大题突破08 磁场2（广东专用）2026年高考物理终极冲刺讲练测

大题08 磁场2 目录 【命题解码·定方向】 【解题建模·通技法】 热点题型1 带电粒子在叠加场中的运动 通技法 带电粒子在叠加场中运动的解题方法 热点题型2 带电粒子在交变电磁场中的运动 通技法 带电粒子在交变电磁场中运动的解题方法 热点题型3 带电粒子在磁场中运动的多解问题 通技法 带电粒子在磁场中运动多解的解题方法 【实战刷题·冲高分】 刷模拟 刷真题 命题·趋势·定位 一、带电粒子在叠加场中的运动： 电场、磁场、重力场中的两者或三者在同一区域共存，就形成叠加场。带电粒子在叠加场中的运动，一般具有较复杂的运动情景，涉及力的种类较多，包含的运动类型多，综合性强，对数学水平有较高的要求。 二、带电粒子在交变电磁场中的运动： 这类问题由于磁场是有边界的，空间往往受到约束从而决定了粒子运动的半径，进而影响其它物理量，造成临界状态和极值的存在。需要学生掌握一定的几何知识和具备较高的空间想象力。解题的关键在于临界状态和极值的确定。 三、带电粒子在磁场中运动的多解问题： 组合场为电场、磁场交替出现但不重叠，带电粒子在电场力作用下的运动与洛伦兹力作用下的运动有不同的特点，在高考中常把这两种情景组合起来，学生需要将带电粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理，对速度、距离等的衔接要理清思路。 热点题型1带电粒子在叠加场中的运动 析典例·建模型 例1. 如图，边长为L的正方形区域及矩形区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与边平行的匀强电场，右边有一半径为且与相切的圆形区域，切点为的中点，该圆形区域与区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经边的中点进入区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求： (1)粒子沿直线通过区域时的速度大小； (2)粒子的电荷量与质量之比； (3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。  研考点·通技法 带电粒子在叠加场中运动的解题方法 1、解题思路 2、注意问题 直线运动：①带电粒子所受合外力为零时，做匀速直线运动，处理这类问题，应根据受力平衡列方程求解；②带电粒子所受合外力恒定，且与初速度在一条直线上，粒子将作匀变速直线运动，处理这类问题，根据洛伦兹力不做功的特点，选用牛顿第二定律、动量定理、动能定理、能量守恒等规律列方程求解。 曲线运动：①当带电粒子在所受的重力与电场力等值反向时，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动.处理这类问题，往往同时应用牛顿第二定律、动能定理列方程求解；②当带电粒子所受的合外力是变力，与初速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，一般处理这类问题，选用动能定理或能量守恒列方程求解。 3、解题方法 叠加场的组成：弄清电场、磁场、重力场叠加情况； 叠加场的组成：弄清电场、磁场、重力场叠加情况； 运动分析：注意运动情况和受力情况的结合； 分段分析：粒子通过不同种类的场时，分段讨论； 画出轨迹：①静止或匀速直线运动（运用平衡条件）；②匀速圆周运动（运用牛顿运动定律和圆周运动规律）；③复杂曲线运动（运用动能定理或能量守恒定律）；④对于临界问题，注意挖掘隐含条件。 受力分析是基础：一般要从受力、运动、功能的角度来分析．这类问题涉及的力的种类多，含重力、电场力、磁场力、弹力、摩擦力等。 运动过程分析是关键：包含的运动种类多，含匀速直线运动、匀变速直线运动、类平抛运动、圆周运动以及其他曲线运动。 根据不同的运动过程及物理模型，选择合适的定理列方程（牛顿运动定律、运动学规律、动能定理、能量守恒定律等）求解。 破类题·提能力 1. 电子束焊枪是利用“磁透镜”将电子束汇聚到工件上的装置，高速电子撞击工件使金属熔化实现焊接。其简化原理如图甲所示，经加速后的电子束匀速通过速度选择器，以速度垂直“磁透镜”的左端面射入，“磁透镜”是长为，中心轴线为MN的圆柱体，其内分布着同心圆环磁场，磁场磁感线分布如图乙所示（从左向右看），它的磁感应强度大小B与该点到中心轴线的距离r成正比，即，其中k为常量。已知电子的质量为m、电荷量大小为e，速度选择器两平行极板间距为d，匀强磁场的磁感应强度为。已知：当物体所受的力F与其位移x满足的形式时，物体做简谐运动的周期为。 (1)求速度选择器两极板所加电压的大小U。 (2)由于电子通过圆柱体的时间极短，忽略电子束轴向速度的变化和径向位移，分析论证，电子束将汇聚到轴线上的某一点。 (3)调节速度选择器电压，改变进入“磁透镜”电子的速度，考虑电子径向位移、忽略电子束轴向速度的变化，使近轴电子束恰能汇聚到圆柱体的右端面和中心轴线的交点N上，求电子束进入“磁透镜”的最大速度。 热点题型2带电粒子在交变电磁场中的运动 析典例·建模型 例2. 如图，两竖直平行线间存在两个有界匀强磁场，其中水平分界线上方Ⅰ区域磁场垂直纸面向里，分界线下方Ⅱ区域磁场垂直纸面向外，磁感应强度均为B。一个质量为、电荷量为的粒子以速度可以分别从左边界的两点水平射入磁场中。已知两点间的距离等于与的距离等于，粒子重力忽略不计。 （1）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径； （2）若粒子从点射入磁场中且恰好不从磁场左边界射出，求入射点到的距离； （3）若粒子从点射入磁场中，求粒子在磁场中运动的总时间。   研考点·通技法 带电粒子在交变电磁场中运动的解题方法 1、解题思路 2、注意问题 应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口。 3、解题方法 先读图，看清并且明白不同场的变化情况； 受力分析，分析粒子在不同的变化场区的受力情况； 过程分析，分析粒子在不同时间段内的运动情况； 找衔接点，找出衔接相邻两个过程的速度大小及方向； 选规律，联立不同阶段的方程求解。 破类题·提能力 2. 如图甲所示，足够大的两平行板P、Q水平固定，间距为d，板间有可独立控制的周期性变化的电场和磁场。电场和磁场都取垂直纸面向里为正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电场强度随时间的变化规律如图丙所示。时刻，一质量为m、带电量为的带电粒子（不计重力），以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置水平向右射入两板间。当B0、TB、TE取某些特定值时，可使粒子经一段时间垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、E0、v0、d为已知量。 (1)若只加磁场且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求粒子在板间运动的时间以及水平位移； (2)若同时加电场和磁场，且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求TE应满足的条件以及粒子在板间运动的位移大小。 热点题型3带电粒子在磁场中运动的多解问题 析典例·建模型 例3. 如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，OP与OM间的夹角为30°。一质量为m、带电量为的粒子从分界线上的P点以速度v、沿与分界线OP成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O点离开磁场区域，不计粒子的重力。 （1）求OP之间的距离； （2）若粒子从P点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O点离开磁场区域，求粒子射入时速度大小的可能值。 研考点·通技法 带电粒子在磁场中运动多解的解题方法 1、解题思路 2、注意问题 周期性的多解问题要注意寻找通式。 3、解题方法 根据题意，确定多解的问题类型； 对运动过程进行受力分析和几何分析； 画出粒子运动的可能草图； 根据规律列方程进行求解。 破类题·提能力 3．如图，半径为R和2R的同心圆a、b将足够大的空间分隔为I、II、III区域，圆心为O。I区存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场；II区存在沿半径方向向外的辐向电场；III区存在方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未标出）。一带电粒子从P点沿半径方向以速度v0射入I区，偏转后从K点离开I区，穿过II区后，以速率进入III区。已知∠POK=60°，忽略带电粒子所受重力。 (1)判断粒子的电性并求出其比荷； (2)求a、b之间的电势差Uab； (3)若粒子第三次从II区进入III区之前能经过P点，求III区磁场磁感应强度大小。 刷模拟 1．如图甲是一种利用磁场约束离子运动的装置原理图，内、外半径分别为R和3R的圆筒共轴放置，轴线水平，在轴线正下方是一对平行金属板，上板正中间的小孔a与外筒正中间的小孔b在通过轴线的同一竖直线上，a、b间距离为d、两筒之间分布着以轴为圆心的同心磁场，各处磁感应强度大小近似相等，磁感应强度为B，从右往左看截面如图乙所示。在平行板下板中央的一个质量为m、电量为e的氢离子（）从静止加速经小孔a从小孔b进入磁场，在磁场中的轨迹恰好与内筒下边缘相切；一段时间后调节板间电压为原来的2倍，并让一个氘核（）在下极板同一位置从静止加速也进入磁场。已知离子与筒壁正碰后均原速反弹且碰撞时间极短，离子与筒壁接触其电荷量不变，筒壁光滑，忽略离子间的相互作用和它们在平行板间加速的时间。 （1）求加速氢离子时平行板间的电压U多大； （2）分析氘核是否与内筒壁碰撞，如果与内筒壁碰撞，求它与内筒壁第一次碰撞的点P（未在图中画出）与小孔b的水平距离s的大小； （3）若氢离子第一次与筒左侧壁垂直碰撞后沿直线返回，运动到P点时与氘核相遇，筒长，求氢、氘核释放的时间间隔。 2．如图所示，空间中存在垂直于平面向里的匀强磁场。轴正方向竖直向上，轴正方向水平向右。轴上有一厚度不计的薄板，垂直于平面固定，薄板长度为，中点位于点。一质量为、电荷量为的带正电粒子，可从轴上处的点以速率沿平面向不同方向发射。若粒子打到薄板下表面会被吸收，打到薄板上表面会被反弹，粒子与薄板间的碰撞为弹性碰撞，碰撞前后速度大小不变，方向遵循光的反射定律，不计粒子重力。 （1）求粒子从发射到被吸收经历的最短时间。 （2）粒子发射后能否与薄板碰撞一次就返回点？若能，求粒子发射方向与轴负方向的夹角，若不能，请说明理由。 （3）粒子发射后与薄板碰撞次（）后能返回点，求粒子发射方向与轴负方向夹角α正弦值的表达式。 3．研究带电微粒与挡板多次碰撞的简化图如图所示。竖直面内直角坐标系的第四象限内存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为（未知），、上分别固定竖直挡板1、2，上固定足够长的水平挡板3.挡板1的长度为，上端点固定在点。挡板2的上端点固定在轴上的点，其长度可以调节（即挡板2的下端点可沿移动）。一弹射器从点以初速度（未知），沿轴正方向射出一质量为、电荷量为的带电微粒。当带电微粒与挡板2的右侧面或挡板3碰撞后会被吸附，其余碰撞均视为弹性碰撞（即碰撞前后微粒竖直方向的分速度不变，水平方向的分速度等大反向），所有碰撞时间均极短，挡板厚度均不计，重力加速度大小为。求： (1)若带电微粒射出时的初速度，调节挡板2的长度，使微粒与挡板2碰撞一次后刚好击中挡板1的下端点，则电场强度E的大小为多少？ (2)若撤去电场，调节挡板2的长度，使Q点的坐标为，微粒射出后与挡板1、2共发生4次碰撞，最终吸附在挡板1、2间的挡板3上，则初速度的取值范围为多少？ (3)若电场强度，调节挡板2的长度，使Q点的坐标为，第四象限内再布置一磁感应强度大小为的匀强磁场，初始时，磁场方向垂直于纸面向里，微粒与挡板发生第1次碰撞后磁场反向，之后若前后两次与微粒碰撞的挡板不同，则磁场反向，否则则不变。已知微粒与挡板2的左侧面碰撞2次后与挡板1、3无碰撞，则初速度的取值范围为多少？ 4．如图，空间存在着相互垂直的匀强电场和匀强磁场区域，该区域内有一边长为L的正方体，正方体顶点a、c、的电势之比为。若质子以的动能从a点沿方向射入该区域，质子恰好做匀速直线运动；若撤去磁场，仅保留电场，质子仍以的动能从a点沿方向射入该区域，质子在面内运动并以的动能从离开正方体。已知质子的质量为m、电荷量为q，重力不计。 (1)求a点的电势； (2)在正方体上标出电场和磁场方向（要求简要说明理由）并求出电场强度和磁感应强度的大小； (3)若撤去电场，只保留磁场，一束包含不同动能的质子流从c点沿方向射入正方体区域，测得所有质子穿过正方体的时间相同。求n的取值范围。 5．如图甲所示，两个几何形状完全相同的平行板电容器PQ和MN，水平置于水平方向的匀强磁场中（磁场区域足够大），两电容器极板的左端和右端分别在同一竖直线上，已知P、Q之间和M、N之间的距离都是d，极板本身的厚度不计，板间电压都是U，两电容器的极板长相等．今有一电子从极板PQ中轴线左边缘的O点，以速度v0沿其中轴线进入电容器，并做匀速直线运动，此后经过磁场偏转又沿水平方向进入到电容器MN之间，且沿MN的中轴线做匀速直线运动，再经过磁场偏转又通过O点沿水平方向进入电容器PQ之间，如此循环往复．已知电子质量为m，电荷量为e．不计电容之外的电场对电子运动的影响． （1）试分析极板P、Q、M、N各带什么电荷？ （2）求Q板和M板间的距离x ； （3）若只保留电容器右侧区域的磁场，如图乙所示．电子仍从PQ极板中轴线左边缘的O点，以速度v0沿原方向进入电容器，已知电容器极板长均为．则电子进入电容器MN时距MN中心线的距离？要让电子通过电容器MN后又能回到O点，还需在电容器左侧区域加一个怎样的匀强磁场？ 刷真题 1．如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为、周期为的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场。磁感应强度大小为B．一带电粒子在时刻从左侧电场某处由静止释放，在时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。 （1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q； （2）求金属板的板间距离D和带电粒子在时刻的速度大小v； （3）求从时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。 2．如图，建立直角坐标系轴正方向水平向右，轴正方向垂直纸面向里（轴未画出），轴正方向竖直向上。空间中存在方向竖直向上的匀强电场，在的区域I和的区域II中均存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，区域I的磁感应强度大小为，区域II的磁感应强度大小未知。有一带正电荷的粒子，质量为、电荷量为，以速率从点沿轴正方向射出后，在区域、中均可做匀速圆周运动，且恰好能经过轴上的点，点坐标为。已知，，为重力加速度。 (1)求电场强度大小及该粒子第一次经过平面时的位置对应的坐标值； (2)求粒子从点到点的运动时间最短时区域的磁感应强度大小； (3)若仅将匀强电场的方向改为沿轴正向，该粒子仍以速率从点沿轴正方向射出，求该粒子的轨迹方程。 3．图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能从圆b上P点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取。 （1）当时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能； （2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值。 4．带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流（每个粒子的质量为、电荷量为）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在平面内的粒子，求解以下问题。 （1）如图（a），宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入圆心为、半径为的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点，求该磁场磁感应强度的大小； （2）如图（a），虚线框为边长等于的正方形，其几何中心位于。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到点的带电粒子流经过该区域后宽度变为，并沿轴正方向射出。求该磁场磁感应强度的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）； （3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为，并沿轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。 5．空间存在两个垂直于平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为、。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求： (1)Q到O的距离d； (2)甲两次经过P点的时间间隔； (3)乙的比荷可能的最小值。 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 大题08 磁场2 目录 【命题解码·定方向】 【解题建模·通技法】 热点题型1 带电粒子在叠加场中的运动 通技法 带电粒子在叠加场中运动的解题方法 热点题型2 带电粒子在交变电磁场中的运动 通技法 带电粒子在交变电磁场中运动的解题方法 热点题型3 带电粒子在磁场中运动的多解问题 通技法 带电粒子在磁场中运动多解的解题方法 【实战刷题·冲高分】 刷模拟 刷真题 命题·趋势·定位 一、带电粒子在叠加场中的运动： 电场、磁场、重力场中的两者或三者在同一区域共存，就形成叠加场。带电粒子在叠加场中的运动，一般具有较复杂的运动情景，涉及力的种类较多，包含的运动类型多，综合性强，对数学水平有较高的要求。 二、带电粒子在交变电磁场中的运动： 这类问题由于磁场是有边界的，空间往往受到约束从而决定了粒子运动的半径，进而影响其它物理量，造成临界状态和极值的存在。需要学生掌握一定的几何知识和具备较高的空间想象力。解题的关键在于临界状态和极值的确定。 三、带电粒子在磁场中运动的多解问题： 组合场为电场、磁场交替出现但不重叠，带电粒子在电场力作用下的运动与洛伦兹力作用下的运动有不同的特点，在高考中常把这两种情景组合起来，学生需要将带电粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理，对速度、距离等的衔接要理清思路。 热点题型1带电粒子在叠加场中的运动 析典例·建模型 例1. 如图，边长为L的正方形区域及矩形区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与边平行的匀强电场，右边有一半径为且与相切的圆形区域，切点为的中点，该圆形区域与区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经边的中点进入区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求： (1)粒子沿直线通过区域时的速度大小； (2)粒子的电荷量与质量之比； (3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。  【思路建立】　 第一问的思路： 第二问的思路： 第三问的思路： 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在区域做直线运动，则有电场力与洛伦兹力平衡，可知粒子带正电，经边的中点速度水平向右，设粒子到达边的中点速度大小为，带电荷量为，质量为，由平衡条件则有 解得 （2）粒子从b点到边的中点的运动，可逆向看做从边的中点到b点的类平抛运动，设运动时间为，加速度大小为，由牛顿第二定律可得 由类平抛运动规律可得 联立解得粒子的电荷量与质量之比 （3）粒子从中点射出到圆形区域做匀圆周运动，设粒子的运动半径为，由洛伦兹力提供向心力可得 解得 粒子在磁场中运动轨迹图如图所示，由图可知，粒子沿半径方向射入，又沿半径方向射出，设粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角为，由几何关系可知 可得 则有。 研考点·通技法 带电粒子在叠加场中运动的解题方法 1、解题思路 2、注意问题 直线运动：①带电粒子所受合外力为零时，做匀速直线运动，处理这类问题，应根据受力平衡列方程求解；②带电粒子所受合外力恒定，且与初速度在一条直线上，粒子将作匀变速直线运动，处理这类问题，根据洛伦兹力不做功的特点，选用牛顿第二定律、动量定理、动能定理、能量守恒等规律列方程求解。 曲线运动：①当带电粒子在所受的重力与电场力等值反向时，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动.处理这类问题，往往同时应用牛顿第二定律、动能定理列方程求解；②当带电粒子所受的合外力是变力，与初速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，一般处理这类问题，选用动能定理或能量守恒列方程求解。 3、解题方法 叠加场的组成：弄清电场、磁场、重力场叠加情况； 叠加场的组成：弄清电场、磁场、重力场叠加情况； 运动分析：注意运动情况和受力情况的结合； 分段分析：粒子通过不同种类的场时，分段讨论； 画出轨迹：①静止或匀速直线运动（运用平衡条件）；②匀速圆周运动（运用牛顿运动定律和圆周运动规律）；③复杂曲线运动（运用动能定理或能量守恒定律）；④对于临界问题，注意挖掘隐含条件。 受力分析是基础：一般要从受力、运动、功能的角度来分析．这类问题涉及的力的种类多，含重力、电场力、磁场力、弹力、摩擦力等。 运动过程分析是关键：包含的运动种类多，含匀速直线运动、匀变速直线运动、类平抛运动、圆周运动以及其他曲线运动。 根据不同的运动过程及物理模型，选择合适的定理列方程（牛顿运动定律、运动学规律、动能定理、能量守恒定律等）求解。 破类题·提能力 1. 电子束焊枪是利用“磁透镜”将电子束汇聚到工件上的装置，高速电子撞击工件使金属熔化实现焊接。其简化原理如图甲所示，经加速后的电子束匀速通过速度选择器，以速度垂直“磁透镜”的左端面射入，“磁透镜”是长为，中心轴线为MN的圆柱体，其内分布着同心圆环磁场，磁场磁感线分布如图乙所示（从左向右看），它的磁感应强度大小B与该点到中心轴线的距离r成正比，即，其中k为常量。已知电子的质量为m、电荷量大小为e，速度选择器两平行极板间距为d，匀强磁场的磁感应强度为。已知：当物体所受的力F与其位移x满足的形式时，物体做简谐运动的周期为。 (1)求速度选择器两极板所加电压的大小U。 (2)由于电子通过圆柱体的时间极短，忽略电子束轴向速度的变化和径向位移，分析论证，电子束将汇聚到轴线上的某一点。 (3)调节速度选择器电压，改变进入“磁透镜”电子的速度，考虑电子径向位移、忽略电子束轴向速度的变化，使近轴电子束恰能汇聚到圆柱体的右端面和中心轴线的交点N上，求电子束进入“磁透镜”的最大速度。 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）电子束匀速通过速度选择器，受力平衡，则有 解得 （2）对距离中心轴线为的电子，由于忽略电子束轴向速度的变化，即将洛伦兹力视为恒力，据动量定理，在磁场内沿径向则有 出磁场后两个方向均做匀速运动，设电子打到轴线上位置距磁场右边界的距离为，则有径向 轴向 联立解得 可见与无关，故所有电子都汇聚到轴线上同一点。 （3）不计电子束轴向速度的变化，设电子沿轴线的初速度为，径向的力为，则有 电子在径向受力与偏离轴向的距离成正比，故在径向电子做简谐运动，其周期 电子从射入磁场区到点过程：沿径向 沿轴向 当时，解得 。 热点题型2带电粒子在交变电磁场中的运动 析典例·建模型 例2. 如图，两竖直平行线间存在两个有界匀强磁场，其中水平分界线上方Ⅰ区域磁场垂直纸面向里，分界线下方Ⅱ区域磁场垂直纸面向外，磁感应强度均为B。一个质量为、电荷量为的粒子以速度可以分别从左边界的两点水平射入磁场中。已知两点间的距离等于与的距离等于，粒子重力忽略不计。 （1）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径； （2）若粒子从点射入磁场中且恰好不从磁场左边界射出，求入射点到的距离； （3）若粒子从点射入磁场中，求粒子在磁场中运动的总时间。   【思路分析】　 第一问的思路： 第二问的思路： 第三问的思路： 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）根据题意作图，如图所示    根据几何关系可知 解得 （3）由于，与的距离等于，可知粒子的运动时间为 粒子运动的周期为 联立解得。 研考点·通技法 带电粒子在交变电磁场中运动的解题方法 1、解题思路 2、注意问题 应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口。 3、解题方法 先读图，看清并且明白不同场的变化情况； 受力分析，分析粒子在不同的变化场区的受力情况； 过程分析，分析粒子在不同时间段内的运动情况； 找衔接点，找出衔接相邻两个过程的速度大小及方向； 选规律，联立不同阶段的方程求解。 破类题·提能力 2. 如图甲所示，足够大的两平行板P、Q水平固定，间距为d，板间有可独立控制的周期性变化的电场和磁场。电场和磁场都取垂直纸面向里为正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电场强度随时间的变化规律如图丙所示。时刻，一质量为m、带电量为的带电粒子（不计重力），以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置水平向右射入两板间。当B0、TB、TE取某些特定值时，可使粒子经一段时间垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、E0、v0、d为已知量。 (1)若只加磁场且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求粒子在板间运动的时间以及水平位移； (2)若同时加电场和磁场，且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求TE应满足的条件以及粒子在板间运动的位移大小。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）若只加磁场且磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子在磁场中的轨迹如图，由图可知 解得 粒子在板间运动的水平位移 圆周运动的周期 粒子在板间运动的时间 （2）若同时加电场和磁场，且磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子在磁场中的轨迹如图，圆周运动的周期 粒子在一个电场周期内，沿电场方向的速度变化为零，要使粒子垂直打到P板上，有 解得 粒子沿电场方向的位移大小 在磁场中的位移 则粒子在板间运动的位移大小 热点题型3带电粒子在磁场中运动的多解问题 析典例·建模型 例3. 如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，OP与OM间的夹角为30°。一质量为m、带电量为的粒子从分界线上的P点以速度v、沿与分界线OP成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O点离开磁场区域，不计粒子的重力。 （1）求OP之间的距离； （2）若粒子从P点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O点离开磁场区域，求粒子射入时速度大小的可能值。 【思路分析】　 第一问的思路; 第二问的思路： 【答案】（1）（2） 【详解】（1）根据牛顿第二定律 得 粒子运动轨迹如图 OP长度为 （2）粒子从点离开一定是从区域Ⅰ与相切离开磁场区域，故 根据几何关系 即 ， 解得。 研考点·通技法 带电粒子在磁场中运动多解的解题方法 1、解题思路 2、注意问题 周期性的多解问题要注意寻找通式。 3、解题方法 根据题意，确定多解的问题类型； 对运动过程进行受力分析和几何分析； 画出粒子运动的可能草图； 根据规律列方程进行求解。 破类题·提能力 3．如图，半径为R和2R的同心圆a、b将足够大的空间分隔为I、II、III区域，圆心为O。I区存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场；II区存在沿半径方向向外的辐向电场；III区存在方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未标出）。一带电粒子从P点沿半径方向以速度v0射入I区，偏转后从K点离开I区，穿过II区后，以速率进入III区。已知∠POK=60°，忽略带电粒子所受重力。 (1)判断粒子的电性并求出其比荷； (2)求a、b之间的电势差Uab； (3)若粒子第三次从II区进入III区之前能经过P点，求III区磁场磁感应强度大小。 【答案】(1)负电， (2) (3)，， 【详解】（1）粒子从P点沿半径方向射入I区，偏转后从K点离开I区，根据左手定则可知，四指指向与粒子运动方向相反，则带电粒子带负电。设带电粒子所带电量为-q，粒子在I区做匀速圆周运动的半径为r，作出粒子运动轨迹如图（a）所示 根据几何关系有 粒子在I区做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）带电粒子在II区做减速直线运动，根据动能定理有 结合上述解得 （3）带电粒子在III区运动，设轨迹半径为r1，III区磁场磁感应强度大小Bx，则有 结合上述解得 作出粒子运动轨迹，如图（b）所示 设粒子在b圆面上N1射入III区，在N2点离开III区，令∠N1ON2=θ，在I区内运动k1次，III区内运动k2次后，回到P点，则有（k1、k2均为正整数，且有，） 可知，粒子运动轨迹有三种可能性。情况i： 当k1=1，k2=1时，时，带电粒子在III区运动后，沿PO方向直接进入II区时，运动轨迹如图（c）所示 根据几何关系有 结合上述解得， 情况ii： 当k1=2，k2=1时，，带电粒子在III区运动后，进入II区，又在I区运动后，沿OP方向回到P点时，运动轨迹如如图（d）所示 根据几何关系有 结合上述解得， 情况iii： 当k1=3，k2=2时，，带电粒子两次进入III区，又在I区运动后，沿OP方向回到P点时，轨迹如图（e）所示 根据几何关系有r1=2R,结合上述解得。 刷模拟 1．如图甲是一种利用磁场约束离子运动的装置原理图，内、外半径分别为R和3R的圆筒共轴放置，轴线水平，在轴线正下方是一对平行金属板，上板正中间的小孔a与外筒正中间的小孔b在通过轴线的同一竖直线上，a、b间距离为d、两筒之间分布着以轴为圆心的同心磁场，各处磁感应强度大小近似相等，磁感应强度为B，从右往左看截面如图乙所示。在平行板下板中央的一个质量为m、电量为e的氢离子（）从静止加速经小孔a从小孔b进入磁场，在磁场中的轨迹恰好与内筒下边缘相切；一段时间后调节板间电压为原来的2倍，并让一个氘核（）在下极板同一位置从静止加速也进入磁场。已知离子与筒壁正碰后均原速反弹且碰撞时间极短，离子与筒壁接触其电荷量不变，筒壁光滑，忽略离子间的相互作用和它们在平行板间加速的时间。 （1）求加速氢离子时平行板间的电压U多大； （2）分析氘核是否与内筒壁碰撞，如果与内筒壁碰撞，求它与内筒壁第一次碰撞的点P（未在图中画出）与小孔b的水平距离s的大小； （3）若氢离子第一次与筒左侧壁垂直碰撞后沿直线返回，运动到P点时与氘核相遇，筒长，求氢、氘核释放的时间间隔。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）过筒中间轴线的竖直截面如图所示， 氢离子的轨迹刚好与内筒相切，故其半径为 r1=2R 由洛伦兹力提供向心力 解得 由动能定理 解得加速氢离子的电压为 （2）设氘核在磁场中的运动半径为r2，速度v2，由牛顿第二定律可知 由动能定理 解得 r2=4R 因为r2>2R，则氘核会与内筒碰撞； 通过作图可得氘核与轨迹碰撞点如图中的P点所示，由 可知 θ=30° 由此可得P点与小孔沿轴方向的距离为 （3）氢离子与筒的左壁垂直碰撞后原速返弹，且沿着轴做匀速直线运动，运动轨迹如图所示 氢离子在磁场中的运动周期为 氘核在磁场中的运动周期 由上述分析可知相遇前氢原子在磁场中运动的时间为 氘核在磁场中运动的时间 两粒子释放时的时间间隔 又 v1=v2 解得 2．如图所示，空间中存在垂直于平面向里的匀强磁场。轴正方向竖直向上，轴正方向水平向右。轴上有一厚度不计的薄板，垂直于平面固定，薄板长度为，中点位于点。一质量为、电荷量为的带正电粒子，可从轴上处的点以速率沿平面向不同方向发射。若粒子打到薄板下表面会被吸收，打到薄板上表面会被反弹，粒子与薄板间的碰撞为弹性碰撞，碰撞前后速度大小不变，方向遵循光的反射定律，不计粒子重力。 （1）求粒子从发射到被吸收经历的最短时间。 （2）粒子发射后能否与薄板碰撞一次就返回点？若能，求粒子发射方向与轴负方向的夹角，若不能，请说明理由。 （3）粒子发射后与薄板碰撞次（）后能返回点，求粒子发射方向与轴负方向夹角α正弦值的表达式。 【答案】（1）（2）见解析；（3） 【详解】（1）粒子在磁场中做完整圆周运动的周期 设粒子做圆周运动的轨迹半径为R，有 可得 当粒子发射后直接打到薄板下表面的O点，用时最短，如图甲所示 设粒子发射方向与y轴正方向的夹角为θ，偏向右侧，由几何关系有 粒子从发射到吸收经历的最短时间 联立解得 （2）由对称性分析可知，当粒子发射后直接打到薄板上表面的O点，一次反射后恰好能回到P点，粒子轨迹如图乙所示，设粒子发射方向与y轴负方向间的夹角为，偏向右侧。 由几何关系有 得 此时轨迹圆弧与x轴的交点到O点的距离为 有 说明此种情况成立 （3）设粒子发射方向与y轴负方向间的夹角为α，偏向右侧。轨迹如图丙所示 圆心C到x轴的距离 第一次反射点为E，轨迹圆弧在x轴上弦长的一半为，有 第一次反射点E到O的距离 与薄板碰撞n次（）后能返回P点，由对称性分析可知 联立可得 解得 （另一解不符题意，舍去） 3．研究带电微粒与挡板多次碰撞的简化图如图所示。竖直面内直角坐标系的第四象限内存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为（未知），、上分别固定竖直挡板1、2，上固定足够长的水平挡板3.挡板1的长度为，上端点固定在点。挡板2的上端点固定在轴上的点，其长度可以调节（即挡板2的下端点可沿移动）。一弹射器从点以初速度（未知），沿轴正方向射出一质量为、电荷量为的带电微粒。当带电微粒与挡板2的右侧面或挡板3碰撞后会被吸附，其余碰撞均视为弹性碰撞（即碰撞前后微粒竖直方向的分速度不变，水平方向的分速度等大反向），所有碰撞时间均极短，挡板厚度均不计，重力加速度大小为。求： (1)若带电微粒射出时的初速度，调节挡板2的长度，使微粒与挡板2碰撞一次后刚好击中挡板1的下端点，则电场强度E的大小为多少？ (2)若撤去电场，调节挡板2的长度，使Q点的坐标为，微粒射出后与挡板1、2共发生4次碰撞，最终吸附在挡板1、2间的挡板3上，则初速度的取值范围为多少？ (3)若电场强度，调节挡板2的长度，使Q点的坐标为，第四象限内再布置一磁感应强度大小为的匀强磁场，初始时，磁场方向垂直于纸面向里，微粒与挡板发生第1次碰撞后磁场反向，之后若前后两次与微粒碰撞的挡板不同，则磁场反向，否则则不变。已知微粒与挡板2的左侧面碰撞2次后与挡板1、3无碰撞，则初速度的取值范围为多少？ 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）带电微粒在板间做类平抛运动，由牛顿第二定律 竖直方向 水平方向带电微粒以初速度做匀速直线运动，由于微粒与挡板2碰撞一次后刚好击中挡板1的下端点，所以水平位移，有 解得电场强度 （2）设微粒从射出到第3次碰撞时间为，有 竖直方向做自由落体运动，由几何关系 解得 设微粒从射出到吸附在挡板3的时间为，竖直方向 因为微粒射出后与挡板1、2共发生4次碰撞，最终吸附在挡板1、2间的挡板3上，水平方向上由几何关系 解得 又因为，初速度的取值范围为 （3）由于，电场力与重力平衡，所以微粒在磁场中做匀速圆周运动，半径为，有 解得 情况一：如图甲，根据对称性，若微粒与挡板2的左侧面2次碰撞之间与挡板1有1次碰撞，为确保与挡板2发生2次碰撞，应满足 为确保不与挡板3碰撞，应满足 解得 情况二：如图乙，根据对称性，若微粒与挡板2的左侧面2次碰撞之间与挡板1没有碰撞，为确保与挡板2发生1次碰撞，应满足 为确保不与挡板1碰撞，应满足 为确保与挡板2发生第2次碰撞，应满足 为确保与挡板2不发生第3次碰撞，应满足 为确保不与挡板3碰撞，应满足 综上 解得 4．如图，空间存在着相互垂直的匀强电场和匀强磁场区域，该区域内有一边长为L的正方体，正方体顶点a、c、的电势之比为。若质子以的动能从a点沿方向射入该区域，质子恰好做匀速直线运动；若撤去磁场，仅保留电场，质子仍以的动能从a点沿方向射入该区域，质子在面内运动并以的动能从离开正方体。已知质子的质量为m、电荷量为q，重力不计。 (1)求a点的电势； (2)在正方体上标出电场和磁场方向（要求简要说明理由）并求出电场强度和磁感应强度的大小； (3)若撤去电场，只保留磁场，一束包含不同动能的质子流从c点沿方向射入正方体区域，测得所有质子穿过正方体的时间相同。求n的取值范围。 【答案】(1) (2)见解析，， (3) 【详解】（1）根据题意，设、的电势分别为、，质子在电场中从运动到，由动能定理有 解得 （2）依题意，质子在面内运动，所以电场方向与该平面平行，为等势线，a点的电势高于c点的电势，又电场线与等势面垂直且由高电势指向低电势，所以电场方向沿ac由a指向c；由于质子做匀速直线运动，所以电场力与洛伦兹力大小相等，方向相反，根据左手定则，可以判断磁场方向沿，由d指向b，如图所示 设电场强度大小为，匀强电场中电势差与电场强度的关系有 其中， 联立解得 设匀强磁场的磁感应强度为，则有， 联立解得 （3）若撤去电场，只保留磁场，质子从点沿方向射入正方体区域，质子在面内运动，若入射动能不同，测得在该面内运动时间相同，则所有质子在如图面内转半圈后从边离开正方体 则有， 由几何关系有 联立解得 5．如图甲所示，两个几何形状完全相同的平行板电容器PQ和MN，水平置于水平方向的匀强磁场中（磁场区域足够大），两电容器极板的左端和右端分别在同一竖直线上，已知P、Q之间和M、N之间的距离都是d，极板本身的厚度不计，板间电压都是U，两电容器的极板长相等．今有一电子从极板PQ中轴线左边缘的O点，以速度v0沿其中轴线进入电容器，并做匀速直线运动，此后经过磁场偏转又沿水平方向进入到电容器MN之间，且沿MN的中轴线做匀速直线运动，再经过磁场偏转又通过O点沿水平方向进入电容器PQ之间，如此循环往复．已知电子质量为m，电荷量为e．不计电容之外的电场对电子运动的影响． （1）试分析极板P、Q、M、N各带什么电荷？ （2）求Q板和M板间的距离x ； （3）若只保留电容器右侧区域的磁场，如图乙所示．电子仍从PQ极板中轴线左边缘的O点，以速度v0沿原方向进入电容器，已知电容器极板长均为．则电子进入电容器MN时距MN中心线的距离？要让电子通过电容器MN后又能回到O点，还需在电容器左侧区域加一个怎样的匀强磁场？ 【答案】（1）P板带正电，Q板带负电，M板带负电，N板带正电；（2）（3）　，方向垂直于纸面向里（水平）． 【详解】（1）电子受磁场力向下，则受电场力向上，所以P板带正电，Q板带负电．同理可知，M板带负电，N板带正电．                               （2）电子在电容器中由平衡条件有 电子在磁场中做圆周运动的半径为R，则 Q板和M板间的距离，应满足 （3）电子离开电容器P、Q时的侧移量为 根据牛顿第二定律 vcosθ＝v0 h＝2rcosθ＝2R 电子进入电容器M、N之间的位置在中轴线以上y处． 电子进入电容器M、N后，在电场力作用下作类抛体运动，根据对称性可知，电子在竖直方向上的位移为y，离开电容器M、N的位置在中轴线以上2y处，速度大小为v0，方向与中轴线平行 根据牛顿第二定律 联立可得 方向垂直于纸面向里（水平） 刷真题 1．如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为、周期为的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场。磁感应强度大小为B．一带电粒子在时刻从左侧电场某处由静止释放，在时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。 （1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q； （2）求金属板的板间距离D和带电粒子在时刻的速度大小v； （3）求从时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。 【答案】（1）正电；；（2）；；（3） 【详解】（1）根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；粒子在磁场中运动的周期为 根据洛伦兹力提供向心力得 则粒子所带的电荷量 （2）若金属板的板间距离为D，则板长粒子在板间运动时 出电场时竖直速度为零，则竖直方向 在磁场中时 其中的 联立解得， （3）带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图，由（2）的计算可知金属板的板间距离 则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4 t0时刻进入左侧的电场做减速运动速度为零后反向加速，在6 t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5 t0时刻碰到上极板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有开始进入左侧电场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功，则 2．如图，建立直角坐标系轴正方向水平向右，轴正方向垂直纸面向里（轴未画出），轴正方向竖直向上。空间中存在方向竖直向上的匀强电场，在的区域I和的区域II中均存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，区域I的磁感应强度大小为，区域II的磁感应强度大小未知。有一带正电荷的粒子，质量为、电荷量为，以速率从点沿轴正方向射出后，在区域、中均可做匀速圆周运动，且恰好能经过轴上的点，点坐标为。已知，，为重力加速度。 (1)求电场强度大小及该粒子第一次经过平面时的位置对应的坐标值； (2)求粒子从点到点的运动时间最短时区域的磁感应强度大小； (3)若仅将匀强电场的方向改为沿轴正向，该粒子仍以速率从点沿轴正方向射出，求该粒子的轨迹方程。 【答案】(1) ， (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，粒子受到重力、洛伦兹力和电场力做匀速圆周运动，可以判断粒子受到的电场力与重力平衡，则有 解得 粒子在I区做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 又根据几何关系有 解得 （2）粒子做匀速圆周运动，可能的运动轨迹如图所示 设粒子进入磁场中速度方向与磁场分界面成角，根据几何关系有 解得 设粒子在磁场中运动的轨道半径为，根据圆周运动轨迹可知粒子运动到点应满足 当取最小值时，运动时间最短。结合上图分析，可知带电粒子在磁场中至少绕3次才能到达点，环绕的次数越少，用时越短，即时所用的时间最短，则有 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）若将电场方向改为轴方向正方向，由受力分析，粒子受到沿轴正方向的洛伦兹力、沿轴负方向的重力、沿轴正方向的电场力，则粒子在I区受到的洛伦兹力大小为 正好与重力相平衡，所以粒子在轴正方向做匀加速直线运动，有 根据牛顿第二定律有 解得 粒子在轴正方向做匀速直线运动，有 联立解得 3．图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能从圆b上P点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取。 （1）当时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能； （2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值。 【答案】（1），，；（2） 【详解】（1）电子在电场中加速有 在磁场Ⅰ中，由几何关系可得 联立解得 在磁场Ⅰ中的运动周期为 由几何关系可得，电子在磁场Ⅰ中运动的圆心角为 在磁场Ⅰ中的运动时间为 联立解得 从Q点出来的动能为 （2）在磁场Ⅰ中的做匀速圆周运动的最大半径为，此时圆周的轨迹与Ⅰ边界相切，由几何关系可得 解得 由于 联立解得 4．带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流（每个粒子的质量为、电荷量为）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在平面内的粒子，求解以下问题。 （1）如图（a），宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入圆心为、半径为的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点，求该磁场磁感应强度的大小； （2）如图（a），虚线框为边长等于的正方形，其几何中心位于。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到点的带电粒子流经过该区域后宽度变为，并沿轴正方向射出。求该磁场磁感应强度的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）； （3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为，并沿轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。 【答案】（1）；（2），垂直与纸面向里，；（3），，， 【详解】（1）粒子垂直进入圆形磁场，在坐标原点汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力 解得 （2）粒子从点进入下方虚线区域，若要从聚焦的点飞入然后平行轴飞出，为磁发散的过程，即粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁场区域 磁场半径为，根据可知磁感应强度为 根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为 （3）粒子在磁场中运动，3和4为粒子运动的轨迹圆，1和2为粒子运动的磁场的圆周 根据可知I和III中的磁感应强度为 ， 图中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状，取I区域如图 图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周与三角形之差，所以阴影部分的面积为 类似地可知IV区域的阴影部分面积为 根据对称性可知II中的匀强磁场面积为 5．空间存在两个垂直于平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为、。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求： (1)Q到O的距离d； (2)甲两次经过P点的时间间隔； (3)乙的比荷可能的最小值。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由 得， ，Q、O的距离为： (2)由(1)可知，完成一周期运动上升的距离为d，粒子再次经过P，经过N个周期， 所以，再次经过P点的时间为 由匀速圆周运动的规律得 ， 绕一周的时间为 所以，再次经过P点的时间为 两次经过P点的时间间隔为 (3)由洛伦兹力提供向心力，由 得， ， 完成一周期运动上升的距离 若乙粒子从第一象限进入第二象限的过程中与甲粒子在Q点相遇，则 ， 结合以上式子，n无解。 若乙粒子从第二象限进入第一象限的过程中与甲离子在Q点相遇，则 ， 计算可得 （n=1，2，3……） 由于甲乙粒子比荷不同，则n=2时，乙的比荷最小，为 洛伦兹力提供向心力，根据圆周运动规律可求出半径 画出运动轨迹图，根据几何关系可求出距离 根据运动规律可求出运动时间 画出粒子运动草图，洛伦兹力提供向心力，求出运动半径 根据运动轨迹，利用几何关系求出距离 粒子从O点离开一定是从区域Ⅰ与ON相切离开磁场区域，可得到半径关系 联合几何关系可求出速度的表达式 磁场力、电场力并存，带电粒子在cdef区域做直线运动，则有电场力与洛伦兹力平衡，可知粒子带正电，经cd边的中点速度水平向右 根据平衡列方程求出速度 粒子做类平抛运动 根据类平抛运动的规律可求出电荷量与质量之比 粒子在圆形区域做匀速圆周运动 根据圆周运动的规律求出运动半径，画出运动草图 根据几何关系求出夹角 37 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $