大题突破04 电荷在电场与磁场中的运动问题（安徽专用） 2026年高考物理终极冲刺讲练测

大题04 电荷在电场与磁场中的运动问题 目录 【命题解码·定方向】 【解题建模·通技法】 热点题型1 电荷在电场中的运动 通技法 电荷在电场中运动的一般解题思路 热点题型2 电荷在磁场中的运动 通技法 电荷在磁场中的运动分析 热点题型3 电荷在复合场中的运动分析 通技法 电荷在复合场中运动的一般分析思路 【实战刷题·冲高分】 刷模拟 刷真题 命题·趋势·定位 一、电荷在电场与磁场中的基本运动规律： 计算题主要考查带电粒子在匀强电场中的加速与偏转（类平抛运动）、在匀强磁场中的匀速圆周运动、以及电场与磁场组合或叠加时的复杂运动。明确粒子的受力特征（电场力F=qE，方向与E平行或反平行；洛伦兹力F=qvB，方向始终与速度垂直，不做功）是选择运动分解或圆周运动分析的前提。 二、常见考法与题型分类： 常见考法将单一电场或单一磁场中的运动作为基础，要求求解偏转位移、偏转角、半径、周期、磁感应强度、电场强度等。具体包括： （1）电场中的加速：由动能定理，常用于直线加速器或粒子源出射。 （2）电场中的偏转：垂直电场方向匀速，平行电场方向匀加速，类平抛运动，可求侧移、速度偏转角、出射位置，有时与示波器原理结合。 （3）磁场中的圆周运动：由得半径，周期（与速度无关），需通过几何关系确定圆心、半径、轨迹圆弧对应的圆心角，进而求运动时间。 （4）临界问题：在有界磁场中（如矩形、圆形、三角形磁场区域），粒子恰好不射出磁场的临界条件为轨迹与边界相切，常涉及速度大小或方向的极值。 三、组合场或复合场中的电荷运动分析： 若涉及组合场（电场与磁场分开区域）或叠加场（同时存在电场和磁场），则往往需要分段处理或分析等效重力场，对过程衔接、速度方向匹配及几何作图能力要求较高。具体包括： （1）先加速后偏转组合：粒子经电场加速后进入偏转电场，或经电场偏转后进入磁场，衔接点的速度大小和方向由前一阶段决定。 （2）电场与磁场交替区域：如粒子在电场中匀变速直线运动，进入磁场后做圆周运动，再返回电场，需分析多周期运动轨迹，常出现“回旋”或“螺旋”进动。 （3）叠加场（速度选择器、霍尔效应、电磁流量计）：当qE=qvB 时粒子做匀速直线运动，速度v=E/B，可用于筛选特定速度的粒子。 （4）复合场中的复杂曲线运动：若电场力与重力平衡，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动；若三力共存，可分解为匀速直线运动与匀速圆周运动的合成（配速法），常见于带电微粒在重力、电场力、洛伦兹力共同作用下的摆线运动。 热点题型1 电荷在电场中的运动 析典例·建模型 例1.（2026·安徽池州·二模）如图所示，PA为一竖直平面内的光滑圆弧轨道，O为圆心，AB、CD为竖直导体板（厚度不计），板间有水平向左的匀强电场（图中未画出）。一质量为0.16kg带电量的小球（可视为质点）从圆弧上与O等高的P点静止释放后，小球恰好不撞到CD板，最后从B点离开电场。已知轨道半径R为0.45m，两板间距为0.6m，重力加速度大小g取，不计空气阻力，求： (1)电场强度的大小； (2)小球在电场中的最小速度； (3)AB板的长度。 研考点·通技法 电荷在电场中运动的一般解题思路 1、解题思路 ①分析电荷受力（重力是否忽略？电场力的大小方向），求合力，由牛顿第二定律得加速度a（恒力则匀变速，变力则变加速）。 ②判断运动性质——直线运动（v与E共线）还是偏转运动（v与E垂直，类平抛）；是否在匀强电场中（恒力）或非匀强电场（变力，常用动能定理）。 ③建系列方程： 直线运动：沿运动方向用运动学公式或动能定理。 类平抛：分解为沿电场方向匀加速和垂直电场方向匀速。 圆周运动（如点电荷电场中）：电场力提供向心力或部分向心力。 ④恒力问题优先用牛顿定律+运动学；涉及路径、初末速度、电势能变化时，优先用动能定理或能量守恒，注意做功的正负符号）。 2、注意问题 重力是否考虑：基本粒子（电子、质子、α粒子、离子）一般不计重力；带电小球、液滴、油滴、尘埃必须考虑重力。题目明确“重力不计”则忽略，否则需判断。 电场力做功特点：电场力做功与路径无关，只与初末位置电势差有关，即W=qUAB 。匀强电场中也可用W=qEd（d沿电场方向投影）。 符号与方向：计算时q带正负号代入，得负功表示电势能增加。分析偏转轨迹时，注意正负电荷受力方向与电场方向相同或相反。 交变电场：若电场随时间周期变化，需分段分析，画出v−t 图，注意对称性和多解性。 加速与偏转组合：先加速（），后偏转（类平抛），偏转位移，与 q、m 无关。 3、解题方法 牛顿定律+运动学：适用于匀强电场、恒力、直线或类平抛运动。求加速度a=qE/m（或加g合成），再套匀变速公式。 动能定理法： 适用于任何电场（恒力、变力均可），表达式，若只受电场力，则。 能量守恒法：电荷在电场中运动，若只有电场力做功，则电势能与动能之和守恒；若考虑重力，则电势能、重力势能、动能之和守恒。 等效重力法：在复合场（电场+重力场）中，将重力和电场力的合力视为“等效重力”，用于求等效最高点、最低点，分析圆周运动或临界速度。 分解法（类平抛）：垂直电场方向匀速，沿电场方向初速为零匀加速，分别列位移、速度方程，再合成为偏转角。 破类题·提能力 1.（2026·安徽·模拟预测）如图所示，水平地面上方存在一匀强电场（大小、方向可调节），一个质量为m，电荷量为q带正电的小球，仅受重力和电场力作用，且这两个力合力沿图中虚线方向，虚线与水平地面的夹角为30°，重力加速度为g。 (1)若小球从虚线上某处静止释放，沿虚线向下运动，求满足该条件下电场强度的最小值； (2)若小球的初速度方向垂直于虚线向右上方，大小为，从图示位置出发到最高点的过程中，小球重力势能增加了E0，求该电场电场强度的大小和方向； (3)求在上述（2）中从图示位置出发到最高点的过程，小球电势能的改变量。 热点题型2 电荷在磁场中的运动 析典例·建模型 例2. 如图，平行于y轴的MN是平面直角坐标系Oxy第四象限内的分界线，第一象限和第四象限内MN的右侧均存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。MN与y轴负半轴之间存在沿x轴负方向的匀强电场I，第三象限存在方向平行纸面的匀强电场II（图中未画出）。一质量为m的带正电的粒子从y轴上的S点以速度v沿纸面进入磁场，v与y轴正方向的夹角为30°。粒子经磁场偏转后垂直MN进入电场I，从y轴上的P点以2v的速度进入电场II，最终从x轴上的Q点以与x轴正方向成60°角的速度离开电场II，并沿直线回到S点。已知OS=3L，OP=L，不计粒子的重力。求 (1)粒子的电荷量； (2)第四象限中电场I的电场强度大小； (3)粒子从P点运动到Q点的时间。 研考点·通技法 电荷在磁场中的运动分析 1、解题思路 ①确定洛伦兹力方向（左手定则，四指指正电荷运动方向，拇指即受力方向），大小F=qvB（v⊥B）。 ②电荷在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动（洛伦兹力提供向心力）；若 v 与 B 夹角θ，则分解为平行与垂直分量，做等距螺旋线运动。 ③找圆心、定半径、求周期： 半径：；周期：；运动时间： ④画轨迹列几何：画出粒子入射点、出射点、圆轨迹，利用弦的中垂线、角平分线、切线等几何关系确定圆心位置和半径 r，再结合 求解未知量 2、注意问题 洛伦兹力不做功：只改变速度方向，不改变速度大小，动能不变。因此磁场中不可用动能定理求速率变化（除非有电场或其它力）。 圆心的确定方法： ①已知入射方向与出射方向：作两速度方向的垂线，交点即圆心。 ②已知入射方向和出射点：作入射方向垂线，再连入射点与出射点的中垂线，交点即圆心。 半径的几何关系：常用勾股定理、三角函数、弦长公式、偏转角等于圆心角。 对称性：从同一边界射入的粒子，若入射角与出射角相等；在圆形磁场中，沿径向入射必沿径向出射。 临界与多解： 临界：恰好不从某边界射出（轨迹与边界相切）、最大偏转等。 多解：磁场方向未知（正负电荷）、速度方向不确定、周期性（如多次往复运动）、边界形状导致轨迹不同。 3、解题方法 几何作圆法：画出粒子运动轨迹（圆），用尺规作图辅助找出圆心、半径、偏转角，是磁场题最核心的方法。 半径周期公式法：直接套用 ，，，注意θ用弧度。 动量与能量：洛伦兹力不改变动能，故v大小不变；动量方向变化，可用动量定理的矢量形式（不常用）。 破类题·提能力 2.如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在着垂直纸面向外、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，第三象限内存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带负电的粒子从原点O以某一速度沿与y轴成30°角方向斜向上射入磁场，且在第二象限运动时的轨迹圆的半径为R，已知带电粒子的质量为m，所带电荷量为q，且所受重力能够忽视。 (1)粒子在第二象限和第三象限内运动的轨道半径之比 (2)粒子达成一次周期性运动的时间 (3)粒子从O点入射，第二次经过x轴的位置到坐标原点的距离 热点题型3 电荷在复合场中的运动分析 析典例·建模型 例3.（2026·安徽安庆·二模）如图所示，在xoy平面的第一、二象限内存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，第一象限的磁场范围足够大，第二象限的磁场左边界是一半径为R的四分之一圆弧，圆心在y轴上的点，圆弧边界与x轴相切于坐标原点O；在x轴下方存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为。现有大量质量为m、电荷量为q的带电粒子，从四分之一圆弧边界处沿x轴正方向射入磁场，初速度大小均为，其中从A点射入磁场的粒子，恰好经过坐标原点O。粒子的重力不计，忽略粒子之间的相互作用。求： (1)磁感应强度的大小； (2)粒子从A点射入磁场开始计时，则粒子经过多长时间再次返回磁场； (3)从圆弧中点P处射入的粒子第三次经过x轴正半轴时离坐标原点的距离。 研考点·通技法 电荷在复合场中运动的一般分析思路 分析电荷在复合场（电场、磁场、重力场并存）中的运动问题，核心套路是：先受力分析明确场力（重力、电场力、洛伦兹力），再比较洛伦兹力与其他力的特点（洛伦兹力不做功、大小随速度变化），从而判断运动性质。 若三力平衡（如速度选择器模型），粒子做匀速直线运动，由qE=qvB得v=E/B；若电场力与重力平衡且 v⊥B，则洛伦兹力提供向心力，粒子做匀速圆周运动；若三力不平衡且洛伦兹力参与，通常粒子做复杂的曲线运动（如摆线），此时优先考虑动能定理（洛伦兹力不做功，只需计算电场力和重力做功）和能量守恒，而不宜直接使用牛顿定律。对于涉及圆周运动的问题，常采用“等效重力法”将电场力与重力合成等效重力，再按竖直面内圆周运动分析临界条件；对于多过程或与边界作用的问题，需分段分析，注意洛伦兹力方向随速度方向变化，有时需结合动量定理或运动的合成与分解（如配速法）求解。 破类题·提能力 3．（2025·安徽·模拟预测）如图，在坐标平面的第二象限内有平行于坐标平面的匀强电场，电场强度大小为（未知）。在第一象限内方程为的虚线将区域分为区域和区域，区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）。区域II存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度沿轴正方向进入电场，由点以大小为的速度垂直于轴进入区域，后经虚线上的点（图中未画出）垂直虚线进入区域II，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求： (1)两点间的电势差和匀强电场电场强度的大小； (2)粒子由点到点的时间； (3)粒子在区域II中运动时，第1次和第5次经过轴的位置之间的距离。 刷模拟 1．（2025·安徽淮北·一模）如图甲所示，两个彼此绝缘且靠近的水平金属板A和B，距离为d，板长为L。AB两板间加如图乙所示的周期性变化的电压，周期为T。一束电子以相同的初速度从板的左侧连续不断地沿AB两板中线射入板间，在电场中运动时间均为。已知电子质量为m、电荷量为e，不计电子的重力和电子间相互作用力，且所有电子都能离开偏转电场。求： (1)时刻射入电场的电子离开电场时沿垂直于板面方向偏移的距离y和偏转角度的正切； (2)哪些时刻射入电场的电子将平行于中线射出电场。 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，质量为nm，足够长的绝缘长木板，放在光滑的水平面上。其上表面粗糙，开始被锁定在地面上，置于水平向右的匀强电场中，电场强度为E，从某时刻开始，将质量为m，带电量为的滑块（可视为质点）轻放在长木板左端，等第一个滑块速度达到时，再将第二个滑块轻放上去，依次操作，直到第n个滑块速度达到时，撤除电场，同时解除对长木板的锁定，所有小滑块的质量都相同，滑块与长木板之间的动摩擦因数均为，重力加速度为g，求： (1)第一个滑块速度达到时，到左端的距离； (2)若，当所有物体（包含长木板）达到匀速时，系统由于摩擦产生的热量Q； (3)从刚解除锁定开始计时，第二个小滑块速度达到最小时所经过的时间t。 3．如图所示，纸面内竖直边界1、2之间有磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，边界1的左侧（紧挨边界1）放置极板垂直边界1的平行板电容器，一电子紧贴下极板水平向右射入电容器，经板间电场偏转后从电容器右上端点沿与边界1夹角（斜向上）的方向射入磁场，电子从点射出磁场时的速度方向与边界2的夹角（斜向下）。电子的质量为、电荷量为，电容器的极板长度以及磁场的宽度均为，不计电子所受的重力，取，。求： (1)电子通过点时的速度大小； (2)电容器两极板间的电压以及两极板间的距离。 4．（2026·安徽合肥·一模）如图所示，在0≤y＜2L、0≤x≤L的区域内有沿y轴正方向的匀强电场，在x＞L的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。一足够长的粒子接收器MN平行于y轴放置，其下端N的坐标为（L，2L），粒子打中接收器的左右两侧都会被立即吸收。y轴上0~2L范围内连续分布着质量为m、电荷量为＋q的同种粒子，某时刻所有粒子均以速度沿x轴正方向射出，已知从O点射出的粒子恰能从坐标为（L，L）的P点进入磁场。已知磁感应强度，不计接收器厚度、粒子重力和粒子间的相互作用，求： (1)电场强度E的大小； (2)从O点射出的粒子打中粒子接收器的位置坐标； (3)接收器左侧被粒子打中区域的长度。 5．（2026·安徽马鞍山·一模）如图所示，真空中有一个边长为的正方形区域，为正方形区域的中心点，两个电荷量均为的点电荷分别固定于、两点处，空间有与方向平行且向右的匀强磁场，磁感应强度（为常数，为静电力常量）。另有两个完全相同的带负电的微粒，同时分别从、两点处以垂直纸面向里的速度射入，从点射入的微粒速度大小为，从点射入的微粒速度大小为，两微粒均绕点做圆周运动。不计两微粒的重力和两微粒间的库仑力。 (1)求两固定点电荷在点处产生的电场强度的大小和方向（结果用、、表示）； (2)当时，求常数的值； (3)当（、是正整数且互质）时，调整磁感应强度的大小和两固定电荷的电荷量的大小，使得两微粒均能沿原轨迹绕做圆周运动，两微粒相遇时发生弹性正碰，且无电荷量的转移，两微粒均做周期性运动，且两微粒运动的周期均为（为常数），求的值。 6．（2025·安徽·三模）如图所示，在Oxy平面（纸面）内，在区间内存在平行y轴的匀强电场，；在，的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，由左向右分为间距均为d0（d0未知）的n（n为整数且未知）份，各区域磁感应强度大小依次为B、2B、…、nB，，。一带正电的粒子从坐标原点沿与x轴正方向成角射入，在坐标为（4d，2d）的P点以速度v0垂直磁场边界射入磁场，恰能达到磁场右侧边界x4。已知整个装置处于真空中，粒子的比荷，不计粒子重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)匀强电场的电场强度E的大小； (2)匀强电场右边界横坐标x2的值； (3)d0的大小。 刷真题 1．（2025·四川·高考真题）如图所示，真空中固定放置两块较大的平行金属板，板间距为d，下极板接地，板间匀强电场大小恒为E。现有一质量为m、电荷量为q（）的金属微粒，从两极板中央O点由静止释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变。不计微粒重力。求： (1)微粒第一次到达下极板所需时间； (2)微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小。 2．（2025·重庆·高考真题）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 3．（2025·贵州·高考真题）如图所示，轴水平向右，轴竖直向上，轴垂直纸面向里（图中未画出），在平面里有竖直向上的匀强电场，在的平面下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，的平面上方有垂直纸面向里的匀强磁场（未知）。有一带正电的粒子，质量为，从坐标原点出发，沿轴正方向以速度射出后做圆周运动，其中，，点坐标。已知重力加速度为，粒子电荷量为。求： (1)电场强度的大小及该粒子第一次经过平面时的位置对应的坐标值； (2)当该带电粒子沿轴正方向飞出到达点时间最小时，求的大小； (3)若将电场改成沿y轴正方向，粒子同样从坐标原点沿x轴以速度射出，求粒子的轨迹方程。 4．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，在平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子从点射入磁场，速度方向与y轴正方向夹角，从点射出磁场。已知粒子的电荷量为，质量为m，忽略粒子重力及磁场边缘效应。 (1)求粒子射入磁场的速度大小和在磁场中运动的时间。 (2)若在平面内某点固定一负点电荷，电荷量为，粒子质量取（k为静电力常量），粒子仍沿（1）中的轨迹从M点运动到N点，求射入磁场的速度大小。 (3)在（2）问条件下，粒子从N点射出磁场开始，经时间速度方向首次与N点速度方向相反，求（电荷量为Q的点电荷产生的电场中，取无限远处的电势为0时，与该点电荷距离为r处的电势）。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 大题04 电荷在电场与磁场中的运动问题 目录 【命题解码·定方向】 【解题建模·通技法】 热点题型1 电荷在电场中的运动 通技法 电荷在电场中运动的一般解题思路 热点题型2 电荷在磁场中的运动 通技法 电荷在磁场中的运动分析 热点题型3 电荷在复合场中的运动分析 通技法 电荷在复合场中运动的一般分析思路 【实战刷题·冲高分】 刷模拟 刷真题 命题·趋势·定位 一、电荷在电场与磁场中的基本运动规律： 计算题主要考查带电粒子在匀强电场中的加速与偏转（类平抛运动）、在匀强磁场中的匀速圆周运动、以及电场与磁场组合或叠加时的复杂运动。明确粒子的受力特征（电场力F=qE，方向与E平行或反平行；洛伦兹力F=qvB，方向始终与速度垂直，不做功）是选择运动分解或圆周运动分析的前提。 二、常见考法与题型分类： 常见考法将单一电场或单一磁场中的运动作为基础，要求求解偏转位移、偏转角、半径、周期、磁感应强度、电场强度等。具体包括： （1）电场中的加速：由动能定理，常用于直线加速器或粒子源出射。 （2）电场中的偏转：垂直电场方向匀速，平行电场方向匀加速，类平抛运动，可求侧移、速度偏转角、出射位置，有时与示波器原理结合。 （3）磁场中的圆周运动：由得半径，周期（与速度无关），需通过几何关系确定圆心、半径、轨迹圆弧对应的圆心角，进而求运动时间。 （4）临界问题：在有界磁场中（如矩形、圆形、三角形磁场区域），粒子恰好不射出磁场的临界条件为轨迹与边界相切，常涉及速度大小或方向的极值。 三、组合场或复合场中的电荷运动分析： 若涉及组合场（电场与磁场分开区域）或叠加场（同时存在电场和磁场），则往往需要分段处理或分析等效重力场，对过程衔接、速度方向匹配及几何作图能力要求较高。具体包括： （1）先加速后偏转组合：粒子经电场加速后进入偏转电场，或经电场偏转后进入磁场，衔接点的速度大小和方向由前一阶段决定。 （2）电场与磁场交替区域：如粒子在电场中匀变速直线运动，进入磁场后做圆周运动，再返回电场，需分析多周期运动轨迹，常出现“回旋”或“螺旋”进动。 （3）叠加场（速度选择器、霍尔效应、电磁流量计）：当qE=qvB 时粒子做匀速直线运动，速度v=E/B，可用于筛选特定速度的粒子。 （4）复合场中的复杂曲线运动：若电场力与重力平衡，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动；若三力共存，可分解为匀速直线运动与匀速圆周运动的合成（配速法），常见于带电微粒在重力、电场力、洛伦兹力共同作用下的摆线运动。 热点题型1 电荷在电场中的运动 析典例·建模型 例1.（2026·安徽池州·二模）如图所示，PA为一竖直平面内的光滑圆弧轨道，O为圆心，AB、CD为竖直导体板（厚度不计），板间有水平向左的匀强电场（图中未画出）。一质量为0.16kg带电量的小球（可视为质点）从圆弧上与O等高的P点静止释放后，小球恰好不撞到CD板，最后从B点离开电场。已知轨道半径R为0.45m，两板间距为0.6m，重力加速度大小g取，不计空气阻力，求： (1)电场强度的大小； (2)小球在电场中的最小速度； (3)AB板的长度。 【答案】(1) (2) (3)3.2m 【详解】（1）从P到A由动能定理 解得 离开A点后小球恰好不撞到CD板，则有 联立解得 （2）小球在电场中的受力如图： 则小球在电场中的最小速度 （3）小球从A点运动到恰好不撞到CD板的时间 则 研考点·通技法 电荷在电场中运动的一般解题思路 1、解题思路 ①分析电荷受力（重力是否忽略？电场力的大小方向），求合力，由牛顿第二定律得加速度a（恒力则匀变速，变力则变加速）。 ②判断运动性质——直线运动（v与E共线）还是偏转运动（v与E垂直，类平抛）；是否在匀强电场中（恒力）或非匀强电场（变力，常用动能定理）。 ③建系列方程： 直线运动：沿运动方向用运动学公式或动能定理。 类平抛：分解为沿电场方向匀加速和垂直电场方向匀速。 圆周运动（如点电荷电场中）：电场力提供向心力或部分向心力。 ④恒力问题优先用牛顿定律+运动学；涉及路径、初末速度、电势能变化时，优先用动能定理或能量守恒，注意做功的正负符号）。 2、注意问题 重力是否考虑：基本粒子（电子、质子、α粒子、离子）一般不计重力；带电小球、液滴、油滴、尘埃必须考虑重力。题目明确“重力不计”则忽略，否则需判断。 电场力做功特点：电场力做功与路径无关，只与初末位置电势差有关，即W=qUAB 。匀强电场中也可用W=qEd（d沿电场方向投影）。 符号与方向：计算时q带正负号代入，得负功表示电势能增加。分析偏转轨迹时，注意正负电荷受力方向与电场方向相同或相反。 交变电场：若电场随时间周期变化，需分段分析，画出v−t 图，注意对称性和多解性。 加速与偏转组合：先加速（），后偏转（类平抛），偏转位移，与 q、m 无关。 3、解题方法 牛顿定律+运动学：适用于匀强电场、恒力、直线或类平抛运动。求加速度a=qE/m（或加g合成），再套匀变速公式。 动能定理法： 适用于任何电场（恒力、变力均可），表达式，若只受电场力，则。 能量守恒法：电荷在电场中运动，若只有电场力做功，则电势能与动能之和守恒；若考虑重力，则电势能、重力势能、动能之和守恒。 等效重力法：在复合场（电场+重力场）中，将重力和电场力的合力视为“等效重力”，用于求等效最高点、最低点，分析圆周运动或临界速度。 分解法（类平抛）：垂直电场方向匀速，沿电场方向初速为零匀加速，分别列位移、速度方程，再合成为偏转角。 破类题·提能力 1.（2026·安徽·模拟预测）如图所示，水平地面上方存在一匀强电场（大小、方向可调节），一个质量为m，电荷量为q带正电的小球，仅受重力和电场力作用，且这两个力合力沿图中虚线方向，虚线与水平地面的夹角为30°，重力加速度为g。 (1)若小球从虚线上某处静止释放，沿虚线向下运动，求满足该条件下电场强度的最小值； (2)若小球的初速度方向垂直于虚线向右上方，大小为，从图示位置出发到最高点的过程中，小球重力势能增加了E0，求该电场电场强度的大小和方向； (3)求在上述（2）中从图示位置出发到最高点的过程，小球电势能的改变量。 【答案】(1)，与竖直方向夹角30°斜向右上方 (2)，水平向右 (3)-5E0 【详解】（1）如图所示 由电场力与重力的合力沿虚线方向可知，当电场力与合力垂直时电场强度最小，则 所以 方向与竖直方向夹角30°，斜向右上方； （2）由题可知带电粒子做匀变速曲线运动，竖直方向，有，， 可得 因此电场只能沿水平方向，则 方向水平向右； （3）由题意可知，水平方向，有，， 竖直方向，有 所以， 根据功能关系可得，小球电势能的改变量 热点题型2 电荷在磁场中的运动 析典例·建模型 例2. 如图，平行于y轴的MN是平面直角坐标系Oxy第四象限内的分界线，第一象限和第四象限内MN的右侧均存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。MN与y轴负半轴之间存在沿x轴负方向的匀强电场I，第三象限存在方向平行纸面的匀强电场II（图中未画出）。一质量为m的带正电的粒子从y轴上的S点以速度v沿纸面进入磁场，v与y轴正方向的夹角为30°。粒子经磁场偏转后垂直MN进入电场I，从y轴上的P点以2v的速度进入电场II，最终从x轴上的Q点以与x轴正方向成60°角的速度离开电场II，并沿直线回到S点。已知OS=3L，OP=L，不计粒子的重力。求 (1)粒子的电荷量； (2)第四象限中电场I的电场强度大小； (3)粒子从P点运动到Q点的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，则由几何关系可得： 由 解得 （2）粒子从MN边界进入第四象限的电场做匀加速直线运动至P点，设其运动的位移为SOM，根据动能定理有， 解得 （3）以PQ方向和垂直于PQ方向建立坐标系，则在PQ方向，粒子做匀减速直线运动，且初速度为v1，末速度为0。根据运动学规律有，， 解得 研考点·通技法 电荷在磁场中的运动分析 1、解题思路 ①确定洛伦兹力方向（左手定则，四指指正电荷运动方向，拇指即受力方向），大小F=qvB（v⊥B）。 ②电荷在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动（洛伦兹力提供向心力）；若 v 与 B 夹角θ，则分解为平行与垂直分量，做等距螺旋线运动。 ③找圆心、定半径、求周期： 半径：；周期：；运动时间： ④画轨迹列几何：画出粒子入射点、出射点、圆轨迹，利用弦的中垂线、角平分线、切线等几何关系确定圆心位置和半径 r，再结合 求解未知量 2、注意问题 洛伦兹力不做功：只改变速度方向，不改变速度大小，动能不变。因此磁场中不可用动能定理求速率变化（除非有电场或其它力）。 圆心的确定方法： ①已知入射方向与出射方向：作两速度方向的垂线，交点即圆心。 ②已知入射方向和出射点：作入射方向垂线，再连入射点与出射点的中垂线，交点即圆心。 半径的几何关系：常用勾股定理、三角函数、弦长公式、偏转角等于圆心角。 对称性：从同一边界射入的粒子，若入射角与出射角相等；在圆形磁场中，沿径向入射必沿径向出射。 临界与多解： 临界：恰好不从某边界射出（轨迹与边界相切）、最大偏转等。 多解：磁场方向未知（正负电荷）、速度方向不确定、周期性（如多次往复运动）、边界形状导致轨迹不同。 3、解题方法 几何作圆法：画出粒子运动轨迹（圆），用尺规作图辅助找出圆心、半径、偏转角，是磁场题最核心的方法。 半径周期公式法：直接套用 ，，，注意θ用弧度。 动量与能量：洛伦兹力不改变动能，故v大小不变；动量方向变化，可用动量定理的矢量形式（不常用）。 破类题·提能力 2.如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在着垂直纸面向外、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，第三象限内存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带负电的粒子从原点O以某一速度沿与y轴成30°角方向斜向上射入磁场，且在第二象限运动时的轨迹圆的半径为R，已知带电粒子的质量为m，所带电荷量为q，且所受重力能够忽视。 (1)粒子在第二象限和第三象限内运动的轨道半径之比 (2)粒子达成一次周期性运动的时间 (3)粒子从O点入射，第二次经过x轴的位置到坐标原点的距离 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子的速度为，由 得粒子在第二象限的轨道半径为 粒子在第三象限的轨道半径为 则 （2）粒子从O点射入第二象限到再次射入第二象限，完成一次周期性运动,如图所示，粒子在磁场中运动时的圆心角为 由 得粒子在第二象限中运动的时间为 粒子在第三象限中运动的时间为 则粒子达成一次周期性运动的时间为 （3）粒子从O点入射，第一次经过x轴的位置到坐标原点的距离为 第二次经过x轴的位置到第一次经过x轴的位置的距离为 则粒子第二次经过x轴的位置到坐标原点的距离为 热点题型3 电荷在复合场中的运动分析 析典例·建模型 例3.（2026·安徽安庆·二模）如图所示，在xoy平面的第一、二象限内存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，第一象限的磁场范围足够大，第二象限的磁场左边界是一半径为R的四分之一圆弧，圆心在y轴上的点，圆弧边界与x轴相切于坐标原点O；在x轴下方存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为。现有大量质量为m、电荷量为q的带电粒子，从四分之一圆弧边界处沿x轴正方向射入磁场，初速度大小均为，其中从A点射入磁场的粒子，恰好经过坐标原点O。粒子的重力不计，忽略粒子之间的相互作用。求： (1)磁感应强度的大小； (2)粒子从A点射入磁场开始计时，则粒子经过多长时间再次返回磁场； (3)从圆弧中点P处射入的粒子第三次经过x轴正半轴时离坐标原点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设从A点射入的粒子轨道半径为r，由几何关系得： 由，得， 解得： （2）粒子在磁场中运动的时间为： 粒子在电场中运动的加速度大小为： 粒子在电场中运动的时间为： 所以，从A点射入磁场的粒子再次回到磁场的时间为： （3）从圆弧中点P处射入的粒子必经过坐标原点O，设在O点时速度与x轴正方向的夹角为，则：， 粒子进入电场后做类斜抛运动，第一次经过x轴正半轴时离坐标原点的距离为： 粒子再次进入磁场，速度与x轴正方向的夹角为45°，第二次经过x轴正半轴时离坐标原点的距离为： 粒子第三次经过x轴正半轴时离坐标原点的距离为： 研考点·通技法 电荷在复合场中运动的一般分析思路 分析电荷在复合场（电场、磁场、重力场并存）中的运动问题，核心套路是：先受力分析明确场力（重力、电场力、洛伦兹力），再比较洛伦兹力与其他力的特点（洛伦兹力不做功、大小随速度变化），从而判断运动性质。 若三力平衡（如速度选择器模型），粒子做匀速直线运动，由qE=qvB得v=E/B；若电场力与重力平衡且 v⊥B，则洛伦兹力提供向心力，粒子做匀速圆周运动；若三力不平衡且洛伦兹力参与，通常粒子做复杂的曲线运动（如摆线），此时优先考虑动能定理（洛伦兹力不做功，只需计算电场力和重力做功）和能量守恒，而不宜直接使用牛顿定律。对于涉及圆周运动的问题，常采用“等效重力法”将电场力与重力合成等效重力，再按竖直面内圆周运动分析临界条件；对于多过程或与边界作用的问题，需分段分析，注意洛伦兹力方向随速度方向变化，有时需结合动量定理或运动的合成与分解（如配速法）求解。 破类题·提能力 3．（2025·安徽·模拟预测）如图，在坐标平面的第二象限内有平行于坐标平面的匀强电场，电场强度大小为（未知）。在第一象限内方程为的虚线将区域分为区域和区域，区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）。区域II存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度沿轴正方向进入电场，由点以大小为的速度垂直于轴进入区域，后经虚线上的点（图中未画出）垂直虚线进入区域II，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求： (1)两点间的电势差和匀强电场电场强度的大小； (2)粒子由点到点的时间； (3)粒子在区域II中运动时，第1次和第5次经过轴的位置之间的距离。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）从到，根据动能定理可得 解得 把电场沿x轴和轴分解，由题意可得水平方向 竖直方向 电场强度 联立解得 （2）粒子在电场中运动，沿x方向做匀变速直线运动，有 由题意可知粒子在磁场中做圆周运动的半径为 粒子在区域中转过的圆心角为 则粒子在区域中运动的时间为，其中 粒子由P点到A点的时间为 联立解得 （3）在区域中，洛伦兹力提供向心力 在点，对粒子用配速法，设沿x轴正方向，对应的洛伦兹力与静电力平衡，与等大反向的与的合速度对应洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，这样粒子进入区域II中的运动分解为以的匀速直线运动和以的匀速圆周运动，则有， 联立解得，沿轴负方向， 设对应的匀速圆周运动的半径为，由洛伦兹力提供向心力有 解得 其运动轨迹如图所示 粒子从第1次到第5次经过x轴，共运动了2个周期，粒子运动时间为 其中 粒子在第1次和第5次经过轴的位置之间的距离 刷模拟 1．（2025·安徽淮北·一模）如图甲所示，两个彼此绝缘且靠近的水平金属板A和B，距离为d，板长为L。AB两板间加如图乙所示的周期性变化的电压，周期为T。一束电子以相同的初速度从板的左侧连续不断地沿AB两板中线射入板间，在电场中运动时间均为。已知电子质量为m、电荷量为e，不计电子的重力和电子间相互作用力，且所有电子都能离开偏转电场。求： (1)时刻射入电场的电子离开电场时沿垂直于板面方向偏移的距离y和偏转角度的正切； (2)哪些时刻射入电场的电子将平行于中线射出电场。 【答案】(1)， (2)和 【详解】（1）时刻射入电场的电子做类平抛运动，垂直于板面方向    由牛顿第二定律可得   且 解得    初速度方向做匀速运动，有 离开电场时垂直于板面方向速度 离开电场时偏转角度的正切    解得 （2）研究时间内射入的电子，设在时刻射入的电子，在时刻射出电场时速度方向平行于中线方向，设电子在内加速度为，则在时间内加速度为 故有   且    解得 研究时间内射入的电子，设在时刻射入的电子，在时刻射出电场时速度方向平行于中线方向 则有   且    解得 综上，考虑到交变电场的周期性，故在时刻和时刻射入电场的电子将平行于中线射出电场。 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，质量为nm，足够长的绝缘长木板，放在光滑的水平面上。其上表面粗糙，开始被锁定在地面上，置于水平向右的匀强电场中，电场强度为E，从某时刻开始，将质量为m，带电量为的滑块（可视为质点）轻放在长木板左端，等第一个滑块速度达到时，再将第二个滑块轻放上去，依次操作，直到第n个滑块速度达到时，撤除电场，同时解除对长木板的锁定，所有小滑块的质量都相同，滑块与长木板之间的动摩擦因数均为，重力加速度为g，求： (1)第一个滑块速度达到时，到左端的距离； (2)若，当所有物体（包含长木板）达到匀速时，系统由于摩擦产生的热量Q； (3)从刚解除锁定开始计时，第二个小滑块速度达到最小时所经过的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理有 解得 （2）当时，最后达到共同速度为v，根据动量守恒有 解得 解除锁定之前，它们对地的位移分别为，，，，对系统，根据能量守恒有 解得 （3）解除锁定之后，第2个滑块的最小速度为，此时第一个滑块的速度为，对所有滑块和木板组成的系统，根据动量守恒有 又有 解得 解除锁定时第2个物块的速度为，对第二块滑块，根据动量定理有 解得 3．如图所示，纸面内竖直边界1、2之间有磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，边界1的左侧（紧挨边界1）放置极板垂直边界1的平行板电容器，一电子紧贴下极板水平向右射入电容器，经板间电场偏转后从电容器右上端点沿与边界1夹角（斜向上）的方向射入磁场，电子从点射出磁场时的速度方向与边界2的夹角（斜向下）。电子的质量为、电荷量为，电容器的极板长度以及磁场的宽度均为，不计电子所受的重力，取，。求： (1)电子通过点时的速度大小； (2)电容器两极板间的电压以及两极板间的距离。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）设电子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，根据几何关系有 解得 洛伦兹力提供向心力可得 解得电子通过点时的速度大小 （2）电子射入电容器时的速度大小 解得 对电子在电容器中运动的过程，根据动能定理有 解得 电子在电容器中运动的时间 解得 又 解得 4．（2026·安徽合肥·一模）如图所示，在0≤y＜2L、0≤x≤L的区域内有沿y轴正方向的匀强电场，在x＞L的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。一足够长的粒子接收器MN平行于y轴放置，其下端N的坐标为（L，2L），粒子打中接收器的左右两侧都会被立即吸收。y轴上0~2L范围内连续分布着质量为m、电荷量为＋q的同种粒子，某时刻所有粒子均以速度沿x轴正方向射出，已知从O点射出的粒子恰能从坐标为（L，L）的P点进入磁场。已知磁感应强度，不计接收器厚度、粒子重力和粒子间的相互作用，求： (1)电场强度E的大小； (2)从O点射出的粒子打中粒子接收器的位置坐标； (3)接收器左侧被粒子打中区域的长度。 【答案】(1) (2)（L，3L） (3) 【详解】（1）设粒子从O点运动至P点的时间为，粒子沿x轴方向做匀速直线运动，有 粒子沿y轴方向做匀加速直线运动，有qE＝ma， 解得 （2）从O点射出的粒子，到达P点时，速度与x轴正向的夹角设为，则 粒子以速度进入匀强磁场后做匀速圆周运动，轨迹半径设为r，根据洛伦兹力提供向心力有 由几何关系，粒子打中接收器右侧时，纵坐标y满足 解得y＝3L 故所求位置坐标为（L，3L）。 （3）由题意分析知，自L＜y＜2L范围内发射出的粒子，从匀强电场上边界离开电场，之后做匀速直线运动，到达接收器左侧。设粒子由发射至离开匀强电场，运动时间为t，离开匀强电场位置的横坐标为x，速度v与x轴正向的夹角设为，则有，， 粒子到达接收器的位置与N点的距离为d，由几何关系 联立得 得 所以，接收器左侧被粒子打中区域在N点及其上方内，故被打中区域长度为。 5．（2026·安徽马鞍山·一模）如图所示，真空中有一个边长为的正方形区域，为正方形区域的中心点，两个电荷量均为的点电荷分别固定于、两点处，空间有与方向平行且向右的匀强磁场，磁感应强度（为常数，为静电力常量）。另有两个完全相同的带负电的微粒，同时分别从、两点处以垂直纸面向里的速度射入，从点射入的微粒速度大小为，从点射入的微粒速度大小为，两微粒均绕点做圆周运动。不计两微粒的重力和两微粒间的库仑力。 (1)求两固定点电荷在点处产生的电场强度的大小和方向（结果用、、表示）； (2)当时，求常数的值； (3)当（、是正整数且互质）时，调整磁感应强度的大小和两固定电荷的电荷量的大小，使得两微粒均能沿原轨迹绕做圆周运动，两微粒相遇时发生弹性正碰，且无电荷量的转移，两微粒均做周期性运动，且两微粒运动的周期均为（为常数），求的值。 【答案】(1)，方向沿方向 (2) (3)见解析 【详解】（1）根据题意，由点电荷场强公式可知，两个固定点电荷在点产生的电场强度大小为 由场强叠加原理可得，点处电场强度的大小 方向沿方向。 （2）根据题意可知，对处微粒，由牛顿第二定律有 对处微粒，由牛顿第二定律有 由对称性可知 又有， 联立解得 （3）根据题意可知，两微粒发生弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律有， 解得两微粒每次碰撞交换速度，且每发生偶数次碰撞，均回归原速度，碰撞位置沿圆周做等时间等间隔的移动，考虑每相邻两次碰撞时间内，碰撞位置旋转过的角度 则回到原位置需要的最少碰撞次数为次，设相邻两次碰撞间的时间为，由匀速圆周运动规律有 解得 当为偶数时，两微粒原速度回到原位置，需要碰撞的最少次数为次，则有 解得 当为奇数时，两微粒原速度回到原位置，需要碰撞的最少次数为次，则有 解得 6．（2025·安徽·三模）如图所示，在Oxy平面（纸面）内，在区间内存在平行y轴的匀强电场，；在，的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，由左向右分为间距均为d0（d0未知）的n（n为整数且未知）份，各区域磁感应强度大小依次为B、2B、…、nB，，。一带正电的粒子从坐标原点沿与x轴正方向成角射入，在坐标为（4d，2d）的P点以速度v0垂直磁场边界射入磁场，恰能达到磁场右侧边界x4。已知整个装置处于真空中，粒子的比荷，不计粒子重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)匀强电场的电场强度E的大小； (2)匀强电场右边界横坐标x2的值； (3)d0的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对粒子，在电场中，有 其中， 解得 （2）粒子在电场中的轨迹如图所示 在电场中有 解得 解得 故 （3）在竖直方向很短的时间内，由动量定理有 求和可得 从进入磁场到右边界，速度大小变为v0，方向沿y轴负方向， 解得 又 解得， 刷真题 1．（2025·四川·高考真题）如图所示，真空中固定放置两块较大的平行金属板，板间距为d，下极板接地，板间匀强电场大小恒为E。现有一质量为m、电荷量为q（）的金属微粒，从两极板中央O点由静止释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变。不计微粒重力。求： (1)微粒第一次到达下极板所需时间； (2)微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由牛顿第二定律 由运动学公式 联立可得微粒第一次到达下极板所需的时间为 （2）微粒第一次到达下极板时的速度大小为 由于微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变，设微粒碰后第一次到达上极板时的速度大小为，满足 代入解得 同理可得微粒第一次从上极板回到O点时的速度大小为，满足 代入解得 故微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小为 2．（2025·重庆·高考真题）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O点产生光点，其运动半径 运动过程中由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （2）若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N点相切，如图 由于K从水平方向逆时针旋转60°，则，根据和和关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力可知 解得 （3）由题意带正电粒子恰好在M点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M点做正电粒子轨迹的切线，切点为P，如图 根据前面解析可知，所以 由于，且 根据几何关系可知，而 所以 粒子在磁场中运动的周期，对应的圆心角 所以 3．（2025·贵州·高考真题）如图所示，轴水平向右，轴竖直向上，轴垂直纸面向里（图中未画出），在平面里有竖直向上的匀强电场，在的平面下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，的平面上方有垂直纸面向里的匀强磁场（未知）。有一带正电的粒子，质量为，从坐标原点出发，沿轴正方向以速度射出后做圆周运动，其中，，点坐标。已知重力加速度为，粒子电荷量为。求： (1)电场强度的大小及该粒子第一次经过平面时的位置对应的坐标值； (2)当该带电粒子沿轴正方向飞出到达点时间最小时，求的大小； (3)若将电场改成沿y轴正方向，粒子同样从坐标原点沿x轴以速度射出，求粒子的轨迹方程。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，粒子受到重力、洛伦兹力和电场力做匀速圆周运动，可以判断粒子受到的电场力与重力平衡，则 解得 粒子做匀速圆周运动，圆周运动轨迹如图所示 洛伦兹力提供向心力得 解得粒子运动的轨道半径 根据圆周运动轨迹，由几何关系得 代入数据解得。 （2）粒子做匀速圆周运动，可能的运动轨迹如图所示 设粒子进入磁场中速度方向与磁场分界面成角，由几何关系可得 可解得 设粒子在磁场中运动的轨道半径为，根据圆周运动轨迹可知粒子运动到点应满足 当取最小值时，运动时间最短。所以当时，运动时间最短，代入的值解得 根据 联立可得 当该带电粒子沿轴正方向飞出到达点时间最小时，的大小为。 （3）若将电场方向改为轴方向正方向，由受力分析，粒子受到沿轴正方向的洛伦兹力、沿轴负方向的重力、沿轴正方向的电场力，根据 解得粒子受到的洛伦兹力大小为 正好与重力相平衡，所以粒子在轴正方向做匀加速直线运动，有 由牛顿第二定律有 粒子在轴正方向做匀速直线运动，有 联立解得轨迹方程 4．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，在平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子从点射入磁场，速度方向与y轴正方向夹角，从点射出磁场。已知粒子的电荷量为，质量为m，忽略粒子重力及磁场边缘效应。 (1)求粒子射入磁场的速度大小和在磁场中运动的时间。 (2)若在平面内某点固定一负点电荷，电荷量为，粒子质量取（k为静电力常量），粒子仍沿（1）中的轨迹从M点运动到N点，求射入磁场的速度大小。 (3)在（2）问条件下，粒子从N点射出磁场开始，经时间速度方向首次与N点速度方向相反，求（电荷量为Q的点电荷产生的电场中，取无限远处的电势为0时，与该点电荷距离为r处的电势）。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）作出正电荷在磁场中运动的轨迹，如图所示 由几何关系可知，正电荷在磁场中做匀速圆周运动的半径为 由洛伦兹力提供向心力 解得正电荷的入射速度大小为 正电荷在磁场中运动的周期为 所以正电荷从M运动到N的时间为 （2）由题意可知，在平面内的负电荷在圆心O处，由牛顿第二定律可知，其中 解得或（舍去） （3）在（2）的条件下，由题意可知，粒子从N点离开，仅在点电荷的作用下运动，粒子所需要的向心力大于点电荷提供的库仑力，因此粒子无法做匀速圆周运动，即正电荷从N点离开磁场后绕负电荷做椭圆运动，如图所示 由能量守恒定律得 由开普勒第二定律可知 其中 联立解得 由牛顿第二定律 解得 故正电荷从点离开磁场后到首次速度变为与点的射出速度相反的时间为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 大题04 电荷在电场与磁场中的运动问题 热点题型1 电荷在电场中的运动 析典例·建模型 例1.【答案】(1) (2) (3)3.2m 【详解】（1）从P到A由动能定理 解得 离开A点后小球恰好不撞到CD板，则有 联立解得 （2）小球在电场中的受力如图： 则小球在电场中的最小速度 （3）小球从A点运动到恰好不撞到CD板的时间 则 破类题·提能力 1.【答案】(1)，与竖直方向夹角30°斜向右上方 (2)，水平向右 (3)-5E0 【详解】（1）如图所示 由电场力与重力的合力沿虚线方向可知，当电场力与合力垂直时电场强度最小，则 所以 方向与竖直方向夹角30°，斜向右上方； （2）由题可知带电粒子做匀变速曲线运动，竖直方向，有，， 可得 因此电场只能沿水平方向，则 方向水平向右； （3）由题意可知，水平方向，有，， 竖直方向，有 所以， 根据功能关系可得，小球电势能的改变量 热点题型2 电荷在磁场中的运动 析典例·建模型 例2. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，则由几何关系可得： 由 解得 （2）粒子从MN边界进入第四象限的电场做匀加速直线运动至P点，设其运动的位移为SOM，根据动能定理有， 解得 （3）以PQ方向和垂直于PQ方向建立坐标系，则在PQ方向，粒子做匀减速直线运动，且初速度为v1，末速度为0。根据运动学规律有，， 解得 破类题·提能力 2.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子的速度为，由 得粒子在第二象限的轨道半径为 粒子在第三象限的轨道半径为 则 （2）粒子从O点射入第二象限到再次射入第二象限，完成一次周期性运动,如图所示，粒子在磁场中运动时的圆心角为 由 得粒子在第二象限中运动的时间为 粒子在第三象限中运动的时间为 则粒子达成一次周期性运动的时间为 （3）粒子从O点入射，第一次经过x轴的位置到坐标原点的距离为 第二次经过x轴的位置到第一次经过x轴的位置的距离为 则粒子第二次经过x轴的位置到坐标原点的距离为 热点题型3 电荷在复合场中的运动分析 析典例·建模型 例3【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设从A点射入的粒子轨道半径为r，由几何关系得： 由，得， 解得： （2）粒子在磁场中运动的时间为： 粒子在电场中运动的加速度大小为： 粒子在电场中运动的时间为： 所以，从A点射入磁场的粒子再次回到磁场的时间为： （3）从圆弧中点P处射入的粒子必经过坐标原点O，设在O点时速度与x轴正方向的夹角为，则：， 粒子进入电场后做类斜抛运动，第一次经过x轴正半轴时离坐标原点的距离为： 粒子再次进入磁场，速度与x轴正方向的夹角为45°，第二次经过x轴正半轴时离坐标原点的距离为： 粒子第三次经过x轴正半轴时离坐标原点的距离为： 破类题·提能力 3．【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）从到，根据动能定理可得 解得 把电场沿x轴和轴分解，由题意可得水平方向 竖直方向 电场强度 联立解得 （2）粒子在电场中运动，沿x方向做匀变速直线运动，有 由题意可知粒子在磁场中做圆周运动的半径为 粒子在区域中转过的圆心角为 则粒子在区域中运动的时间为，其中 粒子由P点到A点的时间为 联立解得 （3）在区域中，洛伦兹力提供向心力 在点，对粒子用配速法，设沿x轴正方向，对应的洛伦兹力与静电力平衡，与等大反向的与的合速度对应洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，这样粒子进入区域II中的运动分解为以的匀速直线运动和以的匀速圆周运动，则有， 联立解得，沿轴负方向， 设对应的匀速圆周运动的半径为，由洛伦兹力提供向心力有 解得 其运动轨迹如图所示 粒子从第1次到第5次经过x轴，共运动了2个周期，粒子运动时间为 其中 粒子在第1次和第5次经过轴的位置之间的距离 刷模拟 1．【答案】(1)， (2)和 【详解】（1）时刻射入电场的电子做类平抛运动，垂直于板面方向    由牛顿第二定律可得   且 解得    初速度方向做匀速运动，有 离开电场时垂直于板面方向速度 离开电场时偏转角度的正切    解得 （2）研究时间内射入的电子，设在时刻射入的电子，在时刻射出电场时速度方向平行于中线方向，设电子在内加速度为，则在时间内加速度为 故有   且    解得 研究时间内射入的电子，设在时刻射入的电子，在时刻射出电场时速度方向平行于中线方向 则有   且    解得 综上，考虑到交变电场的周期性，故在时刻和时刻射入电场的电子将平行于中线射出电场。 2.【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理有 解得 （2）当时，最后达到共同速度为v，根据动量守恒有 解得 解除锁定之前，它们对地的位移分别为，，，，对系统，根据能量守恒有 解得 （3）解除锁定之后，第2个滑块的最小速度为，此时第一个滑块的速度为，对所有滑块和木板组成的系统，根据动量守恒有 又有 解得 解除锁定时第2个物块的速度为，对第二块滑块，根据动量定理有 解得 3.【答案】(1) (2)， 【详解】（1）设电子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，根据几何关系有 解得 洛伦兹力提供向心力可得 解得电子通过点时的速度大小 （2）电子射入电容器时的速度大小 解得 对电子在电容器中运动的过程，根据动能定理有 解得 电子在电容器中运动的时间 解得 又 解得 4．【答案】(1) (2)（L，3L） (3) 【详解】（1）设粒子从O点运动至P点的时间为，粒子沿x轴方向做匀速直线运动，有 粒子沿y轴方向做匀加速直线运动，有qE＝ma， 解得 （2）从O点射出的粒子，到达P点时，速度与x轴正向的夹角设为，则 粒子以速度进入匀强磁场后做匀速圆周运动，轨迹半径设为r，根据洛伦兹力提供向心力有 由几何关系，粒子打中接收器右侧时，纵坐标y满足 解得y＝3L 故所求位置坐标为（L，3L）。 （3）由题意分析知，自L＜y＜2L范围内发射出的粒子，从匀强电场上边界离开电场，之后做匀速直线运动，到达接收器左侧。设粒子由发射至离开匀强电场，运动时间为t，离开匀强电场位置的横坐标为x，速度v与x轴正向的夹角设为，则有，， 粒子到达接收器的位置与N点的距离为d，由几何关系 联立得 得 所以，接收器左侧被粒子打中区域在N点及其上方内，故被打中区域长度为。 5．【答案】(1)，方向沿方向 (2) (3)见解析 【详解】（1）根据题意，由点电荷场强公式可知，两个固定点电荷在点产生的电场强度大小为 由场强叠加原理可得，点处电场强度的大小 方向沿方向。 （2）根据题意可知，对处微粒，由牛顿第二定律有 对处微粒，由牛顿第二定律有 由对称性可知 又有， 联立解得 （3）根据题意可知，两微粒发生弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律有， 解得两微粒每次碰撞交换速度，且每发生偶数次碰撞，均回归原速度，碰撞位置沿圆周做等时间等间隔的移动，考虑每相邻两次碰撞时间内，碰撞位置旋转过的角度 则回到原位置需要的最少碰撞次数为次，设相邻两次碰撞间的时间为，由匀速圆周运动规律有 解得 当为偶数时，两微粒原速度回到原位置，需要碰撞的最少次数为次，则有 解得 当为奇数时，两微粒原速度回到原位置，需要碰撞的最少次数为次，则有 解得 6．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对粒子，在电场中，有 其中， 解得 （2）粒子在电场中的轨迹如图所示 在电场中有 解得 解得 故 （3）在竖直方向很短的时间内，由动量定理有 求和可得 从进入磁场到右边界，速度大小变为v0，方向沿y轴负方向， 解得 又 解得， 刷真题 1．【答案】(1) (2) 【详解】（1）由牛顿第二定律 由运动学公式 联立可得微粒第一次到达下极板所需的时间为 （2）微粒第一次到达下极板时的速度大小为 由于微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变，设微粒碰后第一次到达上极板时的速度大小为，满足 代入解得 同理可得微粒第一次从上极板回到O点时的速度大小为，满足 代入解得 故微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小为 2．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O点产生光点，其运动半径 运动过程中由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （2）若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N点相切，如图 由于K从水平方向逆时针旋转60°，则，根据和和关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力可知 解得 （3）由题意带正电粒子恰好在M点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M点做正电粒子轨迹的切线，切点为P，如图 根据前面解析可知，所以 由于，且 根据几何关系可知，而 所以 粒子在磁场中运动的周期，对应的圆心角 所以 3．【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，粒子受到重力、洛伦兹力和电场力做匀速圆周运动，可以判断粒子受到的电场力与重力平衡，则 解得 粒子做匀速圆周运动，圆周运动轨迹如图所示 洛伦兹力提供向心力得 解得粒子运动的轨道半径 根据圆周运动轨迹，由几何关系得 代入数据解得。 （2）粒子做匀速圆周运动，可能的运动轨迹如图所示 设粒子进入磁场中速度方向与磁场分界面成角，由几何关系可得 可解得 设粒子在磁场中运动的轨道半径为，根据圆周运动轨迹可知粒子运动到点应满足 当取最小值时，运动时间最短。所以当时，运动时间最短，代入的值解得 根据 联立可得 当该带电粒子沿轴正方向飞出到达点时间最小时，的大小为。 （3）若将电场方向改为轴方向正方向，由受力分析，粒子受到沿轴正方向的洛伦兹力、沿轴负方向的重力、沿轴正方向的电场力，根据 解得粒子受到的洛伦兹力大小为 正好与重力相平衡，所以粒子在轴正方向做匀加速直线运动，有 由牛顿第二定律有 粒子在轴正方向做匀速直线运动，有 联立解得轨迹方程 4．【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）作出正电荷在磁场中运动的轨迹，如图所示 由几何关系可知，正电荷在磁场中做匀速圆周运动的半径为 由洛伦兹力提供向心力 解得正电荷的入射速度大小为 正电荷在磁场中运动的周期为 所以正电荷从M运动到N的时间为 （2）由题意可知，在平面内的负电荷在圆心O处，由牛顿第二定律可知，其中 解得或（舍去） （3）在（2）的条件下，由题意可知，粒子从N点离开，仅在点电荷的作用下运动，粒子所需要的向心力大于点电荷提供的库仑力，因此粒子无法做匀速圆周运动，即正电荷从N点离开磁场后绕负电荷做椭圆运动，如图所示 由能量守恒定律得 由开普勒第二定律可知 其中 联立解得 由牛顿第二定律 解得 故正电荷从点离开磁场后到首次速度变为与点的射出速度相反的时间为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $