2025-2026学年北师大版七年级数学下册《第2章相交线与平行线》期中复习优生辅导训练题

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《第2章相交线与平行线》 期中复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线相交于点，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线外一点作于点，则线段的长度是点到直线的距离，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．的两边分别与的两边互相平行，则与的数量关系为（　　） A．互余 B．互补 C．相等或互补 D．相等或互余 3．如图，已知，直线分别交、于点、，作的平分线交于点，的度数为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．一副三角板按如图所示位置放置(其中，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．在南海海域巡航任务中，我国海警船在某观察点A处，发现其东偏北的方向B处，有一艘不明船只，我国另外一艘处于C处的海警船也发现了其东南方向的B处的不明船只，则此时两艘海警船与不明船只的连线夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 6．光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，折射后光线变成，为射线延长线上一点，当，时，的度数为（    ） A． B． C． D． 7．将一副三角板按如图放置，，，；则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 9．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 10．已知和，其中，，，则的度数为________． 11．如图，直线、相交于点，，平分，若，则的度数为_______． 12．如图，把一块三角放角的顶点放在长方形的边上，保持点的位置不动，在转动三角板时，若与长方形的边平行，则的度数为_____________． 13．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面平行，平分，，当为________时，． 14．如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论是__________（填序号）． 三、解答题 15．如图，点O在直线上，与互补，． (1)若，，则的度数为__________； (2)若，求n的值； (3)若，设，求的度数（用含的代数式表示的度数）． 16．如图1，点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，边在射线上．绕点顺时针旋转直角三角板，当边旋转至射线上时，旋转停止．过点作射线，使射线平分． (1)如图2，若，求的度数； (2)探究和的数量关系，写出你的结论，并说明理由； (3)若，求的度数． 17．如图，直线的平分线交于点P． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若的平分线交于点Q，连接．若，求的度数． 18．如图1，M为射线上一点，， ．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．请判断与的位置关系并说明理由； (2)E是上的一点，过点E的直线与平行（如图2）．求的度数．（用含和的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 19．在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 20．已知，E，F分别是，上的点，点M在，两平行线之间． 【素养发展】 (1)平行线具有“等角转化”的功能，将和通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若，时，则 ； 【方法运用】 (2)如图2，求证：； 【应用拓展】 (3)如图3，分别作和的平分线，，交于点P（交点P在两平行线，之间），若，求的度数； (4)在图2中，若，，且均同时在同侧，P点在之间．请直接写出的度数．（用含n的式子表示） 参考答案 1．B 【分析】根据垂线段的性质，垂直的定义，对顶角的定义和点到直线的距离定义逐一判断即可． 【详解】解：①连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，原说法缺少“直线外”的前提条件，故错误错误； ②直线相交于点，若，则，原说法正确； ③相等的角不一定是对顶角，原说法错误； ④过直线外一点作于点，则线段的长度是点到直线的距离，原说法正确； ∴说法正确的有2个． 2．C 【分析】分两种情况讨论，根据题意画出图形，利用两直线平行，同位角相等以及同旁内角互补的性质解答． 【详解】解：如图1所示， ∵的两边分别与的两边互相平行， ∴， ∴， ∴； 如图2所示， ∵的两边分别与的两边互相平行， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与的数量关系为相等或互补． 3．C 【分析】根据平行线的性质以及角平分线的性质，进行角度计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 4．C 【分析】根据题意可得，再由平行线的性质得到即可求解． 【详解】解：根据题意，， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）， 即，解得， ， 即，解得． 5．D 【分析】过作水平线交于，由题意可得，， 由平行线的性质得出，，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：如图，过作水平线交于， 由题意可得，， ，， ． 6．A 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ 7．D 【分析】根据三角板的度数，平行线的判定与性质以及角的和差进行证明判断即可得到答案． 【详解】解： ， ， ，故①正确； ，， ，故②正确； ， ， ， ∴，故③正确； ， ， ，故④正确； 故正确的结论有①②③④共4个． 8． 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 9．①②④ 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：①与是对顶角，故原说法正确； ②与是同旁内角，故原说法正确； ③与是邻补角，不是内错角，故原说法错误； ④与是同位角，故原说法正确； ⑤与不是同旁内角，故原说法错误． 故正确的是①②④． 10．或 【分析】根据平行线的性质，分两种情况讨论求解，当两个角的两边分别平行时，两角相等或互补，结合已知条件即可得到结果． 【详解】解：当与的两边同向平行时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 当与的一边反向平行，另一边同向平行时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，或． 11．60 【分析】根据已知可设，，从而可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，从而列出关于x的方程，进行计算可求出，最后利用对顶角相等，即可解答． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分​， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 12．或． 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．结合长方形的性质，根据平行线的性质分情况求解即可． 【详解】解：在长方形中，，，， 如图1，时， ， ， ； 如图2，时， ， ； 如图3，，的延长线交于点时， ， ， ， ， ； 如图4，，的延长线交于点时， ， ， ， ， ， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 13．/65度 【分析】先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用同位角相等，两直线平行，即可解答． 【详解】解： 、都与地面平行， ， ， ， ， 平分， ， 当时，． 14．③ 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算．由已知条件可得出，过点H作，由平行线的性质可得出②，设，则，，可判断③④． 【详解】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴②正确． 设，则，， 由②知， 作， ， ， ∴，无法判断是否为， ∴③错误； ∴， ∴④正确． 综上所述，错误答案为③． 故答案为：③． 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据补角的性质以及邻补角的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解； （2）设，根据补角的性质以及邻补角的性质可得，从而得到，再由，可得，根据，即可求解； （3）根据补角的性质以及邻补角的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵与互补， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设． 因为，， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以； （3）解：因为，， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 16．(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查的是角平分线的定义和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和性质并灵活运用． （1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （2）设，则，根据角平分线的定义得到，根据余角的性质得到，于是得到结论； （3）设，则，分以下两种情况：当在上方时；当在下方时，分别根据角平分线的定义和余角的性质，再结合，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由已知得， 又∵是直角，平分， ∴； （2）解：，理由如下： 设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：设，则， 分以下两种情况讨论： 当在上方时，如图 ， ， ∵， ∴， 解得， ∴； 当在下方时，如图， ， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的度数为或． 17．(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，角度的和差关系计算． （1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论； （2）设，则，由（1）知，，根据得，然后根据得，由此解出α即可得出的度数； （3）由平分，，得到，从而推出，再由已知条件结合角平分线的性质证得，最终利用角度的和差关系可求得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：设， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的度数为． （3）解：∵平分，， ∴， ∴， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．(1)，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据题意得，进而得到，从而得到； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，进而得到，根据得到； （3）过点作，则，由（2）知， 则，分情况讨论：当点在内部时，；当点在外部时，． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ． ， ， ； （2）解：如图，过点B作， ， ， ， ∵， ； （3）解：过点作，则， ， 由（2）知， 则， ， ， ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，； 综上，的度数为或．      19．【探究一】，，；【探究二】，理由见解析；【探究三】． 【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线是解题关键． 【探究一】根据平行线的性质即可得答案； 【探究二】过点作，过点作，根据平行线的性质得出，利用对顶角相等即可得答案； （3）过点作，交于，，根据平行线点性质得出，，，，利用（2）中所得结论即可得答案． 【详解】解：[探究一]∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． [探究二]如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴，即， ∴ [探究三]如图，过点作，交于，， ∴，，，， ∵、的角平分线并相交于点， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴． 20．(1) (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）过点M作，根据平行可得即可求解； （2）由平角定义得，，再由（1）的结论即可得出答案； （3）先由角平分线的定义得，，再由（2）中的结论即可得出． （4）仿照（3）得到，则，进而同理可得． 【详解】（1）解：过点M作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵ ，， ∴； 故答案为：； （2）证明：过点M作，如图2所示： ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴； （3）解：∵、分别是和的平分线， ∴，， 过点P作，如图3所示： ∵， ∴， ∴，， ∴ ， 由第（2）得：， ∴， ∴， ∴； （4）解：过点P作，如图所示：     ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， 由第（2）得：， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $