ，作出的图象，如下： 直线与其交于两点，则，故，B正确； 对于C，结合B的分析，显然当时，有且仅有一个变号零点， 函数存在唯一的极值点，C错误； 对于D，，即，当时，满足要求， 当时，，变形为， 令，结合A的分析，当x＞0时，，故，D正确. 14．（25-26高三下·江苏连云港·月考）已知函数，若恰有4个零点，则实数k的取值范围是______ 【答案】 【分析】先借助偶函数对称性，将全定义域零点问题转化为单侧（如）分析，把变形为“参数=函数”，转化为直线与构造函数的交点问题，再求构造函数的导数，分析其单调性、极值、极限趋势，最后结合构造函数的图像走势，确定参数使单侧有对应交点数，得到范围. 【详解】，， 故关于轴对称，又，且恰有4个零点， 所以当时，恰有2个零点，当时，恰有2个零点， 当时，，， 时，，当且时，即有2个解， 令且，， 则，解得或， 所以或时，，单调递减， 时，，单调递增，，， 故函数图象如下： 故时，有2个交点， 若恰有4个零点，则实数k的取值范围是． 15．（2026·陕西延安·三模）（多选）已知函数，若函数有4个零点，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】BC 【分析】利用对数函数及正弦函数的性质可以画出函数图象，结合图象分析逐个选项分析即可. 【详解】对A，画出函数的图象，如图所示，因为函数有4个零点，即有4个解， 也即直线与图象有4个交点，所以，所以A错误； 对B，因为有4个零点，，，，且， 所以零点位置如图所示，因为，结合图象可知，两零点关于直线对称，所以，B正确； 对C，时，或， 解得或， 对，令，则，则由图可知， 所以， 因为函数在单调递增，所以，故C正确： 对D，，是方程的两个解，且，所以，，所以，， 令，所以，， 令，，根据对勾函数的性质，该函数在上单调递增， 所以，所以的取值范围为，所以D错误. 16．（2026·辽宁大连·一模）已知函数．若函数（e为自然对数的底数）恰有4个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易知是的一个零点，当时，转化为两个函数的交点问题，作出函数图象分类讨论即可得解. 【详解】易知，当时，，所以是的一个零点. 所以时，有3个零点，即有3个根， 即和的图象有3个交点． 设，，则和的图象有3个交点． 当时，和的图象有且仅有1个交点，不合题意，应舍去． 函数恒过定点且对称轴为，作出和的大致图象， 当，若与的图象相切，， 设切点，则，解得． 和的图象有3个交点，则． 当，时满足题意，解得， 综上所述，． 题型03 嵌套函数的零点 17．（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】或或 【分析】结合函数的图像和值域，函数图象，再分类讨论解的个数，验证边界情况即可求解. 【详解】当时，由基本不等式， 当且仅当时，即时，等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，且其值域为， 综上可大概画出图像，且有1个解：；有2个解：； 有3个解：；有2个解：； 若恰有4个零点， 即与的解的总个数为4个， 因为值域为，所以可知， 情况一：有1个解，即，且有3个解，则， 即，解之可得， 情况二：有2个解，即或，且有2个解，则， 满足题意，综上可知或. 故答案为 ：或或. 18．（25-26高三上·天津·期末）已知函数，则当函数有5个零点时，实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】利用换元法，根据函数与方程的关系，转化为函数交点的问题，利用数形结合进行求解即可. 【详解】设，则由得， 当时，， 函数在上单调递减， 当且时，， 当且时，， 当时，， 当时，， 若，作出函数的图象如图， 当或时，，此时，无解； 当时，由，得只有一个解且， 此时，最多有3个零点，不满足条件，故，不成立； 若，作出函数的图象如图， 当或时，，此时，无解； 当时，由，得只有一个解且， 此时，有1个解，不满足条件，故，不成立； 当时，作出函数的图象如图， ， 则当或时，， 由，得方程有3个不同的根，其中， 其中， 当时，，只有一个根， 当时，，只有一个根， 要使函数有5个零点，则必有，有3个零点， 由，得，即，此时只要即可， 得，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 19．（24-25高三上·广东湛江·月考）已知函数，若关于x的方程恰有四个不同实数解，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，作出函数，然后通过数形结合求出答案. 【详解】由于函数，作出其图象如图所示： 由得：， 则或， 由图知与只有一个交点，即方程有一个解； 由题意只需方程有三个解，则与有三个交点， 由图得. 故答案为： 20．（25-26高三上·湖南·月考）已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 【答案】或 【分析】先作出函数的图象，再令，则，易得，且关于的方程必有两个不等实根，设为，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】作出函数的图象如图所示， 令，则， 若原方程有6个不相等的实数根， 则，且关于的方程必有两个不等实根，设为， 当时， 代入，则，解得， 此时关于的方程为，解得，满足题意； 当，且时，令， 则函数有两个大于的不等零点， 因为函数的图象过点， 则，解得， 即； 当时，因为函数的图象过点， 则，无解， 综上所述，实数a的取值范围为或. 故答案为：或. 21．（25-26高三·全国·一轮复习）设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【分析】设，可确定当时，函数的零点个数，继而作出的大致图像，考虑时的图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决. 【详解】设，当时，，此时， 由，得，即，解得或， 即在上有2个零点； 若，，其图象对称轴为， 函数的大致图像如图： 则此时，即，则， 即无解，则无零点，此时无零点，不符合题意； 故需，此时函数的大致图像如图： 由得或， 要使得函数恰有3个零点，需满足在上有一个零点， 此时只有一个解，故只需与函数在y轴左侧图象无交点， 则需，解得，结合， 可得， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题为复合函数的零点问题，解答时采用数形结合的方法去解决，即作出函数的大致图像，将函数零点问题转化为曲线的交点个数问题，即可解决. 22．（25-26高三上·天津南开·月考）已知函数,若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为________. 【答案】 【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图像如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图像可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 故答案为： 23．（25-26高三下·广东茂名·月考）已知函数，若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】因为，所以或，结合图象可得的图象与直线有3个交点，据此即可求解. 【详解】因为， 所以或， 因为关于x的方程有6个不同的实数根， 所以的图象与直线和直线有6个不同的交点， 如图的图象与直线有3个交点，    所以只需的图象与直线有3个交点，且， 所以. 故答案为： 24．（2026·山东青岛·三模）函数在的零点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】方法一求出的范围，再由函数值为零，得到的取值即得零点个数，方法二先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点即可． 【详解】方法一：，， 由题可知，或， 解得，，或，故有3个零点． 方法二：令， 即，，解得，， 分别令，解得，，， 所以函数在的零点的个数为3. 强化训练 1．（25-26高三下·辽宁葫芦岛·月考）曲线与曲线在交点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先通过令，解出或者，再根据即可得出函数与在内的交点个数． 【详解】由题意可知，函数与的图像在内有交点， 即有解， 则，化简得 解得或者， 所以在内仅有一解，故交点个数为一个． 2．（25-26高三下·重庆·月考）已知方程的解为，求所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先构造函数判断单调性，再用零点存在定理算端点值判断零点所在区间即可. 【详解】设，因为和都是上的单调递增函数， 因此是上的单调递增函数，原方程的解就是的唯一零点. 当时，， 当时，， 由，可知单调函数的零点. 3．（2026·陕西安康·三模）若函数有且只有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解，结合有且只有一个零点，即无解或有等根，分类计算后即可参数的取值范围． 【详解】， 因为有且只有一个零点，即无解，或有两个等根为 所以，或，解得． 4．（25-26高三下·浙江衢州·期中）已知函数，若方程有三个根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据导数作出函数的图象，数形结合求解参数范围即可. 【详解】当时，，可以看作函数向上平移个单位， 当时，，则， 因为当，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，，， 作出函数图象如下图， 令，则过定点， 当过原点时，即时，图象与图象有4个交点， 时，，当图象与图象相切时，设切点为， 此时， 将代入得， 整理得，因为在上单调递增， 又，所以， 当时，，图象与图象相切，有两个交点. 所以方程有三个根，的取值范围为． 5．（25-26高三下·四川成都·月考）（多选）设函数，则（    ） A．在上单调递减 B．时，的值域为 C．有三个零点 D．曲线关于点对称 【答案】AD 【详解】，求导得， 令，得，；当时，，单调递减， 因，故A正确； 在上单调递减，在上单调递增，，， ，故时，的值域为，B错误； ，，时，故仅有1个零点，C错误； 由中心对称定义，若曲线关于点对称， 则需满足， 计算， ， 两式相加得； 计算，故， 满足， D正确. 6．（25-26高三下·湖北宜昌·月考）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的对称轴是 B．在上单调递增 C．的值域为 D．恰有两个零点 【答案】ABD 【分析】根据函数的对称性判断A；根据复合函数的单调性、值域判断BC；根据函数零点的定义求解判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为， 故的图象关于直线对称，A正确； 对于B，由， 因为在上单调递增，且在其定义域内单调递增， 所以在上单调递增，B正确； 对于C，当时，，故的值域为，C错误； 对于D，令，则，解得， 则有两解，且这两个解均在内，故D正确． 7．（25-26高三下·河北沧州·月考）（多选）已知定义在上的偶函数满足当时，，则（    ） A．曲线过定点 B．若，则 C．若，则有且仅有4个零点 D．若，则 【答案】BCD 【分析】由于，故其所过点必含变量，根据对称性，分析可判断A的正误；根据偶函数的定义及条件，可得的解析式，整理变形，可判断B的正误；当时，求出的零点，分析各段的正负，结合偶函数的性质，分析可判断C的正误；根据的单调性及对数的运算性质，分析比较，即可判断D的正误. 【详解】对于A，注意到，故其所过点必含变量，对称性可得同理，故A错误； 对于B，时，，时， 故，故B正确； 对于C，当时，，令，解得或， 注意到当时，，当时，， 当时，由于指数函数增长速度远高于多项式函数，故， 于是有且仅有2个正零点， 由奇偶性知有且仅有4个零点，故C正确； 对于D，当时，，显然其在时单调递增， 且， 所以， 于是，故D正确. 8．（25-26高三下·江西南昌·月考）（多选）已知函数在区间上有且只有三个零点，则（    ） A．是的一个周期 B．的最大值为 C．的取值范围是 D．在区间可能有个解 【答案】BCD 【分析】先求出整体角的范围，作出的图象，根据题意即可求得，判断C项；取，得，利用周期定义检验判断A项；利用函数在上的图象即可判断B，对D，直接求出的解，进而可得时，在区间至少有个解，即可求解.. 【详解】因，设，则，作出函数的图象如下： 要使函数在区间上有且只有三个零点， 需使，解得，故C正确； 不妨取，则，所以， 因为，此时不是的一个周期，故A错误； 又由图知，函数在区间上取得两个极大值，也是最大值，为1，故B正确， 对于D，由，即，得到或， 即或， 因为，所以从小到大的个非负根为， 当，即时，在区间至少有个解， 又，且，所以D正确. 9．（25-26高三下·山东泰安·月考）（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．在区间上单调递减 C． D．若在区间上恰有4个零点，则 【答案】AC 【分析】 A判断偶函数只需验证 ，利用 直接代入即可； B 时去掉绝对值求导，根据 时导数符号判断单调性，核心是求导后分析 的正负； C先利用偶函数简化为 的情形，构造函数 ，通过求导严格证明 ； D利用偶函数对称性只分析 ，求导找极值点确定单调性与最值，再根据零点个数等价为直线与图像交点个数，确定 的范围. 【详解】选项A：函数定义域为，，所以是偶函数，A正确. 选项B：当时，，求导得. 当时，，即，单调递增，B错误. 选项C：由为偶函数，只需证时不等式成立. 当时，. 原不等式等价于，令， 则. ①当时，， ，故， 因此，当且仅当时取等号. ②当时，， ，故. 综上，对，，且仅时， 故在上单调递增，， 即，原不等式成立，C正确. 选项D：因为是偶函数，图象关于轴对称， 所以只需研究的单调性与取值. 当时，， 求导得. 令，由得， 在内解得唯一极值点. 当时，，，单调递增; 当时，，，单调递减. 因此在处取得极大值同时也为最大值， . 端点处函数值：，. 综上，时，从递增至最大值，再递减至； 由偶函数对称性，时，从递增至最大值，再递减至. 在上恰有个零点， 等价于与的图象在上有个不同交点. 结合图象可知：当时， 直线与在和内各有个交点，总计个零点，而非，故D错误. 10．（25-26高三下·广东揭阳·开学考试）（多选）若，函数恰有4个零点，则实数的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据单调性可判断在上的零点个数，进而可知在上的零点个数，整体法可求得余弦型函数中的范围，根据余弦曲线在该范围内的零点个数可得到一个不等式，解不等式即可. 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以，使得，函数在上只有1个零点， 要使函数恰有4个零点，则函数在上只有3个零点. 由，得， 则，解得． 11．（25-26高三下·河南商丘·月考）（多选）设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（    ） A．的取值范围是 B．的图象与直线在上的交点恰有2个 C．的图象与直线在上的交点恰有2个 D．在上不单调 【答案】ACD 【分析】化简解析式，结合零点个数可得的范围，结合图象可判断B,C选项，根据正弦函数的单调性可判断D选项. 【详解】，令， 当时，， 因为在上有且仅有4个零点，所以，解得，A正确. 令，可得，当时，， 由可知，当时，， 由可得或，即有两个解， 当时，， 由可得或或，即有三个解， B不正确. 令，可得，当时，， 如图，由可知，， 由可得或，即有两个解，C正确. 当时，， 因为， ，， 由于，所以在上不单调，D正确. 12．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的图象关于点对称 B．在上单调递减 C．在上没有零点 D．若恒成立，则实数的取值范围是 【答案】BD 【分析】对于A，先求函数的定义域，再证明，即可判断；对于B，判断函数的单调性，结合复合函数的单调性判断函数的单调性，再判断函数的单调性，结合单调性性质判断；对于C，根据单调性结合零点存在性定理判断；对于D，根据单调性对称性化简不等式，结合二次函数性质求得的范围即可判断. 【详解】对于A，因为，，的定义域为， 因为 ，故的图象关于点对称，故A错误； 对于B，设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 由可知函数为奇函数， 因为函数在上单调递增，故函数在上单调递增， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 故函数在上单调递增， 结合函数为奇函数可得，函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 又在上单调递减，所以在上单调递减，故B正确； 对于C，因为在上单调递减，， ， 由零点存在性定理可知在上恰有一个零点，故C错误； 对于D，因为，所以， 又在上单调递减，所以， 即在区间上恒成立， 所以， 解得，故D正确． 13．（25-26高三上·江西九江·期末）（多选）已知函数设函数，则下列说法正确的是（   ） A．若有4个零点，则 B．若，则有5个零点 C．对任意恒有2个零点 D．若有6个零点，记零点从小到大依次为，则为常数 【答案】BCD 【分析】由可得或，作函数的图象，将判断的零点个数问题转化为判断的图象与直线和的交点个数问题，观察图象判断选项A，B，C，由条件观察图象确定的关系，由此判断D. 【详解】的大致图象如图所示，由， 可得 令，即，得或， 所以的零点个数即为的图象与直线和的交点个数之和． 对于A，若有4个零点，则需实数满足或或， 即或或，故A错误； 对于B，由图可知，当时，有5个零点，故B正确； 对于C，当时，由图可得恒有2个零点，故C正确； 对于D，若有6个零点，则，且，所以即有，故D正确， 故选：BCD. 14．（2026·广东茂名·二模）若函数在区间上有且仅有3个零点，则的最小值为______． 【答案】/ 【详解】因为，所以， 由函数在区间上有且仅有3个零点， 所以， 所以的最小值为. 15．（2026·福建厦门·二模）若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】函数恰好有两个零点，可转化为函数与函数的图象恰有两个交点. ①当恒成立，即时， 问题转化为方程即有两个不同的解. 由. 所以或. ②当时，方程有两个正根，（），如图， 当时，恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. ③当时，方程有两个负根，（），如图， 当时，恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. 综上可得：若函数恰有两个零点，则的取值范围是. 16．（25-26高三上·安徽合肥·期末）函数的所有零点之和为___________． 【答案】-2 【分析】根据函数的零点定义得到，令，，转化为有两根，设这两个根为，由得到，得到，从而得到函数的所有零点之和. 【详解】已知，令，得， 令，整理得，， 令，由在时单调递减，在时单调递减， 所以与图像只有两个交点，方程有两根 假设，即。可得。 又因为，所以， 所以，则， 故答案为：-2 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题35　函数的零点问题 题型01 函数零点的判断 1．（2026·陕西商洛·模拟预测）（多选）已知函数，则（   ） A． B．有4个极值点 C．在上有零点 D．在上单调递增 2．（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·天津和平·期末）函数的零点所在的一个区间为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2026·四川·二模）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26高三上·山东德州·期末）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 8．（25-26高三·全国·一轮复习）函数与函数图象的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型02 根据函数零点个数求参数取值范围 9．（25-26高三上·广东广州·月考）函数与有三个交点，那么______. 10．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知函数，若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·全国·模拟预测）已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是__________． 12．（2026·河北衡水·模拟预测）已知函数在上有且仅有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（2026·湖北荆州·一模）（多选）已知函数，其中，则（    ） A．若函数有且仅有1个零点，则 B．若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C．不存在，使函数存在唯一的极值点 D．若对恒成立，则 14．（25-26高三下·江苏连云港·月考）已知函数，若恰有4个零点，则实数k的取值范围是______ 15．（2026·陕西延安·三模）（多选）已知函数，若函数有4个零点，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 16．（2026·辽宁大连·一模）已知函数．若函数（e为自然对数的底数）恰有4个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03 嵌套函数的零点 17．（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为________． 18．（25-26高三上·天津·期末）已知函数，则当函数有5个零点时，实数的取值范围是___________． 19．（24-25高三上·广东湛江·月考）已知函数，若关于x的方程恰有四个不同实数解，则实数m的取值范围是______． 20．（25-26高三上·湖南·月考）已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 21．（25-26高三·全国·一轮复习）设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为_________. 22．（25-26高三上·天津南开·月考）已知函数,若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为________. 23．（25-26高三下·广东茂名·月考）已知函数，若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为___________. 24．（2026·山东青岛·三模）函数在的零点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 强化训练 1．（25-26高三下·辽宁葫芦岛·月考）曲线与曲线在交点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三下·重庆·月考）已知方程的解为，求所在的区间为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西安康·三模）若函数有且只有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·浙江衢州·期中）已知函数，若方程有三个根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·四川成都·月考）（多选）设函数，则（    ） A．在上单调递减 B．时，的值域为 C．有三个零点 D．曲线关于点对称 6．（25-26高三下·湖北宜昌·月考）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的对称轴是 B．在上单调递增 C．的值域为 D．恰有两个零点 7．（25-26高三下·河北沧州·月考）（多选）已知定义在上的偶函数满足当时，，则（    ） A．曲线过定点 B．若，则 C．若，则有且仅有4个零点 D．若，则 8．（25-26高三下·江西南昌·月考）（多选）已知函数在区间上有且只有三个零点，则（    ） A．是的一个周期 B．的最大值为 C．的取值范围是 D．在区间可能有个解 9．（25-26高三下·山东泰安·月考）（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．在区间上单调递减 C． D．若在区间上恰有4个零点，则 10．（25-26高三下·广东揭阳·开学考试）（多选）若，函数恰有4个零点，则实数的取值可以是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三下·河南商丘·月考）（多选）设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（    ） A．的取值范围是 B．的图象与直线在上的交点恰有2个 C．的图象与直线在上的交点恰有2个 D．在上不单调 12．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的图象关于点对称 B．在上单调递减 C．在上没有零点 D．若恒成立，则实数的取值范围是 13．（25-26高三上·江西九江·期末）（多选）已知函数设函数，则下列说法正确的是（   ） A．若有4个零点，则 B．若，则有5个零点 C．对任意恒有2个零点 D．若有6个零点，记零点从小到大依次为，则为常数 14．（2026·广东茂名·二模）若函数在区间上有且仅有3个零点，则的最小值为______． 15．（2026·福建厦门·二模）若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________． 16．（25-26高三上·安徽合肥·期末）函数的所有零点之和为___________． 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $