专题22 函数的概念、函数的表示（优等生讲义）2025-2026学年人教版数学八年级下册

专题22 函数的概念、函数的表示（优等生讲义） (2026年新教材人教版数学八年级下册) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 常量与变量的意义，能在具体情境中准确区分自变量与因变量。 · 掌握 函数的概念，能判断两个变量之间是否具有函数关系，理解唯一对应性。 · 熟练运用 函数的三种表示方法（解析式法、列表法、图象法），并能相互转化。 · 掌握 求函数自变量取值范围的方法（分母不为0，二次根式被开方数非负，实际问题实际意义）。 · 会求函数值 已知解析式或图象，能计算对应函数值，理解函数符号 f(x) 的含义。 · 能识读函数图象 从图象中获取信息（变化趋势、最值、特殊点等），解决简单实际问题。 · 体会 数形结合、模型思想在函数学习中的重要性，发展抽象能力与应用意识。 ✨ 核心思想：变量相依关系 → 函数模型 → 表示与图象 → 解决实际问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 常量与变量 · 常量： 在某一变化过程中，数值始终保持不变的量。 · 变量： 数值发生变化的量，分为自变量（主动变化的量）和因变量（随自变量变化而变化的量）。 · 如汽车以80km/h匀速行驶，速度80是常量，时间t与路程s是变量，其中时间t是自变量，路程s是因变量。 ☆ 2. 函数的概念 · 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。 · 判断函数的关键：给定一个x，是否只有唯一的y值对应（“一对多”不是函数，“一对一”或“多对一”是函数）。 · 函数记法：， 表示关于x的函数值。 ☆ 3. 函数关系式（解析式法） · 用含有自变量的代数式表示因变量的等式，如 ，。 · 建立函数关系式步骤：找等量关系 → 设自变量与因变量 → 列式并化简。 · 注意实际问题中自变量取值范围往往受到实际情境限制。 ☆ 4. 函数自变量的取值范围 · 整式型： 全体实数，如 ，x取任意实数。 · 分式型： 分母 ≠ 0，如 ，则 。 · 二次根式型： 被开方数 ≥ 0，如 ，则 。 · 复合型： 同时满足分母不为零且根号下非负，取公共部分。 · 实际问题： 根据几何意义或生活实际确定范围（如时间≥0，长度正数等）。 ☆ 5. 函数值 · 对于自变量x的一个确定值，代入函数关系式所得y的值叫做函数值，记作 。 · 已知函数图象，也可通过图象找出对应点的纵坐标得到函数值。 ☆ 6. 函数的表示方法 · 解析式法： 准确反映整个变化规律，但有些函数关系不易写出解析式。 · 列表法： 直观、具体，但自变量取值有限，不能完全反映函数全貌。 · 图象法： 直观表示变化趋势，但获取精确值较困难。画图象步骤：列表 → 描点 → 连线。 ☆ 7. 函数图象的初步应用 · 从图象中读取信息：增减性（上升/下降）、最值、交点、对称性等。 · 能根据图象判断两个变量之间的关系是否符合函数定义（用垂直于x轴的直线检验，最多一个交点）。 · 利用图象解决实际问题（行程问题、蓄水问题、温度变化等）。 ☆ 知识总结表（核心要点） 类别 核心内容 关键注意事项/易错点 常量与变量 常量数值不变，变量数值变化；自变量主动变化，因变量随之变化 同一个量在不同过程中可能是常量也可能是变量 函数定义 对于每一个x，y有唯一确定的值与之对应 “唯一性”是核心，垂线法检验图象是否为函数图象 函数关系式 用等式表示y与x的依赖关系 先找等量关系，注意化简 自变量取值范围 分母≠0，根号内≥0，实际背景约束 必须使解析式有意义且符合实际，结果写成区间或不等式 函数值 代入法计算，或从图象中读取 对应关系要准确，注意符号 表示方法 解析法、列表法、图象法 三种方法各有优劣，常结合使用 函数图象 描点法画图，图象反映变化趋势 注意自变量顺序，连线平滑，真实反映变量关系 核心考点 ·6大考点精讲 【考点1】常量与变量（对应题1-3、题6-9） ❤ 方法总结 · 在问题情境中找出变化的量和不变的量。自变量是引起变化的量，因变量随自变量变化。 · 区分常量与变量时，注意数值是否发生变化。如“单价6元/千克”，单价是常量，数量和金额是变量。 · 用字母表示变量关系后，等号左边的量通常为因变量（函数），右边为自变量表达式。 1．（2025春•茂名期末）汽车以80km/h的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是（　　） A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间 2．（2024春•高平市月考）某校八年级（4）班用150元购买了某品牌乒乓球y个，该品牌乒乓球的单价是x元/个，其函数关系式为，在这个问题中，变量是（　　） A．150，x B．150，y C．x，y D．，y 3．（2025春•威海期末）嘉琪去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（　　） 30金额/元 5数量/千克 6单价（元/千克） A．数量 B．单价 C．金额 D．数量和金额 4．在一个变化过程中，数值　 　 的量，叫做变量． 5．（2022春•修水县期末）对于关系式y＝3x+5，有下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④y与x的关系还可以用列表法和图象法表示．其中正确的说法是 　 　 （填序号）． 6．（2025春•新城区期末）“随着气温上升，雪糕的销量开始上涨．”在这个情境中，自变量是　 　 ． 7．（2023秋•同步）某家电商城将原定价每台4850元的A品牌空调按九折降价销售，降价后这个商城每天销售A品牌空调x台，总收入y元，试把y用关于x的代数式表示出来，在这个问题中，哪些量是变量？哪些量是常量？ 8．（2025秋•同步）指出下列关系中的变量与常量： （1）球的表面积Scm2与球半径Rcm之间的关系为：S＝4πR2； （2）在一定温度范围内，某种金属棒的长度lcm与温度t℃之间的关系为：l＝0.002t+200． 9．（2022•武穴市校级开学）某贮水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的，某日从凌晨4时到8时只进水不出水；8时到12时既进水又出水；14时至次日凌晨0时只出水不进水．如图为贮水量与时间的关系图，看图回答下列问题： （1）一天中水量在增加的时间共 　 　 小时； （2）每小时进水量是出水量的 　 　 倍； （3）根据此图，到次日凌晨0时的时候，塔中的水量为多少立方米？ 【考点2】函数的概念与判断（对应题10-16，尤其偶函数概念） ❤ 方法总结 · 给定一个x是否只有唯一的y：可以借助垂直x轴的直线与图象交点个数判断。 · 表格法：观察同一个x是否对应两个不同的y；若有，则不是函数。 · 注意： 中y不是x的函数（因为一个x对应两个y值）。 10．（2025春•美兰区校级期中）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 11．（2022春•龙马潭区期末）如图所反映的两个量中，其中y是x的函数是（　　） A． B． C． D． 12．y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2，f（﹣x）＝x2，所以f（x）＝x2是偶函数，而，，所以是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝　 　 ． 13．函数y＝x﹣1是 　 　 函数，其一般式为 　 　 ． 14．下列说法正确的有 　 　 ． ①速度一定时，路程是时间的函数； ②y＝2|x|中，y是x的函数； ③y2＝x中，y是x的函数． 15．（2023•庆云县模拟）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 　 　 ．（填序号即可） ①圆的周长C是半径r的函数； ②表达式y中，y是x的函数； ③如表中，n是m的函数； m ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 n ﹣2 ﹣3 ﹣6 6 3 2 ④如图中，曲线表示y是x的函数． 16．（2023春•邢台期中）某电动车厂2022年各月份生产电动车的数量情况如下表： 时间x/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月产量y/万辆 8 8.5 9 10 11 12 10 9.5 9 10 10 10.5 （1）在上述过程中，指出自变量和关于自变量的函数； （2）哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？ 【考点3】函数关系式的建立（对应题17-24） ❤ 方法总结 · 根据几何公式（如圆柱体积V=Sh、正方形周长C=4a）、行程公式、价格问题等列函数式。 · 注意将题目中的文字语言翻译成数学等式，明确自变量与因变量。 · 当图形中的线段长度随运动变化时，利用相似或面积关系建立函数关系（如动点问题）。 17．（2025秋•曾都区期末）如图，圆柱形容器内部的底面积用x（单位：cm2）表示，往这个容器中注入500cm3的水，水的高度用y（单位：cm）表示，用式子表示x与y的关系为　 　 ． 18．（2025秋•嘉兴期末）正方形的周长C与边长a之间的关系为C＝4a，则常量为　 　 ． 19．（2023春•坪山区期末）某景区在端午节期间，门票售价为每人100元，设节日期间共接待游客x人，门票的总收入为y（元），则y与x之间的关系可表示为 　 　 ． 20．（2025秋•文登区期末）下表中y与x满足某种函数关系，其函数表达式为　 　 ． x … ﹣1 0 2 3 … y … 0 4 0 ﹣8 … 21．（2025秋•宝安区校级月考）如图，在△ABC中，BC＝12，高AD＝8．线段BC所在的直线l以每秒2个单位长度的速度沿其垂直的方向平行移动，与边AB、AC分别相交于点E、F，记x（0＜x＜4）秒时，EF的长度为y，则y与x的函数关系为　 　 ，且当x＝2时，△AEF的面积为　 　 ． 22．（2024春•莘县校级期末）观察如图图形及表格： 梯形个数n 1 2 3 4 5 6 … 周长l … 则周长l与梯形个数n之间的关系式为 　 　 ． 23．（2023春•秦都区校级期中）如图，长方形ABCD中，BC＝8，CD＝5，点E为边AD上一动点，连接CE，随着点E的运动，四边形ABCE的面积也发生变化，设AE＝x（0＜x＜8），四边形ABCE的面积为y． （1）DE的长为 　 　 ；△CDE的面积为 　 　 ；（用含x的代数式表示） （2）写出y与x之间的关系式； （3）当四边形ABCE的面积为35时，求DE的长． 24．（2024春•铁西区期中）一辆汽车油箱现有汽油50L，已知该车平均耗油量为0.1L/km，油箱中的存油量为y（单位：L），行驶里程为x（单位：km），y随着x的变化而变化． （1）写出表示y与x的函数关系的式子； （2）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？ （3）当油箱中汽油还剩5L时，汽车仪表盘会出现黄灯，提示车主尽快加油．求黄灯亮后多少km范围内汽车必须加油． 【考点4】函数自变量的取值范围（对应题25-31） ❤ 方法总结 · 分式型：分母不为零；二次根式型：被开方数≥0；零指数幂底数不为0。 · 复合函数取各部分条件的交集；实际问题还需保证符合实际意义（如边长>0，时间≥0等）。 · 取值范围结果一般写成不等式或区间，如或。 25．（2025•玉溪一模）函数中，自变量x的取值范围为（　　） A．x≠2 B．x≤2 C．x≥0且x≠2 D．x＞2 26．（2024秋•余姚市期末）函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．x＜5 C．x≥5 D．x≠5 27．（2025•泸县校级二模）已知函数，则自变量x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≤2 C．x≥2 D．x＜2 28．（2026•桐城市校级一模）函数的自变量x的取值范围是　 　 ． 29．（2025•历城区校级自主招生）函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且为奇函数，若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是 　 　 ． 30．（2020秋•泉州月考）阅读理解：小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x取值范围是 　 　 ，最小值是 　 　 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单．” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题： （1）|3+1|+|3﹣2|＝　 　 ； （2）若x＜2，则|x﹣2|就化简为 　 　 ； （3）解决问题： ①当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|取最小值时，相应x＝　 　 ，最小值是 　 　 ； ②已知y＝|2x+8|﹣|4x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值，写出解答过程． 31．（2023秋•同步）求下列函数中自变量x的取值范围： （1）y＝（1﹣x）（1﹣2x）； （2）y； （3）y． 【考点5】函数值的计算（对应题32-37） ❤ 方法总结 · 已知解析式，直接把自变量的值代入计算，注意运算顺序。 · 已知分段函数，要根据x的范围选择正确的对应关系。 · 已知函数图象求函数值，过该点作x轴垂线，与图象交点的纵坐标即为函数值。 32．（2026•南京一模）变量y与x之间的关系式是，当自变量x＝2时，因变量y的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 33．（2024秋•右玉县期中）当x＝1时，y＝2x2﹣1的函数值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 34．（2023秋•陵城区期末）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①当x＜﹣1时，x越小，函数值越小； ②当﹣1＜x＜0时，x越大，函数值越小； ③当0＜x＜1时，x越小，函数值越大； ④当x＞1时，x越大，函数值越大． 其中正确的是（　　）（只填写序号） A．②③④ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 35．（2024秋•绥化月考）已知函数，那么f（8）＝　 　 ． 36．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为﹣1和5时，输出的y的值相等，则b等于　 　 ． 37．（2024秋•青浦区校级期末）已知，那么f（﹣1）＝　 　 ． 【考点6】函数图象的识别与应用（对应题38-44，课后练习图象题） ❤ 方法总结 · 识图要点：横轴、纵轴分别表示什么；图象升降表示函数增减；水平线表示函数值不变；交点表示相等。 · 根据实际问题情境判断图象趋势（如“先增后稳再降”对应不同阶段）。 · 画函数图象步骤：取值（有代表性）→ 计算 → 描点 → 连线（平滑曲线）。注意定义域端点是否取到。 · 利用图象求最值、比较函数值大小，注意对称性（如在第一象限有最小值）。 38．（2026春•湖北校级月考）在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P．从点A出发沿折线ABCD移动一周，回到A点后继续周而复始，设点P移动的路程为x，如图，三角形PAC的面积为y，请结合图象分析： （1）当0≤x≤4时，y与x的函数关系式为　 　 ； （2）当x＝2026时，y的值为　 　 ． 39．（2025•东西湖区模拟）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小明用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 … y … b ﹣2 a 2 … 下列五个结论： ①； ②此函数的图象关于原点中心对称； ③当﹣1＜x＜1时，y随x增大而减小； ④在第一象限的函数的图象，当x＝1时，函数y有最小值为2； ⑤当时，则或x＞3． 其中正确的结论是 　 　 （只填写正确的序号）． 40．（2024秋•市中区期中）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．如图的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论： ①体育场离该同学家2.5千米； ②该同学在体育场锻炼了15分钟； ③该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍； ④若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75． 其中正确的说法是　 　 ． （把你认为正确结论的序号都填上） 41．（2023春•新安县期末）龟兔赛跑中兔子在输掉比赛后，后悔不已，决定跟乌龟再比一场．它们商定：从A地跑或游到B地，其中兔子从A地出发翻过一座山后到达B地，乌龟从A地下水游到B地．由于赛道不同，它们的比赛距离也不一样，最后同时到达B地．请根据提供的比赛图象信息，判断下列说法中正确的是 　 　 ．（只填序号） ①兔子在上山过程中休息6min后，乌龟游过的路程刚好与兔子跑过的路程相同； ②乌龟在水中游动的速度是30km/h； ③兔子下山的速度比上山休息后的速度快10km/h； ④这场比赛，如果兔子在上山过程中少休息一会儿，它就能赢． 42．（2025•西安校级四模）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数，当输入不同的x值时，将输出对应的y值． （1）当输入x的值分别为﹣3和2时，输出的y值分别是多少？ （2）下列图象中，可以是“函数求值机”中函数对应图象的是　 　 .（填写‘A’、‘B’、‘C’或‘D’） （3）求要使输出结果为2，应输入的x值． 43．（2024春•定边县期末）陕西自然博物馆是国家二级博物馆，荣获全国科普教育基地等多项荣誉称号．自建馆以来，吸引了大量市民参观．周六上午9：00，乐乐和家人一起驾车从家出发去陕西自然博物馆，在馆内参观2h后，驾车去外婆家．在外婆家停留一段时间后，以50km/h的平均速度返回家中．如图是他们离开家的距离y（km）与离开家的时间x（h）的关系图，根据图象回答下列问题： （1）如图中的自变量和因变量分别是什么？ （2）点A表示的意义是什么？ （3）他们从家到陕西自然博物馆的平均速度是多少？ （4）他们几点返回到家中？ 44．某双休日，姐妹俩在社区公园里面荡秋千，若秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图所示，结合图象，解答下列问题： （1）指出变量h，t中的自变量、因变量，求出h的最大值和最小值相差多少； （2）当t＝5.4时，根据图象写出h的值，除此之外，并指出与之高度相同的次数； （3）请写出秋千摆动第一个来回的时间． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1（课后第1-3题） — 函数值计算、定义域求解：巩固 f(x) 符号运用，分母不为零、根号非负。 · 作业2（课后第4题） — 识图能力：根据s-t图象描述运动过程，计算速度、时间及路程。 · 作业3（课后第6-8题） — 行程问题与折线统计图：从图象中求平均速度、停留时间、距离等。 · 作业4（课后第9题） — 鞋码换算规律：寻找两个变量之间的函数关系式，培养建模意识。 · 作业5（课后第10题） — 追及问题与函数图象：利用图象交点求追上时间及距离。 · 作业6（课后第11题） — 咖啡温度冷却模型：通过数据描点拟合，分析最佳饮用时间，体会函数拟合思想。 · 作业7（综合提升） — 函数奇偶性初步（偶函数参数求解）：理解对称性，会列方程求字母系数。 ※ 复习建议 函数是初中数学的核心内容。建议每天练习一道函数图象应用题，熟练掌握解析式与图象的相互转化。注意自变量的实际意义，避免定义域错误。结合几何图形动态问题强化数形结合能力。 1．（2025春•嘉定区期末）已知f（x）＝2x﹣1，那么f（﹣1）＝ 　 　 ． 2．（2025春•浦东新区校级月考）函数的定义域是　 　 ． 3．（2025春•锦州期末）某市出租车的收费起步价为8元，即路程不超过3公里时收费8元，超过的部分每公里收费2元．若乘客乘坐出租车行驶的路程为x（x≥3）公里，乘车费为y元，则y与x之间的关系式为 　 　 ． 4．（2021秋•榆林期中）周末，小芳骑电动车到郊外游玩，她从家出发先到甲地，玩一段时间后按原速继续前往乙地，刚到达乙地，就接到家里电话，立即返回．图中x（时）表示时间，y（千米）表示小芳离家的距离．根据图中的信息，下列说法：①小芳在甲地玩了1小时；②小芳家与甲地距离10千米；③小芳从甲地出发到乙地的平均速度是20千米/时；④甲、乙两地相距30千米．其中正确的是 　 　 ．（填所有正确结论的序号） 5．（2023春•茂名期末）小光计划周六去购买学习用品，已知小光家、文具店和书店在同一条直线上．小光从家先去文具店买文具，接着去书店购买书籍，然后回家．小光离家的距离与时间之间的对应关系如图所示．回答以下问题： （1）文具店离小光家多远？小光从家到文具店用了多少时间？ （2）小光在文具店和书店分别停留了多少时间？ （3）书店离小光家多远？小光从书店回家的平均速度是多少？ 6．（2024秋•凌海市期中）节约用水是我们的美德，水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水W（L）与滴水时间t（h）的关系用可以显示水量的容器做如图1的试验，并根据试验数据绘制出如图2的函数图象，结合图象解答下列问题． （1）容器内原有水多少升？ （2）上午有几个小时水龙头关闭不严，请你计算当容器内显示水量3.5升时是上午什么时间？ 7．（2025春•石家庄期末）如图，反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂，图书馆在同一直线上． （1）小明从家到食堂用的时间是 　 　 分钟； （2）小明在食堂吃早餐用的时间是 　 　 分钟； （3）食堂到图书馆的距离是 　 　 千米； （4）小明读报用的时间是 　 　 分钟； （5）图书馆离到小明家的距离是 　 　 千米，小明从图书馆回家的平均速度是 　 　 千米/分钟． 8．如表是小丽和爸爸、妈妈所穿鞋的尺码和号码： 爸爸 妈妈 小丽 尺码 40 38 35 号码 25 24 22.5 从中你能找出鞋的尺码和号码的换算方法吗？请你写出鞋的号码x与尺码M的转换关系式． 9．（2024春•雁塔区校级期末）周末，小明坐公交车去兴庆公园游玩．他从家出发0.8小时后先到达书城，停留一段时间后继续坐公交车到兴庆公园，在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往兴庆公园．如图是他们离家的路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图象回答下列问题： （1）图中自变量是 　 　 ，因变量是 　 　 ； （2）小明在书城停留的时间为 　 　 h，小明从书城到达兴庆公园的平均速度为 　 　 km/h； （3）爸爸驾车经过多久追上小明？此时距离兴庆公园多远？ 10．（2026春•东城区校级月考）咖啡的冲泡温度对咖啡的口感和风味有显著影响，不同的咖啡豆和冲泡方法需要不同的水温，咖啡的最佳饮用温度为60℃～65℃．咖啡文化社团探究刚泡好的咖啡达到最佳饮用口感的时间．实验条件如下：实验在同一社团活动室进行，室温为25℃．某种意式浓缩咖啡用95℃的水冲泡，某种美式咖啡用85℃的水冲泡．记放置时间为x（单位：min），意式浓缩咖啡的温度为y1（单位：℃），美式咖啡的温度为y2（单位：℃）． 记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 y1 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 y2 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，完成以下内容． （1）用函数图象更直观的呈现y1与x，y2与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出y1与x的函数图象，请画出y2与x的函数图象； （2）探究活动中，美式咖啡放置时间约为　 　 min时，开始达到饮用最佳口感；（结果保留小数点后一位） （3）如果希望两种咖啡在某一时刻都处于最佳饮用温度，至多可提前　 　 min冲泡意式浓缩咖啡．（结果保留小数点后一位） 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22 函数的概念、函数的表示（优等生讲义） (2026年新教材人教版数学八年级下册) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 常量与变量的意义，能在具体情境中准确区分自变量与因变量。 · 掌握 函数的概念，能判断两个变量之间是否具有函数关系，理解唯一对应性。 · 熟练运用 函数的三种表示方法（解析式法、列表法、图象法），并能相互转化。 · 掌握 求函数自变量取值范围的方法（分母不为0，二次根式被开方数非负，实际问题实际意义）。 · 会求函数值 已知解析式或图象，能计算对应函数值，理解函数符号 f(x) 的含义。 · 能识读函数图象 从图象中获取信息（变化趋势、最值、特殊点等），解决简单实际问题。 · 体会 数形结合、模型思想在函数学习中的重要性，发展抽象能力与应用意识。 ✨ 核心思想：变量相依关系 → 函数模型 → 表示与图象 → 解决实际问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 常量与变量 · 常量： 在某一变化过程中，数值始终保持不变的量。 · 变量： 数值发生变化的量，分为自变量（主动变化的量）和因变量（随自变量变化而变化的量）。 · 如汽车以80km/h匀速行驶，速度80是常量，时间t与路程s是变量，其中时间t是自变量，路程s是因变量。 ☆ 2. 函数的概念 · 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。 · 判断函数的关键：给定一个x，是否只有唯一的y值对应（“一对多”不是函数，“一对一”或“多对一”是函数）。 · 函数记法：， 表示关于x的函数值。 ☆ 3. 函数关系式（解析式法） · 用含有自变量的代数式表示因变量的等式，如 ，。 · 建立函数关系式步骤：找等量关系 → 设自变量与因变量 → 列式并化简。 · 注意实际问题中自变量取值范围往往受到实际情境限制。 ☆ 4. 函数自变量的取值范围 · 整式型： 全体实数，如 ，x取任意实数。 · 分式型： 分母 ≠ 0，如 ，则 。 · 二次根式型： 被开方数 ≥ 0，如 ，则 。 · 复合型： 同时满足分母不为零且根号下非负，取公共部分。 · 实际问题： 根据几何意义或生活实际确定范围（如时间≥0，长度正数等）。 ☆ 5. 函数值 · 对于自变量x的一个确定值，代入函数关系式所得y的值叫做函数值，记作 。 · 已知函数图象，也可通过图象找出对应点的纵坐标得到函数值。 ☆ 6. 函数的表示方法 · 解析式法： 准确反映整个变化规律，但有些函数关系不易写出解析式。 · 列表法： 直观、具体，但自变量取值有限，不能完全反映函数全貌。 · 图象法： 直观表示变化趋势，但获取精确值较困难。画图象步骤：列表 → 描点 → 连线。 ☆ 7. 函数图象的初步应用 · 从图象中读取信息：增减性（上升/下降）、最值、交点、对称性等。 · 能根据图象判断两个变量之间的关系是否符合函数定义（用垂直于x轴的直线检验，最多一个交点）。 · 利用图象解决实际问题（行程问题、蓄水问题、温度变化等）。 ☆ 知识总结表（核心要点） 类别 核心内容 关键注意事项/易错点 常量与变量 常量数值不变，变量数值变化；自变量主动变化，因变量随之变化 同一个量在不同过程中可能是常量也可能是变量 函数定义 对于每一个x，y有唯一确定的值与之对应 “唯一性”是核心，垂线法检验图象是否为函数图象 函数关系式 用等式表示y与x的依赖关系 先找等量关系，注意化简 自变量取值范围 分母≠0，根号内≥0，实际背景约束 必须使解析式有意义且符合实际，结果写成区间或不等式 函数值 代入法计算，或从图象中读取 对应关系要准确，注意符号 表示方法 解析法、列表法、图象法 三种方法各有优劣，常结合使用 函数图象 描点法画图，图象反映变化趋势 注意自变量顺序，连线平滑，真实反映变量关系 核心考点 ·6大考点精讲 【考点1】常量与变量（对应题1-3、题6-9） ❤ 方法总结 · 在问题情境中找出变化的量和不变的量。自变量是引起变化的量，因变量随自变量变化。 · 区分常量与变量时，注意数值是否发生变化。如“单价6元/千克”，单价是常量，数量和金额是变量。 · 用字母表示变量关系后，等号左边的量通常为因变量（函数），右边为自变量表达式。 1．（2025春•茂名期末）汽车以80km/h的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是（　　） A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间 【答案】D 【分析】根据自变量和因变量的意义，即可解答． 【解答】解：汽车以80km/h的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是时间， 故选：D． 【点评】本题考查了常量与变量，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 2．（2024春•高平市月考）某校八年级（4）班用150元购买了某品牌乒乓球y个，该品牌乒乓球的单价是x元/个，其函数关系式为，在这个问题中，变量是（　　） A．150，x B．150，y C．x，y D．，y 【答案】C 【分析】根据题目中的数量关系与自变量、因变量的定义即可求解． 【解答】解：函数关系式为，在这个问题中，变量是x，y． 故选：C． 【点评】本题考查函数的常量与变量，掌握自变量、常量的定义是关键． 3．（2025春•威海期末）嘉琪去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（　　） 30金额/元 5数量/千克 6单价（元/千克） A．数量 B．单价 C．金额 D．数量和金额 【答案】D 【分析】根据变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量逐个判断即可得到答案．在购买橙子的过程中，单价是固定不变的，而购买的数量和对应的金额会发生变化，因此变量是数量和金额． 【解答】解：当购买橙子的数量变化时，金额会随之改变（金额＝单价×数量）． 因此，变量是数量和金额， 故选：D． 【点评】本题考查变量与常量的概念，熟练掌握该知识点是关键． 4．在一个变化过程中，数值　发生变化　 的量，叫做变量． 【答案】发生变化． 【分析】根据变量的定义，可得答案． 【解答】解：在一个变化过程中，数值发生变化的量，叫做变量． 故答案为：发生变化． 【点评】本题考查了常量与变量，变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量，在某个变化过程中，数值保持不变的量，叫做常量． 5．（2022春•修水县期末）对于关系式y＝3x+5，有下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④y与x的关系还可以用列表法和图象法表示．其中正确的说法是 　①②④　 （填序号）． 【答案】①②④． 【分析】根据一次函数的定义可知，x为自变量，y为函数，也叫因变量；x取全体实数；y随x的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法． 【解答】解：①x是自变量，y是因变量；正确； ②x的数值可以任意选择；正确； ③y是变量，它的值与x无关；而y随x的变化而变化；错误； ④y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了一次函数的因变量和自变量，是基础知识，比较简单． 6．（2025春•新城区期末）“随着气温上升，雪糕的销量开始上涨．”在这个情境中，自变量是　气温　 ． 【答案】气温． 【分析】在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于在某一范围内的每一个确定的x值，都有唯一确定的y值与它对应，那么就称y是x的函数，其中x叫做自变量，y叫做因变量． 【解答】解：销量随着气温的上升而上涨，在这个情境中， 故自变量为气温． 故答案为：气温． 【点评】本题考查函数的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 7．（2023秋•同步）某家电商城将原定价每台4850元的A品牌空调按九折降价销售，降价后这个商城每天销售A品牌空调x台，总收入y元，试把y用关于x的代数式表示出来，在这个问题中，哪些量是变量？哪些量是常量？ 【答案】y＝4365x.4365是常量，y、x是变量． 【分析】根据收入＝数量×单价可得函数关系式，再根据常量与变量的定义可得答案． 【解答】解：根据题意可得：y＝4850×0.9x＝4365x．其中4365是常量，y、x是变量． 【点评】本题考查了常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量． 8．（2025秋•同步）指出下列关系中的变量与常量： （1）球的表面积Scm2与球半径Rcm之间的关系为：S＝4πR2； （2）在一定温度范围内，某种金属棒的长度lcm与温度t℃之间的关系为：l＝0.002t+200． 【答案】（1）常量是4π，变量是S，R； （2）常量是0.002，200，变量是l，t 【分析】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可直接得到答案． 【解答】解：（1）球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式是S＝4πR2，其中，常量是4π，变量是S，R； （2）在一定温度范围内，某种金属棒的长度lcm与温度t℃之间的关系为：l＝0.002t+200，常量是0.002，200，变量是l，t 【点评】本题考查了常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量． 9．（2022•武穴市校级开学）某贮水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的，某日从凌晨4时到8时只进水不出水；8时到12时既进水又出水；14时至次日凌晨0时只出水不进水．如图为贮水量与时间的关系图，看图回答下列问题： （1）一天中水量在增加的时间共 　8　 小时； （2）每小时进水量是出水量的 　2　 倍； （3）根据此图，到次日凌晨0时的时候，塔中的水量为多少立方米？ 【答案】（1）8； （2）2； （3）10． 【分析】（1）根据图象可直接求解； （2）首先看只进水，根据进水量÷进水时间，可求每小时得进水量；再看8点到12点进水又出水，求每小时得进水量，进而可求解倍数； 总共进了10立方米，也就是说每小时出水是2.5立方米． （3）已知14点到次日凌晨只出水不进水，根据总水量﹣出水量列式计算可求解． 【解答】解：（1）一天中水量在增加的时间共：12﹣4＝8（小时）， 故答案为：8； （2）∵凌晨4点到早8点只进水，水量从5立方米上升到25立方米， ∴（25﹣5）÷（8﹣4）＝5（立方米/时）， ∴每小时的进水量为5立方米． ∵早8点到12点既进水又出水，水量从25立方米上升到35立方米， ∴（25﹣5）÷（8﹣4）＝5（立方米/时）， ∴每小时的出水量为：[（25﹣5）﹣（35﹣25）]÷（12﹣8）＝2.5立方米． ∴5÷2.5＝2， 即每小时进水量是出水量的2倍， 故答案为：2； （3）35﹣（24﹣14）×2.5＝35﹣25＝10（立方米）， 故到次日凌晨0时的时候，塔中的水量为10立方米． 【点评】本题主要考查变量之间的关系，读懂图象中提供的信息是解题的关键． 【考点2】函数的概念与判断（对应题10-16，尤其偶函数概念） ❤ 方法总结 · 给定一个x是否只有唯一的y：可以借助垂直x轴的直线与图象交点个数判断。 · 表格法：观察同一个x是否对应两个不同的y；若有，则不是函数。 · 注意： 中y不是x的函数（因为一个x对应两个y值）。 10．（2025春•美兰区校级期中）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义，在自变量x的取值范围内，有且只有一个y值，从图象上看就是在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，看这条直线于图象的交点情况即可判断． 【解答】解：从图象上看就是在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，看这条直线于图象的交点情况可得： 对于C选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示y是x的函数； 而A、B、D三个选项中的图象，与图象有两个或多个交点，从而不能表示y是x的函数； 故选：C． 【点评】本题考查函数的概念，正确记忆相关知识点是解题关键． 11．（2022春•龙马潭区期末）如图所反映的两个量中，其中y是x的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，进行判断即可． 【解答】解：由函数的定义可知，A中图象满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，符合要求； 故选：A． 【点评】本题考查了函数的定义，熟练掌握函数的定义是解题的关键． 12．y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2，f（﹣x）＝x2，所以f（x）＝x2是偶函数，而，，所以是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝　5　 ． 【答案】5． 【分析】由f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，可得ax2+（a﹣5）x+1＝a（﹣x）2+（a﹣5）（﹣x）+1，解得a＝5． 【解答】解：∵f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数， 根据偶函数的定义，对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x）， ∴ax2+（a﹣5）x+1＝a（﹣x）2+（a﹣5）（﹣x）+1， 整理，得2（a﹣5）x＝0， 可知2（a﹣5）＝0， 解得a＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了新定义：偶函数和奇函数，解题关键是正确理解题意并列式求解． 13．函数y＝x﹣1是 　反比例　 函数，其一般式为 y（k≠0）　 ． 【答案】反比例，y（k≠0）． 【分析】形如y（k≠0）的函数，叫反比例函数，由此即可得到答案． 【解答】解：函数y＝x﹣1是反比例函数，其一般式y（k≠0）． 故答案为：反比例，y（k≠0）． 【点评】本题考查函数的概念，关键是掌握反比例函数的定义． 14．下列说法正确的有 　①②　 ． ①速度一定时，路程是时间的函数； ②y＝2|x|中，y是x的函数； ③y2＝x中，y是x的函数． 【答案】①②． 【分析】根据函数的定义逐个判断即可． 【解答】解：速度一定时，对于时间所取的每一个确定的值，路程都有唯一确定的值与其对应， 那么路程是时间的函数，则①符合题意； y＝2|x|中，对于给定的每一个x的值，y都有唯一确定的值与其对应， 那么y是x的函数，则②符合题意； y2＝x中，对于x＞0的每一个确定的值，y都有两个值与其对应， 那么y不是x的函数，则③不符合题意； 故答案为：①②． 【点评】本题考查函数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 15．（2023•庆云县模拟）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 　①②③　 ．（填序号即可） ①圆的周长C是半径r的函数； ②表达式y中，y是x的函数； ③如表中，n是m的函数； m ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 n ﹣2 ﹣3 ﹣6 6 3 2 ④如图中，曲线表示y是x的函数． 【答案】①②③． 【分析】根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【解答】解：①C＝2πr，圆的周长C是半径r的函数，故①正确； ②表达式y中，y是x的函数，故②正确； ③如表中，n是m的函数，故③正确； m ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 n ﹣2 ﹣3 ﹣6 6 3 2 ④如图中，对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故④不正确； 所以，上列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是①②③， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 16．（2023春•邢台期中）某电动车厂2022年各月份生产电动车的数量情况如下表： 时间x/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月产量y/万辆 8 8.5 9 10 11 12 10 9.5 9 10 10 10.5 （1）在上述过程中，指出自变量和关于自变量的函数； （2）哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？ 【答案】（1）x，y； （2）最高的是6月份，最低的是1月份． 【分析】（1）根据函数的定义，可得答案； （2）根据有理数的大小比较，可得答案． 【解答】解：（1）自变量是时间x，自变量的函数是月产量y． （2）由表格得，6月份电动车的产量最高，1月份电动车的产量最低． 【点评】本题主要考查变量与常量，熟练掌握自变量与函数的定义是解决本题的关键． 【考点3】函数关系式的建立（对应题17-24） ❤ 方法总结 · 根据几何公式（如圆柱体积V=Sh、正方形周长C=4a）、行程公式、价格问题等列函数式。 · 注意将题目中的文字语言翻译成数学等式，明确自变量与因变量。 · 当图形中的线段长度随运动变化时，利用相似或面积关系建立函数关系（如动点问题）。 17．（2025秋•曾都区期末）如图，圆柱形容器内部的底面积用x（单位：cm2）表示，往这个容器中注入500cm3的水，水的高度用y（单位：cm）表示，用式子表示x与y的关系为xy＝500（或或均可）　 ． 【答案】xy＝500． 【分析】根据容器内水的体积等于容器的底面积乘以水的高度列出对应的函数关系式即可． 【解答】解：∵容器内水的体积等于容器的底面积乘以水的高度， ∴xy＝500， 即x与y的关系为xy＝500． 故答案为：xy＝500． 【点评】本题主要考查了函数关系式，认识立体图形，几何体的表面积，关键是相关知识的熟练掌握． 18．（2025秋•嘉兴期末）正方形的周长C与边长a之间的关系为C＝4a，则常量为　4　 ． 【答案】4． 【分析】在关系式C＝4a中，4是固定不变的常数，C与a是变量，因此常量为4． 【解答】解：根据题意可知，在关系式C＝4a中，4是常数，C与a是变量． 故答案为：4． 【点评】本题考查了函数关系式，变量和常量，掌握在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量是关键． 19．（2023春•坪山区期末）某景区在端午节期间，门票售价为每人100元，设节日期间共接待游客x人，门票的总收入为y（元），则y与x之间的关系可表示为 y＝100x ． 【答案】y＝100x． 【分析】根据门票的总收入＝门票的价格×游客人数，从而得到x与y之间的关系式． 【解答】解：∵门票的总收入＝门票的价格×游客人数，门票售价为每人100元，共接待游客x人， ∴门票的总收入为y＝100x． 故答案为：y＝100x． 【点评】本题考查函数关系式的实际应用．根据题意写函数关系式是函数部分的基本要求，一定要掌握． 20．（2025秋•文登区期末）下表中y与x满足某种函数关系，其函数表达式为y＝﹣2x2+2x+4　 ． x … ﹣1 0 2 3 … y … 0 4 0 ﹣8 … 【答案】y＝﹣2x2+2x+4． 【分析】先观察表格内，根据表中y与x的数据设函数关系式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），将表中（﹣1，0）、（2，0）、（0，4）代入函数关系式求解即可． 【解答】解：设函数关系式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）， 将表中（﹣1，0）、（2，0）、（0，4）代入函数关系式，得： ， 解得：， ∴y＝﹣2x2+2x+4． 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，能够从表格中选取合适的点代入求解是解题的关键． 21．（2025秋•宝安区校级月考）如图，在△ABC中，BC＝12，高AD＝8．线段BC所在的直线l以每秒2个单位长度的速度沿其垂直的方向平行移动，与边AB、AC分别相交于点E、F，记x（0＜x＜4）秒时，EF的长度为y，则y与x的函数关系为y＝﹣3x+12（0＜x＜4）　 ，且当x＝2时，△AEF的面积为　12　 ． 【答案】y＝﹣3x+12（0＜x＜4）；12． 【分析】设直线l与AD交于点G，则AG⊥EF，证明△AEF∽△ABC，得到，列出函数关系式，求出x＝2时，EF和AG的长，利用面积公式求出△AEF的面积即可． 【解答】解：设直线l与AD交于点G， 由题意，EF∥BC，AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC， ∴AD⊥EF， 由条件可知DG＝2x， ∴AG＝AD﹣DG＝8﹣2x， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴y＝﹣3x+12（0＜x＜4）， 当x＝2时，y＝﹣3×2+12＝6，AG＝8﹣2×2＝4， ∴△AEF的面积为． 故答案为：y＝﹣3x+12（0＜x＜4）；12． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是关键． 22．（2024春•莘县校级期末）观察如图图形及表格： 梯形个数n 1 2 3 4 5 6 … 周长l … 则周长l与梯形个数n之间的关系式为 l＝4n+1　 ． 【答案】l＝4n+1． 【分析】观察可得当梯形的个数为1个时，图形周长为5；当梯形的个数为2个时，图形周长为5+（2﹣1）×4；当梯形的个数为3个时，图形周长为5+（3﹣1）×4；即可得出当梯形个数为10个时，图形周长为5+（10﹣1）×4，当梯形个数为n个时，图形周长为5+（n﹣1）×4． 【解答】解：当梯形的个数为1个时，图形周长为5； 当梯形的个数为2个时，图形周长为5+（2﹣1）×4； 当梯形的个数为3个时，图形周长为5+（3﹣1）×4； …， 当梯形个数为n个时，图形周长为5+（n﹣1）×4＝4n+1． 故答案为：l＝4n+1． 【点评】此题考查了图形的变化类，解题的关键是通过观察，归纳、总结得出图形的周长与梯形的个数之间的关系． 23．（2023春•秦都区校级期中）如图，长方形ABCD中，BC＝8，CD＝5，点E为边AD上一动点，连接CE，随着点E的运动，四边形ABCE的面积也发生变化，设AE＝x（0＜x＜8），四边形ABCE的面积为y． （1）DE的长为 　8﹣x ；△CDE的面积为 　　 ；（用含x的代数式表示） （2）写出y与x之间的关系式； （3）当四边形ABCE的面积为35时，求DE的长． 【答案】（1）8﹣x，； （2）； （3）2． 【分析】（1）根据长方形的性质及三角形的面积公式解答即可； （2）根据梯形面积公式计算即可； （3）将y＝35代入（2）中的函数关系式求值即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为长方形， ∴AD＝BC＝8，∠A＝∠B＝∠D＝90°，AB＝CD＝5，AD∥BC， ∵AE＝x， ∴DE＝AD﹣AE＝8﹣x， ∴△CDE的面积为， 故答案为：8﹣x，； （2）∵∠A＝∠B＝90°，AD∥BC， ∴四边形ABCE是直角梯形， ∴y； （3）令y＝35， 则， 解得x＝6， ∴DE＝8﹣x＝2． 【点评】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，函数关系式，熟练掌握函数关系式的求法是解题的关键． 24．（2024春•铁西区期中）一辆汽车油箱现有汽油50L，已知该车平均耗油量为0.1L/km，油箱中的存油量为y（单位：L），行驶里程为x（单位：km），y随着x的变化而变化． （1）写出表示y与x的函数关系的式子； （2）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？ （3）当油箱中汽油还剩5L时，汽车仪表盘会出现黄灯，提示车主尽快加油．求黄灯亮后多少km范围内汽车必须加油． 【答案】（1）y＝50﹣0.1x； （2）30L； （3）50km． 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）把x＝200代入（1）中的函数解析式计算即可求解； （3）用5除以0.1即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得，y＝50﹣0.1x； （2）把x＝200代入y＝50﹣0.1x得， y＝50﹣0.1×200＝30， ∴油箱中还有30L汽油； （3）5÷0.1＝50（km）， 答：黄灯亮后50km范围内汽车必须加油． 【点评】本题考查了一次函数的应用，根据题意，正确求出函数解析式是解题的关键． 【考点4】函数自变量的取值范围（对应题25-31） ❤ 方法总结 · 分式型：分母不为零；二次根式型：被开方数≥0；零指数幂底数不为0。 · 复合函数取各部分条件的交集；实际问题还需保证符合实际意义（如边长>0，时间≥0等）。 · 取值范围结果一般写成不等式或区间，如或。 25．（2025•玉溪一模）函数中，自变量x的取值范围为（　　） A．x≠2 B．x≤2 C．x≥0且x≠2 D．x＞2 【答案】D 【分析】根据分式的分母不等于0得到x﹣2≠0，根据二次根式的被开方数大于等于0得到x﹣2≥0，求解即可． 【解答】解：根据分式的分母不等于0得到x﹣2≠0，根据二次根式的被开方数大于等于0得到x﹣2≥0， ∴， 解得：x＞2， 故选：D． 【点评】本题考查分式有意义的条件，二次根式被开方数的非负性，正确理解代数式的形式列式计算是解题的关键． 26．（2024秋•余姚市期末）函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．x＜5 C．x≥5 D．x≠5 【答案】D 【分析】根据分式的分母不能为0即可求得答案． 【解答】解：已知函数， 则x﹣5≠0， 那么x≠5， 即自变量x的取值范围是x≠5， 故选：D． 【点评】本题考查函数自变量的取值范围，结合已知条件得出x﹣5≠0是解题的关键． 27．（2025•泸县校级二模）已知函数，则自变量x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≤2 C．x≥2 D．x＜2 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求得答案． 【解答】解：已知函数， 则﹣x+2≥0， 解得：x≤2， 故选：B． 【点评】本题考查函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 28．（2026•桐城市校级一模）函数的自变量x的取值范围是x≥﹣1且x≠4　 ． 【答案】x≥﹣1且x≠4． 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解答即可． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得： ， ∴， 故答案为：x≥﹣1且x≠4． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 29．（2025•历城区校级自主招生）函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且为奇函数，若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是 　1≤x≤3　 ． 【答案】1≤x≤3． 【分析】由奇函数的定义可得f（﹣1）＝1，再由函数的单调性解不等式可得所求取值范围． 【解答】解：函数f（x）在R上为奇函数，f（1）＝﹣1， 则f（﹣1）＝﹣f（1）＝1， ∵﹣1≤f（x﹣2）≤1， ∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1）， 由f（x）在R上单调递减， 可得﹣1≤x﹣2≤1， 解得1≤x≤3． 故答案为：1≤x≤3． 【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题． 30．（2020秋•泉州月考）阅读理解：小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x取值范围是 　﹣1≤x≤2　 ，最小值是 　3　 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单．” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题： （1）|3+1|+|3﹣2|＝　5　 ； （2）若x＜2，则|x﹣2|就化简为 　2﹣x ； （3）解决问题： ①当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|取最小值时，相应x＝　4　 ，最小值是 　4　 ； ②已知y＝|2x+8|﹣|4x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值，写出解答过程． 【答案】阅读理解：﹣1≤x≤2，3； （1）5； （2）2﹣x； （3）①4，4； ②时，y有最大值y＝7． 【分析】阅读理解：根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案； （1）直接去绝对值即可； （2）根据x＜2，去绝对值即可； （3）①根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案； ②根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． 【解答】解：阅读理解：当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x取值范围是﹣1≤x≤2，最小值是3， 故答案为：﹣1≤x≤2，3； （1）|3+1|+|3﹣2|＝4+1＝5， 故答案为5； （2）∵x＜2， ∴x﹣2＜0， ∴|x﹣2|＝2﹣x， 故答案为：2﹣x； （3）①当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|取最小值时，相应的x＝4，最小值是4； 故答案为4，4； ②当时y＝﹣2x+6，当时，y最大＝7； 当时，y＝6x+10，当时，y最大＝7； 当x≤﹣4，时y＝2x﹣6，当x＝﹣4时，y最大＝﹣14， 所以时，y有最大值y＝7． 【点评】本题考查了绝对值以及数轴的应用，熟练掌握绝对值的定义，数轴以及分类讨论是解题关键． 31．（2023秋•同步）求下列函数中自变量x的取值范围： （1）y＝（1﹣x）（1﹣2x）； （2）y； （3）y． 【答案】（1）全体实数； （2）全体实数； （3）3≤x≤5． 【分析】（1）根据整式的定义解答； （2）根据4x2﹣4x+2＝（2x﹣1）2+1≠0，即可得到答案； （3）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【解答】解：（1）y＝（1﹣x）（1﹣2x）中，自变量x的取值范围是全体实数； （2）∵4x2﹣4x+2＝（2x﹣1）2+1≠0， ∴自变量x的取值范围是全体实数； （3）由题意得：， 解得：3≤x≤5． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握函数自变量取值范围的计算方法是关键． 【考点5】函数值的计算（对应题32-37） ❤ 方法总结 · 已知解析式，直接把自变量的值代入计算，注意运算顺序。 · 已知分段函数，要根据x的范围选择正确的对应关系。 · 已知函数图象求函数值，过该点作x轴垂线，与图象交点的纵坐标即为函数值。 32．（2026•南京一模）变量y与x之间的关系式是，当自变量x＝2时，因变量y的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 【答案】C 【分析】直接把x＝2代入中进行求解即可． 【解答】解：在中，当x＝2时，， 故选：C． 【点评】本题考查了函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键． 33．（2024秋•右玉县期中）当x＝1时，y＝2x2﹣1的函数值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】把x＝1代入函数解析式进行计算即可得解． 【解答】解：当x＝1时，函数值为y＝2×12﹣1＝1， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键． 34．（2023秋•陵城区期末）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①当x＜﹣1时，x越小，函数值越小； ②当﹣1＜x＜0时，x越大，函数值越小； ③当0＜x＜1时，x越小，函数值越大； ④当x＞1时，x越大，函数值越大． 其中正确的是（　　）（只填写序号） A．②③④ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】画出函数的图象，根据大致图象判断①②③④即可． 【解答】解：函数的大致图象如下： ①当x＜﹣1时，x越小，函数值越大，错误； ②当﹣1＜x＜0时，x越大，函数值越小，正确； ③当0＜x＜1时，x越小，函数值越大，正确； ④当x＞1时，x越大，函数值越大．正确． 故选：A． 【点评】本题考查了函数图象及性质，数形结合是解答本题的关键． 35．（2024秋•绥化月考）已知函数，那么f（8）＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】把x＝8代入函数解析式，化简求值． 【解答】解：当x＝8时，， 故答案为：1． 【点评】此题考查了求函数值；（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． 36．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为﹣1和5时，输出的y的值相等，则b等于　4　 ． 【答案】4． 【分析】把x＝﹣1与x＝5代入程序中计算，根据y值相等即可求出b的值． 【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣3+b， 当x＝5时，y＝6﹣5＝1， 由题意得：﹣3+b＝1， 解得b＝4． 故答案为：4． 【点评】此题考查了函数值，弄清程序中的关系式是解本题的关键． 37．（2024秋•青浦区校级期末）已知，那么f（﹣1）＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】将自变量x＝﹣1代入函数关系式进行计算即可． 【解答】解：f（﹣1）1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键． 【考点6】函数图象的识别与应用（对应题38-44，课后练习图象题） ❤ 方法总结 · 识图要点：横轴、纵轴分别表示什么；图象升降表示函数增减；水平线表示函数值不变；交点表示相等。 · 根据实际问题情境判断图象趋势（如“先增后稳再降”对应不同阶段）。 · 画函数图象步骤：取值（有代表性）→ 计算 → 描点 → 连线（平滑曲线）。注意定义域端点是否取到。 · 利用图象求最值、比较函数值大小，注意对称性（如在第一象限有最小值）。 38．（2026春•湖北校级月考）在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P．从点A出发沿折线ABCD移动一周，回到A点后继续周而复始，设点P移动的路程为x，如图，三角形PAC的面积为y，请结合图象分析： （1）当0≤x≤4时，y与x的函数关系式为y＝2x ； （2）当x＝2026时，y的值为　4　 ． 【答案】（1）y＝2x； （2）4． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）对点P所在的位置进行分类：①当点P在线段AB上移动；②当点P在线段BC上移动；③当点P在线段CD上移动；④当点P在线段DA上移动，得出规律即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝kx， ∵当x＝4时，y＝8， ∴4k＝8，解得：k＝2， ∴y与x的函数关系式为y＝2x； 故答案为：y＝2x； （2）①当点P在线段AB上移动时，即0≤x≤4，； ②当点P在线段BC上移动时，即4＜x≤8，； ③当点P在线段CD上移动时，8＜x≤12，； ④当点P在线段DA上移动时，12＜x≤16，； ∴点P的运动轨迹是以16为单位循环， ∵2026÷16＝126⋯⋯10， ∴当x＝10时，y＝4， ∴当x＝2026时，y的值为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了函数与图象，从图象中获取正确信息是关键． 39．（2025•东西湖区模拟）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小明用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 … y … b ﹣2 a 2 … 下列五个结论： ①； ②此函数的图象关于原点中心对称； ③当﹣1＜x＜1时，y随x增大而减小； ④在第一象限的函数的图象，当x＝1时，函数y有最小值为2； ⑤当时，则或x＞3． 其中正确的结论是 　①②④　 （只填写正确的序号）． 【答案】①②④． 【分析】画出函数图象，对选项逐一判断即可． 【解答】解：函数图象如图， 根据表格中的性质可知此函数图象关于原点中心对称， 故②正确，符合题意； 将（1，2）代入， 得2＝1+m， 解得m＝1， ∴， 当时，，即； 当，y，即b， 故①正确，符合题意； 此函数的自变量x的值不能取0，故③错误，不符合题意； 根据图象的性质可知当x＝1时，函数y有最小值为2，故④正确，符合题意； 当y时，x， 即3x2﹣10x+3＝0， 解得x或3， 根据图象，可知当或x＞3， 故⑤错误，不符合题意； 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了函数的图象和性质，掌握函数的图象和性质是解题的关键． 40．（2024秋•市中区期中）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．如图的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论： ①体育场离该同学家2.5千米； ②该同学在体育场锻炼了15分钟； ③该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍； ④若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75． 其中正确的说法是　①②④　 ． （把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②④． 【分析】根据函数的图象与坐标的关系求解． 【解答】解：①体育场离该同学家2.5千米，故①是正确的； ②该同学在体育场锻炼的时间为：30﹣15＝15分钟，故②是正确的； ③该同学跑步的平均速度：步行平均速度＝（65﹣30）÷15＞2，故③是错误的； ④若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍， ∴a÷（103﹣88）＝1.5． ∴a＝3.75，故④是正确的； 综上，正确的有：①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查了函数的图象，解题时要能借助函数的图象分析是关键． 41．（2023春•新安县期末）龟兔赛跑中兔子在输掉比赛后，后悔不已，决定跟乌龟再比一场．它们商定：从A地跑或游到B地，其中兔子从A地出发翻过一座山后到达B地，乌龟从A地下水游到B地．由于赛道不同，它们的比赛距离也不一样，最后同时到达B地．请根据提供的比赛图象信息，判断下列说法中正确的是 　①②④　 ．（只填序号） ①兔子在上山过程中休息6min后，乌龟游过的路程刚好与兔子跑过的路程相同； ②乌龟在水中游动的速度是30km/h； ③兔子下山的速度比上山休息后的速度快10km/h； ④这场比赛，如果兔子在上山过程中少休息一会儿，它就能赢． 【答案】①②④． 【分析】观察图象，横坐标是比赛用时，纵坐标是路程.0﹣24分钟内，乌龟一直匀速运动，24分钟共行进的路程为12km，0﹣6分钟，兔子一直匀速运动，第6﹣12分钟内路程不变，说明兔子在休息，12﹣18分内，兔子匀速上山，第18分后开始下山，18﹣24分钟内匀速运动，第24分到达终点B，兔子的总路程为23km．要能根据函数图象的性质对图象上的数据分析得出有用信息将问题解决． 【解答】解：根据题意可知：兔子休息6分钟后，乌龟游过的路程是6km，兔子跑过的路程是6km．故①正确； 乌龟的速度是30（千米/时），故②正确； 兔子下山的速度（千米/分）＝110（千米/时）， 休息后的速度（千米/分）＝60（千米/时）， 110﹣60＝50（千米/时）， 兔子下山的速度比上山休息后的速度快50千米/时．故③错误； 这场比赛，只要兔子在上山过程中少休息一会儿，则它到达终点B的时间就小于24分钟，兔子用的时间就比乌龟少了，它就能赢．故④正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力．熟练掌握从图象中获取信息的技能是关键． 42．（2025•西安校级四模）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数，当输入不同的x值时，将输出对应的y值． （1）当输入x的值分别为﹣3和2时，输出的y值分别是多少？ （2）下列图象中，可以是“函数求值机”中函数对应图象的是A .（填写‘A’、‘B’、‘C’或‘D’） （3）求要使输出结果为2，应输入的x值． 【答案】（1）7和； （2）A； （3）或x＝7． 【分析】（1）把x＝﹣3，x＝2分别代入“函数求值机”可得其值； （2）根据函数图象的特点，即可找出对应的图象； （3）分类讨论：①当x＜1时，﹣2x+1＝2，求出符合题意的值；②当x≥1时，，求出符合题意的值． 【解答】解：（1）x＝﹣3＜1， y＝﹣2x+1＝﹣2×（﹣3）+1＝6+1＝7； x＝2＞1， ； ∴输出的y值分别是7和； （2）当x＜1时，y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0，b＝1＞0，图象下降，交于y轴的正半轴； 当x≥1时，，，，图象上升， 且x＝1时，， 综上所述，符合对应的图象是A选项． 故答案为：A； （3）①当x＜1时，y＝﹣2x+1， 即﹣2x+1＝2，解得：， ，符合题意； ②当x≥1时，，解得：x＝7， x＝7≥1，符合题意； ∴应输入的x值为或x＝7． 【点评】本题考查了函数的图象以及函数的值，读懂“函数求值机”的示意图，并用分类讨论思想分析问题是解本题的关键． 43．（2024春•定边县期末）陕西自然博物馆是国家二级博物馆，荣获全国科普教育基地等多项荣誉称号．自建馆以来，吸引了大量市民参观．周六上午9：00，乐乐和家人一起驾车从家出发去陕西自然博物馆，在馆内参观2h后，驾车去外婆家．在外婆家停留一段时间后，以50km/h的平均速度返回家中．如图是他们离开家的距离y（km）与离开家的时间x（h）的关系图，根据图象回答下列问题： （1）如图中的自变量和因变量分别是什么？ （2）点A表示的意义是什么？ （3）他们从家到陕西自然博物馆的平均速度是多少？ （4）他们几点返回到家中？ 【答案】（1）离开家的时间x，离开家的距离y； （2）出发0.5小时后到达陕西自然博物馆； （3）40km/h； （4）17：00返回到家中． 【分析】（1）根据函数的定义解答即可； （2）根据函数图象解答即可； （3）根据“速度＝路程÷时间”可得答案； （4）根据“时间＝路程÷速度”可得答案． 【解答】解：（1）自变量是离开家的时间x，因变量是离开家的距离y； （2）点A表示的意义是出发0.5小时后到达陕西自然博物馆； （3）他们从家到陕西自然博物馆的平均速度是20÷0.5＝40（km/h）； （4）∵50÷50＝1（h）， ∴9+7+1＝17， 答：他们17：00返回到家中． 【点评】本题考查函数的图象和常量与变量，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键． 44．某双休日，姐妹俩在社区公园里面荡秋千，若秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图所示，结合图象，解答下列问题： （1）指出变量h，t中的自变量、因变量，求出h的最大值和最小值相差多少； （2）当t＝5.4时，根据图象写出h的值，除此之外，并指出与之高度相同的次数； （3）请写出秋千摆动第一个来回的时间． 【答案】（1）自变量为t；因变量为h；h最大值和最小值相差1m；（2）1m；7；（3）2.8s． 【分析】（1）根据函数的定义可得自变量、因变量；根据图象得出h最大值与最小值，然后用最大值减去最小值即可； （2）根据图象即可作答； （3）根据图象即可作答． 【解答】解：（1）由图象可知， 自变量为t，因变量为h， h最大值为1.5m， h最小值相差0.5m， 1.5﹣0.5＝1（m）， 答：h最大值和最小值相差1m． （2）当t＝5.4s时，h＝1m， 除此之外，还有7次与之高度相同． （3）秋千摆动第一个来回的时间为2.8s． 【点评】本题主要考查函数的图象，常量和变量，利用数形结合思想是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1（课后第1-3题） — 函数值计算、定义域求解：巩固 f(x) 符号运用，分母不为零、根号非负。 · 作业2（课后第4题） — 识图能力：根据s-t图象描述运动过程，计算速度、时间及路程。 · 作业3（课后第6-8题） — 行程问题与折线统计图：从图象中求平均速度、停留时间、距离等。 · 作业4（课后第9题） — 鞋码换算规律：寻找两个变量之间的函数关系式，培养建模意识。 · 作业5（课后第10题） — 追及问题与函数图象：利用图象交点求追上时间及距离。 · 作业6（课后第11题） — 咖啡温度冷却模型：通过数据描点拟合，分析最佳饮用时间，体会函数拟合思想。 · 作业7（综合提升） — 函数奇偶性初步（偶函数参数求解）：理解对称性，会列方程求字母系数。 ※ 复习建议 函数是初中数学的核心内容。建议每天练习一道函数图象应用题，熟练掌握解析式与图象的相互转化。注意自变量的实际意义，避免定义域错误。结合几何图形动态问题强化数形结合能力。 1．（2025春•嘉定区期末）已知f（x）＝2x﹣1，那么f（﹣1）＝ 　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【分析】将x＝﹣1代入函数的解析式求解即可得． 【解答】解：由条件可知f（﹣1）＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了求函数值，熟练掌握函数值的求解方法是解题关键． 2．（2025春•浦东新区校级月考）函数的定义域是　　 ． 【答案】． 【分析】分别根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件即可求出x的取值范围． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件可得， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了函数的定义域，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（2025春•锦州期末）某市出租车的收费起步价为8元，即路程不超过3公里时收费8元，超过的部分每公里收费2元．若乘客乘坐出租车行驶的路程为x（x≥3）公里，乘车费为y元，则y与x之间的关系式为 y＝2x+2（x≥3）　 ． 【答案】y＝2x+2． 【分析】先确定乘车费由起步价和超过3公里部分的费用组成，分别表示出这两部分费用，再相加得到函数关系式． 【解答】解：根据题意可知，超过3公里的部分为：（x﹣3）公里，费用为：2（x﹣3）元， ∵总乘车费y＝起步价+超过3公里部分的费用， ∴y＝8+2（x﹣3）＝2x+2． 故答案为：y＝2x+2（x≥3）． 【点评】本题主要考查了函数关系式，掌握根据实际问题中的数量关系列函数关系式是解题的关键． 4．（2021秋•榆林期中）周末，小芳骑电动车到郊外游玩，她从家出发先到甲地，玩一段时间后按原速继续前往乙地，刚到达乙地，就接到家里电话，立即返回．图中x（时）表示时间，y（千米）表示小芳离家的距离．根据图中的信息，下列说法：①小芳在甲地玩了1小时；②小芳家与甲地距离10千米；③小芳从甲地出发到乙地的平均速度是20千米/时；④甲、乙两地相距30千米．其中正确的是 　①②③　 ．（填所有正确结论的序号） 【答案】①②③． 【分析】根据函数图象中的数据逐项判断即可． 【解答】解：①小芳在甲地玩了1.5﹣0.5＝1（小时），此选项正确； ②小芳家与甲地距离10千米，此选项正确； ③小芳从甲地出发到乙地的平均速度是（30﹣10）÷（2.5﹣1.5）＝20（千米/时），此选项正确； ④甲、乙两地相距30﹣10＝20（千米），此选项错误， 故选：①②③． 【点评】本题考查从函数的图象获取信息，读懂题意，能从图象中获取有效信息是解答的关键． 5．（2023春•茂名期末）小光计划周六去购买学习用品，已知小光家、文具店和书店在同一条直线上．小光从家先去文具店买文具，接着去书店购买书籍，然后回家．小光离家的距离与时间之间的对应关系如图所示．回答以下问题： （1）文具店离小光家多远？小光从家到文具店用了多少时间？ （2）小光在文具店和书店分别停留了多少时间？ （3）书店离小光家多远？小光从书店回家的平均速度是多少？ 【答案】（1）0.6km，8min； （2）17min和30min； （3）0.8km，． 【分析】（1）根据小光离家的距离与时间之间的对应关系图知道文具店离小光家的路程和小光从家到文具店用的时间，然后进行作答即可； （2）根据小光离家的距离与时间之间的对应关系图，计算25﹣8和58﹣28进行作答即可； （3）根据小光离家的距离与时间之间的对应关系图知道书店离小光家的路程和从书店回家的时间，运用平均速度＝路程÷时间作答即可． 【解答】解：（1）由题意得，根据小光离家的距离与时间之间的对应关系图， 由纵轴可知，文具店离小光家0.6km， 由横轴可知，小光从家到文具店用了8min； （2）由题意得，根据小光离家的距离与时间之间的对应关系图， 小光在文具店停留的时间是25﹣8＝17（min）， 小光在书店停留的时间是58﹣28＝30（min）， 所以小光在文具店和书店分别停留了17min和30min； （3）由题意得，根据小光离家的距离与时间之间的对应关系图， 由纵轴可知，书店离小光家0.8km＝800m， 由横轴可知，小光从书店回家的时间是68﹣58＝10（min）＝600（s）， 小光从书店回家的平均速度是， 所以书店离小光家0.8km，小光从书店回家的平均速度是． 【点评】本题主要考查的是对图象的纵轴以及横轴的意义理解，掌握本题的图象纵轴以及横轴的意义是解题的关键． 6．（2024秋•凌海市期中）节约用水是我们的美德，水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水W（L）与滴水时间t（h）的关系用可以显示水量的容器做如图1的试验，并根据试验数据绘制出如图2的函数图象，结合图象解答下列问题． （1）容器内原有水多少升？ （2）上午有几个小时水龙头关闭不严，请你计算当容器内显示水量3.5升时是上午什么时间？ 【答案】（1）容器内原有水0.5升；（2）上午有3个小时水龙头关闭不严，当容器内显示水量3.5升时是上午10：30． 【分析】（1）根据函数的图象t＝0时，w＝0.5即可求解； （2）根据图象计算出流水速度，再列式0.5+1×n＝3.5，解出方程，即可作答． 【解答】解：（1）由条件可知：容器内原有水0.5升． （2）（2.0﹣0.5）÷1.5＝1（L/h）， 设上午有n个小时水龙头关闭不严，导致容器内显示水量3.5升， ∴0.5+1×n＝3.5， 则n＝3， ∵开始时间是上午7：30， ∴经过3小时应该是上午10：30． ∴上午有3个小时水龙头关闭不严，当容器内显示水量3.5升时是上午10：30． 【点评】本题考查了一元一次方程，函数的图象，能从图象中获取信息是解题的关键． 7．（2025春•石家庄期末）如图，反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂，图书馆在同一直线上． （1）小明从家到食堂用的时间是 　8　 分钟； （2）小明在食堂吃早餐用的时间是 　17　 分钟； （3）食堂到图书馆的距离是 　0.2　 千米； （4）小明读报用的时间是 　30　 分钟； （5）图书馆离到小明家的距离是 　0.8　 千米，小明从图书馆回家的平均速度是 　0.08　 千米/分钟． 【答案】（1）8； （2）17； （3）0.2； （4）30； （5）0.8，0.08． 【分析】根据观察图象，可得从家到食堂，食堂到图书馆的距离，从食堂到图书馆的时间，根据路程与时间的关系，可得答案． 【解答】解：（1）由横坐标看出：小明从家到食堂用的时间是8分钟， 故答案为：8； （2）由横坐标看出：小明在食堂吃早餐用的时间是25﹣8＝17（分钟）， 故答案为：17； （3）食堂到图书馆的距离是0.8﹣0.6＝0.2（千米）， 故答案为：0.2； （4）小明读报用的时间为：58﹣28310（分钟）， 故答案为：30； （5）图书馆离到小明家的距离是0.8千米，小明从图书馆回家的平均速度：0.8÷（68﹣58）＝0.08（km/min）， 故答案为：0.8，0.08． 【点评】本题考查了函数的图象，观察图象，获取信息是解题关键． 8．如表是小丽和爸爸、妈妈所穿鞋的尺码和号码： 爸爸 妈妈 小丽 尺码 40 38 35 号码 25 24 22.5 从中你能找出鞋的尺码和号码的换算方法吗？请你写出鞋的号码x与尺码M的转换关系式． 【答案】M＝2x﹣10． 【分析】根据表格中数据的变化规律，找到两个变量之间的关系即可． 【解答】解：∵25×2﹣10＝40，24×2﹣10＝38，22.5×2﹣10＝35， ∴尺码＝号码×2﹣10，即M＝2x﹣10， ∴鞋的号码x与尺码M的转换关系式为M＝2x﹣10． 【点评】本题考查函数关系式，根据所给数据的变化规律写出变量之间的函数关系式是本题的关键． 9．（2024春•雁塔区校级期末）周末，小明坐公交车去兴庆公园游玩．他从家出发0.8小时后先到达书城，停留一段时间后继续坐公交车到兴庆公园，在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往兴庆公园．如图是他们离家的路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图象回答下列问题： （1）图中自变量是 　小明离家时间　 ，因变量是 　离家的路程　 ； （2）小明在书城停留的时间为 　1.7　 h，小明从书城到达兴庆公园的平均速度为 　12　 km/h； （3）爸爸驾车经过多久追上小明？此时距离兴庆公园多远？ 【答案】（1）小明离家的时间，离家的路程； （2）1.7，12； （3）爸爸驾车经过小时追上小明，此时距离兴庆公园10km． 【分析】（1）根据图象和函数的定义进行判断，即可得出自变量与因变量； （2）根据图象中数据进行计算，即可得到时间、平均速度； （3）根据相应的路程除以时间，即可得出两人速度，再根据追及问题关系式即可解答． 【解答】解：（1）由图象可得，自变量是小明离家的时间，因变量是他们离家的路程． 故答案为：小明离家的时间，离家的路程； （2）由图象可得，小明在书城逗留的时间为2.5﹣0.8＝1.7（h），小明从家出发到达兴庆公园的平均速度为：（30﹣12）÷（4﹣2.5）＝12（km/h）． 故答案为：1.7，12； （3）由图象可得，小明从书城到公园的平均速度为12（km/h）， 小明爸爸驾车的平均速度为30（km/h）， 爸爸驾车经过（h）追上小明， 10（km）； 即爸爸驾车经过小时追上小明，此时距离兴庆公园10km． 【点评】本题考查了函数的图象以及常量与变量，解题关键是正确理解清楚函数图象的意义． 10．（2026春•东城区校级月考）咖啡的冲泡温度对咖啡的口感和风味有显著影响，不同的咖啡豆和冲泡方法需要不同的水温，咖啡的最佳饮用温度为60℃～65℃．咖啡文化社团探究刚泡好的咖啡达到最佳饮用口感的时间．实验条件如下：实验在同一社团活动室进行，室温为25℃．某种意式浓缩咖啡用95℃的水冲泡，某种美式咖啡用85℃的水冲泡．记放置时间为x（单位：min），意式浓缩咖啡的温度为y1（单位：℃），美式咖啡的温度为y2（单位：℃）． 记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 y1 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 y2 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，完成以下内容． （1）用函数图象更直观的呈现y1与x，y2与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出y1与x的函数图象，请画出y2与x的函数图象； （2）探究活动中，美式咖啡放置时间约为　5.0　 min时，开始达到饮用最佳口感；（结果保留小数点后一位） （3）如果希望两种咖啡在某一时刻都处于最佳饮用温度，至多可提前　2.0　 min冲泡意式浓缩咖啡．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）y2与x的函数图象如下：； （2）5.0； （3）2.0． 【分析】（1）根据表格数据画出y2与x的函数图象， （2）利用表格数据解答即可； （3）利用表格数据解答即可； 【解答】解：（1）y2与x的函数图象如下： （2）由表格可知，当美式咖啡放置时间约为5.0min时，美式咖啡的温度为62.0℃，开始达到饮用最佳口感； （3）由表格可知， 当美式咖啡放置时间约为5.0min时，意式浓缩咖啡放置时间约为6.0min或7.0min时，处于最佳饮用温度， 7.0﹣5.0＝2.0（min）， ∴如果希望两种咖啡在某一时刻都处于最佳饮用温度，2.0min冲泡意式浓缩咖啡． 【点评】本题考查函数及函数图象，解题的关键是掌握相关运算． 第 1 页 共 46 页 学科网（北京）股份有限公司 $