精品解析：江苏省宿迁市泗洪县2023-2024学年高二下学期期中数学试题

高二数学试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共6页，包含单项选择题（共8题）、多项选择题（共3题）、填空题（共3题）、解答题（共5题），满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置． 3．作答题目必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C D. 2. 已知向量，且，则x的值为（ ） A. 0 B. C. D. 3. 某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ） A. 24种 B. 10种 C. 9种 D. 15种 4. 已知空间单位向量，，两两垂直，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 5. 已知正四面体ABCD棱长为2，E是BC的中点，F在AC上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21…，这个数列前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和，请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共6级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（ ） A. 20 B. 13 C. 12 D. 15 7. 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小愿，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种 D 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 10. 已知，，若随机事件A，B相互独立，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（ ） A. 所有项的二项式系数和为128 B. 所有项的系数和为1 C. 系数最大项为第4项 D. 有理项共有4项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 展开式中，x的一次项的系数为______． 13. 已知，，，若向量与垂直（O为坐标原点），则x等于______． 14. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，则的一个可能的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在空间四边形中，与成角，与成角，与成角，且，为的中点，为的中点，试求，间的距离． 16. 某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递． （1）求客户满意的概率； （2）若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙概率分别是多少？ 17. 如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成角的余弦值． 18. 高考结束后，甲、乙两同学决定各购置一部手机，经了解，目前市场上销售的主流国产手机有：华为、小米、、等；甲从华为、、中挑选，乙从，中挑选，甲、乙二人选择各类型手机的概率如下表： 华为 甲 乙 0 若甲、乙都选的概率为. （1）求，的值； （2）求甲、乙选择不同手机的概率； （3）某手机市场举办购买手机进行打折活动，活动标准如下表： 手机 华为 补贴金额（百元部） 3 5 4 记甲、乙两人购手机所获得的补贴和为元，求的分布列. 19. 的展开式中，把，，，…，叫做三项式的n次系数列． （1）求的值； （2）根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如．理解上述思想方法，利用方程，请化简：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共6页，包含单项选择题（共8题）、多项选择题（共3题）、填空题（共3题）、解答题（共5题），满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置． 3．作答题目必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点关于轴的对称点的坐标为只须将纵坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为：， 所以点关于轴的对称点的坐标为：. 故选：B. 2. 已知向量，且，则x的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示即可得结果. 【详解】根据可得存在实数满足，即， 即可得，解得. 故选：D 3. 某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ） A. 24种 B. 10种 C. 9种 D. 15种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择； 第二类：选择连衣裙，共有中选择； 所以共有种选择. 故选：D 4. 已知空间单位向量，，两两垂直，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先根据单位向量得出模长，再根据垂直得出数量积，最后应用运算律求解模长即可. 【详解】因为空间单位向量两两垂直, 所以， 所以 . 故选：A. 5. 已知正四面体ABCD的棱长为2，E是BC的中点，F在AC上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取，，为基底，表示出，，再利用向量数量积的运算求解. 【详解】如图： 取，，为基底，则，， 所以. 又，. 所以. 故选：C 6. 数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21…，这个数列前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和，请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共6级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（ ） A. 20 B. 13 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】设级台阶的走法为，找出数列的递推公式，求的值. 【详解】设级台阶的走法为， 则，（走法有每步上一级或一步二级，共2种走法）， 当时，（可以从第级台阶跨一级到达第级，或从第级台阶跨二级到达第级）. 所以：， ， ， . 故选：B 7. 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将、，用基底表示出来，在应用向量数量积的运算律即可. 【详解】在平行六面体中, 四边形是平行四边形,侧面是正方形, 又是的交点, 所以是的中点, 因为,,, 所以， 所以 ， 所以 又， 所以 ， 可得, 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 故选：A. 8. 已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，取中点为，则，再结合向量的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 取中点为，因为，， 所以， 又，则， 又正方体的棱长为2，则正方体的内切球半径为1，则，， 所以， 所以， 所以当，反向时，，有最小值为； 当，同向时，，有最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小愿，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 4个人排成一排，则甲不站首尾排法有12种 D 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据排列数公式求判断A的真假；根据组合数的性质求判断B的真假；利用特殊元素优先法求符合条件的排列方法，判断C的真假；利用插空排列求符合条件的排列方法，判断D的真假. 【详解】对A：由，且，解得，故A正确； 对B：由或解得或，故B错误； 对C：先排甲，有2种排法，再排其余3人，有种排法，故满足条件的排法有：种.故C正确； 对D：先排丙、丁两人，有种排法，出现3个空，再排甲、乙两人，有种排法， 故满足条件的排法有：种.故D正确. 故选：ACD 10. 已知，，若随机事件A，B相互独立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式，结合条件概率逐项计算即得. 【详解】随机事件A，B相互独立，，， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 11. 已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（ ） A. 所有项的二项式系数和为128 B. 所有项的系数和为1 C. 系数最大项为第4项 D. 有理项共有4项 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据展开式的项数确定的值，根据二项式系数的性质判断A的真假，令可得所有项的系数和，判断B的真假，利用二项展开式的通项公式可判断CD的真假. 【详解】因为的展开式共有8项，所以. 所以所有项的二项式系数和为，故A正确； 对B：令，可得所有项的系数和为，故B错误； 因为二项展开式的通项公式为：. 对C：设，由，所以第3项的系数最大，故C错误； 对D：由为整数，且可得，的值可以为：，所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：求数列的最大项，通常设最大，由确定的值即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 展开式中，x的一次项的系数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用二项式定理得到的展开通项公式，再分别求含项与常数项的系数即可得解. 【详解】因为的展开通项公式为， 所以的一次项的系数为. 故答案为：. 13. 已知，，，若向量与垂直（O为坐标原点），则x等于______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求解. 详解】， ， 向量与垂直， ， ． 故答案为：． 14. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，则的一个可能的值为______． 【答案】（答案不唯一，在内均可） 【解析】 【分析】根据随机事件定义以及事件的基本关系，利用条件概率公式计算可得结果. 【详解】因为A，B是一个随机试验中的两个事件，且，； 当A，B互斥时，，当事件B包含事件A时，； 所以可得， 即， 因此的一个可能的值为. 故答案为：（答案不唯一，在内均可） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在空间四边形中，与成角，与成角，与成角，且，为的中点，为的中点，试求，间的距离． 【答案】 【解析】 【分析】以，，为基底，表示出，再结合向量的数量积求模即可. 【详解】以，，为基底，则，. 又， 所以， 所以，即，间的距离为. 16. 某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递． （1）求客户满意的概率； （2）若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？ 【答案】（1） （2）；；. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式求解； （2）利用条件概率求解. 【小问1详解】 从该中转站随机运送一件快递，是甲运送且被客户评为满意的概率为：； 从该中转站随机运送一件快递，是乙运送且被客户评为满意的概率为：； 从该中转站随机运送一件快递，是丙运送且被客户评为满意的概率为：. 所以从该中转站随机运送一件快递，客户满意的概率为：. 【小问2详解】 设“客户满意”为事件，此快递由甲，乙，丙运送分别记为事件， 则客户满意且是甲运送的概率为：, 客户满意且是乙运送的概率为：, 客户满意且是丙运送的概率为：. 17. 如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见详解. （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直，得到，再根据底面是菱形，得到，再根据线面垂直的判定定理判定线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角的余弦. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以； 又底面为菱形，所以； 又，平面，所以平面 【小问2详解】 如图： 设，取的中点，连接，则，所以平面. 故可以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为为直线与平面所成的角，所以. 又, 所以，，，，， 则，. 设平面的法向量为， 则，取. 又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为， 则. 18. 高考结束后，甲、乙两同学决定各购置一部手机，经了解，目前市场上销售的主流国产手机有：华为、小米、、等；甲从华为、、中挑选，乙从，中挑选，甲、乙二人选择各类型手机的概率如下表： 华为 甲 乙 0 若甲、乙都选的概率为. （1）求，的值； （2）求甲、乙选择不同手机的概率； （3）某手机市场举办购买手机进行打折活动，活动标准如下表： 手机 华为 补贴金额（百元部） 3 5 4 记甲、乙两人购手机所获得的补贴和为元，求的分布列. 【答案】（1），； （2）； （3） 700 800 900 1000 【解析】 【分析】（1）由题意可知，进而求出的值，再根据求出的值即可； （2）利用独立事件的概率乘法公式求解； （3）根据题意，的可能取值为700，800，900，1000，利用独立事件的概率乘法公式求出对应的概率，再得到的分布列即可． 【小问1详解】 由题表中数据及题意，得，所以， 又因为，所以； 【小问2详解】 设甲、乙选择不同手机为事件，则； 【小问3详解】 根据题意，的可能取值为700，800，900，1000， 则，，，， 所以的分布列为： 700 800 900 1000 19. 的展开式中，把，，，…，叫做三项式的n次系数列． （1）求的值； （2）根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如．理解上述思想方法，利用方程，请化简：． 【答案】（1）13 （2） 【解析】 【分析】（1）采用“赋值法”求解. （2）分别求和展开式中的系数即可. 【小问1详解】 因为， 令得：； 令得：. 两式相减得：. 【小问2详解】 因为， 所以展开式中，的系数为： 又展开式中，，由， 所以系数为：. 所以 【点睛】方法点睛：对于新的概念的理解是解决问题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$