第五单元 认识方程（易错笔记培优讲练）知识梳理+15个易错考点讲练+优选真题拔尖练 共50题-北师大版数学四年级下册

2025-2026学年北师大版数学四年级下册单元培优讲义【易错笔记】 第五单元 认识方程『易错笔记培优讲练』 【原卷版】 同学你好，该份讲义用于北师大版四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1. 字母与数相乘简写易错：数字需写在字母前，乘号省略或用·表示，易出现字母在前、漏写数字、多写乘号的问题。 2. 混淆等式与方程概念：方程必须同时满足含有未知数和是等式两个条件，易将不含未知数的等式、含未知数的不等式误判为方程。 3. 解方程步骤不规范：易漏写“解”字，等号未对齐，移项时符号不变，直接口算导致计算错误。 4. 等量关系找不准：列方程时数量关系梳理不清，未知数与已知数位置颠倒，方程与题意不符。 5. 单位与书写格式问题：解完方程后漏带单位，设未知数时未完整说明含义，作答不规范。 6. 代入检验易忽略：未将解代入原方程验证，导致错误解未被发现。 7. 复杂简写混淆：多个字母相乘、字母与自身相乘时，易写错平方形式，或过度省略运算符号。 8. 实际问题设元错误：间接设元时逻辑混乱，设出的未知数并非题目所求，导致最终答案偏差。 高频易错考点一 用字母表示数、数量关系 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）如下图，摆1个正六边形需要6根小棒，摆2个正六边形需要多少根小棒？摆3个、4个、n个、2n个呢？请你完成下表。 正六边形 摆1个 摆2个 摆3个 摆4个 摆n个 摆2n个 所需小棒根数 【变式训练】（24-25四年级下·安徽亳州·期末）如图，正方形的面积是( )平方厘米，小长方形的面积是( )平方厘米。 高频易错考点二 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（23-24四年级下·浙江衢州·期末）从下边3个图形中任意选择2个图形拼成一个长方形。我选的是( )（填序号），拼成的长方形面积是( )。 【变式训练】（24-25四年级上·浙江金华·期末）如图，计算整个图形面积的算式是（    ）。 A． B． C． D． 高频易错考点三 用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】（24-25四年级下·浙江温州·期末）在中国古代，称直角三角形为勾股形，把较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，把斜边叫做“弦”，把两条直角边和斜边之间的关系称为勾股定理。让我们跟随数学家的脚步一起来研究吧！ 如图（1），大正方形里有1个正方形甲和4个完全相同的直角三角形①、②、③、④，把直角三角形①、②、④沿着箭头方向平移，得到两个不同的正方形乙和丙，如图（2）。 (1)观察图形，图（2）中乙、丙两个正方形的边长分别是______厘米和______厘米。 (2)想一想： 乙正方形的面积______×______＝______（平方厘米） 丙正方形的面积______×______＝______（平方厘米） (3)甲、乙、丙三个正方形面积之间有什么关系？ ________________ 所以，甲正方形的面积＝______＋______＝______×______ (4)我发现两条直角边和斜边之间的关系是：________________。 【变式训练】如图所示： ​ 一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人，照这样摆，10张桌子并起来一共可以坐（    ）人。 A．40 B．60 C．42 高频易错考点四 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（24-25四年级下·广东深圳·期末）如图，像下面这样用小棒摆正方形，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒，摆3个正方形需要( )根小棒，摆n个正方形需要( )根小棒。 【变式训练】（23-24四年级下·陕西渭南·期末）“以史为鉴，可以知兴替”，西安城墙又称西安明城墙，是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣。实验小学组织学生参观西安城墙，由10名老师带领6个年级的学生，平均每个年级有x名学生。这次活动实验小学一共有( )人参观西安城墙，如果每个年级有150人，参观西安城墙的有( )人。 高频易错考点五 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）小颖爸爸的体重是84千克，妈妈的体重比爸爸轻30千克，爸爸的体重是小颖的4倍。下列数量关系中正确的是（    ）。 A．爸爸的体重＋30千克＝妈妈的体重。 B．小颖的体重×4＝爸爸的体重。 C．妈妈的体重－30千克＝小颖的体重。 【变式训练】（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）淘气、笑笑和奇思都积极参加了学校举行的“读好书集印章”活动。 同学们用以下三个式子表示他们从上面情境中找到的等量关系： ①淘气的印章数×2＝笑笑的印章数 ②笑笑的印章数＋5枚＝奇思的印章数 ③奇思的印章数＋5枚＝笑笑的印章数 以上三个式子中，能正确表示上面情境中等量关系的是（    ）。 A．①和② B．①和③ C．②和③ 高频易错考点六 方程的认识 【典例精讲】（24-25四年级下·陕西渭南·期末）“方程”一词，最早出现在我国古代数学书籍《九章算术》中。下列式子中，是方程的是（    ）。 A．0.4＋3.6 B．0.4＋3.6＝4 C．5＋3＝9 D．7＋10＞28 【变式训练】（24-25四年级下·辽宁·随堂练习）先说一说各图中的等量关系，再列出方程。 高频易错考点七 列简易方程 【典例精讲】（24-25四年级下·福建泉州·期末）看图填一填。 (1)2m表示( )。 (2)图中( )的长度可以用800－y表示。 (3)根据上图，写出两个不同的方程( )、( )。 【变式训练】（24-25四年级下·辽宁沈阳·期末）只列方程不计算。 等量关系：________________ 列出方程：________________ 高频易错考点八 等式的性质1与解方程 【典例精讲】（23-24四年级下·河南郑州·期末）郑州西四环奥体大桥主塔采用了水滴造型，宛若天上滴落的水珠，该桥梁上跨南水北调干渠，又横跨中原路口，是国内首座塔、梁、索同步施工的单体斜拉桥，桥梁总长300米，宽度是49.16米，斜拉桥主塔柱高88.485米。 (1)“88.485”左起第一个“8”表示8个( )；小数部分的8在( )位上，表示8个( )。 (2)横线上的数读作( )，它表示的是( )米( )分米( )厘米。 (3)把“300”改写成以百分之一为计数单位的小数是（    ）。 A．3.00 B．300.00 C．0.300 (4)新建彩虹桥设计为三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥。奥体大桥桥梁总长比彩虹桥主桥长少69米。新建彩虹桥主桥长多少米？（列方程解决问题） 【变式训练】（23-24四年级下·广东深圳·期末）自2024年春季学期开学起，深圳市小学生迎来了“体育课天天见”的新局面。为了丰富活动种类，学校体育组老师买了一些体育用品，如下图。 ①老师买体育用品一共用去578元    ②一个排球的价钱是48元 ③一个足球的价钱是102元    ④老师带了1000元去买体育用品 （1）要解决“一个篮球多少钱？”这个问题，需要知道哪些信息？从上面给出的四条信息中选择（    ）（填序号）。 （2）请你先写出等量关系，然后列方程解决（1）中的问题。 高频易错考点九 等式的性质2与解方程 【典例精讲】（24-25四年级下·广西贺州·期末）解方程。                    【变式训练】．（24-25四年级下·河南郑州·期末）河南省2025年五一假期共接待游客6450.3万人次、旅游收入371.1亿元。省文化和旅游厅数据显示，省内接待游客人次前五位的景区分别如下： 第1位 第2位 第3名 第4位 第5位 清明上河园 银基国际旅游度假区 万岁山武侠城 云台山 龙门石窟 55.78万 54万 49.3万 39.57万 ？ （1）清明上河园和万岁山武侠城的游客相差多少万人次？ （2）据了解，银基国际旅游度假区总参观人次比龙门石窟的2倍少10万人。参观龙门石窟的有多少万人次？（列方程解答） 高频易错考点十 应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）宇宙是包括地球及其他一切天体的无限空间，是一切物质及其存在形式的总体。据科学家推算，宇宙的年龄大约是138亿年，比太阳年龄的3倍少12亿年。太阳的年龄大约是多少亿年？（用方程解）。 【变式训练】（24-25四年级下·浙江·期末）解方程。                              高频易错考点十一 解含括号的方程 【典例精讲】（24-25四年级下·辽宁大连·期末）如图。如果共有32只脚着地，那么多少只小熊在表演节目？ 【变式训练】解方程。                      高频易错考点十二 解等号两边都有未知数的方程 【典例精讲】（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）淘气有230元零花钱，笑笑有310元零花钱。从这个月开始，淘气每个月攒20元，笑笑每个月攒15元。淘气几个月后的零花钱能和笑笑一样多？ 【变式训练】（23-24四年级下·辽宁·暑假作业）某旅行团一起去划船。如果每条船坐4人，那么多出10人；如果每条船坐5人，那么多出1人。这个旅行团一共有（    ）人。 A．36 B．46 C．54 高频易错考点十三 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】（24-25四年级下·陕西榆林·期末）绥德剪纸是陕西省榆林市绥德县的传统民间艺术，以粗犷豪放、寓意吉祥的风格闻名。小明用彩纸制作剪纸作品，红色彩纸用了84张，比蓝色彩纸的2倍还多12张。蓝色彩纸用了多少张？（用方程解答） 【变式训练】（24-25四年级下·四川成都·期末）JF－12激波风洞是中国首个具有独立知识产权的高超声速风洞。它的主体是一根金属材质的长管子，居世界激波风洞长度之首。下面是它的结构示意图。 ①图中120－x表示的是______的长度。 ②根据上图列出两个不同的方程，并解方程。 高频易错考点十四 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】（23-24四年级下·山西晋城·期末）“一粥一饭，当思来处不易；半丝半缕，恒念物力维艰”，勤俭节约是中华民族的传统美德。阳光小学四（1）班的秋游活动中按需订餐，正常套餐和小份套餐各定了27份，共花了594元，已知正常套餐的单价是小份套餐的1.2倍。方程“27（x＋1.2x）＝594”中的“x”表示( )。 【变式训练】（23-24四年级下·浙江金华·期末）国家对纯电动汽车规定的补贴标准如表。一家汽车店5月份卖出的续航400千米以上的车刚好是400千米及以内车的2倍，共发放补贴75万元，卖出续航400千米及以内的车有多少辆？ 续航里程档次 400千米以上 400千米及以内 补贴价格 2万元/辆 1万元/辆 高频易错考点十五 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】（24-25四年级下·辽宁·课后作业）下面是一张撕掉一角的发票，你能算出每把椅子的单价吗？ 【变式训练】（23-24四年级下·山西运城·期末）有一个三层的书架，上面一共放了450本书，上层比下层多放了50本书，下层比中层少放了10本书。这个书架的上、中、下三层各放了多少本书？ 1．（2025四年级下·全国·专题练习）如下图，整个图形的面积为100，则下面方程错误的是（    ）。 A． B． C． 2．（2025四年级下·全国·专题练习）端午节妈妈买了a千克苹果，每千克5.5元；买了b千克石榴，每千克8.99元，那么8.99b－5.5a表示（    ）。 A．每千克石榴比每千克苹果贵多少元 B．买苹果和石榴一共多少元 C．买石榴比买苹果多付多少元 3．（24-25四年级下·广东深圳·期末）奇奇一家四口准备去儿童公园游玩，门票每人80元，恰遇公园有优惠活动，每张票便宜15元，爸爸支付了300元，找回了40元。如果要解决“一共优惠了多少钱”这个问题，需要以下哪些信息？（    ） A．300元；80元 B．300元；40元；4人 C．15元；4人 D．80元；40元；4人 4．（19-20四年级下·辽宁·期末）用同样长的小棒摆出如下的图形。照这样继续摆，第6个图形用了（    ）根小棒 A．20 B．24 C．25 5．（25-26四年级下·全国·课后作业）在括号里填上合适的数，使每个方程的解都是5。 ( )＋2x＝13    2x－( )＝2.3    ( )×2x＝7 6．（24-25四年级下·陕西西安·期末）下图是用一些相同的平行四边形拼成的图案，请补全表格。 图案 第1幅 第2幅 第3幅 … 第（    ）幅 … 第幅 ◇的个数 5 8 （    ） … 62 … （    ） 7．（24-25四年级下·甘肃张掖·期末）一本《童话故事》有200页，王欣每天看m页，看了3天后，一共看了( )页，还剩( )页没看，如果m是27，那么王欣第四天应从第( )页开始看。 8．（23-24四年级上·辽宁沈阳·期末）阳阳在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习。当他加到某一数时，结果是2024，后来发现中间漏加了一个数，那么漏加的那个数是( )。 9．（24-25四年级下·甘肃定西·期末）妈妈今年岁，爸爸比妈妈大1岁，再过年后，爸爸岁。( )（判断对错） 10．（24-25四年级下·广东韶关·期末）罗老师买钢笔和圆珠笔各x支，圆珠笔每支1.5元，钢笔每支5.6元，买圆珠笔的钱比买钢笔的钱少4.1x元。( )（判断对错） 11．（2025四年级下·全国·专题练习）看图列方程，并求解。 12．（24-25四年级下·山西运城·期末）解方程。 x＋6.48＝24.5            2x－130＝180 13．（24-25四年级下·安徽安庆·期末）小郑是一名房屋装修设计师，他的目标是让每一家都是美美的家。 （1）小郑来到客户家测量尺寸，窗户比门高多少米？ （2）客户家有两个阳台，其中观景阳台的面积是12.7平方米，比普通阳台面积的3倍小2.3平方米。普通阳台的面积是多少平方米？（用方程解答） 14．（24-25四年级下·河南商丘·期末）截至2025年第一季度，我国5G基站总数已突破439.5万个，实现了“县县通千兆、乡乡通5G”的网络覆盖目标。某电信工程队计划铺设一条电缆，全长439米，已经铺了3天（每天铺的长度相等），还剩64米，求该工程队前3天每天铺设多少米？（先画线段图，再列方程解答） 15．（24-25四年级下·陕西汉中·期末）随着全球环保意识的提升，垃圾分类与回收成为小学生参与环保的重要方式。某小学开展“争做环保使者，共创绿色文明”主题活动。五年级学生收集了136个可回收饮料瓶。比四年级学生收集的个数的2倍还多18个，四年级学生收集了多少个可回收饮料瓶？（用方程解答） 16．（24-25四年级下·陕西西安·期末）东东买一根大绳和几根小绳，一共用了64元。东东买了几根小绳？（列方程解决问题） 17．（23-24四年级下·甘肃定西·期末）能力提升题。   贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 18．（23-24四年级下·辽宁·暑假作业）小朋友分苹果，每人分18个，多出2个；每人分20个，有一个小朋友没有分到苹果。一共有多少个小朋友？有多少个苹果？ 19．甲、乙、丙三位小朋友共有85本书。如果把甲的书的本数加2，乙的书的本数减2，丙的书的本数乘2后，三人书的本数相等。甲、乙、丙原来各有多少本书？ 20．有一张长方形纸，用一条直线可以将它分为2个部分，两条直线可以分为4个部分，三条直线可以分为7个部分，如果有n条直线，那么可以将长方形纸分为多少个部分？当n为25时，可将长方形纸分为多少个部分？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版数学四年级下册单元培优讲义【易错笔记】 第五单元 认识方程『易错笔记培优讲练』 【解析版】 同学你好，该份讲义用于北师大版四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1. 字母与数相乘简写易错：数字需写在字母前，乘号省略或用·表示，易出现字母在前、漏写数字、多写乘号的问题。 2. 混淆等式与方程概念：方程必须同时满足含有未知数和是等式两个条件，易将不含未知数的等式、含未知数的不等式误判为方程。 3. 解方程步骤不规范：易漏写“解”字，等号未对齐，移项时符号不变，直接口算导致计算错误。 4. 等量关系找不准：列方程时数量关系梳理不清，未知数与已知数位置颠倒，方程与题意不符。 5. 单位与书写格式问题：解完方程后漏带单位，设未知数时未完整说明含义，作答不规范。 6. 代入检验易忽略：未将解代入原方程验证，导致错误解未被发现。 7. 复杂简写混淆：多个字母相乘、字母与自身相乘时，易写错平方形式，或过度省略运算符号。 8. 实际问题设元错误：间接设元时逻辑混乱，设出的未知数并非题目所求，导致最终答案偏差。 高频易错考点一 用字母表示数、数量关系 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）如下图，摆1个正六边形需要6根小棒，摆2个正六边形需要多少根小棒？摆3个、4个、n个、2n个呢？请你完成下表。 正六边形 摆1个 摆2个 摆3个 摆4个 摆n个 摆2n个 所需小棒根数 【答案】6；11；16；21；； 【易错思路引导】本题采用归纳法解答，通过观察图形规律，找出每增加一个正六边形所需小棒数量的变化规律，从而推导出摆n个和2n个正六边形所需小棒数量的公式。 【完整解答】规律如下图： 观察上表可知，每增加1个正六边形，所需小棒就增加5根； 答：摆2个正六边形需要11根小棒，摆3个需要16根小棒，摆4个需要21根小棒，摆n个需要根小棒，摆2n个需要根小棒。 【变式训练】（24-25四年级下·安徽亳州·期末）如图，正方形的面积是( )平方厘米，小长方形的面积是( )平方厘米。 【答案】 a2 12a 【易错思路引导】正方形的边长是a厘米，根据正方形的面积＝边长×边长，计算正方形的面积；小长方形的长是a厘米，宽是12厘米，根据长方形的面积＝长×宽，计算长方形的面积。 【完整解答】a×a＝a2（平方厘米） a×12＝12a（平方厘米） 因此，正方形的面积是a2平方厘米，小长方形的面积是12a平方厘米。 高频易错考点二 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（23-24四年级下·浙江衢州·期末）从下边3个图形中任意选择2个图形拼成一个长方形。我选的是( )（填序号），拼成的长方形面积是( )。 【答案】 ①②（答案不唯一） ab＋ac（答案不唯一） 【易错思路引导】如果把②③宽和宽重合、长与长连接，则会拼成一个长是a＋d、宽是c的长方形，；如果把①②长和长重合、宽与宽连接，则会拼成一个长是a、宽是b＋c的长方形；最后根据长方形的面积＝长×宽计算即可。 【完整解答】从下边3个图形中任意选择2个图形拼成一个长方形。我选的是（①②）（填序号），拼成的长方形面积是（ab＋ac）（答案不唯一）。 【变式训练】（24-25四年级上·浙江金华·期末）如图，计算整个图形面积的算式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【易错思路引导】根据题图可知这是一个长方形，长为c、宽为（a＋b），利用长方形的面积＝长×宽，将数据带入即可求解。 【完整解答】由分析可知，这个图形面积的算式是（a＋b）×c。 故答案为：C 高频易错考点三 用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】（24-25四年级下·浙江温州·期末）在中国古代，称直角三角形为勾股形，把较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，把斜边叫做“弦”，把两条直角边和斜边之间的关系称为勾股定理。让我们跟随数学家的脚步一起来研究吧！ 如图（1），大正方形里有1个正方形甲和4个完全相同的直角三角形①、②、③、④，把直角三角形①、②、④沿着箭头方向平移，得到两个不同的正方形乙和丙，如图（2）。 (1)观察图形，图（2）中乙、丙两个正方形的边长分别是______厘米和______厘米。 (2)想一想： 乙正方形的面积______×______＝______（平方厘米） 丙正方形的面积______×______＝______（平方厘米） (3)甲、乙、丙三个正方形面积之间有什么关系？ ________________ 所以，甲正方形的面积＝______＋______＝______×______ (4)我发现两条直角边和斜边之间的关系是：________________。 【答案】(1) 4 3 (2) 4 4 16 3 3 9 (3) 甲正方形的面积＝乙正方形的面积＋丙正方形的面积 16 9 5 5 (4)a2＋b2＝c2 【易错思路引导】（1）观察图形可知，正方形乙的边长刚好是直角三角形的较长直角边，由图中可知较长直角边的长度为4厘米；正方形丙的边长刚好是直角三角形的较短直角边，由图中可知较短直角边的长度为3厘米。 （2）根据正方形的面积＝边长×边长，分别求出乙和丙两个正方形的面积； （3）通过观察平移过程发现，甲正方形的面积正好是乙正方形的面积加上丙正方形的面积。 （4）总结出规律，3厘米和4厘米是直角三角形的两条直角边，5厘米是直角三角形的斜边，它们之间的关系是：3×3＋4×4＝5×5，；如果两条直角边用字母a和b表示，斜边用字母c表示，它们之间的关系用字母表示为：a×a＋b×b＝c×c，化简后为：a2＋b2＝c2。 【完整解答】（1）观察图形可知，正方形乙的边长刚好是直角三角形的较长直角边，由图中可知较长直角边的长度为4厘米，所以正方形乙的边长为4厘米。 观察图形可知，正方形丙的边长刚好是直角三角形的较短直角边，由图中可知较短直角边的长度为3厘米，所以正方形丙的边长为3厘米。 （2）乙正方形的面积：4×4＝16（平方厘米） 丙正方形的面积：3×3＝9（平方厘米） （3）甲正方形的面积＝乙正方形的面积＋丙正方形的面积 所以，甲正方形的面积＝16＋9＝5×5； （4）通过分析直角边与斜边的关系，得出结论为：a2＋b2＝c2。（答案不唯一） 【变式训练】如图所示： ​ 一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人，照这样摆，10张桌子并起来一共可以坐（    ）人。 A．40 B．60 C．42 【答案】C 【易错思路引导】根据一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人可以发现每多一张桌子，人数就会多4人，即坐的人数等于桌子的数量乘4，再加上2即可。 【完整解答】10×4＋2 ＝40＋2 ＝42（人） 即10张桌子并起来一共可以坐42人。 故答案为：C 高频易错考点四 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（24-25四年级下·广东深圳·期末）如图，像下面这样用小棒摆正方形，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒，摆3个正方形需要( )根小棒，摆n个正方形需要( )根小棒。 【答案】 10 （3n＋1） 【易错思路引导】观察图形发现：从第1个图形往后，每多摆一个正方形就需要3根小棒。摆1个正方形要4根，摆2个正方形要（4＋3×1）根，摆3个正方形要（4＋3×2）根，……，摆n个正方形要[4＋3（n－1）]根，据此即可解答。 【完整解答】4＋3×2 ＝4＋6 ＝10（根） 4＋3（n－1） ＝4＋3n－3 ＝3n＋1（根） 如图，像下面这样用小棒摆正方形，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒，摆3个正方形需要（10）根小棒，摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒。 【变式训练】（23-24四年级下·陕西渭南·期末）“以史为鉴，可以知兴替”，西安城墙又称西安明城墙，是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣。实验小学组织学生参观西安城墙，由10名老师带领6个年级的学生，平均每个年级有x名学生。这次活动实验小学一共有( )人参观西安城墙，如果每个年级有150人，参观西安城墙的有( )人。 【答案】 10＋6x/6x＋10 910 【易错思路引导】本题是将字母表示数量关系的知识应用于解决实际问题，每个年级有x名学生，6个年级的学生人数就是6x，这次活动实验小学参观西安城墙总人数就是教师人数加学生人数，用10＋6x来表示；再把每个年级有150人带入式子计算即可。 【完整解答】 实验小学组织学生参观西安城墙，由10名老师带领6个年级的学生，平均每个年级有x名学生。这次活动实验小学一共有（10＋6x）人参观西安城墙，如果每个年级有150人，参观西安城墙的有910人。 高频易错考点五 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）小颖爸爸的体重是84千克，妈妈的体重比爸爸轻30千克，爸爸的体重是小颖的4倍。下列数量关系中正确的是（    ）。 A．爸爸的体重＋30千克＝妈妈的体重。 B．小颖的体重×4＝爸爸的体重。 C．妈妈的体重－30千克＝小颖的体重。 【答案】B 【易错思路引导】由题，“小颖爸爸的体重是84千克，妈妈的体重比爸爸轻30千克”可知：爸爸的体重－30千克＝妈妈的体重，根据减法的互逆关系，等量关系式还可以是：妈妈的体重＋30千克＝爸爸的体重；再根据“爸爸的体重是小颖的4倍”可知：小颖的体重×4＝爸爸的体重；据此分析即可。 【完整解答】由分析可知： A．爸爸的体重＋30千克＝妈妈的体重；等量关系不正确； B．小颖的体重×4＝爸爸的体重；等量关系正确； C．妈妈的体重－30千克＝小颖的体重；等量关系不正确。 故答案为：B 【变式训练】（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）淘气、笑笑和奇思都积极参加了学校举行的“读好书集印章”活动。 同学们用以下三个式子表示他们从上面情境中找到的等量关系： ①淘气的印章数×2＝笑笑的印章数 ②笑笑的印章数＋5枚＝奇思的印章数 ③奇思的印章数＋5枚＝笑笑的印章数 以上三个式子中，能正确表示上面情境中等量关系的是（    ）。 A．①和② B．①和③ C．②和③ 【答案】B 【易错思路引导】由“我的印章数是淘气的2倍”可知：淘气的印章数×2＝笑笑的印章数；由“笑笑比我多5枚印章”可知：奇思的印章数＋5枚＝笑笑的印章数，或者笑笑的印章数－5枚＝奇思的印章数，据此作答。 【完整解答】经分析：以上三个式子中，能正确表示上面情境中等量关系的是①和③。 故答案为：B 高频易错考点六 方程的认识 【典例精讲】（24-25四年级下·陕西渭南·期末）“方程”一词，最早出现在我国古代数学书籍《九章算术》中。下列式子中，是方程的是（    ）。 A．0.4＋3.6 B．0.4＋3.6＝4 C．5＋3＝9 D．7＋10＞28 【答案】C 【易错思路引导】方程是含有未知数的等式；判断一个式子是否为方程，需满足两个条件：①是等式；②含有未知数，据此选择。 【完整解答】根据分析可得： A．0.4＋3.6：含有未知数，但不是等式，此选项错误。 B．0.4＋3.6＝4：是等式，但不含未知数，此选项错误。 C．5＋3＝9：既是等式，又含有未知数，此选项正确。 D．7＋10＞28：含有未知数，但不是等式，此选项错误。 故答案为：C 【变式训练】（24-25四年级下·辽宁·随堂练习）先说一说各图中的等量关系，再列出方程。 【答案】或 【易错思路引导】通过线段图可知：2个b米与15米的和一共是100米。以此写出等量关系式即可。 【完整解答】根据分析可知： 等量关系和列出方程如下： 2个b米＋15米＝100米 2b＋15＝100或15＋2b＝100 高频易错考点七 列简易方程 【典例精讲】（24-25四年级下·福建泉州·期末）看图填一填。 (1)2m表示( )。 (2)图中( )的长度可以用800－y表示。 (3)根据上图，写出两个不同的方程( )、( )。 【答案】(1)第一天和第二天走的总长 (2)200米 (3) 200＋y＝800 2m＋y＋200＝2000 【易错思路引导】（1）2m表示2个m相加，从图中观察是第一天的米数加第二天的米数。 （2）800－y从图中观察是第三天的米数与200米合起来是800米，所以800－y表示的是200米。 （3）根据第三天的米数与200米合起来是800米，可以列方程为200＋y＝800；根据前三天走的米数加200米是2000米，列方程为2m＋y＋200＝2000。 【完整解答】（1）2m表示第一天和第二天走的总长。 （2）图中200米的长度可以用800－y表示。 （3）根据上图，写出两个不同的方程200＋y＝800、2m＋y＋200＝2000。 【变式训练】（24-25四年级下·辽宁沈阳·期末）只列方程不计算。 等量关系：________________ 列出方程：________________ 【答案】 3个篮球的价格＋1个足球的价格＝450元 3x＋66＝450/66＋3x＝450 【易错思路引导】根据题意，已知3个篮球的价格加上1个足球的价格，一共是450元。等量关系式是3个篮球的价格＋1个足球的价格＝450元；列出方程为3x＋66＝450；以此答题即可。 【完整解答】根据分析可知： 等量关系：3个篮球的价格＋1个足球的价格＝450元　　　　　　　　　　　　　　　　   列出方程：3x＋66＝450 高频易错考点八 等式的性质1与解方程 【典例精讲】（23-24四年级下·河南郑州·期末）郑州西四环奥体大桥主塔采用了水滴造型，宛若天上滴落的水珠，该桥梁上跨南水北调干渠，又横跨中原路口，是国内首座塔、梁、索同步施工的单体斜拉桥，桥梁总长300米，宽度是49.16米，斜拉桥主塔柱高88.485米。 (1)“88.485”左起第一个“8”表示8个( )；小数部分的8在( )位上，表示8个( )。 (2)横线上的数读作( )，它表示的是( )米( )分米( )厘米。 (3)把“300”改写成以百分之一为计数单位的小数是（    ）。 A．3.00 B．300.00 C．0.300 (4)新建彩虹桥设计为三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥。奥体大桥桥梁总长比彩虹桥主桥长少69米。新建彩虹桥主桥长多少米？（列方程解决问题） 【答案】(1) 十 百分 0.01/百分之一/ (2) 四十九点一六 49 1 6 (3)B (4)369米 【易错思路引导】小数的数位顺序表如下： 　 整数部分 小数点 小数部分 数位 …… 万位 千位 百位 十 位 个 位 . 十 分 位 百 分 位 千 分 位 万 分 位 …… 计数单位 …… 万 千 百 十 个 十 分 之 一 百分之一 千分之一 万分之一 …… （1）在小数“88.485”中，从左边起第一个“8”在十位上，表示8个十。小数部分的“8”在百分位上，表示8个0.01或百分之一或。 （2）小数的读法：整数部分按照整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分按顺序依次读出每一位上的数字。所以49.16读作：四十九点一六。其中，49在整数部分，就表示49米。而1在十分位上，表示把1个0.1，即0.1米。把1米平均分成10份，每份就是0.1米，也就是1分米。所以0.1米就是1分米；6在百分位上，表示6个0.01，即0.06米。把1米平均分成100份，每份就是0.01米，也就是1厘米，所以0.06米就是6厘米。 （3）小数的基本性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变；一位小数的计数单位是十分之一，两位小数的计数单位是百分之一，三位小数的计数单位是千分之一。 （4）由题意列出等量关系式为：彩虹桥主桥长－69米＝奥体大桥桥梁总长。然后设彩虹桥主桥长为未知数，列出方程并解答即可。 【完整解答】（1）“88.485”左起第一个“8”表示8个十；小数部分的8在十分位上，表示8个百分之一。 （2）横线上的数读作四十九点一六，它表示的是49米1分米6厘米。 （3）由题意得，将“300”改写成以百分之一为计数单位的小数，也就把“300”改写成两位小数，所以300＝300.00。 故答案为：B （4）解：设彩虹桥主桥长x米 x－300＝69 x－300＋300＝69＋30 x＝369 答：新建彩虹桥主桥长369米。 【变式训练】（23-24四年级下·广东深圳·期末）自2024年春季学期开学起，深圳市小学生迎来了“体育课天天见”的新局面。为了丰富活动种类，学校体育组老师买了一些体育用品，如下图。 ①老师买体育用品一共用去578元    ②一个排球的价钱是48元 ③一个足球的价钱是102元    ④老师带了1000元去买体育用品 （1）要解决“一个篮球多少钱？”这个问题，需要知道哪些信息？从上面给出的四条信息中选择（    ）（填序号）。 （2）请你先写出等量关系，然后列方程解决（1）中的问题。 【答案】（1）①③ （2）1个篮球的价钱＋5个足球的价钱＝一共用去的价钱 x＝68 【易错思路引导】（1）根据题中信息可知：老师买了1个篮球5个足球，要解决“一个篮球多少钱”的问题，需要知道一共用去的总价钱和一个足球的价钱。据此选择。 （2）根据“老师买体育用品一共用去578元”可知等量关系为：1个篮球的价钱＋5个足球的价钱＝一共用去的价钱；设1个篮球的价钱是x元，列出方程解答即可。 【完整解答】（1）要解决“一个篮球多少钱”这个问题，需要知道“老师买体育用品一共用的价钱”和“一个足球的价钱”；所以选择的信息是①③。 （2）等量关系：1个篮球的价钱＋5个足球的价钱＝一共用去的价钱 解：设1个篮球x元 x＋102×5＝578 x＋510＝578 x＋510－510＝578－510 x＝68 答：一个篮球68元。 高频易错考点九 等式的性质2与解方程 【典例精讲】（24-25四年级下·广西贺州·期末）解方程。                    【答案】x＝27；x＝4.2；x＝74 【易错思路引导】（1）根据等式的性质1，x＋18＝45两边同时减18即可； （2）根据等式的性质2，x÷12＝0.35两边同时乘12即可； （3）根据等式的性质1和2，3x＋26＝248两边先同时减26，然后两边同时除以3即可。 【完整解答】（1）x＋18＝45 解：x＋18－18＝45－18 x＝27 （2）x÷12＝0.35 解：x÷12×12＝0.35×12 x＝4.2 （3）3x＋26＝248 解：3x＋26－26＝248－26 3x＝222 3x÷3＝222÷3 x＝74 【变式训练】．（24-25四年级下·河南郑州·期末）河南省2025年五一假期共接待游客6450.3万人次、旅游收入371.1亿元。省文化和旅游厅数据显示，省内接待游客人次前五位的景区分别如下： 第1位 第2位 第3名 第4位 第5位 清明上河园 银基国际旅游度假区 万岁山武侠城 云台山 龙门石窟 55.78万 54万 49.3万 39.57万 ？ （1）清明上河园和万岁山武侠城的游客相差多少万人次？ （2）据了解，银基国际旅游度假区总参观人次比龙门石窟的2倍少10万人。参观龙门石窟的有多少万人次？（列方程解答） 【答案】（1）6.48万人次 （2）32万人次 【易错思路引导】（1）用减法直接计算清明上河园（55.78万）与万岁山武侠城（49.3万）的游客人次差； （2）设龙门石窟游客为x万人次，银基国际旅游度假区总参观人次比龙门石窟的2倍少10万人。所以银基人次＝龙门石窟的2倍−10万，据此列方程为2x－10＝54，然后再利用等式的性质1和2求解。 【完整解答】（1）55.78－49.3＝6.48（万人次） 答：清明上河园和万岁山武侠城的游客相差6.48万人次。 （2）解：设参观龙门石窟的有x万人次。 2x－10＝54 2x＋10＝54＋10 2x＝64 2x÷2＝64÷2 x＝32 答：参观龙门石窟的有32万人次。 高频易错考点十 应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）宇宙是包括地球及其他一切天体的无限空间，是一切物质及其存在形式的总体。据科学家推算，宇宙的年龄大约是138亿年，比太阳年龄的3倍少12亿年。太阳的年龄大约是多少亿年？（用方程解）。 【答案】50亿年 【易错思路引导】宇宙的年龄大约是138亿年，比太阳年龄的3倍少12亿年，写出数量关系：太阳的年龄×3-12＝宇宙的年龄，设太阳的年龄为x亿年，根据数量关系列出方程再求解即可。 【完整解答】解：设太阳的年龄大约是x亿年。 答：太阳的年龄大约是50亿年。 【变式训练】（24-25四年级下·浙江·期末）解方程。                              【答案】；； 【易错思路引导】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等； 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等； 根据等式的性质1和等式的性质2解方程即可。 【完整解答】 解： 解： 解： 高频易错考点十一 解含括号的方程 【典例精讲】（24-25四年级下·辽宁大连·期末）如图。如果共有32只脚着地，那么多少只小熊在表演节目？ 【答案】15只 【易错思路引导】解设有x只小熊在表演节目。通过观察图可知只有第1只小熊是4只脚着地，后面的小熊都是2只脚着地，2只脚着地小熊有（x－1）只，共有32只脚着地用，用4只脚小熊着地的只数×4＋2只脚着地小熊只数×2＝共有32只脚着地。解方程时先去掉括号，整理化简这个方程。根据等式的性质1，方程两边同时减去2，再根据等式的性质2，方程两边同时除以2，即可求解。 【完整解答】解：设有x只小熊在表演节目。 1×4＋（x－1）×2＝32 4＋2x－2＝32 2x＋2＝32 2x＋2－2＝32－2 2x＝30 2x÷2＝30÷2 x＝15 答：15只小熊在表演节目。 【变式训练】解方程。                      【答案】x＝5；x＝8；x＝15 【易错思路引导】（1）等式的两边先同时加上8.5，再同时除以2，据此解答； （2）先算小括号里的加法，再根据等式的性质2求出x的值； （3）等式的两边先同时乘5，再同时除以4，据此解答。 【完整解答】 解：2x－8.5＋8.5＝1.5＋8.5 2x＝10 2x÷2＝10÷2 x＝5 解：25x＝200 25x÷25＝200÷25 x＝8 解：4x÷5×5＝12×5 4x＝60 4x÷4＝60÷4 x＝15 高频易错考点十二 解等号两边都有未知数的方程 【典例精讲】（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）淘气有230元零花钱，笑笑有310元零花钱。从这个月开始，淘气每个月攒20元，笑笑每个月攒15元。淘气几个月后的零花钱能和笑笑一样多？ 【答案】16个月 【易错思路引导】假设淘气x月后的零花钱能和笑笑一样多，可知淘气攒了20x元，再加上淘气本来的零花钱数，淘气一共有（230＋20x）元。同样的，笑笑攒了15x元，再加上笑笑本来的零花钱数，笑笑一共有（310＋15x）元。据此列出方程为230＋20x＝310＋15x，再解方程即可。 【完整解答】解：设淘气x月后的零花钱能和笑笑一样多。 230＋20x＝310＋15x 230＋20x－230＝310＋15x－230 20x＝80＋15x 20x－15x＝80＋15x－15x 5x＝80 5x÷5＝80÷5 x＝16 答：淘气16月后的零花钱能和笑笑一样多。 【变式训练】（23-24四年级下·辽宁·暑假作业）某旅行团一起去划船。如果每条船坐4人，那么多出10人；如果每条船坐5人，那么多出1人。这个旅行团一共有（    ）人。 A．36 B．46 C．54 【答案】B 【易错思路引导】根据题目可知船的只数不变，总人数也不变；可以将船的只数设为x只，再列出方程：4x＋10＝5x＋1；再依据等式的性质解方程，等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；最后将x代入方程左右两边其中一个算式即可，据此解答。 【完整解答】根据分析：解：设船的只数设为x只。 4x＋10＝5x＋1 10－1＝5x－4x 9＝x x＝9 将x＝9代入算式4x＋10， 4x＋10 ＝4×9＋10 ＝36＋10 ＝46（人） 所以这个旅行团一共有46人。 故答案为：B 高频易错考点十三 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】（24-25四年级下·陕西榆林·期末）绥德剪纸是陕西省榆林市绥德县的传统民间艺术，以粗犷豪放、寓意吉祥的风格闻名。小明用彩纸制作剪纸作品，红色彩纸用了84张，比蓝色彩纸的2倍还多12张。蓝色彩纸用了多少张？（用方程解答） 【答案】36张 【易错思路引导】根据题意，等量关系式是：蓝色彩纸的张数×2＋12＝红色彩纸的张数。可以设蓝色彩纸的张数为x，列出方程是2x＋12＝84。根据等式的性质1，在方程两边同时减去12。再根据等式的性质2，在方程两边同时除以2，即可求出方程的解。 【完整解答】解：设蓝色彩纸用了x张。 2x＋12＝84 2x＋12－12＝84－12 2x＝72 2x÷2＝72÷2 x＝36 答：蓝色彩纸用了36张。 【变式训练】（24-25四年级下·四川成都·期末）JF－12激波风洞是中国首个具有独立知识产权的高超声速风洞。它的主体是一根金属材质的长管子，居世界激波风洞长度之首。下面是它的结构示意图。 ①图中120－x表示的是______的长度。 ②根据上图列出两个不同的方程，并解方程。 【答案】①爆发驱动段 ②方程一：x＋100＝120，x＝20；方程二：120＋y＝205，y＝85（答案不唯一） 【易错思路引导】由题意可得，JF－12激波风洞的结构示意图，风洞由卸爆段（长度为x米）、爆发驱动段（长度为100米）、被驱动段（长度为y米）、喷管和试验段等部分组成，卸爆段、爆发驱动段和被驱动段总长度为205米，其中卸爆段和爆发驱动段总长度为120米。 ①卸爆段和爆发驱动段总长度为120米，卸爆段长度为x米，则爆发驱动段的长度是总长度120米减去卸爆段长度x米，即（120－x）米，所以图中120－x表示的是爆发驱动段的长度。 ②方程一：已知卸爆段和爆发驱动段总长度为120米，卸爆段长度为x米，爆发驱动段长度为100米，可以列方程：x＋100＝120； 方程二：已知卸爆段、爆发驱动段和被驱动段总长度为205米，卸爆段和爆发驱动段总长度为120米，被驱动段长度为y米，可以列方程：120＋y＝205。 【完整解答】①图中120－x表示的是爆发驱动段的长度。 ②方程一：x＋100＝120 解：x＝120－100 x＝20 方程二：120＋y＝205 解：y＝205－120 y＝85 （答案不唯一） 高频易错考点十四 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】（23-24四年级下·山西晋城·期末）“一粥一饭，当思来处不易；半丝半缕，恒念物力维艰”，勤俭节约是中华民族的传统美德。阳光小学四（1）班的秋游活动中按需订餐，正常套餐和小份套餐各定了27份，共花了594元，已知正常套餐的单价是小份套餐的1.2倍。方程“27（x＋1.2x）＝594”中的“x”表示( )。 【答案】小份套餐的单价 【易错思路引导】由题意得，正常套餐和小份套餐各定了27份，共花了594元，据此列出等量关系式为：（小份套餐的单价＋正常套餐的单价）×27＝594。其中，正常套餐的单价是小份套餐的1.2倍，那么等量关系式变为：（小份套餐的单价＋小份套餐的单价×1.2）×27＝594。对比方程“27（x＋1.2x）＝594”可知，x表示小份套餐的单价。 【完整解答】方程“27（x＋1.2x）＝594”中的“x”表示小份套餐的单价。 【变式训练】（23-24四年级下·浙江金华·期末）国家对纯电动汽车规定的补贴标准如表。一家汽车店5月份卖出的续航400千米以上的车刚好是400千米及以内车的2倍，共发放补贴75万元，卖出续航400千米及以内的车有多少辆？ 续航里程档次 400千米以上 400千米及以内 补贴价格 2万元/辆 1万元/辆 【答案】15辆 【易错思路引导】设卖出续航400千米及以内的车的数量为x辆。因为题目中提到卖出续航400千米以上的车是续航400千米及以内车的2倍，所以卖出续航400千米以上的车的数量为2x辆。然后，我们根据补贴价格来计算补贴的总金额，对于续航400千米以上的车，每辆补贴2万元，所以这部分车的补贴金额为2×2x万元；对于续航400千米及以内的车，每辆补贴1万元，所以这部分车的补贴金额为1×x万元。已知总共发放补贴75万元，所以我们可以列出方程2×2x＋1×x＝75，据此解答即可。 【完整解答】解：设卖出续航400千米及以内的车有x辆，则卖出续航400千米以上的车有2x辆。 2×2x＋1×x＝75 4x＋x＝75 5x＝75 5x÷5＝75÷5 x ＝15 答：卖出续航400千米及以内的车有15辆。 高频易错考点十五 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】（24-25四年级下·辽宁·课后作业）下面是一张撕掉一角的发票，你能算出每把椅子的单价吗？ 【答案】30元 【易错思路引导】设每把椅子为x元，根据等量关系，椅子的钱数＋桌子的钱数＝总钱数，列方程解答即可。 【完整解答】解：设每把椅子为x元。 5x＋80＝230 5x－80＝230－80 5x＝150 5x÷5＝150÷5 x＝30（元） 答：每把椅子的单价是30元。 【变式训练】（23-24四年级下·山西运城·期末）有一个三层的书架，上面一共放了450本书，上层比下层多放了50本书，下层比中层少放了10本书。这个书架的上、中、下三层各放了多少本书？ 【答案】上层180本；中层140本；下层130本 【易错思路引导】根据题意可知，下层放书的数量＋50本＝上层放书的数量，下层放书的数量＋10本＝中层放书的数量，上层放书的数量＋中层放书的数量＋下层放书的数量＝450本，故设下层放书x本，进而就可知上层放书（x＋50）本，下层放书（x＋10）本，根据等量关系式列出方程，再根据等式的基本性质解方程即可。 【完整解答】解：设下层放书x本 x＋50＋x＋10＋x＝450 3x＋60＝450 3x＋60－60＝450－60 3x＝390 3x÷3＝390÷3 x＝130 130＋50＝180（本） 130＋10＝140（本） 答：这个书架上层放书180本，中层放书140本，下层放书130本。 1．（2025四年级下·全国·专题练习）如下图，整个图形的面积为100，则下面方程错误的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【易错思路引导】整个图形的面积为100，写出数量关系：左边小长方形的面积（长为8，宽为5）＋右边小长方形的面积（长为x，宽为5）＝100，据此列出方程：； 也可写出数量关系：整个图形的面积-右边小长方形的面积＝左边小长方形的面积，据此列出方程：。 【完整解答】A.符合题意，方程正确； B.不符题意，方程错误； C.符合题意，方程正确。 故答案为：B 2．（2025四年级下·全国·专题练习）端午节妈妈买了a千克苹果，每千克5.5元；买了b千克石榴，每千克8.99元，那么8.99b－5.5a表示（    ）。 A．每千克石榴比每千克苹果贵多少元 B．买苹果和石榴一共多少元 C．买石榴比买苹果多付多少元 【答案】C 【易错思路引导】端午节妈妈买了a千克苹果，每千克5.5元，则买苹果花的钱是元，买了b千克石榴，每千克8.99元，则买石榴花的钱是元，买石榴比买苹果多付的钱是元。 【完整解答】由分析可得：表示买石榴比买苹果多付多少元。 故答案为：C 3．（24-25四年级下·广东深圳·期末）奇奇一家四口准备去儿童公园游玩，门票每人80元，恰遇公园有优惠活动，每张票便宜15元，爸爸支付了300元，找回了40元。如果要解决“一共优惠了多少钱”这个问题，需要以下哪些信息？（    ） A．300元；80元 B．300元；40元；4人 C．15元；4人 D．80元；40元；4人 【答案】C 【易错思路引导】读题可知，知道每张票的原价，知道每张票优惠了15元，知道爸爸支付了300元，且找回了40元。要解决“一共优惠了多少钱”这个问题，需要知道每张票价优惠多少钱，买了多少张票，根据单价×数量＝总价，即可算出一共优惠了多少钱。据此解答。 【完整解答】A．由分析可知，知道300元，80元这些信息，不能够解决“一共优惠了多少钱”这个问题，选项错误； B．300元，40元，4人，知道300元和40元，能够算出实际支付多少钱，再除以4人，可以算出实际每张票价多少钱，但是不知道每张票原价多少钱，不能够解决“一共优惠了多少钱”这个问题，选项错误； C．15元，4人，知道每张票优惠15元，知道买了4张票，根据单价×数量＝总价，即可算出“一共优惠了多少钱”，选项正确； D．80元，40元，4人，知道每张门票原价，知道找回40元，知道买了4张票，不能够算出每张票优惠多少，也就不能解决“一共优惠了多少钱”，选项错误。 故答案为：C 4．（19-20四年级下·辽宁·期末）用同样长的小棒摆出如下的图形。照这样继续摆，第6个图形用了（    ）根小棒 A．20 B．24 C．25 【答案】C 【易错思路引导】图1用5根小棒摆成，图2用9根小棒摆成，图3用13根小棒摆成，仔细观察发现，每增加一个五六边形其小棒根数增加4根，所以可得第n个图形需要小棒5＋4（n－1）＝4n＋1根，据此即可解答问题。 【完整解答】由图可知： 图形1的小棍根数为5； 图形2的小棍根数为9； 图形3的小棍根数为13； … 由该搭建方式可得出规律：图形每增加1，小棍的个数增加4， 所以可以得出规律：搭第6个图形需要小棍根数为： 5＋4×（6－1） ＝5＋4×5 ＝5＋20 ＝25（根） 故答案为：C 【考点剖析】本题是一道关于图形变化规律型的，关键在于通过题中图形的变化情况，通过归纳与总结找出普遍规律求解即可。 5．（25-26四年级下·全国·课后作业）在括号里填上合适的数，使每个方程的解都是5。 ( )＋2x＝13    2x－( )＝2.3    ( )×2x＝7 【答案】 3 7.7 0.7 【易错思路引导】已知每个方程的解都是5，将x=5代入各方程，把需要填的数看作未知数，解方程即可求出括号里的数。 【完整解答】对于方程“”： 把x=5代入方程，得，即，解得。 对于方程“”： 把x=5代入方程，得 ，即，解得。 对于方程“”： 把x=5代入方程，得，即，解得。   答：括号里依次应填3、7.7、0.7。 6．（24-25四年级下·陕西西安·期末）下图是用一些相同的平行四边形拼成的图案，请补全表格。 图案 第1幅 第2幅 第3幅 … 第（    ）幅 … 第幅 ◇的个数 5 8 （    ） … 62 … （    ） 【答案】11；20；3n＋2 【易错思路引导】先分析前几幅图中平行四边形个数的规律，再根据规律求解表格中的空。 第1幅图中，平行四边形的个数是5，可表示为3×1＋2。 第2幅图中，平行四边形的个数是8，可表示为3×2＋2。 由此可推出，第n幅图中平行四边形的个数为3n＋2。 当n＝3时，根据上述规律，平行四边形的个数为3×3＋2，计算结果即可。 设第x幅图有62个平行四边形，根据规律可列方程为3x＋2＝62，解方程即可解答。 【完整解答】当n＝3时， 3n＋2 ＝3×3＋2 ＝9＋2 ＝11 解：设第x幅图有62个平行四边形。 3x＋2＝62 3x＋2－2＝62－2 3x＝60 3x÷3＝60÷3 x＝20 即第20幅图有62个平行四边形。 图案 第1幅 第2幅 第3幅 … 第（ 20 ）幅 … 第幅 ◇的个数 5 8 （ 11 ） … 62 … （3n＋2） 7．（24-25四年级下·甘肃张掖·期末）一本《童话故事》有200页，王欣每天看m页，看了3天后，一共看了( )页，还剩( )页没看，如果m是27，那么王欣第四天应从第( )页开始看。 【答案】 3m 200－3m 82 【易错思路引导】已知一本《童话故事》有200页，王欣每天看m页，看了3天，根据“已看页数＝每天看的页数×天数”，可计算出已看页数，再用总页数减去已看页数即可得到剩余页数，最后根据已看页数即可求出第四天开始看的页数，据此解答即可。 【完整解答】3×m＝3m（页） 所以一共看了3m页，还剩（200－3m）页没看。 当m＝27时，3m＝3×27＝81（页） 所以第四天应从下一页开始看，即从81＋1＝82（页）开始看。 8．（23-24四年级上·辽宁沈阳·期末）阳阳在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习。当他加到某一数时，结果是2024，后来发现中间漏加了一个数，那么漏加的那个数是( )。 【答案】56 【易错思路引导】根据题目可知，当他加到某一数时，结果是2024，后来发现中间漏加了一个数，所以可知：1＋2＋3＋4＋…＋n＜2024，连续多个自然数求和：先用第一个数加上最后一个数求出它们的和，再乘要相加的自然数的个数最后除以2即可，据此可知，1＋2＋3＋4＋…＋n ＝（1＋n）×n÷2＜2024，然后据此求得n的取值范围，进而代入数据经过验证求得这个数即可。 【完整解答】1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）÷2＜2024， 当n＝63时， 1＋2＋3＋4＋…＋63 ＝63×（63＋1）÷2 ＝63×64÷2 ＝4032÷2 ＝2016； 当n＝64时， 64×（64＋1）÷2 ＝64×65÷2 ＝4160÷2 ＝2080； 因为2016＜2024＜2080，所以n最大为64，当n＝64时，1＋2＋3＋4＋…＋64＝2080，所以漏加的那个数是就是：2080－2024＝56。 阳阳在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习。当他加到某一数时，结果是2024，后来发现中间漏加了一个数，那么漏加的那个数是56。 【考点剖析】本题有一定的难度，在计算1＋2＋3＋4＋…＋n 这个算式时，可利用高斯求和公式完成（1＋2＋3＋……＋n＝n（n＋1）÷2），尝试找到1到多少的和接近2024是解答本题的关键。 9．（24-25四年级下·甘肃定西·期末）妈妈今年岁，爸爸比妈妈大1岁，再过年后，爸爸岁。( )（判断对错） 【答案】× 【易错思路引导】根据题意，妈妈今年a岁，爸爸比妈妈大1岁，所以爸爸今年的年龄是（a＋1）岁。再过n年后，爸爸的年龄应为（a＋1＋n）岁。题目中给出的答案是（n＋1）岁，显然忽略了爸爸当前的年龄（a＋1）岁。 【完整解答】妈妈年龄：a（岁）； 爸爸今年年龄：（a＋1）岁； 再过n年后，爸爸的年龄为：（a＋1）＋n＝（a＋1＋n）岁。 故答案为：× 10．（24-25四年级下·广东韶关·期末）罗老师买钢笔和圆珠笔各x支，圆珠笔每支1.5元，钢笔每支5.6元，买圆珠笔的钱比买钢笔的钱少4.1x元。( )（判断对错） 【答案】√ 【易错思路引导】根据题意，用钢笔的单价减去圆珠笔的单价，得到圆珠笔比钢笔每支少几元。因为钢笔和圆珠笔的支数一样。再根据单价×数量＝总价。用圆珠笔比钢笔每支少的钱数乘支数＝买圆珠笔比钢笔一共少多少元。 当字母和数字相乘，数字在前，字母在后，中间乘号可以省略。验证是否等于4.1x元。 【完整解答】圆珠笔比钢笔每支少的钱：5.6－1.5＝4.1（元） 买圆珠笔比买钢笔少用的钱：4.1×x＝4.1x（元） 计算结果与题目中的“少4.1x元”一致，原题表述正确。 故答案为：√ 11．（2025四年级下·全国·专题练习）看图列方程，并求解。 【答案】方程： 【易错思路引导】根据图示，科技书的数量比故事书的4倍少36本，写出数量关系：故事书的数量×4-36=科技书的数量，据此可列出方程，再解方程即可。 【完整解答】                  解：                                                                                12．（24-25四年级下·山西运城·期末）解方程。 x＋6.48＝24.5            2x－130＝180 【答案】x＝18.02；x＝155 【易错思路引导】（1）根据等式的性质1，两边同时减去6.48解方程。 （2）根据等式的性质1和2，两边先同时加上130，再同时除以2解方程。 【完整解答】（1）x＋6.48＝24.5 解：x＋6.48－6.48＝24.5－6.48 x＝18.02 （2）2x－130＝180 解：2x－130＋130＝180＋130 2x＝310 2x÷2＝310÷2 x＝155 13．（24-25四年级下·安徽安庆·期末）小郑是一名房屋装修设计师，他的目标是让每一家都是美美的家。 （1）小郑来到客户家测量尺寸，窗户比门高多少米？ （2）客户家有两个阳台，其中观景阳台的面积是12.7平方米，比普通阳台面积的3倍小2.3平方米。普通阳台的面积是多少平方米？（用方程解答） 【答案】（1）0.28米； （2）5平方米 【易错思路引导】（1）观察图可知，窗户离地面1.63米，窗户本身的高度是0.75米，用窗户离地面的高度加上窗户本身的高度，得出窗户到地面的高度，再减去门的高度2.1米。得到窗户比门高的米数。 （2）根据观景阳台比普通阳台面积的3倍小2.3平方米，可以得出等量关系式：普通阳台的面积×3－2.3＝观景阳台的面积。解：设普通阳台的面积是x平方米。根据等量关系式列出方程并解答。 【完整解答】（1）1.63＋0.75－2.1 ＝2.38－2.1 ＝0.28（米） 答：窗户比门高0.28米。 （2）解：设普通阳台的面积是x平方米。 3x－2.3＝12.7 3x－2.3＋2.3＝12.7＋2.3 3x＝15 3x÷3＝15÷3 x＝5 答：普通阳台的面积是5平方米。 14．（24-25四年级下·河南商丘·期末）截至2025年第一季度，我国5G基站总数已突破439.5万个，实现了“县县通千兆、乡乡通5G”的网络覆盖目标。某电信工程队计划铺设一条电缆，全长439米，已经铺了3天（每天铺的长度相等），还剩64米，求该工程队前3天每天铺设多少米？（先画线段图，再列方程解答） 【答案】图见详解； 125米； 【易错思路引导】先通过线段图直观表示出电缆的全长、已铺的长度和剩余的长度关系，设每天铺x米，根据等量关系“3天铺的长度＋剩余长度＝总长度”列出方程求解。 【完整解答】根据题意画出线段图： 解：设该工程队前3天每天铺设x米。 3x＋64＝439 3x＋64－64＝439－64 3x＝375 3x÷3＝375÷3 x＝125 答：该工程队前3天每天铺设125米。 15．（24-25四年级下·陕西汉中·期末）随着全球环保意识的提升，垃圾分类与回收成为小学生参与环保的重要方式。某小学开展“争做环保使者，共创绿色文明”主题活动。五年级学生收集了136个可回收饮料瓶。比四年级学生收集的个数的2倍还多18个，四年级学生收集了多少个可回收饮料瓶？（用方程解答） 【答案】59个 【易错思路引导】读题可知，可以设四年级学生收集可回收饮料瓶数量为x，等量关系为：四年级学生收集可回收饮料瓶数量×2＋18＝五年级学生收集可回收饮料瓶数。据此数量关系，列出方程解答即可。 【完整解答】解：设四年级学生收集了x个可回收饮料瓶。 2x＋18＝136 2x＋18－18＝136－18 2x＝118 2x÷2＝118÷2 x＝59 答：四年级学生收集了59个可回收饮料瓶。 16．（24-25四年级下·陕西西安·期末）东东买一根大绳和几根小绳，一共用了64元。东东买了几根小绳？（列方程解决问题） 【答案】6根 【易错思路引导】因为小绳数量未知，所以可把小绳的数量设为x，根据：小绳数量×小绳价格＋大绳数量×大绳价格＝64元，可求出小绳数量。 【完整解答】解：设东东买了x根小绳； 答：东东买了6根小绳。 17．（23-24四年级下·甘肃定西·期末）能力提升题。   贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 【答案】10天 【易错思路引导】根据题意可知数量关系为：贝贝已做的120个＋贝贝再做的个数＝丽丽已做的150个＋丽丽再做的个数，并设x天后两人做的兰花数量同样多；根据每天做的个数×做的天数＝再做的个数，分别表示出贝贝再做的个数是15x个，丽丽再做的个数是12x个；根据数量关系列出方程，再根据等式的性质（一）（二）及乘法分配律解方程即可。据此解答。 【完整解答】解：设x天后两人做的兰花数量同样多； 120＋15x＝150＋12x 120＋15x－120＝150＋12x－120 15x＝150－120＋12x 15x＝30＋12x 15x－12x＝30＋12x－12x （15－12）x＝30 3x＝30 3x÷3＝30÷3 x＝10 答：10天后两人做的兰花数量同样多。 【考点剖析】本题首先要抓住“多少天后两人做的兰花数量同样多”找到等量关系；解方程时，要根据等式的性质把方程两边的数字和未知数分别合并到一起，再根据乘法分配律把两个未知数变成一个未知数，从而把复杂的方程逐步变得简单。 18．（23-24四年级下·辽宁·暑假作业）小朋友分苹果，每人分18个，多出2个；每人分20个，有一个小朋友没有分到苹果。一共有多少个小朋友？有多少个苹果？ 【答案】11个；200个 【易错思路引导】由于每人分18个，多出2个，每人分20个，有一个小朋友分不到，说明此时还少20个，如果再来20个苹果，则每人分20个苹果即可全部分到并分完；那么此时的苹果数量比给每人分18个苹果，会多出：2＋20＝22（个）苹果，每个小朋友从18个苹果分到20个苹果是多分2个，则看22里有几个2，则就有几个小朋友，即22÷2＝11（个）小朋友，之后再用小朋友的人数×18再加上2即可求出一共有多少个苹果。 【完整解答】20－18＝2（个）         2＋20＝22（个）     22÷2＝11（个）     11×18＋2 ＝198＋2 ＝200（个） 答：一共有11个小朋友，有200个苹果。 【考点剖析】本题主要考查盈亏问题，要注意后面加上20个苹果的时候，如果每人分18个会多出2个的基础上再加上多加的20个苹果，也可以用解方程的方法来解答。 19．甲、乙、丙三位小朋友共有85本书。如果把甲的书的本数加2，乙的书的本数减2，丙的书的本数乘2后，三人书的本数相等。甲、乙、丙原来各有多少本书？ 【答案】甲32本；乙36本；丙17本 【易错思路引导】根据甲的书的本数加2，乙的书的本数减2，丙的书的本数乘2后，三人书的本数相等可知：甲＋2＝乙－2＝2丙；设丙的本数为x，所以甲的本数为：（2x－2）本；乙的本数为：（2x＋2）本，再根据甲、乙、丙三位小朋友共有85本书可知甲＋乙＋丙＝85，即可解方程求得x，然后再求得甲乙即可。 【完整解答】解：设丙的本数为x。 甲：（2x－2）本；乙：（2x＋2）本 （2x－2）＋ （2x＋2）＋x＝85 2x－2＋2x＋2＋x＝85 5x＝85 5x÷5＝85÷5 x＝17 甲：2×17－2 ＝34－2 ＝32（本） 乙：2×17＋2 ＝34＋2 ＝36（本） 答：甲有32本，乙有36本，丙有17本。 【考点剖析】明确甲、乙的书本数和丙的本数的关系是解决本题的关键。 20．有一张长方形纸，用一条直线可以将它分为2个部分，两条直线可以分为4个部分，三条直线可以分为7个部分，如果有n条直线，那么可以将长方形纸分为多少个部分？当n为25时，可将长方形纸分为多少个部分？ 【答案】1＋(1＋n)·n÷2; 326 【易错思路引导】一条直线分为2个部分，两条直线分为4个部分，三条直线分为7个部分，由此总结出公式：划分的部分数=1＋(1＋n)×n÷2．其中n表示直线的条数．最后把公式中的n换作25，求出式子的值． 【完整解答】通过在长方形纸上画出前几条直线，就可以发现规律，然后利用求和公式进行求解． 一张纸没有被直线分割时，就是1个部分，用一条直线分割可将它在原来的基础上增加1个部分；两条直线增加2个部分；三条直线增加3个部分，…，n条直线就增加n个部分． 1条直线：1＋1＝2；2条直线：1＋1＋2＝4；3条直线：1＋1＋2＋3＝7；4条直线：1＋1＋2＋3＋4＝11，…，n条直线：1＋1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋(1＋n)·n÷2．当n＝25时，1＋(1＋25)×25÷2＝1＋325＝326．故n条直线可将长方形纸分为1＋(1＋n)·n÷2个部分；当n＝25时，可将长方形纸分为326个部分． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $