专题08 解析几何（7大考点）（全国通用）2026年高考数学一模分类汇编

null命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08 解析几何 ☆7大考点概聪 题型01直线与圆及圆与圆的位置关系 题型02椭圆性质及直线与椭圆位置关系 题型03双曲线性质及直线与双曲线位置关系 题型04抛物线性质及直线与抛物线位置关系 题型05圆锥曲线中的动点轨迹问题 题型06圆锥曲线中的定点、定值问题 题型07圆锥曲线中的最值、范围问题考点 考点1 直线与圆及圆与圆的位置关系 1,(2026辽宁抚顺一模)已知圆M:(x-a2+(y-a)=1与直线y=1恰有2个交点，则a的取值 范围是() A.（0,1 B.（-1,1 C.(0,2) D.(0,4) 2.（2026湖南邵阳.一模)已知直线13x+4y-2=0与圆C:x2+y2-2x-2y-2=0相交于A,B两点， 则劣弧AB的长为() A B.4 3 C.2π D.2n 3 3.(2026河南焦作.一模)已知圆0的半径为2，直线1与圆0相交于A,B两点，若4B=3,则 OA.AB=(） A.-2 B.2 C.9 D.9 4.(2026湖北荆州.一模)已知点P,Q分别在圆C:x2+y2=1,C2:x2+y2-4x+2y+4=0上运动， 点M在直线Ix-y+2=0上运动，则MP+M@的最小值为() A.√5-2 B.3 c.V5-1 D.4 5.(2026北京延庆.一模)三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，且 己知三角形的重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角 坐标系中作ABC,AB=AC=6,点B(-3,2),点CL,-2),且其“欧拉线”与圆 M:(x+a+(y+a+2)=2相切，则圆M上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值为(). A.② 2 B.22 c.3v5 D.5V2 2 1/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.（2026安微淮北.一模)己知过点P的直线与圆0：x2+y2=16交于A,B两点.若△0AB的面积为8， 则点P的坐标可以是() A.(（山，2) B.（-2, c.（-5,-2 D.(2,-5 7.(2026山西运城一模)已知直线1：3x-4y+5=0,圆C:(x+2)+(y-1)2+m-5=0,则 “0<m<4"是“直线1与圆C相交"的（) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 8.(2026辽宁抚顺一模)已知直线1：y=+2与圆C:x-√+(y+1)2=12相交于小、B不同两点， 2π 劣弧B所对的圆心角为∠ACB,若∠ACB<,则实数k的取值范围为（） A.（-V5,+∞） B.（-5,5U(5,+o】 C. 9.(2026福建泉州一模)己知直线1：x-y-2=0,圆C关于y轴对称，且过点A(-1,3,B(1,1),则 圆C上的点到1的距离的最大值与最小值之和等于() A.2 B.22 C.32 D.42 10.(2026·辽宁抚顺一模)已知直线x+ay-6=0与圆C:(x-1)2+y-√3=9相交于4，B两点，0 为坐标原点，若OA=OB,则AB=() A.2√5 B.4 C.4W2 D.45 11.(多选)(2026安微合肥.一模)已知抛物线E:y2=2pxp>0)的焦点为F,以D(P,0)为圆心， DF为半径得到圆D,圆上有一点(P,).过点F的直线与E交于P,Q两点，与圆D另交于点M, 则() A.p=2 B.当PF=2FQ时，P的横坐标为2√2 c.当p=2Fg时，wr-子 D.FM PO<FP FO 2/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(多选)(2026江西南昌一模)在平面直角坐标系x0y中，已知A-2,0),B(2,0),动圆C: (x-1)2+(y-r2=2(r>0),过点A,B分别作斜率为k,k,(k,k2≠0)的两条直线与动圆C相切， 两切线交于第一象限的点P(x,),设点B到直线PA的距离为d,则下列说法中正确的是() A.PB>1 B.k<3 C.k>3 D.d<25 13.(2026天津河东一模)己知直线1：x-2y+3=0,Z:2x-y-3=0,若圆C的圆心在x轴正 半轴上，且与直线4，都相切，则圆C的方程为 14.(2026天津和平.一模)己知圆x2+y子=8上到直线y=x+m的距离为√2的点有且仅有4个，则 实数m的取值范围为 15.(2026贵州安顺.一模)已知直线：c-y-2=0与圆C:x-42+y2=1,若存在以直线1上一点 为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则k的取值范围是· 16.(2026·天津南开.一模)过点A(-2,0)及圆M：(x-2)2+y2=16与抛物线y2=8x的一个交点的 直线被圆M截得的弦长为· 17.（2026福建泉州.一模)若存在4条不同的直线既是圆x2+y2=4的切线，也是曲线 y=ax+ a>0)的切线，则a的取值范围是 考点2 椭圆性质及直线与椭圆位置关系 1.（2026广东中山一核)方程-表示的圆锥自骏的离心率e=（） 25-4x 5 A. 4 B. 5 5 C.5 D.5 4 2(2026演商.一模)已红椭圆C:苔+卡=@>b>0的左、右顶点分别为48，点y在C上， .y2 且BM=4E,AM=10,an∠BAM-手，则点M的横坐标为() A月 B.-3 C.-2 D.-22 3 3.（2026江西赣州一模)已知椭圆C:号+上=1的左右焦点分别为F,5,点P在椭圆C上，若 43 △PFF,的面积为1，则PE.PE,=() 3/27 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.- 2 B. 2 3 c 405河省时用成)已6若后-06c与品三3号-o网灯 四点，且E,E2的焦点与这四点在同一个圆上，则2=() A.4 B.5 C.3+√2 D.3+2√2 5.(2026甘肃兰州.一模)已知曲线C:x=V3-3y2,则曲线上的点到直线1：x+y+4=0的距离的取 值范围是() A. 3W25W2 2’2 B.「2,3N2 c. 3V2V6+4V2 2 9g 2026安徽安肤一模)已知椭圆C。+口>b>0)的左、右焦点分别为、F,过F的 线与椭圆C交于M、N两点，若2S.Mws=5S。MR,且∠FEN=∠F,NE,则椭圆C的离心率为() A3 5 B.3 D.6 3 4 7.(多选)(2026辽宁抚顺一模)已知椭圆C:女+ =1的左、右焦点分别为F(-1,0),F21,0),上 4 m 顶点为B,过点F作垂直于FF的直线交C于M,N两点，则() A。C的离心率为} B.C的短轴长为√3 C.△BFF,为等边三角形 D.△MFN为等边三角形 8.(多选)(2026江西宜春.一模)定义曲线名+63 ,2=1为祁贿圆x+Y,三1a>b>0)的“倒椭圆”.已知 圆℃的方程为二，其倒椭圆℃的方程为之+1，O为坐标原点，P为曲线C上任意 94 一点，则() A.椭圆C的离心率e= 3 B.OP的最小值为4 C.过点P作x轴与y轴的垂线，垂足分别为A,B,则直线AB一定与椭圆C相切 4/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.椭圆G上至少存在四条切线与曲线C,没有公共点 9.（多选)(2026河北邪台一模)已知椭圆C:是+上=1的左、右焦点分别为斤，5，H是C上 一十 1612 异于左、右顶点的点，则() A.△FHF,的周长为12 B.存在点H,使得HE⊥HF c.当△FH那，内切圆的半径为5时，丽孤=11 D.当直线1被C所截得线段AB的中点是P(2,)时，直线1的方程为3x+2y-8=0 10.(多选)(2026河北廊坊一模)已知0为坐标原点，4B是椭圆E:亡+2y-1上的两点，且 9+9 OA⊥OB,OD⊥AB,垂足为D,则下列说法正确的是() A.E的离心率为 B.OA≤20B C.OD=3 D.△OAB面积的最小值为√6 1.（2026江西-候)已知-20,520是椭丽C若+京-a>b>0的两个焦点，P为第 象限内椭圆C上的一个动点，Q为△PFF的内心，过F作直线P⑨的垂线，垂足为M,若 oM=专PF=F,则椭假C的离心率e= 12.(2026湖北襄阳.一模)己知椭圆G与双曲线C,有相同的左焦点F和右焦点F,P为椭圆C与 、双曲线G在第一象限内的二个公共点，设椭圆G与双曲线℃的离心率分别为9，S,且。气=若 ∠FPR,=子，则双曲线C,的渐近线方程为 · 1B、(2026广东。一核)如图，0为坐标原点，R,R为椭圆C:+y=1的两个焦点过R,5分别 作椭圆C的切线I的垂线，垂足分别为H,H2,当OH,⊥OH,时，△OH,H2的面积为 5/27 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.（2026内蒙古鄂尔多斯一模)椭圆c:+3=1a>b>0的右焦点为F,左顶点为A,上顶 点为，离心率为兰。△4F的面泉为5. 2 (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，椭圆C上有一动点D(不在x轴上)，E为线段AD的中点，直线OE与直线 x=2相交于点M. (i)当点M的坐标为2，-2)时，求AD; (i)证明：MF⊥AD. 15.2026满北前州)已奥圆c:千+若-a>6>0的一个焦点与抛物线，广=45：的能 点重合，且椭圆C的离心率为V尽 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30的直线交椭圆C于另一点B,O为坐标原点，求△0AB的面 积 16.（2025青海西宁一模)已肉椭圆C:二+是=1a>b>0)的左、右顶点分别为4，B.商心津为 3 ,且|AB=4. 2 (1)求C的方程： (2)己知M,N是直线x=1上的两点，且满足BM⊥BN,记直线AM,AN的斜率分别为k,飞2 ()求k·k2的值： (i)若直线AM与C交于另外一点P,直线AN与C交于另外一点Q,求点B到直线PQ的距离的 最大值. 17.(2026天津育开一)已知横圆8：等+号=1(a>>0)的左、右焦点分划别为F,乃，短 轴长为2，过右焦点万且垂直于X维的直线交椭圆于第一象限的点P,且sm∠PF5-号 (1)求椭圆E的方程； (2)直线1：y=kx+m(k>0)与椭圆E交于点A,B,若椭圆E上存在点C使得四边形0ACB为平行 四边形.且AB=V3OC,求k的值. 考点3 双曲线性质及直线与双曲线位置关 6/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(2026云南曲靖一模)已知双曲线的一个焦点与抛物线y=x的焦点重合，且一条渐近线方 20 程为y子，则双曲线的标准方程是() A.y 916 =18.yx =1 C.x2y -=1 D. =1 916 169 169 2.2026湖北荆州模)已知双曲线若茶-1(0>0,6>0)的左、右售京分5别为R,,过 的直线与双曲线的两条渐近线分别交于M,N两点，且满足FM=MN,FN·F,N=0,则双曲线的离 心率为() A.2 B.5 C.v10 D.√6 2 3.(2026·天津.一模)已知双曲线-y 。=1a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,5,O是坐标原 点，过E作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P,若PF=2V21OPI,PF,=2,则双曲线的方 程为() A.-少=1 B.x -=1 4 416 c￡y=l 42 84 4。（2025湖南怀化模)设0为坐标原点，.B是号茶-a>0,6>0的左、右袋点，若在双 曲线上存在点P,满足三角形FPF,的面积为V3b2,OP=√5a,则该双曲线的离心率为() A.√2I B.V21 c.5 D.5 5.(2026宁夏银川一模)若双曲线G与C,的两个焦点重合，则称C与C,互为“同心双曲线”.己知双 曲线G:2-=1与双曲线C:之+ =1互为“同心双曲线”，左、右焦点分别为F, 15 n-15n-n2-12 F,P是C,上一点，若△PFF,的周长为20，则△PFF的面积为() A.4V3 B.8V3 C.4W15 D.815 6.(2026辽宁盘锦.一模)已知P,Q是双曲线x2-y2=1右支上两点，且满足PM·QM=0(其中 M(3,0),则MP.QP最小值为() A.7 B.2 C.4 2 D.12-6W2 7/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.（(多选)(2026青海西宁.一模)已知双曲线C:。- =1(a>0)的左、右焦点分别为F,E,直 a23 线1过点F,且与双曲线的右支交于A,B两点，其中A点位于第一象限.若AB=7,△FAB的周 长为18，点T为双曲线C上的一个动点，则下列说法正确的是() A.a=1 B.点T到两条渐近线的距离之积为定值 C.过点DL,)的直线4与双曲线C相交于M,N两点，且满足D为线段MN的中点，则直线为 3x-y-2=0 D.若∠F7R-骨，则F7E,的面积为35 8.(多选)(2026辽宁抚顺一模)在平面直角坐标系x0y中，直线4：x-y=0,直线l2:x+y=0, 曲线C上的动点P(x,y)x>川到直线4与马的距离之积为定值1，FF2为曲线C的左、右焦点， 则下列结论正确的是() A.曲线C的方程为x2-y2=2 B.PF-PF3=2V2 C.点P到点M(6,0)的距离最小值为4 D.若1为曲线C在点P处的切线，则直线1平分∠FPF 9.(侈选)(2026广西桂林一核)已知P是双曲线C:号)=1上一点，且，>0，，万分 别是C的左、右焦点，O为坐标原点，下列说法正确的有() A.C的离心率为√2 B.若OP=OF,则aFPF的面积为1 C.若PF·PF,<0,则%的取值范围是 5§ 3’3 D.过E的直线I与C交于A,B两点，若△AEB为等腰直角三角形，且∠AEB=90°，则1的斜 率为±√2 10.(多选)(2026山东济宁一模)已知双曲线C:父上=1的左，右焦点分别为R,R,过R且斜率 49 为k的直线1与C的右支交于点P,则() 8/27 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.C的离心率为3 3 C.PE·PE的最小值为-9 D.若以实轴为直径的圆与1相切，则cos∠FP5= 5 11.(2026-山东青岛一模)双曲线C:- a2-b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为E,E, 以FF为直径的圆与C在第一象限的交点为M,若直线MF与C的一条渐近线平行，则C的离心率 为 D.2026河北石家压一已斑0为坐标原点，双曲线C。1的左、右焦点分别为 F(-c,0、F,c,0),M为双曲线右支上一点，满足ME1MR,且△MOF,的面积为5c,则双曲 线C的离心率为 B.(2026河北保定一板已知双曲线C:不-手1左、右焦点分别为，乃，点M是C上一盒 且位于第二象限，△MEE,的面积为24a,过原点O且平行于MF的直线1与MF和∠FMF的平 分线分别交于点么B,且AB=M瓜Q则双曲线C的渐近线方程为 4,2026江苏：模)已双曲线℃- =1a>0,b>0的一条渐近线的倾斜角为60°，F,F2分 别为左、右焦点，A为右顶点，P,Q为C左支上的两个动点（不包括顶点）. (1)求C的离心率： (2)是否存在常数t(t>0),使得∠PAF=1∠PFA总成立？若存在，求t的值；若不存在，请说明理 由； (3)若a为定值，直线PQ经过F,求AP+AQ的最小值， 52026河北序坊一D已上，F分别是双曲线C:二a>0,b>0的上、下焦点，及 曲线C的渐近线方程是y=±5 x,且F到双曲线C的渐近线的距离是√5. (1)求双曲线C的方程： (2)若过E的直线1与C交于AB两点，其中A在第一象限，B关于原点对称的点为M,且 9/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FA·F,M=4,求直线1的方程. 16.（2026广东一模)设双线C号茶=1b>0)的腐心幸为2，其无、右焦点分别是F.5, a- 过E的直线1与双曲线C的右支交于点M,N.当MN与x轴垂直时，MW=6. (1)求双曲线C的标准方程； (2)求MF,NF,的最小值； (3)记△FMW的内切圆OP与双曲线C的一个公共点为Q，,双曲线C的左顶点为A,证明： ∠APQ=2∠F,PQ 考点4 抛物线性质及直线与抛物线位置关 1.(2026北京顺义.一模)已知抛物线W:y2=2px(p>0的焦点为F,C 若W上存在点A, 使得CF=2AF,且△ACF的面积为6N2,则p=() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2026天津红桥.一模)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上一点B,满足直线FB与 y轴正半轴交于点M,且B在F,M之间，若F=2BM,且点B到猫物线准线的距离为手则 点M的纵坐标为() A.1 B.√2 C.5 D.5 3.(2026广东广州一模)己知抛物线C:y2=2px（p>0)的焦点为F,圆M:(x+1)2+y2=16 与C交于A,B两点，若直线AM与直线BM的斜率之积为-3，则AF=() A.3 C.4 D.5 4.(2026·安徽滁州.一模)若P(x,y)是抛物线C:x2=-12y上的动点，点A(4,0),则|y-3引+PA的 最小值为() A.17 B.5 C.7 D.213 5.(2026河北保定.一模)抛物线C:y2=4x的焦点为F,动点P在抛物线C的准线上，O为坐标原 点，当∠OPF最大时，△OPF的面积为() 10/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.② B.② 2 C.√2 D.2W2 4 6.(多选)(2026广西北海一模)己知抛物线C:y2=4x,直线1过其焦点F交抛物线于Ax,y), B(x2,y2两点，过点A作抛物线C的切线4，交x轴于点D(x3,0),则() A.若AF=3,则A2,2V2 B.XX2=1 C.AF DF 0.F 、(O是直线1的倾斜角) 7.(多选)（2026安徽合肥一模)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,以D(p,0)为圆心， DF为半径得到圆D,圆上有一点(P,).过点F的直线与E交于P,Q两点，与圆D另交于点M, 则() A.p=2 B.当PF=2FQ时，P的横坐标为2√2 c.当PF-2FQ时，Mr=号 D.FM PO<FP FO 8.（多选)(2026山西运城一模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线1：x=-1与x轴交于 点H,M是抛物线C上的动点，以M为圆心的圆M经过点F,O为坐标原点，则() A.圆M与直线l相切 B.圆M的面积的最小值是4r MH c. 的最大值是√2 D.存在点M,使得 OM 23 MF MF3 9.(多选)(2026黑龙江一模)己知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P为C上一动点，A为一定点， 则正确的有() A.若PF=4,则点P的坐标为3,25 B.若A5,3),则PA+PF的最小值为6 C.若A3,0),则PA的最小值为2√2 D.若A3,0,则∠4PF的最大值为牙 10.(多选)(2026河南南阳.一模)己知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为1,0为坐标原点， 11/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过点F的直线与抛物线C交于A,B两点，分别过点A,B作l的垂线，垂足分别为M,N,若 △AMF为等边三角形，则() A.直线AB的斜率为√ e.IaM-3 C.△AMF的周长为12 D.B,O,M三点共线 11.(多选)(2026黑龙江哈尔滨.一模)已知点0在圆F:(x-2)2+y2=1上，A(-2,0),0为坐标 原点，动点P满足：在△APF中，PAcos∠PAF=PF则() A.P的轨迹方程为：y2=8x(x≠0) B.PQ的最小值为2 C. PF 的最小值是② D.∠PA0的最大值为写 12.(多选)(2026山东青岛·一模)已知圆C过抛物线Γ：y2=2px(p>0)上的两点A(1,2),B(4,-4),则 () A.圆C面积的最小值为 4π B.圆C与抛物线Γ的公共点个数为3 C.若圆C与抛物线厂还有另外两个交点P、Q,则P、Q的纵坐标之和为2 D.若圆C与抛物线Γ还有另外两个交点P、Q,则直线PQ的斜率为4 13.(2026北京昌平.一模)已知圆x2+y2=5与抛物线C:y2=2pxp>0)的准线的一个交点为A(A 在x轴上方)，点A关于y轴的对称点B在抛物线C上，则p=一；若直线x-y+m=0上存在点 M,使得MA⊥MB,则m的取值范围为一· 14.(2026湖北一模)如图，经过抛物线C:y2=6x的焦点F的直线交抛物线C于A,B两点（点 A在第一象限)，直线AB的倾斜角为，经过点A和原点O的直线与C的准线I交于点D. 1当a=买时，OD (2)△ABD绕直线I旋转一周所形成的几何体体积最小时，直线AB的斜率为 12/27 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(2026天津东丽一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为1，点P(-2,4)在1上， 以线段PF为直径的圆与直线y=x相交于A,B两点，则AB= x2 16.(2026安徽安庆，一模)已知椭圆C:言+y=1a>)与抛物线C,:y=2pr(p>0)在第一象限交 于点Q(x,y),A,B分别为CG的左、右顶点 (1)若x。=1,且椭圆C的焦距为2，求C,的准线方程； (2)设点F(1,0)是G和C,的一个共同焦点，过点F的一条直线1与C相交于C,D两点，与C,相交于 五，G两点，CD=入G,若入}求直线1的方程： (3)若a=3,设直线QA,QB分别与直线x=4交于M,N两点，△QMN与△QAB的面积分别为S, ,者是-了，求点Q的坐标 17.(2026-山东青岛一模)己知抛物线C:y2-2px(p>0),点F为C的焦点，M,N是C上任意不 重合的两点，当直线MN过点F且垂直x轴时，MN=4. (1)求C的方程： (2)若直线MN过点F且aOMN的面积为4，求MN的方程. 18.(2026广东梅州一模)如图，F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，P是抛物线C在第一象限 上的一点，∠0FP=60°，|PF=2. y个 F, (1)求抛物线C的方程； (2)求抛物线C在点P处的切线方程. 19.(2026重庆.一模)己知点F(0,1),H是直线I:y=-1上的一点，过H作1的垂线，线段FH的 垂直平分线m交r于点M,当H在1上运动时，记M的轨迹为C. (1)求G的方程； 13/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)证明：直线m是G的切线： (3)已知圆C,的圆心在第一象限内，C与C,有唯一的公共点，且C,与y轴相切于点F,求圆C,的方 程. 考点5 圆锥曲线中的动点轨迹问题 1.(2026山东青岛一模)如图，点E为矩形ABCD边AB的中点，以动直线1为折痕将矩形在其下 方的部分向上翻折，每次翻折后点E都落在边CD上，记该落点为F,过点F作FP垂直于CD交直 线I于点P,点P的轨迹为曲线W的一部分，则W为() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 2.(2026广东江门·一模)已知正方体ABCD-AB,C,D,的棱长为3，点P是正方形ABCD内（含边 界)的一个动点，且满足A,P=V3,则点P的轨迹长为() A.π C.n D.2元 4 3.（2026·安徽滁州一模)若P(x,y)是抛物线C:x2=-12y上的动点，点A(4,0),则|y-3+PA的 最小值为() A.√17 B.5 C.7 D.2V13 4.(2026山西大同，一模)已知双曲线二-二-1的左右焦点分别是F,万，Q是双曲线右支上的 972 动点，过E作∠FQF,平分线的垂线，垂足为M,则点M的轨迹方程为() A.x2+y2=9(-1<x≤3) B.x2+y2=9(-1≤x≤3 C.x2+y2=3(-1<x≤3) D.x2+y2=3(-1≤x≤3 5.(多选)(2026江苏镇江.一模)如图点P是棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,的表面上一个动点， F是线段AB,的中点，则() 14/27 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D F B A.当P为BC的中点时，AP⊥DF B.当P在面8CCA上，且直线AP与CD所成的角为45时，点P的轨迹长度为受 C。三传锥4-PBD体积的最大佰为 D.当PF11平面B,CD,时，线段PF长度最大值为2√2 6.(多选)(2026浙江.一模)M是坐标平面内一个动点，MA与直线y=x垂直，垂足A位于第一象 限，MB与直线y=-x垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB(O为原点)的面积为3，设 M(x,y)的轨迹为曲线C,则() A.C的方程为x2-y2=6x>0 B.C的方程为y2-x2=6(y>0 C.y-2x的最大值为-3√2 D.12-y的最大值为 8 7.(多选)(2026湖北一模)平面上一动点P到原点0的距离与到直线y=x的距离之和为常数a, 点P的轨迹为曲线C,点A3V2,3V2)在曲线C上，则() A.a=6 B.2V3≤OP≤6 C.△POA面积的最大值为9 D。从曲线C内任取一整点（横纵坐标均为整数），该点位于圆2+少=9内的概率大于 81 8.(多选)(2026湖南岳阳.一模)如图，圆F:(x+1)2+y2=1,圆F,:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆 F外切于点M,与圆E内切于点N,记圆心P的轨迹为曲线C,若直线：y=x与曲线C交于S,T 两点，则下面说法正确的是() 15/27 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F A.曲线C的方程为子+3=x2 B.∠MPN的最小值为120 c.Mm.P所+p.PE≤2 .1 D,当直线PS,PT斜率都存在时，ks·k7=- 9.(2026贵州安顺.一模)己知点M为正三棱柱ABC-A,B,C,的外接球上动点，且MB=2MA,若 AA=2,AB=3,则点M的轨迹长度为一· 10.(2026江西九江.一模)在平面直角坐标系中，动点P的轨迹C满足：P到两定点 F-1,01,BL,0)距离之积等于子若4B是C与轴的交点，则PB面积的最大值为 11.(2026四川雅安一模)在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西 尼卵形线，如图所示的曲线C为卡西尼卵形线且过坐标原点0，其中两定点为F(-2,0),F,(2,0), 曲线C上点P在第一象限内且满足△PFF,的面积为2，则PF-PF,'= 12.(2026四川广安.一模)在平面直角坐标系中，0为坐标原点，两点P(x,y),Q(x,y2的“曼 哈顿距离”定义为P=x-x,+以-.满足OP=2的动点P的轨迹围成的图形面积为 ;已知点M在直线y=ex-1上，点N在函数y=e的图象上，MW的最小值为 13.(2026江西宜春.一模)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(-1,0),点E(1,0),点P满足 PF+PF,=4.记点P的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程： 16/27 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)曲线C的左、右顶点分别为A、B,设点E是曲线C上一动点，且点E不在x轴上，直线EF交 曲线C于点M(异于点E),直线EF交曲线C于点N(异于点E)· (1)若∠EEE,的角平分线交x轴于点T,FT=tTE,,求t的取值范围： (i)若点E不在y轴上，记直线MN的斜率为k,直线EA的斜率为k,直线EB的斜率为k,判 断、 ，是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由。 k 14.(2026福建泉州.一模)在平面直角坐标系x0y中，已知点A(2,0),动点P关于0的对称点为Q, 且直线4P,40的斜*之积是子记P的销迹为曲线E (1)求E的方程； (2)若P关于x轴的对称点为M,求△PQM的面积的最大值， 15.(2026江西南昌一模)己知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为22，对角线AC,的中点为F, 对点P在平面AMCC内，且点P到平面A4BB的距离等于Y51PF 2 .P (1)求四棱锥P-AA,B,B体积的最小值； (2)记点P的轨迹为曲线M,点G,R,Q是曲线M上不同三点. (1)若平面AB,F与轨迹M相交于RG两点，求线段RG的长； (i)若点G在点F上方，且GF⊥AC,GR,GQ与平面ABCD所成角相等，平面过RQ且与 AB平行，判断平面α与平面ABCD的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不 是定值，请说明理由 16.(2026河北保定.一模)在平面直角坐标系中，定义Ax,y),B(x2,y2)两点之间的“曼哈顿距离” 为d=x-x+-2,我们把到两个定点E(c,0),F,(c,0)(c>0)的“曼哈顿距离"之和为常数 2a(a>c的点的轨迹叫"曼哈顿椭圆”. (1)请分析“曼哈顿椭圆”的对称性，并求出它的面积(（用a,c表示)： 17/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)当a=4,c= 时，该曼哈顿圆的顶点都在桐圆C上，过点D0,)作围M:x-2+少-号 公 的两条切线与椭圆C分别交于E,F两点. (i)求椭圆C的方程； (ⅱ)判断直线EF与圆M的位置关系，并说明理由. 考点6 圆锥曲线中的定点、定值问题系 1.（多选)(2026青海西宁.一模)已知双曲线C:-上 a2-3 =1(a>0)的左、右焦点分别为F,F,直 线1过点F,且与双曲线的右支交于A,B两点，其中A点位于第一象限.若AB=7,△FAB的周 长为18，点T为双曲线C上的一个动点，则下列说法正确的是() A.a=1 B.点T到两条渐近线的距离之积为定值 C.过点DI,1)的直线I与双曲线C相交于M,N两点，且满足D为线段MN的中点，则直线I为 3x-y-2=0 D.若∠R-骨，则R5的面积为35 2（2026河北那台一模)已知双曲线C:若-片=a>06>0,过点D10的直线1与圆 0:x2+y2=a2交于A,B两点，且|AB的最小值为2√5，当直线1平行于双曲线C的渐近线时，双 曲线C的左顶点到直线1的距离为3 5 (1)求双曲线C的方程： 2过双曲线C上一点R作两条海近线的垂线，垂足分别为G,H,证明：IRG-RH上 5 (3)已知点P(W10,-3),两个不重合的动点M,N均在双曲线C上，直线PM,PW分别与y轴交于点 E,F,点Q在直线MN上，OE+OF=0且PQ⊥MN,试问：是否存在定点T,使得引QTI为定值？ 若存在，求出该定点T和QT|;若不存在，请说明理由 3.(2026山东滨州一模)设圆x2+y2+2√5x-13=0的圆心为A,直线1过点BV3,0且与x轴不重 合，I交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E,动点E的轨迹为曲线W. (1)证明EA+EB为定值，并求曲线W的方程； (2)若直线1'：y=x+1(1≠0)与曲线W相交于MN两点. 18/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①求AOMN面积的最大值： ②已知点P(-4,O),直线PM与曲线W的另一个交点为G,直线PN与曲线W的另一个交点为H.证 明：直线GH过定点 4(2026江西上修一便)已如图c号+茶=o6>0的点矩为2，点P) 在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)如图，斜率存在且不为0的直线1与C相交于点A,B(A在B的左侧)，F,F分别为左右焦点， 设直线F4FB的斜率分别为k,k2,且k+k,=0. ①求证：直线1过定点； ②设直线FB,EA相交于点M,求证：ME引-M为定值 5205北石家庄一发)已推C号 =1(a>b>0)的右焦点F(1,0),短轴长为2. (1)求椭圆C的方程： (2)记0为坐标原点，直线x-my-1=0与椭圆C交于A,B两点，过点A作直线x=2的垂线，垂足为 D. (i)求证：直线DB恒过定点； (i)求aODB面积的取值范围. 日2026四川宜宾一楼)已知椭圆C名+a>6>0的左、石焦点分别为-10,5L0 点aM在C上，M1x销，且ME= (1)求C的方程： (2)过点P(4,0)的直线交C于不同的两点A、B,AH⊥MF2于点H,证明：直线HB过定点， 25安微北一已知圆。+>>0的短抽长为2，焦距为2，过E的佛 点F作斜率之和为1的两条直线和，Z与E交于A,B两点，Z与E交于C,D两点，线段AB,CD的 中点分别为P,Q. 19/27 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求椭圆E的标准方程： (2)求点P的轨迹方程； (3)直线P9是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由 8,(2026广东湛江一模)已圆工名+0>6>0的左、右顶点分别为么B,其离心率为V3 2 且「上的点到其中一个焦点的距离的最小值为2-√3，过点G1,O)的直线交椭圆于C,D两点，直线 CB,DB分别交直线I:x=4于点M,N. (1)求椭圆Γ的方程； (2)证明：A,D,M三点共线； (3)试问以MN为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标：若不是，请说明理由 9.(2026重庆.一模)已知抛物线C:y2=2pxp>0),与直线y=-x交于0，A两点(O为坐标原 点)，且|OA=22 (1)求抛物线C的标准方程； (2)若M,N为抛物线上任意两点，且满足AM⊥AN,证明：直线MN经过一个定点，并求出该定点 坐标. 10.(2026江苏南京.一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上的点P(4,(>0)到F 的距离为5 (1)求p和t的值： 2A,B为C上两点，aPHB的重心在直线y=-上. 3 ①证明：直线AB的斜率为定值： ②设直线AB与x轴交于点Q,线段AB的中点为T,线段PQ的中点为R,过点P向直线TR作垂线， 垂足为H.证明：点H在定圆上运动. .2026天西一限C老+岁I0>6>0的右焦点为上，离心务为降过盟 别 (1)求椭圆的标准方程； (2)设不垂直于坐标轴的直线1与椭圆C相切，过F作直线1的垂线，垂足为H,线段OH的长度是 否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由 20/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(2026贵州六盘水.一模)已知椭圆C:亡+ 。2+62=1a>b>0)的焦距为2，且过点A(√2，)· (1)求椭圆C的方程， (2)设B为椭圆C的右顶点，过点P1,O)的直线1与椭圆C交于M,N两点（异于点B). (i)记直线BM,BW的斜率分别为k,k2,证明：kk,为定值. (ⅱ)求△BMW的面积的取值范围 13.(2026甘肃一模)如图所示，焦点在轴上的椭圆C的顶点分别为4,4，B,B,∠B4R,=子， 且椭圆过点 V6 3 (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C上任意一点P作四边形A,B,A,B2的内切圆的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,当切线 斜率存在时，记切线PA,PB斜率分别为k,k2,试判断k·k2是否为定值，若是定值，求出该定值： 若不是，请说明理由； (3)若切线PA,PB与椭圆C的另一个交点分别为E,F,求EF的最小值. 14.(2026河北沧州一模)已知椭圆E的中心在原点，坐标轴为对称轴，其中一个焦点为F(1,0), 离心率为及直线01,08与餐图E交于不同的两点4,8，且直线01,0B的斜丰之积为号 1 (1)证明：O4+OB为定值； (2)以椭圆E上一动点M为圆心作与直线OA,OB均相切的圆，探究圆M的面积是否为定值，若是 定值，求出圆M的面积，若不是定值，说明理由； (3)求四边形0AMB面积的最大值. 15.(2026四川巴中.一模)若点A,B是曲线C上相异的两点，且直线AB的斜率为k,则称点A, B是C(k)斜率相关的.已知抛物线C:x2=2py(p>0),点P(-2,在抛物线上，点Pn(xm,yn)与 21/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点Qn(a,b)是C(k)斜率相关的，点2与点P1是C(-k)斜率相关的，其中k为常数且k>0,记直 线PnPn1的斜率为kn (1)设0为坐标原点，若k=1,求△0P2,的面积. (2)对任意的正整数n, 是是否为定值？若是，请求出这个定值：着不是，请说明理由。 3)求数列 k.Kn+ 的前项和S:若对任意的正整数，都有5，>}求实数k的取值范围 考点7 圆锥曲线中的最值、范围问题 1.(2026甘肃兰州一模)己知曲线C:x=√3-3y2,则曲线上的点到直线：x+y+4=0的距离的取 值范围是() A. 3W25W2 2,2 B.「V2,32 C. 3W2√6+4v2 22 D. 9wa 2.(多选)(2026广西桂林一核)已知P(%是双曲线C:号-)2=1上一点，且，>0，R,乃分 别是C的左、右焦点，O为坐标原点，下列说法正确的有() A.C的离心率为√2 B.若OP=OF,则△FPF,的面积为1 C.若PE·PF,<0,则%的取值范围是 V33 3’3 D.过E的直线I与C交于A,B两点，若△AFB为等腰直角三角形，且∠AFB=90°，则1的斜 率为±2 3.(多选)(2026福建泉州.一模)以坐标轴为对称轴的双曲线C过点V2,2V2),其一条渐近线过点 (1,22,且两焦点为E,F,若直线：x=+t,分别与C的两支交于M,N两点，线段MN的中点 为P,则下列说法正确的是() A.双曲线C的方程为r2-上=1 8 B.若m=1,则点P在直线y=4x上 22/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.若t=0,则MFNF的取值范围为8，+∞) D.若1=3，则△MFF与△NFF,的内切圆的半径之比为2或) 4.(多选)（2026山东滨州一模)某市以“渤海湾畔、生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市 脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线C,其方程为x2+y2+2x-2y=0.对于曲线C,则 下列结论正确的是() A.若直线y=:与曲线C有唯一公共点，则k取值范围为 11 22] B.曲线C上存在唯一的点P,使得点P到点(0,5)与到点(0，-5)的距离之差为4 C.曲线C所围成的封闭区域面积等于2π-4 D.若曲线C上恰好存在4个不同点到直线y=x+m的距离为；，则实数m的取值范围为 2+2 2 5(多选)2026海南倍州一)设椭圆C6+占1的左、右焦点分别为，乃，点P在0 上，则() A.若△PFF,的面积S=3√5，则满足题意的点P有四个 B.若FPE,=30°，则aPFE的面积S=92-V5 C.椭圆C内接矩形面积的最大值为12 6(多选)2026河北一模)已期0为生标紧点，版c:若+若-1a00的这心幸为专 长轴长为4，F为C的右焦点，第二象限的点P为椭圆上一点，Q为点P关于y轴的对称点，PQ 交y轴于点M,N为线段FQ的中点，则() A.b=3 B.MN FN =3 C.设A是C的左顶点，直线4P和A0的斜率分别为长点，则- D.△ONF内切圆半径的取值范围为0， 4 7.(多选)(2026辽宁辽阳.一模)己知点F,(-2,0),F,(2,0),曲线E上任意一点M满足 23/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MF ME =(2>0),则() A.当入=2时，曲线E经过坐标原点 B.对于不同的1值，曲线E总是关于坐标原点对称 C.当A=4时，直线)=0与曲线E的所有交点的横坐标之积为9+3V65 8 D.当2=1时，ME+MF的取值范围为4,2V5+2 8.(2026甘肃一模)椭圆x+y2 。+=a>b>0)的离心率为e,双曲线艺 a2 b2 =1渐近线的斜率绝对 值小于√5，则e的取值范围为 9.（2026安徽豫州一模)已知鞘圆r:号+茶=1a>b>0)的短轴长为4，离心率为5 + a' (1)求「的方程； 2)若直线y=x+m与Γ交于A,B两点，且14BK80 ,求m的取值范围。 9 10.2026河北一级)已知圆C:号+若=a>办>0的左、看焦点分别为斤上顶点为G 且EE=V3EF,点(2，-2)在C上. (1)求C的方程. 2已知4，B是椭图G:手+y=1上的点，P)是C上一点，若线段以，P阳的中点都在 C上，记∠APB=0 (i)当点P运动时，证明：△PAB的面积是定值； (i)求tan0的取值范围. 山，(2026天津红桥一模)已知椭圆C千+a>b>0的一个焦点与短轴的两个端点围成的 角形面积是1，离心率e=2 (1)求椭圆C的标准方程； 2若直线1：y=:+m与椭圆C交于不同两点小B,与圆+严=子相切于点M. 3 ①证明：0A10B(0为坐标原点)： ②设1 AM BM' 求实数2的取值范围。 24/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(2026贵州六盘水一模)已知椭圆C:+少 2+21a>b>0)的焦距为2，且过点A(√2,0)· (1)求椭圆C的方程， (2)设B为椭圆C的右顶点，过点P1,O)的直线1与椭圆C交于M,N两点（异于点B). (i)记直线BM,BW的斜率分别为k,k2,证明：kk,为定值. (ⅱ)求aBMN的面积的取值范围. 1B.（2026山东济宁一装)已知撰圆r:号+卡-a>b>0)的两焦点分别为51-1,01，R1L.01.离 心率为)，A,B,C为椭圆上三个不重合的点，且直线AC经过点B,B与C关于x轴对称。 (1)求椭圆Γ的标准方程； (2)求证：直线AB经过定点，并求出该定点的坐标； (3)求△AFC内切圆半径r的取值范围。 14.(2026湖南怀化一模)在抛物线T:y2=2px(p>0)中，直线1与『交于A,B两点，F为T的焦 点.当直线1为y=x-4时，AB=4W10 (1)求抛物线Γ的标准方程； (2)若线段AB中点的纵坐标始终为1，求AF+BF的取值范围； 3)已知直线x:m与Γ相交于P,2两点，直线x=n与「相交于C,D两点（点P,C在x轴的上方)，若 CD=4PQ,四边形PQDC的外接圆圆心坐标为s,,求证：s+t>2. 15.（2026广东广州一模)已知双简线C:器无-1(a>0,6>0)的焦点到其奇近线的距肉为 √2，点（√2,2）在C上. (1)求C的方程； (2)点A,B分别在C的两条渐近线上运动，且AB=2√2，线段AB的中点为M. (i)设E(o,,F(0,-5,求MEMF的最大值； （i)设P-4,0,Q(,0)(1>1,点M不在x轴上，若∠M0P=2∠MP0,求MO MP 的取值范围. 16.（2026辽宁抚板一模)画C:号+是=0a>b>0的焦点分别为5-10,5L0,过点5且铜 斜角为a的直线与椭圆C相交于4B两点，当cosa=时有AB?15卡9m. 3 25/27 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求m的值及椭圆C的标准方程； (2)已知线段AB的中点为G. (i)求点G的轨迹方程； (ⅱ)若线段AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D,E两点，O为坐标原点，记△GFD的面积 为S,△OED的面积为S2,求 64S,S2 -20483的取值范围。 17。(2026河北石家庄。一模)已知精圆c号+号=a>60的右焦点F1,0),短轴长为2. (1)求椭圆C的方程： (2)记0为坐标原点，直线x-my-1=0与椭圆C交于A,B两点，过点A作直线x=2的垂线，垂足为 D (i)求证：直线DB恒过定点； (i)求△ODB面积的取值范围. 18.(2026黑龙江.一模)己知离心率相同的椭圆C: 苦+长=10<6<2)与椭圆c号+号=a>分 别是同一矩形（两组对边分别与对称轴平行）的内切椭圆和外接椭圆 B (1)求a,b (2)设直线1与椭圆C相交于A,B两点，与椭圆C,相交于D、E两点，且A在线段BD上 (i)求证：AD=BE (ⅱ)若A,B恰为DE的三等分点，求坐标原点O到直线1距离的取值范围 19。(2026候商商洛一校)已知双曲线c号后=川口>Q6>0上的一点到两条近我的距路之 积为离心率为2 (1)求C的方程； (2)记C的左、右焦点分别为F,F,点P是C上的一点，直线PE与C交于另一点M,直线PF,与 26/27 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C交于另一点N,设PE=1FM,PF,=μF,N,试判断入+u是否为定值？若是，则求出该定值；若 不是，请说明理由； 3)直线y=2x+m与C交于A,B两点，点G在C上，且OG=2OA+OB,其中0为坐标原点，求t 的取值范围。 27/27