专题10 概率、统计及随机变量分布列（5大考点）（全国通用）2026年高考数学一模分类汇编

专题10 概率、统计及随机变量分布列 5大考点概览 题型01 随机抽样、频率分布直方图及样本的数字特征 题型02 一元线性回归模型 题型03 列联表与独立性检验 题型04 古典概型、条件概率及全概率公式 题型05 离散型随机变量期望、方差及其分布列 ( 随机抽样、 频率分布直方图 及 样本的数字特征 考点1 ) 1．（2026·重庆·一模）某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（    ） A．6人 B．16人 C．22人 D．28人 【答案】C 【分析】由抽样比即可计算求解. 【详解】由题可得抽样比为.所以小学教师应抽取人. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（    ） A．61 B．70 C．98 D．120 【答案】B 【分析】根据统计估计计算求解. 【详解】根据已知从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则，所以. 3．（2026·河北保定·一模）已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，，m，，，，，若该组数据的分位数是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据百分位数的定义计算可得. 【详解】因为这组数据共个，所以，因此分位数为第6个数据和第7个数据的平均数，因为该组数据的分位数为，所以，解得. 4．（2026·江西吉安·一模）某市连续8天的AQI（空气质量指数）分别为，则这组数据的上四分位数为（    ） A．32 B．33 C．48 D．49 【答案】D 【分析】上四分位数即第75百分位数，将已知数据按从小到大的顺序排列后，根据百分位数的计算步骤先计算，再计算上四分位数即可. 【详解】将按从小到大的顺序排列为， 因为，6为整数，所以上四分位数即从小到大排列中的第6与第7个数据的平均数，即. 5．（2026·广东·一模）已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因的平均数为1，方差为2，则，于是数据的平均数为，又，则，于是数据的方差为： . 6．（2026·云南曲靖·一模）一个盒子中装有大小相同、质地均匀的6个小球，这6个小球分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从盒中有放回地任取一个球并记下编号，共取4次，得到一组编号组成的数据，若该组数据的平均数为2，则（    ） A．中位数可能为3 B．众数可能为4 C．极差可能为5 D．方差可能为1 【答案】D 【分析】由该组数据中位数为3时得到该组数据情况不满足和为8即可判断A；由该组数据和为8得到数据4出现的次数情况即可分析求解判断B；由极差为5得到该组数据情况不满足和为8即可判断C；通过举例可判断D. 【详解】设该组数据从小到大排列为，且，， 则由题，对A，当该组数据中位数为3时，则该组数据满足，则该组数据的和，与该组数据的和为8矛盾，故A错误；对B，因为该组数据和为8，所以该组数据4的个数至多为一个， 当该组数据有一个数据4时，则另三个数据的和为4，故该组数据只能为， 此时该组数据众数为1，故该组数据众数不可能为4，故B错误；对C，若该组数据的极差为5，则该组数据至少有一个6和一个1，则该组数据的和，与该组数据的和为8矛盾，所以该组数据极差不可能为5，故C错误；对D，当该组数据为时， 该组数据方差为，故D正确. 7．（2026·辽宁朝阳·一模）某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50，，55，45，.已知本次研学活动的总人数为250人，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 【答案】D 【分析】结合题意得到，再对取值范围进行分类讨论，最后结合总体百分位数的估计求解最大值即可. 【详解】由题意得，解得，不妨设，则，而当时，，此时从小到大的排列顺序为，45，50，55，，而，故第40百分位数，矛盾，当时，，此时从小到大的排列顺序为45，，50，，55，此时，得，于是，此时，可知第70百分位数是，故D正确. 8．（2026·河北邢台·一模）若A组数据，，，的平均数为25，方差为5，B组数据，，，，5m的方差为8，则（   ） A．8 B．4 C．4或5 D．4或6 【答案】D 【分析】根据方差的定义计算即可. 【详解】由已知得，，又， 所以数据的方差为 所以， 即， 所以， 所以，即，解得或. 9．（2026·海南海口·一模）某高中学校高一年级、高二年级、高三年级的学生分别有400、500、300人．现用比例分配的分层随机抽样的方法，按年级从这些学生中抽取n人开展“教师作业批改情况”问卷调查，若高二年级抽到学生15人，则下列说法正确的是（   ） A．从高二年级学生500人中抽取15人可采用简单随机抽样的方法 B．高一年级抽到学生12人 C．样本容量 D．三个年级中高三年级每个学生被抽取到的概率最小 【答案】AB 【分析】根据分层随机抽样的概念与性质进行求解判断即可. 【详解】对于，从高二年级学生500人中抽取15人，由于总体数量比较少，可采用简单随机抽样方法，故正确；对于，根据题意知抽样比为，所以高一年级应抽取人，高三年级应抽取人，故样本容量，故正确，错误； 对于，在分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，故错误.故选：AB. 10．（多选）（2026·陕西铜川·一模）2025年江苏省城市足球联赛火爆出圈，赛场热度赶超职业赛事，城市玩梗引爆网络话题.其中南通队在常规赛中取得10胜2平的战绩，其12场每场进球数分别为则关于样本中进球数的数字特征说法正确的是（    ） A．平均数是3 B．中位数是2.5 C．众数是2 D．方差是1 【答案】ACD 【分析】利用平均数、中位数、众数、方差的计算公式求解即可. 【详解】将12场每场进球数进行排序：， 所以平均数为：，故A正确；中位数为：，故B不正确；众数为：，故C正确；方差为，故D正确.故选：ACD 11．（多选）（2026·广西北海·一模）已知一组数据依次为：12，16，16，4，0，2，2，10，12，16，关于这一组数据，下列说法正确的是（    ） A．极差是16 B．平均数是9 C．第70百分位数是12 D．方差是270 【答案】AB 【详解】由题意，极差是，故A正确；平均数是，故B正确；方差是 ，故D错误；将这组数据从小到大排序为：0，2，2，4，10，12，12，16，16，16，因为，所以这组数据的第70百分位数是第7个数和第8个数的平均值，即为，故C错误. 12．（多选）（2026·山东泰安·一模）下列选项正确的是（   ） A．对A，B，C三类个体按3:1:2的比例进行分层抽样，已知从类个体中抽取了9个，则样本容量为30 B．若随机变量，则 C．恒成立 D．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为4.5 【答案】BD 【分析】A选项，根据类个体中抽取的个数和比例得到样本容量；B选项，由正态分布的对称性可得B正确；C选项，举出反例可得C错误；D选项，利用百分位数的计算公式得到D正确. 【详解】A选项，从类个体中抽取了9个，则样本容量为,A错误； B选项，由正态分布的对称性可知，B正确；C选项，当时，，C错误；D选项，，故从小到大，选取第8个数和第9个数的平均数作为第80百分位数，故1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为，D正确.故选：BD 13．（多选）（2026·河北沧州·一模）某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度问卷调查，在1000名用户的问卷（用户打分都在50分到100分之间）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值为代表）（   ） A． B．由样本数据可估计1000名用户中打分在70分以下的有350人 C．估计这1000名用户问卷的得分的分位数为85 D．估计这1000名用户问卷的得分的平均数为75 【答案】ABC 【分析】对于A，由各矩形面积为1可判断选项正误；对于B，由A分析结合题意可判断选项正误；对于CD，由频率分布直方图计算百分位数，平均数方法可得答案. 【详解】对于A，由题可得，故A正确； 对于B，由A分析，打分在分以下对应频率为：，则对应人数为：，故B正确；对于C，前3个矩形面积之和为：， 前4个矩形面积之和为：，则分位数在到90之间，设为，则，故C正确；对于D，平均数为：，故D错误.故选：ABC 13．（多选）（2026·广东江门·一模）从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，则（    ） A． B．估计该小区居民用户月用电量的下四分位数约为 C．估计该小区有一半左右的居民用户，其月用电量介于至之间 D．当该小区的月用电标准定在时，该小区大约的居民用户用电量不受影响 【答案】BCD 【详解】对于A，由，解得，故A错误.对于B，下四分位数即为分位数. 第一组的频率为， 第二组的频率为，前两组的频率和为， 所以分位数为，故B正确. 对于C，用电量在的频率为，即大约的用户用电量在此区间，一半左右，故C正确.对于D，计算分位数. 用电量在的频率为，用电量在的频率为， 所以分位数为，即用电标准定在时， 该小区大约的居民用户用电量不受影响，故D正确. 14．（多选）（2026·安徽淮北·一模）在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之内，其得分的频率分布直方图如图所示，则（   ） A． B．这200名参赛者得分的中位数为64 C．得分在内的频率为 D．得分在内的共有80人 【答案】ACD 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，计算即可判断A的正误；根据直方图中位数的求法，代入计算，即可判断B的正误；根据直方图中矩形面积代表频率，即频率、频数、总数的关系，即可判断C、D的正误. 【详解】由题意有，解得，故A正确； 设中位数为，所以，解得，故B错误；由题意得得分在内的频率为，故C正确；由题意得得分在内的频率为，则得分在内的共有人，故D正确.故选：ACD. 15．（多选）（2026·广东佛山·一模）对相同的样本数据选取不同的组距（每组为左闭右开区间）画出如图1､图2所示的频率分布直方图，其中图2的部分信息丢失，由频率分布直方图的信息对总体进行估计，则（    ） A．图2中的频率为0.3 B．图2众数的估计值唯一 C．图1与图2中位数的估计值相同 D．图1与图2平均数的估计值相同 【答案】AC 【分析】A计算矩形面积即可；B先估计缺失部分的高度，进而结合众数的概念判断；C利用中位数的定义计算；D利用平均数的定义计算. 【详解】图2中的频率为，故A正确；设在图2中所对应矩形的高度分别为，在图1中的频率为，故，得， 故，则众数必在中取得，因图2中的高度相等，故众数的估计值不唯一，故B错误；图1中中位数的估计值为；图2中，前个矩形面积之和为，故中位数的估计值为，故C正确； 图1平均数的估计值为； 图2平均数的估计值为， 不确定，故D错误.故选：AC 16．（多选）（2026·河北石家庄·一模）下列说法正确的是（    ） A．设一组样本数据的方差为2，则数据的方差为8 B．10个样本数据5，6，7，4，5，7，8，3，9，4的第60百分位数是6 C．用0~9这10个数字，可以组成648个没有重复数字的三位数 D．已知随机变量的概率分布为，则实数的值为 【答案】ACD 【分析】分别运用方差变换性质、百分位数计算规则、排列组合计数原理、离散型概率分布性质结合裂项求和，逐个分析判断各选项的正误得到结论. 【详解】对于选项A：根据方差的性质：若，则新数据的方差， 此处原方差，，因此新方差，A正确； 对于选项B：先将10个样本从小到大排序：， 计算百分位数位置：，为整数，第60百分位数是第6项和第7项的平均值，即，B错误； 对于选项C：组成无重复数字的三位数，百位不能为0：百位：从1~9选，共9种选择； 十位：去掉百位已选数字，剩余9个数字可选，共9种选择；个位：去掉百位、十位已选数字，剩余8个数字可选，共8种选择；总个数：，C正确； 对于选项D：由分布列性质，所有概率和为1，对概率裂项求和： ， ，解得，D正确. 【点睛】本题涵盖核心知识点：①方差的线性变换性质；②百分位数的计算方法；③排列组合特殊位置计数法；④离散型随机变量分布列的性质、裂项相消求和法. 17．（多选）（2026·湖北黄冈·一模）下列说法正确的是（   ） A．样本相关系数越大，则线性相关性越强 B．1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 C．随机变量的方差，期望，则 D．某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8 【答案】BD 【详解】A：样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，则A错误； B：该组数据共8个数据，又，因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即，因此B正确；C：因为，由方差，期望，可得，即C错误.D：易知全班50个学生的数学成绩的平均值为， 因此方差为，即D正确. 18．（多选）（2026·甘肃兰州·一模）某校高一年级开设了文学社､科创社､体育社､艺术社､辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查. 根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A．艺术社的学生人数有120人 B．文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人 C．从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为 D．调查结果显示文学社､科创社的满意率均为0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意率为0.81 【答案】ABD 【详解】对于A，因为文学社有60人占比为，所以五类社团总人数为人， 辩论社有90人，占比应为，所以体育社和艺术社共占比为，又因为体育社和艺术社的人数相等，所以两社团分别占比为，可知艺术社的学生人数有人，即A正确；对于B，文学社和辩论社共人，分层抽样比为，因此文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有人，即B正确；对于C，根据已有分析可知该学生不是文学社成员的概率为，又因为是科创社成员的概率为，因此在该学生不是文学社成员的条件下，该学生是科创社成员的概率为，即C错误； 对于D，依题意可知社团活动总体满意率为，即D正确. 19．（2026·河北沧州·一模）第十五届全运会将于2025年11月9日至21日在广东举行．广东某高中为调查该校学生对全运会的了解程度，利用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了90人进行了问卷调查，其中高一、高二年级分别抽取了24人、30人，且高三年级共有学生1080人，则该高中学生总数为_____人． 【答案】2700 【分析】由分层抽样的定义求得学校总人数. 【详解】由题意，高三年级中抽取了人，设该高中三个年级的学生总数为人，由分层抽样的方法可知，解得，即该高中学生总数为2700人． 20．（2026·湖北·一模）已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 【答案】4.05 【详解】因为，故第百分位数为第个数和第个数的平均数即为. 21．（2026·安徽宿州·一模）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)28 (2)分布列见解析， 【分析】（1）解法1：按照分位数的性质，结合频率分布直方图进行求解即可； 解法2：按照分位数的公式，结合频率分布直方图进行求解即可； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、组合的定义、数学期望的定义进行求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，年龄在的居民占的比例为，年龄在的居民所占到比例为，所以分位数位于内，设其为，则，解， 所以年龄样本数据的分位数为28. 解法2.由频率分布直方图知，年龄在的居民所占的比例，年龄在的居民所占的比例为，所以分位数位于内， 由所以年龄样本数据的分位数为28. （2）被调查的居民年龄在，比例为1:3，按照分层随机抽样，应抽取人，应抽取人.设从中随机抽取的3名居民中年龄在的人数记为X，X的可能取值为0，1，2. . 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 所以数学期望为：. 22．（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 ， (3) 【分析】（1）直接根据频率和样本容量计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，根据超几分布计算可得； （3）随机变量服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得. 【详解】（1）该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，其中分数在的人数为.若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. （3）由题意知，，则，. 令，当，解得. 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大. ( 一元线性回归模型 考点 2 ) 1．（2026·天津河北·一模）以下结论错误的是（   ） A．根据列联表中的数据计算得出，而，则根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量有关系 B．在回归直线中，变量时，变量y的值一定是15 C．的值越大，两个事件的相关性的可能性就越大 D．在回归分析中，相关指数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好 【答案】B 【分析】对于AC，根据独立性检验的定义和性质进行求解；对于BD，根据回归直线的概念和性质进行求解. 【详解】对于选项A：，故根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量有关系，即A正确：对于选项B，回归直线方程中，当变量等于200时，的值平均是15，不能说一定是15，故B错误；对于选项C：越大，“与有关系”可信程度越大，即相关性的可能性就越大，即C正确；对于选项D：在回归分析中，相关指数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好，即D正确. 2．（2026·辽宁盘锦·一模）2025年中国“人造太阳”再创世界纪录，实现亿度千秒稳态运行，其核心参数研究中，科研团队对某聚变反应的温度（单位：1000万度）和反应持续时间（单位：秒）的一组观测数据作线性相关分析，其回归直线方程是，且，则实数的值是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】先求，再根据回归直线过样本中心点列方程求解即可. 【详解】由可知 ，.因为回归直线过样本中心点，即，将其坐标代入方程可得，解得. 3．（2026·四川宜宾·一模）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其回归直线方程是，且，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据回归直线过样本中心点列方程求解即可. 【详解】由可知， .因为回归直线过样本中心点，即，将其坐标代入方程可得，解得，故选：B. 4．（2026·福建莆田·二模）为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系，某研究小组随机调查了50名学生，得到成对样本数据，其中表示每日自主阅读时间（单位：小时），表示语文成绩（单位：分）.经计算得回归直线方程为.下列说法正确的是（   ） A．该样本数据的相关系数为5.2 B．当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分 C．该样本数据中，至少有一个点在回归直线上 D．若某学生每日阅读时间为2小时，则他的语文成绩一定为分 【答案】B 【分析】根据相关系数范围可以判断A；由回归系数定义可以判断B对；根据回归方程性质可以判断C，D. 【详解】对于A，相关系数取值范围是，故错误；对于B，回归系数的含义是：当自变量每增加1个单位时，因变量平均增加的量。这里表示每日自主阅读时间（小时），表示语文成绩（分），所以当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分，故正确；对于C，回归直线是对样本的拟合直线，不一定经过样本点，故错误；对于D，当时，，为预测值，不是确定值，故错误. 5．（2026·山东青岛·一模）已知变量，的统计数据如下，若与的回归直线方程为，则（   ） 2.8 3.3 5.0 6.7 7.2 2.6 4.0 5.1 5.4 A．2.5 B．2.7 C．2.9 D．3.1 【答案】C 【分析】先求出样本中心点坐标，代入回归直线方程，解方程即可. 【详解】由题意，可得，， 所以样本点的中心坐标为，代入回归直线方程，可得，解方程得. 6．（2026·辽宁大连·一模）某人工智能公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示： 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 根据表中的数据得到y关于x的回归直线方程，则（    ） A．y与x之间的相关系数 B．回归系数的意义是x增大一个单位，增大0.5个单位 C．第8年的利润一定为6.3亿元 D．第6年利润的残差为亿元 【答案】ABD 【详解】由可知y与x之间的相关系数，故A正确；回归系数的意义是x增大一个单位，增大0.5个单位，故B正确；将代入回归方程，得 ，第8年的利润估计约为6.3亿元，第8年的利润不一定为6.3亿元，故C错误；将代入回归方程，得 ，由表可知实际值为5.2，残差为， 故D正确； 7．（2026·湖南永州·一模）下列结论正确的是（    ） A．若随机变量，且，则 B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C．对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则与负相关，与正相关，其中与的相关性更强 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用正态分布的三段区间概率及对称性计算可判定A，利用残差的意义可判定B，利用相关系数的意义可判定C，利用条件概率及全概率公式可判定D. 【详解】由题意得， 则，故选项A正确； 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项B正确；，且与负相关，与正相关，且与的相关性更强，故选项C错误；． ．． 又根据全概率公式得，，故选项D正确．故选：ABD 8．（2026·广西崇左·一模）已知相关系数，y关于x的经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，残差平方和为.已知变量x与变量y的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以x为自变量，y为因变量，得出的经验回归方程为；以y为自变量，x为因变量，得出的经验回归方程为.若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（   ） A．若已知变量x的方差，则可知变量y的标准差 B．若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y各自的平均值 C．若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y的相关系数 D．若已知变量x的标准差，则可知以y为自变量的回归模型的残差平方和 【答案】ABC 【分析】A 选项通过推导可得，若已知变量x的方差，即可求得，进而代入前式求得，故正确；B 选项可通过联立两个回归方程的截距公式解出样本均值和​，故正确；C 选项利用回归斜率乘积与相关系数的关系，结合斜率符号确定，故正确；D 选项因残差平方和需要原始数据或更多统计量，仅靠x的标准差无法计算，故错误。 【详解】对于C，由所给公式得，且回归系数为负数，故相关系数，C正确.对于A，设变量x与变量y的标准差分别为，， ，，标准差， 变形可得，将其代入到得， 整理得，将其代入到，整理得，代入已知数据得，即，若已知变量x的方差，即可求得，进而代入上式求得，A正确.对于B，经验回归直线经过样本中心点，代入两个回归方程得与，解得，，故不给定其他信息也可得知变量x与变量y各自的平均值，B正确.对于D，设以y为自变量的经验回归方程为（其中），则变量x的残差平方和为，由于样本量n未知，故无法算出残差平方和的具体数值，D错误. 9．（2026·辽宁抚顺·一模）若根据样本数据得到的回归直线方程为，且，，则______． 【答案】 【详解】由题意得，则，则样本中心点为，将其代入到，即，解得. 10．（2026·辽宁朝阳·一模）已知变量的组观测值为. (1)若变量具有线性相关关系，且样本均值，样本方差，样本相关系数为，其中均为已知常数 （i）比较经验回归直线的斜率与的大小，并说明理由； （ii）求关于的经验回归方程，并证明：对于任意给定的观测值，当时，其回归预测值满足. (2)若变量存在线性相关关系，且二者的样本均值均为，方差相等.对于自变量的任意两个取值，利用得到的经验回归方程，记其对应的原变量的预测值分别为.证明：当时，，并简述该结论在数据预测中的意义. 附：样本相关系数；样本方差；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 【答案】(1)（i），理由见解析；（ii），证明见解析 (2)证明见解析，实际意义见解析 【分析】（1）（i）根据经验回归方程斜率和相关系数公式即可得出结论； （ii）根据样本中心点必在经验回归方程上，将和代入得，求出，即可求出回归方程，再根据结合即可得出结论； （2）令，将问题转化为线性回归分析，由（1）（ii），可得经验回归方程为，也即，等价于，由，设，即证，再根据导数判断出函数的单调性，进而可得出结论. 【详解】（1）（i）由经验回归方程斜率和相关系数公式可知，， 且，故，又，故必有，所以，即与相等； （ii）设经验回归方程为由经验回归方程性质，样本中心点必在经验回归方程上，故将斜率和代入得，解得，故经验回归方程为，对于观测值，预测值为，则，因为且，所以，即，又，因为且，所以，即，综上，，得证； （2）令， 已知两变量存在线性相关关系且样本均值均为，方差相等， 设样本相关系数为，故等价于变量具有线性相关关系， 且样本均值相等，样本方差相等，满足（1）中条件， 则由（1）（ii），可得经验回归方程为，也即，等价于， 已知，设，即证， 若，则恒成立，此时，原不等式成立； 若，因且恒成立，故在单调递增， 由知，则，原不等式成立； 若，由（1）（ii）同理可得：当，即时，，即， 此时，且，故在单调递增； 当，即时，，即，此时， 对于观测值，因，对其位置分类讨论如下： ①若，则，而，故， 此时必有，即； ②若，则，由在单调递增可知，， 综上可知，当时，恒有，即. 实际意义：在该非线性回归模型中，数据预测时，若自变量的增量大于某阈值时，模型所预测的因变量增量必然不大于自变量的增量，即该模型对于大跨度的数据增加具有保守性，预测结果不会随自变量的迅速增长而相应迅速增长. 11．（2026·海南海口·一模）儿童的身高随年龄的增加而增加，已知某城市1-5岁儿童的平均身高如下表所示． 年龄x/岁 1 2 3 4 5 平均身高y/cm 76.0 86.5 97.5 103.5 111.5 (1)儿童的平均身高y与年龄x之间是相关关系还是函数关系？请依据判断求出平均身高y关于年龄x的回归直线方程（或函数解析式）； (2)能否用第（1）问求出的关系式预测该城市30岁市民的平均身高？若能，请求出预测值；若不能，请简要说明理由． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 【答案】(1)相关关系， (2)不能，理由见解析 【分析】（1）先计算出和，然后计算，用题目中给的数据代入公式计算. （2）按照回归直线的定义分析，言之有理即可. 【详解】（1）相关关系， ，得 ，∴ （2）不能 因为该回归模型是基于儿童数据建立的，仅适用于描述该年龄段的统计规律，对30岁成年人的预测超出了模型的适用范围． 12．（2026·山西朔州·一模）随着居民生活水平提升､消费观念转变以及技术不断革新，智能小家电市场前景广阔，记2021~2030年的年份代码分别为，下表为2021~2025年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元）. 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 1.6 1.7 1.9 2.1 2.3 (1)从这5年中国智能小家电市场规模中的数据中任取3个，记取到的数据小于这5个数据平均数的个数为，求的分布列与期望； (2)某传媒机构预测出2026~2030年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），并求出，2021~2030年中国智能小家电市场规模关于的相关系数为0.994，求关于的回归直线方程的值精确到. 附：①样本相关系数，②回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 【答案】(1) 1 2 3 0.3 0.6 0.1 (2) 【分析】（1）确定的可能取值，结合超几何分布求得对应概率，即可求解； （2）通过相关系数计算公式和斜率计算公式之间的关系，求得斜率，进而可求解. 【详解】（1）5个数据的平均数为， 其中小于的数据有个，大于等于的数据有个，所以的所有可能取值为， ，，， 所以分布列为： 1 2 3 0.3 0.6 0.1 所以 （2）由题意， ， 又，故， 因为，且， 所以 ， 所以，所以回归直线方程为 . 13．（2026·四川遂宁·一模）冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 (1)求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； (2)为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 20 女生 40 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写列联表； （ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联； (3)从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，12.4万台 (2)（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）有关联，理由见解析； (3)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）计算出，得到线性回归方程，代入，从而预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）（ⅰ）补全列联表；（ⅱ）计算出，从而得到结论； （3）求出的可能取值并得到相应的概率，从而得到分布列，计算出数学期望. 【详解】（1）年份代码的平均数，销量的平均数， 所以， ，所以， 所以，所以这个地区某品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程为，由于2027年对应的年份代码为，得，所以预测2027年这个地区某品牌制氧机的销量约为12.4万台． （2）（ⅰ）根据男生和女生各100名，补全列联表为： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 （ⅱ）零假设：该校学生对制氧机知识的了解情况与性别无关.根据（ⅰ）中的列联表中的数据可得，. 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. （3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的比例选取10人，则抽取的10人中，了解的人数为6人，不了解的人数为4人，再随机从中抽取4人，对制氧机知识不了解的人数的所有可能取值为0，1，2，3，4. 且， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 4 数学期望为 14．（2026·山东威海·一模）某医院用光电比色计检验尿汞时，得到尿汞含量（单位：）与消光系数的结果如下： 尿汞含量 2 4 6 8 10 消光系数 65 135 205 285 360 (1)求消光系数关于尿汞含量的回归直线方程； (2)根据回归直线方程，估计尿汞含量为时消光系数的值． 【答案】(1) (2)173 【分析】（1）由表中数据，分别求得、，进而求得、，写出回归直线方程； （2）将，代入（1）中的回归直线方程求解. 【详解】（1）通过计算可得，   ，     所以 ， ， 所以，所以，    因此回归直线方程为 （2）在回归直线方程中，令，可得，     因此估计尿汞含量为时消光系数的值为173． ( 列联表与独立性检验 考点 3 ) 1．（2026·天津·一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（    ） A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】C 【分析】借助分层随机抽样定义计算可得A；分别计算出购买燃油车的人数与购买新能源车的人数可得B；利用独立性检验定义可得C、D. 【详解】对A：，故新能源车主有人，故A错误；对B：购买燃油车的人数为，购买新能源车的人数为，则购买燃油车的人数比新能源车的多人，故B错误；对C、D：依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，由，故此推断犯错误的概率不大于，故C正确、D错误. 2．（2026·天津河西·一模）下列说法中错误的有（   ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01； ③回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，越大，则拟合的效果越好； ④若随机变量服从正态分布，若则实数. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用回归直线的特点可判断①；利用独立性检验可判断②；利用决定系数与模型拟合效果的关系可判断③；利用正态分布对称性和性质可判断④. 【详解】对于①，回归直线恒过点，不一定过样本点，故①错误；对于②，根据列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01，故②正确；对于③，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好，故③正确；对于④，由随机变量，其正态曲线关于直线对称， 由，若，则，即得，所以，故④正确.综上，错误的只有①. 3．（2026·天津河北·一模）以下结论错误的是（   ） A．根据列联表中的数据计算得出，而，则根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量有关系 B．在回归直线中，变量时，变量y的值一定是15 C．的值越大，两个事件的相关性的可能性就越大 D．在回归分析中，相关指数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好 【答案】B 【分析】对于AC，根据独立性检验的定义和性质进行求解；对于BD，根据回归直线的概念和性质进行求解. 【详解】对于选项A：，故根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量有关系，即A正确：对于选项B，回归直线方程中，当变量等于200时，的值平均是15，不能说一定是15，故B错误；对于选项C：越大，“与有关系”可信程度越大，即相关性的可能性就越大，即C正确；对于选项D：在回归分析中，相关指数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好，即D正确. 4．（多选）（2026·湖北荆州·一模）某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，随机调查了100名学生，得到如下列联表（单位：人）：（    ） 男生 女生 合计 参加了社会实践活动 30 40 70 未参加社会实践活动 20 10 30 合计 50 50 100 附，其中n＝a＋b＋c＋d； A．依据小概率值的独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关 B．从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为 C．随机抽取1人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为 D．按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7人，再从这7人中抽取2人，则这2人中至少有一名男生的概率为 【答案】BCD 【详解】零假设为：参加社会实践活动与性别无关联， 则，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为参加社会实践活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于，故A错误.从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为，故B正确.记事件表示抽到的学生是参加社会实践的学生，则，记事件表示抽到的学生是男生，，所以，故C正确.按性别用分层抽样的方法从参加社会实践的学生中抽取7人，则7人中有男生人，有女生人，从这7人中抽取2人有种取法，全为女生的取法有，所以从这7人中抽取2人全为女生的概率为，所以从这7人中抽取2人，这2人中至少有一名男生的概率为，故D正确. 5．（多选）（2026·湖南怀化·一模）下列说法正确的是（    ） A．数据的众数是2 B．数据的第25百分位数是1 C．若随机变量，则 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断变量与不独立 【答案】BCD 【分析】根据众数以及百分位数的概念可判断AB；根据二项分布的期望以及性质即可判断C；根据独立性检验的原理可判断D. 【详解】对于A，数据中，2出现3次，3也出现3次，因此众数是2和3，A错误；对于B，数据已从小到大排列，由于，故数据的第25百分位数是，B正确；对于C，随机变量，则，故，C正确；对于D，由于，故依据的独立性检验，拒绝原假设（原假设为X与Y独立），可判断变量与不独立，D正确. 6．（多选）（2026·重庆·一模）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据： 疗法 疗效 未治愈 治愈 甲 15 52 乙 6 63 附常用小概率值及其相应的临界值表为： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得．则下列说法正确的是：（    ） A．以频率估计概率，有 B．以频率估计概率，有 C．若取，可以认为疗效与疗法独立 D．若取，可以认为疗效与疗法独立 【答案】ABD 【分析】先由题设求出表格中各行各列总数，再由古典概型即可计算求解判断AB；再由独立性检验思想即可分析判断CD. 【详解】由题设求出表格 疗法 疗效 总数 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 总数 21 115 136 以频率估计概率，有，故A正确； 以频率估计概率，有，故B正确； 零假设：认为疗效与疗法独立，由题且，所以若取小概率值，则零假设不成立，即不可以认为疗效与疗法独立；若取小概率值，则没有充分的证据推翻零假设，故可以认为疗效与疗法独立，故C错误，D正确.故选：ABD 7．（多选）（2026·山东日照·一模）下列说法正确的是（    ） A．数据，，，，，的分位数为 B．若随机变量，且，则 C．通过样本数据得到的回归直线一定经过点 D．在独立性检验中，的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 【答案】AC 【详解】A选项：由，可知数据的分位数为从小到大排列的第二个数，即为；B选项：由正态分布的对称性可知，， 即，解得，B选项错误；C选项：由回归方程的性质可知直线恒过样本中心，C选项正确；D选项：在独立性检验中，的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，D选项错误. 8．（多选）（2026·广东梅州·一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是（    ） 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A．在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 B．在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人 C．根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关 D．从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4 【答案】BCD 【分析】A、B，根据统计图所给比例，结合抽样人数计算相应人数判断对错；C，列出列联表，再用公式计算，与临界值比较判断购车类型与地域是否有关；D：根据条件概率公式计算已知为新能源车主条件下来自甲地的概率. 【详解】A：甲地购买燃油车人数为，购买新能源车人数为， 故购买燃油车的人数比新能源车的多人，A错误. B：乙地购买新能源车比例为，故用分层随机抽样抽取20人时，新能源车主有人，B正确. C：列出列联表： 甲地 乙地 总计 燃油车 120 80 200 新能源车 80 120 200 总计 200 200 400 则 .小概率值时，.因为，所以根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关，C正确. D：所调查的新能源车主共有人，其中甲地80人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为，D正确. 9．（2026·河北保定·一模）某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性，随机抽取了120名18岁~60岁市民进行调查．将每周锻炼不少于3次的市民归为“高频锻炼组”，不足3次的归为“低频锻炼组”；体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”，否则为“体质不达标”．调查结果整理为如下不完整的列联表． 体质达标 体质不达标 合计 高频锻炼组 m 15 60 低频锻炼组 25 v u 合计 s t 120 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)请根据列联表中的数据，写出m，v，s，t，u的值； (2)依据小概率值的独立性检验，分析该市市民体育锻炼频次是否与体质达标有关联； (3)该市计划从抽到的120人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导”活动，现按高频锻炼组和低频锻炼组分层，通过分层抽样抽取10人展开指导活动，再从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，求抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率． 【答案】(1)，，，，． (2)认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联 (3)． 【分析】（1）利用列联表中行和、列和与总数之间的关系，通过简单的加减法运算求出的值. （2）根据第（1）问求出的数据，代入卡方公式计算的观测值，并与给定的临界值进行比较，从而判断两个分类变量是否有关联. （3）先求出高频锻炼组和低频锻炼组人数，然后根据分层抽样求出每组应抽取的人数，然后计算抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率. 【详解】（1）由列联表数据关系可知，，，，，，综上，，，，，． （2）零假设：市民体育锻炼频次与体质达标无关联．根据列联表数据，计算，由于，根据小概率值的独立性检验，判断不成立，因此，认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联． （3）体质不达标者，高频锻炼组15人，低频锻炼组35人，按分层抽样抽取10人，则高频锻炼组抽取人数为3人，低频锻炼组抽取人数为7人．从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，事件总数有种，设“抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组”为事件A，则事件A包含“0人来自高频组”和“一人来自高频组”两种情况．则．所以抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率为． 10．（2026·宁夏银川·一模）某工厂有甲、乙两条生产线加工同一型号的产品，甲生产线加工的优品率为5%，乙生产线加工的优品率为6%，加工出来的产品混放在一起．已知甲、乙生产线加工的产品数分别占总数的51%，49%． (1)任取一件产品，如果取到的产品是优品，计算它是甲生产线加工的概率； (2)现对甲生产线升级改造，从改造前与改造后甲生产线加工的产品中分别随机抽取100件进行检验，数据如下： 优品 非优品 合计 改造前 5 95 100 改造后 15 85 100 合计 20 180 200 根据小概率值的独立性检验，能否认为生产线改造与优品有关联？ 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)；(2)有关联，证明见解析. 【分析】（1）结合题意根据全概率公式和贝叶斯公式计算求解（2）根据表格数据计算卡方，与临界值比较即可判断. 【详解】（1）设事件：任取一件产品为甲生产线加工，事件：任取一件产品为优品. 由题意得：，，，.根据全概率公式，可得总优品概率： 根据贝叶斯公式，可得所求条件概率： （2）由列联表得，总样本量， 代入卡方公式： 因为，所以有把握认为生产线改造与优品有关联. 11．（2026·贵州六盘水·一模）某医院调查安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度，得到如下列联表： 单位：人 义肢类型 满意度 合计 满意 不满意 传统义肢 60 40 100 智能义肢 80 20 100 合计 140 60 200 (1)任选3位安装智能义肢的截肢患者，若每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，求其中至少有2人能完成精细抓握的概率； (2)依据的独立性检验，能否认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关？ 附：， 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)； (2)能认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关. 【分析】（1）根据二项分布的概率计算求解即可； （2）由题意的联表，计算，对比临界值即可判断； 【详解】（1）根据每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，则至少有2人能完成精细抓握的概率如下，为； （2）零假设：安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型无关， 根据列联表中的数据可以求得 ，由于， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关. 12．（2026·河北保定·一模）某高科技制造企业致力于智能生产线的研发与应用，以提升关键精密元件的产品质量.原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投入使用的乙生产线引入了基于物联网和大数据分析的智能调控系统，实现了生产参数的实时优化.为评估技术创新对产品质量的影响，质检部门从甲、乙两条生产线生产的同种产品中各随机抽取100件进行检测，得到如下列联表： 优等品 非优等品 合计 甲生产线 65 35 100 乙生产线 90 10 100 合计 155 45 200 (1)根据小概率值的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关. (2)以样本估计总体，以频率估计概率，现从甲、乙两条生产线生产的此种产品中各随机抽取一定数量的产品混合在一起，其中甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若从混合产品中随机抽取3件，记这3件产品中优等品的个数为X，求X的分布列和数学期望. 附 其中. 【答案】(1)产品质量与生产线有关，理由见解析； (2)的分布列为： . 【分析】（1）给出零假设：产品的质量与生产线无关，再计算，结合参考数据，即可判断； （2）根据列联表中数据，计算总体优等品的概率；结合服从二项分布，写出对应取值的概率，以及的数学期望即可. 【详解】（1）零假设：产品的质量与生产线无关， 根据的独立性检验，拒绝零假设，并认为产品的质量与生产线有关. （2）甲生产线优等品概率：，乙生产线优等品概率：； 混合产品中，甲乙数量比为，故甲产品占比，乙产品占比； 故总体优等品概率为：；由题可知：， ，， ，， 故的分布列如下所示： 的数学期望. 13．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）某电商研究中心为剖析国潮消费趋势，随机调查了该平台50名男性用户和50名女性用户，统计其对“国潮服饰类产品”的购买意愿（经常购买/不常购买），得到如下列联表： 经常购买 不常购买 男性用户 40 10 女性用户 30 20 (1)依据＝0.05的独立性检验，能否认为该平台男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异？ (2)从该平台的用户中任选一人，A表示事件“选到的人不常购买国潮服饰类产品”，B表示事件“选到的人为女性用户”，利用该调查数据，给出的估计值． 附：． 0.050 0.010 0.005 k 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)认为男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异；(2)， 【分析】（1）通过列联表数据计算统计量，与显著性水平 α=0.05 对应的临界值比较得到判断； （2）利用调查数据，统计对应女性用户的占比，得到的频率估计值. 【详解】（1）由题可得：， 依据＝0.05的独立性检验，认为男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异． （2）由题得，，． 【点睛】本题围绕分类变量的独立性检验和条件概率的频率估计展开，是统计推断中 “用样本推断总体关联” 与 “用频率估计概率” 的典型应用. 14．（2026·黑龙江吉林·一模）截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%．某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 合计 300 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响. (2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式及数据：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表为 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 有关联，解释见解析， (2)随机变量的分布列为 0 1 2 3 期望为 【分析】（1）根据已知数据可计算得到补全列联表所需的数据，进而补全列联表，并计算得到，由此可得结论； （2）根据分层抽样原则可确定样本中偏好新能源汽车的人数和偏好燃油车的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望值. 【详解】（1）因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，故样本中偏好燃油汽车的人数为，因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的，故样本中女性驾驶员的人数为，由题意，列联表补充如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 零假设为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联． 根据列联表数据，计算得． 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．男性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为，女性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为，前者明显小于后者．根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为女性驾驶员偏好新能源汽车的概率更大． （2）由题意，抽取的8人中偏好燃油汽车的人数为人，偏好新能源汽车的人数为人．随机变量的可能值为0，1，2，3．，， ，．所以，随机变量的分布列为 0 1 2 3 的数学期望． 15．（2026·宁夏银川·一模）血脂高（高脂血症）可能导致动脉硬化、心脑血管疾病、胰腺炎等健康问题，长期血脂高会引发全身多器官损伤.某市医疗机构为了研究运动与血脂的关系，从本市成年人中采用随机抽样的方法抽取了150名市民，调查他们是否得高脂血症和平时运动的情况（每日进行30分钟以上中等强度的运动，且每周运动5天以上的为“运动者”，否则为“非运动者”）.统计的部分数据如表. 运动情况 是否得高脂血症 合计 得高脂血症 未得高脂血症 “非运动者” 45 “运动者” 55 75 合计 150 (1)计算，的值，并依据的独立性检验，判断能否认为得高脂血症与不运动有关？ (2)该医疗机构采用分层随机抽样的方法从得高脂血症的成年人中随机抽取13人，并进行饮食方面的调查，然后从这13人中随机抽取2人作饮食指导，记这2人中“运动者”的人数为，求的分布列及数学期望. 附：，. 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)，，能认为得高脂血症与不运动有关 (2)的分布列为： ，数学期望为 【分析】（1）利用合计数据求出，，再代入公式计算，与临界值比较判断是否有关. （2）先确定得高脂血症总人数，根据分层抽样求出抽样比，进而求解的分布列与期望. 【详解】（1）由题意可知：总样本数为，所以非运动者合计为， 因此，运动者合计为，则， 所以 ，因为（对应的临界值）， 依据的独立性检验，能认为得高脂血症与不运动有关. （2）由（1）可知：得高脂血症总人数为人，分层抽样抽取13人，抽样比为， 因此抽取的非运动者高脂血症患者为人，运动者高脂血症患者为人， 表示抽取2人中运动者的人数，的可能取值为，则 ；； 所以的分布列为： 数学期望为：. 16．（2026·广东汕头·一模）某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 (1)请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； (2)根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） (3)请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 【答案】(1)有关联，女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm． (2)无关联，实际含义见解析 (3)不一致，原因见解析 【分析】（1）通过观察等高堆积条形图中男女身高分布的差异，若男生中不低于170cm的比例明显高于女生，则判断两者有关联； （2）通过计算样本列联表的卡方统计量，与临界值比较，从而判断是否拒绝“性别与身高无关联”的原假设； （3）通过对比基于总体的描述性分析与基于样本的推断性检验的结论，指出因样本容量较小产生的抽样误差可能导致两种结论不一致. 【详解】（1）有关联，根据等高堆积条形图可知，女生中身高低于170 cm的比例明显高于男生，而男生中身高不低于170 cm的比例明显高于女生，故该中学高三年级学生的性别与身高有关联．具体表现为女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm． （2）由题意得，零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联， 由列联表可得，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为该中学高三年级学生的性别和身高没有关联，实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm有显著影响，二者可视为相互独立. （3）（1）与（2）的结论不一致，A同学调查了所有高三学生，能真实反映总体状况， 若总体中确实存在关联，则其结论可靠；B同学仅从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，样本量较少，并且抽样具有随机性，而独立性检验受样本容量影响较大， 当样本量较少时，独立性检验可能导致检验功效不足，未能检测出总体中实际存在的关联性. 17．（2026·河南南阳·一模）某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意 性别 满意 不满意 合计 男业主 80 20 100 女业主 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业服务的评价有差异？ (2)从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附：． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)有差异；(2)，． 【分析】（1）根据公式求出，再对照临界值点，即可得出结论； （2）根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）假设：小区男、女业主对该物业服务的评价无差异． 因为，依据的独立性检验，所以假设不成立，即认为小区男、女业主对该物业服务的评价有差异． （2）由题意，，，, ,，则，． 18．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占. (1)求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； (2)根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关. 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，下四分位数 (2)有关 【分析】（1）利用频率分布直方图各组频率之和为的性质，列出方程求解参数值；再根据百分位数的定义，通过累计频率确定下四分位数所在的区间，并用插值法计算该分位数； （2）根据分层抽样和条件概率完成列联表，再代入卡方公式计算检验统计量，与临界值比较以判断独立性；最后通过计算两组学生的优秀率并对比，进一步验证独立性检验的结论. 【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为，组距为， 因此：，解得：， 下四分位数即第百分位数，计算累计频率 频率，累计；频率，累计； 频率，累计；频率，累计。 ，因此第百分位数在区间内， 计算得：下四分位数 （2）零假设：认真完成作业与成绩无关 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 ，因为， 依据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即认真完成作业与成绩有关， 该判断出错概率不超过0.001，认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.4， 不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.1， 可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的4倍，差异显著. 19．（2026·安徽安庆·一模）第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFA World Cup Qatar 2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 40 女生 30 合计 (1)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？ (2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门，已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 有； (2) 0 1 2 3 数学期望. 【分析】（1）根据题意，得到列联表，求得，参照对应的临界值即可得到结论； （2）根据题意，得到随机变量的可能的取值，求得相应的概率得到分布列，利用期望公式，即可求解. 【详解】（1）依题意，得到列联表如下： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 于是， 所以有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关. （2）依题意，人进球总次数的所有可能取值为， 则，， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为. ( 古典概型、条件概率及全概率公式 考点 4 ) 1．（2026·江西宜春·一模）为测试某AI图像识别系统的准确率，工程师准备了四张不同的图片，其中两张是“龙”，另外两张是“蛇”.系统从这四张图片中随机抽取两张进行识别，则选出的两张图片中，恰好一张是“龙”，另一张是“蛇”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】系统从这四张图片中随机抽取两张进行识别，则选出的两张图片中，恰好一张是“龙”，另一张是“蛇”的概率为:. 2．（2026·安徽滁州·一模）从1，2，3，4，5，6这6个数中随机选取3个不同的数，则这3个数的中位数为4的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】总样本点个数为：；若3个数的中位数为4，则必须满足： 一定选中数字4，剩余2个数中，恰好1个比4小、1个比4大，比4小的数有1，2，3共3个，比4大的数有5，6共2个，因此符合条件的样本点个数为： ； 根据古典概型公式，得：所求概率为：. 3．（2026·河北廊坊·一模）当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题， 则，所以. 4．（2026·江西·一模）随机抛掷质地均匀的两枚骰子，向上点数分别记为和，则直线与圆有2个公共点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得，直线，圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为．因为直线与圆有2个公共点，所以，整理可得．若，则；若，则；若，则；若，则；若，则；若，则，所以直线与圆有2个公共点的概率是. 5．（2026·辽宁盘锦·一模）袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记取出的 2个球中，有一个标号为1为事件，另一个标号为1为事件， 则，，则. 6．（2026·湖南长沙·一模）一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】容器左右两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球， 前4次取球，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种选择， 因此不同取法种数为种；按照两个红球被连续取出的情况如下， （1）若在第1，2次取出两个红球，再取另3个球，共有4种方法; （2）若在第2，3次取出红球，则第1次取白球，共有2种方法; （3）若在第3，4次取出红球，则第1，2次取白球，共有1种方法; （4）若在第4，5次取出红球，则第1，2，3次取白球，共有2种方法; 两个红球被连续取出的方法共有种；所求概率为. 7．（2026·内蒙古赤峰·一模）为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（   ） A．20% B．30% C．40% D．50% 【答案】A 【分析】利用条件概率关系设未知数，根据高茎中抗倒伏比例和抗倒伏中高茎比例分别表示出高茎和抗倒伏的占比，再利用既不高茎也不抗倒伏的比例得到和事件的概率，由概率加法公式列方程求解. 【详解】设高茎作物占比为，抗倒伏作物占比为， 既不高茎也不抗倒伏的占比为，两种性状兼备的占比为， 由题意得，则，，则，，则，则，解得，即两种性状兼备的占比为. 8．（2026·山东东营·一模）在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出甲被安排到服务站的方法数，再求出甲，乙被派去同一个服务站的方法数，然后求其概率即可. 【详解】先求甲被派去服务站的方法数； 第一种情况：甲一个人去服务站，则有种；第二种情况：甲和其中一人去服务站，则有种；故甲被派去服务站的方法数共种；再求甲乙被派去同一个服务站的方法数：有种；故概率为. 9．（2026·安徽宿州·一模）2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算，再利用条件概率公式求解. 【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C，三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则， ，，所以.故选：B 10．（多选）（2026·江西赣州·一模）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解. 【详解】选项A，，， ， ，，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确；选项D，，，，，，故选项D错误.故选：AC. 11．（多选）（2026·河北保定·一模）某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（    ） A．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74 B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9 C．甲设备检测该芯片为良品的概率为 D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为 【答案】ACD 【分析】设事件表示“甲设备检测为良品”，事件表示“乙设备检测为良品”，事件表示“芯片为良品”，事件表示“芯片为次品”，选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率如下，为代入数值得解；选项B，若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是，代入数值得解；选项C，由题意得甲设备检测该芯片为良品的概率为，代入数值得解；选项D，甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为，代入数值得解. 【详解】设事件表示“甲设备检测为良品”，事件表示“乙设备检测为良品”，事件表示“芯片为良品”，事件表示“芯片为次品”，则，，，，，，选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率如下，为，故A正确； 选项B，若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率如下， 是，故B错误；选项C，由题意得甲设备检测该芯片为良品的概率如下，为，故C正确；选项D，而甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率如下，为，故D正确. 12．（多选）（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【答案】ACD 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，，因为， 所以，因为， 所以，对于A，，故A正确；对于B，因为，故B错误；对于C，因为，故C正确；对于D，因为，故D正确. 13．（多选）（2026·江苏·一模）甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分别求出从乙袋子中取出2个红球、2个白球和1个红球和1个白球的概率，分析X的可能取值，求出各个概率，可判断A、B的正误，代入期望和方差公式，可判断C、D的正误. 【详解】设从乙袋子中取出2个红球为事件A，则，从乙袋子中取出2个白球为事件B，则，从乙袋子中取出1个红球和1个白球为事件C，则， 由题意，X的可能取值为0和1，则 ，故A错误，B正确；所以， 则，故C正确，D错误. 14．（2026·黑龙江吉林·一模）有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 【答案】 【分析】设事件表示“从第i个盒子中取到白球”（），利用全概率公式列式求解；当时，由全概率公式得，再通过构造等比数列求. 【详解】设事件表示“从第i个盒子中取到白球”（），则，， 所以； 当时， ，所以， 又，则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 即从第2个盒子中取到白球的概率是，从第个盒子中取到白球的概率是. 15．（2026·天津南开·一模）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______. 【答案】 【分析】首先根据题意写出各事件的概率，再根据全概率公式求解；第二个小题根据贝叶斯概率公式求解. 【详解】设某参赛选手演唱抒情歌，流行歌，摇滚歌分别为事件，该选手晋级为事件， 由条件可知，，，，，，， 所以； 所以他能晋级的概率为；， 所以这名学生是演唱流行歌晋级的概率为. 16．（2026·河南南阳·一模）采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______． 【答案】 【详解】设事件为“包含6个次品”，为“包含2个次品”，为“采购员拒绝购买”， 则，则，， 故 故采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是. 17．（2026·北京房山·一模）人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某AI科技公司开发了一套人机交互软件，它会针对用户输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问题无语法错误时，软件生成正确答案的概率为；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确答案的概率为，且每次生成答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为____． 【答案】/ 【分析】确定两个互斥的完备事件组分类求解概率，再结合全概率公式求解软件生成正确答案的概率. 【详解】第一种情况：输入无语法错误且生成正确答案 已知输入无语法错误的概率为，该情况下生成正确答案的概率为， 所以该情况的概率为： 第二种情况：输入有语法错误且生成正确答案输入有语法错误的概率为，该情况下生成正确答案的概率为，所以该情况的概率为：，两种情况互斥，所以软件生成正确答案的总概率为：。 18．（2026·江西南昌·一模）已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________. 【答案】 【详解】若4次重复操作后，盒中6个球全是红球，则1次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次、第二次和第三次抽到红球三种情况，所以， 若5次重复操作后，盒中6个球全是红球，则2次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况， 所以 ，所以. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于将次重复操作后，盒中6个球全是红球转化为次抽到红球，3次抽到黑球，然后分情况计算概率即可. 19．（2026·山东日照·一模）已知集合，从集合中随机抽取一个数记为，再从中随机抽取一个数记为，则___________． 【答案】 【分析】可能的取值为，根据条件概率和全概率公式可求取相应值时概率，再根据期望公式即可求期望. 【详解】可能的取值为，由全概率公式有： ， 故 . 20．（2026·安徽马鞍山·一模）已知事件满足，则__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式、全概率公式及条件概率公式列式求解. 【详解】由，得，， 由全概率公式，得，则， 即，解得，， 因此，所以. 21．（2026·宁夏·一模）某社团招新分为“线上初审”和“线下复试”两个环节，面试结果受学生准备状态影响：若学生提前认真准备，线上初审通过的概率为0.9，线下复试通过的概率为0.8；若学生未提前准备，线上初审通过的概率为0.5，线下复试通过的概率为0.4；已知参加面试的学生中，提前认真准备的占70%，未提前准备的占30%. (1)（Ⅰ）求一名学生线上初审通过的概率； （Ⅱ）已知一名学生线上初审通过，求他是提前认真准备的概率. (2)社团有两种面试流程方案：方案一：所有学生都依次完成线上初审和线下复试（共2次面试）；方案二：先进行线上初审，若通过则进入线下复试；若未通过，则直接淘汰（即只进行1次面试）.已知每次面试的组织成本相同，以面试次数的期望值为决策依据，应选择哪种方案？ 【答案】(1)（I） 0.78；（II）或0.8077 (2)选择方案二. 【分析】（1）根据全概率公式和贝叶斯公式计算结果； （2）根据题中两个方案计算随机变量的期望，判断哪个方案好. 【详解】（1）设事件：学生提前认真准备，事件：学生未提前准备；事件：线上初审通过. 由题意可得： （I） 根据全概率公式： 所以一名学生线上初审通过的概率为0.78. （II）根据贝叶斯公式： 所以已知线上初审通过，该生是提前认真准备的概率为或0.8077. （2）设方案一的期望面试次数为，方案二的期望面试次数为. ① 方案一：所有学生均参加2次面试，因此期望面试次数. ② 方案二：设随机变量表示方案二的面试次数，的可能取值为1，2. ，所以分布列为： 1 2 0.22 0.78 所以.因为 所以方案二期望面试次数更少，组织成本更低，因此选择方案二. 22．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)1 【分析】（1）根据全概率公式可求； （2）根据全概率公式构建递推关系后可得，利用构造法可证明是等比数列且可求的通项公式； （3）根据题意可得，故可求. 【详解】（1）由题意得. （2）当时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为，则没有“黑币”的概率为，，故. 又，故为等比数列,故,. （3）由题的可能取值为0，1，2，其概率分布列为： 0 1 2 依题意，即.于是 故. 23．（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数Q 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 (1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望． (2)定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势． 【答案】(1)，的数学期望为；(2)； 【详解】（1）由表可知，学习强度指数的概率为： ,从该市随机选取名学生，记学习强度指数的人数为，则服从二项分布，所以；的数学期望为：； （2）由题意可知，事件为“该学生学习有压力”，事件为“该学生困难应对”. ，， 因为事件包含于事件中，所以， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 所以在事件发生的条件下事件发生的优势为：. 24．（2026·湖北黄石·一模）袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量. (1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率； (2)求的分布列和期望. 【答案】(1)；(2)分布列见解析， 【分析】（1）利用条件概率公式求解即可； （2）求出随机变量可能的取值及对应的概率，即可求解分布列，进而利用数学期望公式求解即可. 【详解】（1）记事件“第二次取出的是黑球”，事件“第三次取出的是红球”，事件可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况，故，事件“第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球“，可分为”第一次取出的是黑球“和”第一次取出的是白球"两种情况，故，故所求. （2）易知随机变量可能的取值为， 当时，前三次分别取出1个红球､1个黑球和1个白球，， 当时，前四次分别取出2个黑球和2个白球，， 当时，， 故随机变量的分布列为： 3 4 5 期望为. ( 离散型随机变量期望、方差及其分布列 考点 5 ) 1．（2026·山东·一模）已知随机变量X的分布列如表所示（其中）： X 0 1 2 P 则随机变量X的数学期望等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据随机变量分布列的性质，所有概率之和为，可求解，再进行计算即可. 【详解】由题意可得，，解得，所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 所以.故选：D. 2．（2026·广西北海·一模）已知随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】B 【详解】因为，由正态分布的对称性可知，关于对称，又因为，所以，则，所以 3.（2026·江苏·一模）科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态 3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算经过3秒后处于状态1和状态2的粒子的概率，然后将这两个概率相加，得到处于状态1和状态2的粒子数目占总粒子数的比例. 【详解】设经过3秒处于状态1的概率为，粒子要始终停留在状态 1，需连续3秒都保持状态 1，根据独立事件概率公式：；设经过3秒处于状态2的概率为， 情况一:第1秒从状态1变为状态2，第2秒和第3秒都保持状态2不变，概率为； 情况二:第1秒保持状态1不变，第2秒从状态1变为状态2，第3秒保持状态2不变，概率为； 情况三:第1秒和第2秒保持状态1不变，第3秒从状态1变为状态2，概率为； 将上述三种情况的概率相加，得到经过3秒后处于状态2的粒子的概率为， 则经过3秒后处于状态1和状态2的粒子数目占总粒子数的比例为将经过3秒后处于状态1和状态2的粒子的概率相加，可得. 4．（2026·广东梅州·一模）甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（    ）元. A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 【答案】C 【详解】甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2局或3局.2局结束，即甲连赢2局，概率为；3局结束，即前2局甲、乙各赢1局，第3局甲赢，概率为，所以甲赢得比赛的总概率为.同理可求得乙赢得比赛的总概率为.所以甲分得奖金为元. 5．（2026·安徽宿州·一模）2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算，再利用条件概率公式求解. 【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C，三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则， ，，所以.故选：B 6．（2026·福建泉州·一模）为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展应用培训活动.现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】先求出每个取值所对应的概率，再求方差. 【详解】由题可设，则，， 所以，解得. 所以. 7．（2026·山东德州·一模）已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】正态分布关于均值对称，又，可得，所以，又，所以，由此可得，解得． 8．（2026·湖北黄石·一模）某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有） A．1360人 B．1570人 C．2720人 D．3410人 【答案】A 【详解】由成绩近似服从正态分布，得， 则 ，则， 所以分数在100-120之间的考生约有1360人. 9．（2026·广东汕头·一模）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．7或 B．5或 C．3或 D．1或 【答案】D 【分析】将“质点移动位置”转化为“正、负方向移动次数”的组合问题，通过分析组合数的最大值确定概率最高的位置. 【详解】设质点向正方向移动的次数为（），则向负方向移动的次数为， 质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：， 每次移动向正、负方向的概率均为，因此“7次移动中恰好有次向正方向”的概率服从二项分布，概率公式为：，其中为组合数，为常数，因此，概率的大小由组合数决定，“最可能的位置”对应最大时的，时；时， ；时， ；时， ；时，；时，；时，，时，，综上，组合数在和时取得最大值，当时，代入得：，当时，代入得：，质点最可能移动到的位置坐标为或. 10．（多选）（2026·广东广州·一模）某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由正态分布对称性可判断AB；由二项分布的知识判断CD. 【详解】A选项，由，得，故， 由正态分布的对称性可知，A正确； B选项，，B正确； C选项，由题意得，故，C错误； D选项，，D正确. 11．（多选）（2026·河北保定·一模）某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（    ） A．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74 B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9 C．甲设备检测该芯片为良品的概率为 D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为 【答案】ACD 【分析】设事件表示“甲设备检测为良品”，事件表示“乙设备检测为良品”，事件表示“芯片为良品”，事件表示“芯片为次品”，选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率如下，为代入数值得解；选项B，若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是，代入数值得解；选项C，由题意得甲设备检测该芯片为良品的概率为，代入数值得解；选项D，甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为，代入数值得解. 【详解】设事件表示“甲设备检测为良品”，事件表示“乙设备检测为良品”，事件表示“芯片为良品”，事件表示“芯片为次品”，则，，，，，，选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率如下， 为，故A正确； 选项B，若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率如下， 是，故B错误； 选项C，由题意得甲设备检测该芯片为良品的概率如下， 为，故C正确； 选项D，而甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率如下， 为，故D正确. 12．（多选）（2026·河北张家口·一模）某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，甲同学回答类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．甲同学在第一轮答对试题的概率为 B．甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类问题的概率为 C．甲同学经过三轮答题，只答对一道试题的概率为 D．甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6 【答案】ACD 【详解】根据题意，在第一轮答题中，甲同学回答正确的概率为，故选项A正确； 甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类问题的概率为，故选项B不正确； 分析可得，甲同学经过轮答题，答对的试题个数服从二项分布， 故甲同学经过三轮答题，只回答正确一道试题的概率为，故选项C正确； 甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为，故选项D正确． 13．（2026·辽宁抚顺·一模）甲、乙两人进行足球点球比赛，用抽签的方式决定谁先进行，甲、乙抽中的机会均等.每次点球若射中，则继续；若未射中，则换对方点球.已知甲、乙每次点球射中的概率分别为，且每次点球是否射中相互独立，则（    ） A．第2个球是甲射门的概率为 B．在第1个球和第2个球均是甲射门的条件下，第3个球是乙射门的概率为 C．前4个球中甲、乙各射2个的概率为 D．在第3个球是甲射门的条件下，第1个球是乙射门的概率为 【答案】AC 【分析】对于A：可得第2个球是甲射门的可能情况为：甲甲，乙甲，进而求概率；对于B：分析可知第2球甲未射中，即可得概率；对于C：可能情况有：甲甲乙乙，甲乙甲乙，甲乙乙甲，乙甲甲乙，乙甲乙甲，乙乙甲甲，进而求概率；对于D：分析可能情况的组成，结合条件概率公式运算求解. 【详解】记“抽签抽到甲”，“甲点球射中”，“抽签抽到乙”，“乙点球射中”， 则，，，可得，， 对于选项A：第2个球是甲射门的可能情况为：甲甲，乙甲， 所以所求事件的概率为，故A正确； 对于选项B：在第1个球和第2个球均是甲射门的条件下，第3个球是乙射门，可知第2球甲未射中，所以所求事件的概率为，故B错误；对于选项C：若前4个球中甲、乙各射2个，则可能情况有：甲甲乙乙，甲乙甲乙，甲乙乙甲，乙甲甲乙，乙甲乙甲，乙乙甲甲，所求的概率为，故C正确；对于选项D：第3个球是甲射门的可能情况为：甲甲甲，乙甲甲，甲乙甲，乙乙甲， 对应的概率为，第1个球是乙射门且3个球是甲射门的可能情况为：乙甲甲，乙乙甲，对应的概率为，所以所求事件的概率，故D错误. 14．（2026·江苏·一模）甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分别求出从乙袋子中取出2个红球、2个白球和1个红球和1个白球的概率，分析X的可能取值，求出各个概率，可判断A、B的正误，代入期望和方差公式，可判断C、D的正误. 【详解】设从乙袋子中取出2个红球为事件A，则，从乙袋子中取出2个白球为事件B，则，从乙袋子中取出1个红球和1个白球为事件C，则， 由题意，X的可能取值为0和1，则 ，故A错误，B正确；所以， 则，故C正确，D错误. 15．（2026·广东深圳·一模）将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项利用独立事件的概率乘法公式求得；B选项通过列出的分布列计算期望得；C选项通过枚举发现，说明不能简单分解为独立事件；D选项利用（正面次数）及期望的单调性证得. 【详解】对于A，对应于连续次扔出正面，于是，A正确； 对于B，，，，， 则，B正确； 对于C，观察前次扔出连续的次正面并不等价于前次的以及接下来的. 严格计算：，，，C错误； 对于D，不妨设表示前次投掷中出现正面的次数， 于是，则，则，于是，D正确.故选：ABD 16．（2026·山东青岛·一模）已知随机变量服从正态分布，若，则______. 【答案】0.8/ 【详解】由可得，因，由正态曲线对称性，得，则. 17．（2026·安徽安庆·一模）设随机变量，且，则___________． 【答案】0.9772 【详解】由，得， 根据，得， 所以. 18．（2026·天津·一模）某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以表示5次抽取的总得分，则的数学期望为__________. 【答案】 4 【分析】利用条件概率公式计算可得空一；利用二项分布的期望公式与期望性质计算可得空二. 【详解】设事件表示：“第二次抽到一等奖券”，事件表示：“第一次抽到二等奖券”， 则；设表示5次抽取中抽到一等奖券的次数， 每次抽到一等奖券的概率，则由题意可得， 故，又，则. 19．（2026·江西南昌·一模）已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________. 【答案】 【详解】若4次重复操作后，盒中6个球全是红球，则1次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次、第二次和第三次抽到红球三种情况，所以， 若5次重复操作后，盒中6个球全是红球，则2次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况，所以 ，所以. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于将次重复操作后，盒中6个球全是红球转化为次抽到红球，3次抽到黑球，然后分情况计算概率即可. 20．（2026·河北张家口·一模）已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则的数学期望______． 【答案】 【详解】由题设，每次抽取的概率为，抽取的概率为，抽取的概率为. 可取， 当时，4次中有两个元素各出现两次，或者4次中三个都出现，其中有一个元素出现两次，其余两个元素各出现一次，故 ，当时，4次中有一个元素抽到4次，故，故， 故的分布列如下： 故. 21．（2026·山东东营·一模）甲、乙、丙三人每人制作两张卡片，将卡片放在同一个盒子中，每人不放回地随机抽取两张，设至少取回一张自己的卡片的人数为X，则_______. 【答案】 【分析】用字母表示出甲、乙、丙的卡片，计算出相应样本空间与总样本空间求出概率即可. 【详解】设甲制作的卡片为；乙制作的卡片为；丙制作的卡片为. 代表三人只有一人至少取回一张自己的卡片，有种情况；不妨设是甲至少取回一张自己的卡片；当甲只取回一张自己的卡片时，有种；例如：甲取到的卡片为，此时丙不能取，只能取，即甲取回一张自己的卡片时，样本数为；当甲取回两张自己的卡片时，此时乙与丙只能相互交换，即有种；而总样本空间为甲、乙、丙三人各自任取两张卡片，即， 所以;代表三人有两人至少取回一张自己的卡片， 即有一个人没有取回自己的卡片，有种情况；不妨设是丙没有取回自己的卡片，则丙要在四张中取两个，显然丙不能取或，所以丙有种取法， 例如：丙取的是，则甲留下，只能在中取一个，即种，剩下两张给乙， 即共有种，所以.所以. 22．（2026·海南儋州·一模）某学校进行了一次抽样调查，了解不同性别的学生“利用AI辅助学习”的情况，采用简单随机抽样的方法，分别抽取男生和女生各50名作为样本．记“利用AI辅助学习”为事件A，“学生为女生”为事件B，将样本的频率视为概率，得到，．现从全校的学生中随机抽取30名，设其中“利用AI辅助学习的学生”的人数为，则当取得最大值时，的值为________． 【答案】 【分析】借助条件概率公式可计算出，再利用二项分布概率公式，表示出后，解出不等式及即可得. 【详解】由题意可得，则，即， ，则，则可得服从二项分布， 则 ，令， 即有，解得， 令 即有，解得，即，由，则当取得最大值时，. 23．（2026·天津和平·一模）甲、乙两队参加知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分，则随机变量的数学期望为___________；用表示“甲、乙两个队总得分之和等于”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，则___________． 【答案】 【分析】利用二项分布期望公式可得；利用二项分布概率公式求出、，设乙队总得分为，利用独立事件概率公式求出、，则可求出. 【详解】由题意可得，则； ，， 设乙队总得分为，则 ，， 则. 24．（2026·天津北辰·一模）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个．现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望______． 【答案】 /； . 【分析】应用全概率公式求概率即可求得机器人成功完成指令的概率，由题设随机变量的所有可能取值为，，，求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列期望公式求法求期望. 【详解】记“下达的动作指令表述清晰”为事件，记“下达的动作指令表述模糊”为事件，记“机器人成功完成指令”为事件.由已知得，，，，.， 所以该机器人成功完成指令的概率为；由题意的所有可能取值为，，，，，， 故的分布列为： 所以的数学期望. 25．（2026·湖南怀化·一模）如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 【答案】 【分析】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，，可得，结合两点分布可得，即可得结果. 【详解】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，， 则，可得，在电路系统正常工作的条件下，可知系统均正常工作，对应概率为，则，可得，，则，所以. 26．（2026·青海西宁·一模）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 【答案】(1)分布列见详解， (2)（i） （ii）证明见详解，时，最大期望利润为 【分析】（1）分析消费者实际支付金额的所有可能取值，计算每个取值对应的概率，得到分布列，计算； （2）（i）计算消费者支付金额的期望，再计算优惠券成本的期望，分别计算基础券成本期望和进阶券成本期望，再求和，最后根据期望利润的定义，结合购买概率，代入支付金额期望、商品成本、优惠券成本期望，得到的函数表达式； （ii）对求导，得到导函数，分析导函数在内的单调性，找到导函数极大值点，代入计算最大期望利润. 【详解】（1）实际支付金额的所有可能取值为， ， ， ， ， ， 的分布列为： . （2）(i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算： 支付金额期望：， 商品成本， 优惠券成本期望：基础券成本， 进阶券成本，总成本期望，购买概率， 代入公式： . (ii)对求导得： 令，整理得，解得根为，（舍去，不在内）， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点， 计算最大期望利润：. 27．（2026·北京昌平·一模）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】(1) (2)的分布列为 数学期望 (3) 【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解； （2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望； （3）先确定服从的二项分布，由二项分布的性质确定概率最大时的值. 【详解】（1）由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件，则； （2）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为，随机变量的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 数学期望. （3）由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为，服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且，解得， 为整数，所以，使概率取得最大值时的值为. 28．（2026·山东青岛·一模）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. (1)求，； (2)求的分布列； (3)求. 【答案】(1)， (2) 1 2 3 … … (3) 【分析】（1）根据规则判断出和的情形，结合概率乘法公式求解即可. （2）结合题干规则推导出，进而求出，即可得到分布列. （3）结合错位相减法及等比数列的前项和公式求出，根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）表示第一次就生成并结束过程，即第一次预测为，且审核生成， .表示第二次生成并结束过程，情况有：第一次预测为，且审核生成，第二次预测为；第一次预测为，审核必生成，第二次预测为，且审核生成. . （2）（，）时，第个词元输出为， 若前面个词元都预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故， 当时，若前面个词元都没有预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故 所以的分布列为： 1 2 3 … … （3）由（1）得，由（2）得， ， ， ， 所以，所以 29．（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 ， (3) 【分析】（1）直接根据频率和样本容量计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，根据超几分布计算可得； （3）随机变量服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得. 【详解】（1）该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. （3）由题意知，，则，. 令，当，解得. 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大. 30．（2026·云南曲靖·一模）某校有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况 （午餐，晚餐） 甲 30天 23天 37天 10天 乙 20天 22天 18天 40天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率. (1)记为甲、乙两人在一天中总共光顾的不同餐厅个数，求X的分布列和数学期望； (2)设乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为，当取最大值时，求k的值； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，，一般来说，在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大.证明：. 【答案】(1)X的分布列为 X 1 2 P 0.1 0.9 X的数学期望； (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）求出随机变量X的取值以及相应概率即可求分布列，再由数学期望公式即可计算求解期望； （2）先求出，再利用即可计算求解； （3）由条件结合条件概率公式求出即可分析求证. 【详解】（1）由题可得， 且，，所以X的分布列为 X 1 2 P 0.1 0.9 所以X的数学期望； （2）由题意可得乙在一天中午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为， 所以乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为， 令，即，化简为， 即，即，解得， 因为k为整数，且， 所以乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率取最大值时或. （3）证明：由题可知，， 所以，所以， 则， 所以，即， 所以，即. 31．（2026·湖北荆州·一模）某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会. (1)已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率； (2)若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望. 【答案】(1) (2)96000元 【分析】（1）根据全概率公式求解甲第一次闯关成功的概率，进而利用条件概率公式即可求解； （2）先求解一个参与者得分大于等于40分的概率，即可根据，由二项分布的期望公式求解. 【详解】（1）设事件表示“第i次选择的是A”事件表示“第i次选择的是B”， 设事件表示“第i次闯关成功” ， ，， 第一次闯关成功，参与者甲选择的是A类关卡的概率为； （2）一个参与者得分大于等于40分有两类情形： 第一关选择A成功，第二关继续选择A也成功； 第一关选择B失败，第二关换为A成功，第三关继续选择A也成功. 故 ，设1000人中获得现金奖励的人数为X，则商场支出的现金奖励Y＝1000X元.由题知，，故 ，所以，商场支出的现金奖励总金额的期望为96000元. 32．（2026·宁夏·一模）某社团招新分为“线上初审”和“线下复试”两个环节，面试结果受学生准备状态影响：若学生提前认真准备，线上初审通过的概率为0.9，线下复试通过的概率为0.8；若学生未提前准备，线上初审通过的概率为0.5，线下复试通过的概率为0.4；已知参加面试的学生中，提前认真准备的占70%，未提前准备的占30%. (1)（Ⅰ）求一名学生线上初审通过的概率； （Ⅱ）已知一名学生线上初审通过，求他是提前认真准备的概率. (2)社团有两种面试流程方案：方案一：所有学生都依次完成线上初审和线下复试（共2次面试）；方案二：先进行线上初审，若通过则进入线下复试；若未通过，则直接淘汰（即只进行1次面试）.已知每次面试的组织成本相同，以面试次数的期望值为决策依据，应选择哪种方案？ 【答案】(1)（I） 0.78；（II）或0.8077 (2)选择方案二. 【分析】（1）根据全概率公式和贝叶斯公式计算结果； （2）根据题中两个方案计算随机变量的期望，判断哪个方案好. 【详解】（1）设事件：学生提前认真准备，事件：学生未提前准备；事件：线上初审通过. 由题意可得： （I） 根据全概率公式： 所以一名学生线上初审通过的概率为0.78. （II）根据贝叶斯公式： 所以已知线上初审通过，该生是提前认真准备的概率为或0.8077. （2）设方案一的期望面试次数为，方案二的期望面试次数为. ① 方案一：所有学生均参加2次面试，因此期望面试次数. ② 方案二： 设随机变量表示方案二的面试次数，的可能取值为1，2. ， 所以分布列为： 1 2 0.22 0.78 所以.因为 所以方案二期望面试次数更少，组织成本更低，因此选择方案二. 33．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)1 【分析】（1）根据全概率公式可求； （2）根据全概率公式构建递推关系后可得，利用构造法可证明是等比数列且可求的通项公式； （3）根据题意可得，故可求. 【详解】（1）由题意得. （2）当时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为，则没有“黑币”的概率为， ， 故.又，故为等比数列,故,. （3）由题的可能取值为0，1，2，其概率分布列为： 0 1 2 依题意，即.于是 故. 34．（2026·青海西宁·一模）为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10小时的可认为达到“通知”要求． 高一年级 10  12.5  8  9.5  9  11 高二年级 7.5  8  8.5  10  9.5  11  12 高三年级 7  4.5  6  5  7.5  10.5  11  12.5 (1)已知高一学生有600人，试估计高一、高二、高三各有多少学生每天的综合体育活动时间没有达到“通知”要求； (2)从被调查的高三年级8名学生中，随机选取3人，记这3人中每天综合体育活动时间达到通知要求的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)300，400，500 (2) X 0 1 2 3 P 【分析】（1）根据分层抽样的定义，结合题设可知高二、高三学生人数分别为700，800，再根据样本数据综合体育活动时间五天内低于10小时的人数比例求解即可； （2）由题意得的可能取值为0，1，2，3，分别求出每一个对应的概率即可得到分布列，再根据期望的公式求解即可. 【详解】（1）由题可知，用分层抽样方法从高一、高二、高三抽查的人数分别为6，7，8， 已知高一学生人数为600，所以高二、高三学生人数分别为700，800， 而综合体育活动时间五天内低于10小时的人数，高一、高二高三占比分别为，，， 由，，， 因此，估计高一、高二、高三学生每天的综合体育活动时间没有达到“通知”要求人数分别为300，400，500． （2）由题可知，每天综合体育活动时间达到通知要求的，高三有3人，另5人没有达到要求， 所以的可能取值为0，1，2，3， 则，，，． 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 概率、统计及随机变量分布列 5大考点概览 题型01 随机抽样、频率分布直方图及样本的数字特征 题型02 一元线性回归模型 题型03 列联表与独立性检验 题型04 古典概型、条件概率及全概率公式 题型05 离散型随机变量期望、方差及其分布列 ( 随机抽样、 频率分布直方图 及 样本的数字特征 考点1 ) 1．（2026·重庆·一模）某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（    ） A．6人 B．16人 C．22人 D．28人 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（    ） A．61 B．70 C．98 D．120 3．（2026·河北保定·一模）已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，，m，，，，，若该组数据的分位数是，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江西吉安·一模）某市连续8天的AQI（空气质量指数）分别为，则这组数据的上四分位数为（    ） A．32 B．33 C．48 D．49 5．（2026·广东·一模）已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2026·云南曲靖·一模）一个盒子中装有大小相同、质地均匀的6个小球，这6个小球分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从盒中有放回地任取一个球并记下编号，共取4次，得到一组编号组成的数据，若该组数据的平均数为2，则（    ） A．中位数可能为3 B．众数可能为4 C．极差可能为5 D．方差可能为1 7．（2026·辽宁朝阳·一模）某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50，，55，45，.已知本次研学活动的总人数为250人，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 8．（2026·河北邢台·一模）若A组数据，，，的平均数为25，方差为5，B组数据，，，，5m的方差为8，则（   ） A．8 B．4 C．4或5 D．4或6 9．（2026·海南海口·一模）某高中学校高一年级、高二年级、高三年级的学生分别有400、500、300人．现用比例分配的分层随机抽样的方法，按年级从这些学生中抽取n人开展“教师作业批改情况”问卷调查，若高二年级抽到学生15人，则下列说法正确的是（   ） A．从高二年级学生500人中抽取15人可采用简单随机抽样的方法 B．高一年级抽到学生12人 C．样本容量 D．三个年级中高三年级每个学生被抽取到的概率最小 10．（多选）（2026·陕西铜川·一模）2025年江苏省城市足球联赛火爆出圈，赛场热度赶超职业赛事，城市玩梗引爆网络话题.其中南通队在常规赛中取得10胜2平的战绩，其12场每场进球数分别为则关于样本中进球数的数字特征说法正确的是（    ） A．平均数是3 B．中位数是2.5 C．众数是2 D．方差是1 11．（多选）（2026·广西北海·一模）已知一组数据依次为：12，16，16，4，0，2，2，10，12，16，关于这一组数据，下列说法正确的是（    ） A．极差是16 B．平均数是9 C．第70百分位数是12 D．方差是270 12．（多选）（2026·山东泰安·一模）下列选项正确的是（   ） A．对A，B，C三类个体按3:1:2的比例进行分层抽样，已知从类个体中抽取了9个，则样本容量为30 B．若随机变量，则 C．恒成立 D．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为4.5 13．（多选）（2026·河北沧州·一模）某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度问卷调查，在1000名用户的问卷（用户打分都在50分到100分之间）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值为代表）（   ） A． B．由样本数据可估计1000名用户中打分在70分以下的有350人 C．估计这1000名用户问卷的得分的分位数为85 D．估计这1000名用户问卷的得分的平均数为75 13．（多选）（2026·广东江门·一模）从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，则（    ） A． B．估计该小区居民用户月用电量的下四分位数约为 C．估计该小区有一半左右的居民用户，其月用电量介于至之间 D．当该小区的月用电标准定在时，该小区大约的居民用户用电量不受影响 14．（多选）（2026·安徽淮北·一模）在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之内，其得分的频率分布直方图如图所示，则（   ） A． B．这200名参赛者得分的中位数为64 C．得分在内的频率为 D．得分在内的共有80人 15．（多选）（2026·广东佛山·一模）对相同的样本数据选取不同的组距（每组为左闭右开区间）画出如图1､图2所示的频率分布直方图，其中图2的部分信息丢失，由频率分布直方图的信息对总体进行估计，则（    ） A．图2中的频率为0.3 B．图2众数的估计值唯一 C．图1与图2中位数的估计值相同 D．图1与图2平均数的估计值相同 16．（多选）（2026·河北石家庄·一模）下列说法正确的是（    ） A．设一组样本数据的方差为2，则数据的方差为8 B．10个样本数据5，6，7，4，5，7，8，3，9，4的第60百分位数是6 C．用0~9这10个数字，可以组成648个没有重复数字的三位数 D．已知随机变量的概率分布为，则实数的值为 17．（多选）（2026·湖北黄冈·一模）下列说法正确的是（   ） A．样本相关系数越大，则线性相关性越强 B．1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 C．随机变量的方差，期望，则 D．某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8 18．（多选）（2026·甘肃兰州·一模）某校高一年级开设了文学社､科创社､体育社､艺术社､辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查. 根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A．艺术社的学生人数有120人 B．文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人 C．从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为 D．调查结果显示文学社､科创社的满意率均为0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意率为0.81 19．（2026·河北沧州·一模）第十五届全运会将于2025年11月9日至21日在广东举行．广东某高中为调查该校学生对全运会的了解程度，利用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了90人进行了问卷调查，其中高一、高二年级分别抽取了24人、30人，且高三年级共有学生1080人，则该高中学生总数为_____人． 20．（2026·湖北·一模）已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 21．（2026·安徽宿州·一模）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 22．（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. ( 一元线性回归模型 考点 2 ) 1．（2026·天津河北·一模）以下结论错误的是（   ） A．根据列联表中的数据计算得出，而，则根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量有关系 B．在回归直线中，变量时，变量y的值一定是15 C．的值越大，两个事件的相关性的可能性就越大 D．在回归分析中，相关指数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好 2．（2026·辽宁盘锦·一模）2025年中国“人造太阳”再创世界纪录，实现亿度千秒稳态运行，其核心参数研究中，科研团队对某聚变反应的温度（单位：1000万度）和反应持续时间（单位：秒）的一组观测数据作线性相关分析，其回归直线方程是，且，则实数的值是（   ） A． B．1 C．2 D．4 3．（2026·四川宜宾·一模）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其回归直线方程是，且，则实数的值是（    ） A． B． C． D．1 4．（2026·福建莆田·二模）为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系，某研究小组随机调查了50名学生，得到成对样本数据，其中表示每日自主阅读时间（单位：小时），表示语文成绩（单位：分）.经计算得回归直线方程为.下列说法正确的是（   ） A．该样本数据的相关系数为5.2 B．当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分 C．该样本数据中，至少有一个点在回归直线上 D．若某学生每日阅读时间为2小时，则他的语文成绩一定为分 5．（2026·山东青岛·一模）已知变量，的统计数据如下，若与的回归直线方程为，则（   ） 2.8 3.3 5.0 6.7 7.2 2.6 4.0 5.1 5.4 A．2.5 B．2.7 C．2.9 D．3.1 6．（2026·辽宁大连·一模）某人工智能公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示： 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 根据表中的数据得到y关于x的回归直线方程，则（    ） A．y与x之间的相关系数 B．回归系数的意义是x增大一个单位，增大0.5个单位 C．第8年的利润一定为6.3亿元 D．第6年利润的残差为亿元 7．（2026·湖南永州·一模）下列结论正确的是（    ） A．若随机变量，且，则 B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C．对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则与负相关，与正相关，其中与的相关性更强 D．若，则 8．（2026·广西崇左·一模）已知相关系数，y关于x的经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，残差平方和为.已知变量x与变量y的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以x为自变量，y为因变量，得出的经验回归方程为；以y为自变量，x为因变量，得出的经验回归方程为.若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（   ） A．若已知变量x的方差，则可知变量y的标准差 B．若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y各自的平均值 C．若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y的相关系数 D．若已知变量x的标准差，则可知以y为自变量的回归模型的残差平方和 9．（2026·辽宁抚顺·一模）若根据样本数据得到的回归直线方程为，且，，则______． 10．（2026·辽宁朝阳·一模）已知变量的组观测值为. (1)若变量具有线性相关关系，且样本均值，样本方差，样本相关系数为，其中均为已知常数 （i）比较经验回归直线的斜率与的大小，并说明理由； （ii）求关于的经验回归方程，并证明：对于任意给定的观测值，当时，其回归预测值满足. (2)若变量存在线性相关关系，且二者的样本均值均为，方差相等.对于自变量的任意两个取值，利用得到的经验回归方程，记其对应的原变量的预测值分别为.证明：当时，，并简述该结论在数据预测中的意义. 附：样本相关系数；样本方差；经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 11．（2026·海南海口·一模）儿童的身高随年龄的增加而增加，已知某城市1-5岁儿童的平均身高如下表所示． 年龄x/岁 1 2 3 4 5 平均身高y/cm 76.0 86.5 97.5 103.5 111.5 (1)儿童的平均身高y与年龄x之间是相关关系还是函数关系？请依据判断求出平均身高y关于年龄x的回归直线方程（或函数解析式）； (2)能否用第（1）问求出的关系式预测该城市30岁市民的平均身高？若能，请求出预测值；若不能，请简要说明理由． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 12．（2026·山西朔州·一模）随着居民生活水平提升､消费观念转变以及技术不断革新，智能小家电市场前景广阔，记2021~2030年的年份代码分别为，下表为2021~2025年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元）. 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 1.6 1.7 1.9 2.1 2.3 (1)从这5年中国智能小家电市场规模中的数据中任取3个，记取到的数据小于这5个数据平均数的个数为，求的分布列与期望； (2)某传媒机构预测出2026~2030年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），并求出，2021~2030年中国智能小家电市场规模关于的相关系数为0.994，求关于的回归直线方程的值精确到. 附：①样本相关系数，②回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 13．（2026·四川遂宁·一模）冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 (1)求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； (2)为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 20 女生 40 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写列联表； （ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联； (3)从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 14．（2026·山东威海·一模）某医院用光电比色计检验尿汞时，得到尿汞含量（单位：）与消光系数的结果如下： 尿汞含量 2 4 6 8 10 消光系数 65 135 205 285 360 (1)求消光系数关于尿汞含量的回归直线方程； (2)根据回归直线方程，估计尿汞含量为时消光系数的值． ( 列联表与独立性检验 考点 3 ) 1．（2026·天津·一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（    ） A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 2．（2026·天津河西·一模）下列说法中错误的有（   ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01； ③回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，越大，则拟合的效果越好； ④若随机变量服从正态分布，若则实数. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026·天津河北·一模）以下结论错误的是（   ） A．根据列联表中的数据计算得出，而，则根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量有关系 B．在回归直线中，变量时，变量y的值一定是15 C．的值越大，两个事件的相关性的可能性就越大 D．在回归分析中，相关指数越大，说明残差平方和越小，回归效果越好 4．（多选）（2026·湖北荆州·一模）某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，随机调查了100名学生，得到如下列联表（单位：人）：（    ） 男生 女生 合计 参加了社会实践活动 30 40 70 未参加社会实践活动 20 10 30 合计 50 50 100 附，其中n＝a＋b＋c＋d； A．依据小概率值的独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关 B．从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为 C．随机抽取1人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为 D．按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7人，再从这7人中抽取2人，则这2人中至少有一名男生的概率为 5．（多选）（2026·湖南怀化·一模）下列说法正确的是（    ） A．数据的众数是2 B．数据的第25百分位数是1 C．若随机变量，则 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断变量与不独立 6．（多选）（2026·重庆·一模）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据： 疗法 疗效 未治愈 治愈 甲 15 52 乙 6 63 附常用小概率值及其相应的临界值表为： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得．则下列说法正确的是：（    ） A．以频率估计概率，有 B．以频率估计概率，有 C．若取，可以认为疗效与疗法独立 D．若取，可以认为疗效与疗法独立 7．（多选）（2026·山东日照·一模）下列说法正确的是（    ） A．数据，，，，，的分位数为 B．若随机变量，且，则 C．通过样本数据得到的回归直线一定经过点 D．在独立性检验中，的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 8．（多选）（2026·广东梅州·一模）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是（    ） 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A．在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 B．在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人 C．根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关 D．从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4 9．（2026·河北保定·一模）某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性，随机抽取了120名18岁~60岁市民进行调查．将每周锻炼不少于3次的市民归为“高频锻炼组”，不足3次的归为“低频锻炼组”；体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”，否则为“体质不达标”．调查结果整理为如下不完整的列联表． 体质达标 体质不达标 合计 高频锻炼组 m 15 60 低频锻炼组 25 v u 合计 s t 120 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)请根据列联表中的数据，写出m，v，s，t，u的值； (2)依据小概率值的独立性检验，分析该市市民体育锻炼频次是否与体质达标有关联； (3)该市计划从抽到的120人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导”活动，现按高频锻炼组和低频锻炼组分层，通过分层抽样抽取10人展开指导活动，再从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，求抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率． 10．（2026·宁夏银川·一模）某工厂有甲、乙两条生产线加工同一型号的产品，甲生产线加工的优品率为5%，乙生产线加工的优品率为6%，加工出来的产品混放在一起．已知甲、乙生产线加工的产品数分别占总数的51%，49%． (1)任取一件产品，如果取到的产品是优品，计算它是甲生产线加工的概率； (2)现对甲生产线升级改造，从改造前与改造后甲生产线加工的产品中分别随机抽取100件进行检验，数据如下： 优品 非优品 合计 改造前 5 95 100 改造后 15 85 100 合计 20 180 200 根据小概率值的独立性检验，能否认为生产线改造与优品有关联？ 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 11．（2026·贵州六盘水·一模）某医院调查安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度，得到如下列联表： 单位：人 义肢类型 满意度 合计 满意 不满意 传统义肢 60 40 100 智能义肢 80 20 100 合计 140 60 200 (1)任选3位安装智能义肢的截肢患者，若每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，求其中至少有2人能完成精细抓握的概率； (2)依据的独立性检验，能否认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关？ 附：， 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 12．（2026·河北保定·一模）某高科技制造企业致力于智能生产线的研发与应用，以提升关键精密元件的产品质量.原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投入使用的乙生产线引入了基于物联网和大数据分析的智能调控系统，实现了生产参数的实时优化.为评估技术创新对产品质量的影响，质检部门从甲、乙两条生产线生产的同种产品中各随机抽取100件进行检测，得到如下列联表： 优等品 非优等品 合计 甲生产线 65 35 100 乙生产线 90 10 100 合计 155 45 200 (1)根据小概率值的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关. (2)以样本估计总体，以频率估计概率，现从甲、乙两条生产线生产的此种产品中各随机抽取一定数量的产品混合在一起，其中甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若从混合产品中随机抽取3件，记这3件产品中优等品的个数为X，求X的分布列和数学期望. 附 其中. 13．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）某电商研究中心为剖析国潮消费趋势，随机调查了该平台50名男性用户和50名女性用户，统计其对“国潮服饰类产品”的购买意愿（经常购买/不常购买），得到如下列联表： 经常购买 不常购买 男性用户 40 10 女性用户 30 20 (1)依据＝0.05的独立性检验，能否认为该平台男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异？ (2)从该平台的用户中任选一人，A表示事件“选到的人不常购买国潮服饰类产品”，B表示事件“选到的人为女性用户”，利用该调查数据，给出的估计值． 附：． 0.050 0.010 0.005 k 3.841 6.635 7.879 14．（2026·黑龙江吉林·一模）截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%．某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 合计 300 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响. (2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式及数据：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 15．（2026·宁夏银川·一模）血脂高（高脂血症）可能导致动脉硬化、心脑血管疾病、胰腺炎等健康问题，长期血脂高会引发全身多器官损伤.某市医疗机构为了研究运动与血脂的关系，从本市成年人中采用随机抽样的方法抽取了150名市民，调查他们是否得高脂血症和平时运动的情况（每日进行30分钟以上中等强度的运动，且每周运动5天以上的为“运动者”，否则为“非运动者”）.统计的部分数据如表. 运动情况 是否得高脂血症 合计 得高脂血症 未得高脂血症 “非运动者” 45 “运动者” 55 75 合计 150 (1)计算，的值，并依据的独立性检验，判断能否认为得高脂血症与不运动有关？ (2)该医疗机构采用分层随机抽样的方法从得高脂血症的成年人中随机抽取13人，并进行饮食方面的调查，然后从这13人中随机抽取2人作饮食指导，记这2人中“运动者”的人数为，求的分布列及数学期望. 附：，. 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16．（2026·广东汕头·一模）某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 (1)请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； (2)根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） (3)请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 17．（2026·河南南阳·一模）某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意 性别 满意 不满意 合计 男业主 80 20 100 女业主 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业服务的评价有差异？ (2)从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附：． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 18．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占. (1)求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； (2)根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关. 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（2026·安徽安庆·一模）第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFA World Cup Qatar 2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 40 女生 30 合计 (1)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？ (2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门，已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 ( 古典概型、条件概率及全概率公式 考点 4 ) 1．（2026·江西宜春·一模）为测试某AI图像识别系统的准确率，工程师准备了四张不同的图片，其中两张是“龙”，另外两张是“蛇”.系统从这四张图片中随机抽取两张进行识别，则选出的两张图片中，恰好一张是“龙”，另一张是“蛇”的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽滁州·一模）从1，2，3，4，5，6这6个数中随机选取3个不同的数，则这3个数的中位数为4的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北廊坊·一模）当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江西·一模）随机抛掷质地均匀的两枚骰子，向上点数分别记为和，则直线与圆有2个公共点的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁盘锦·一模）袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（   ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南长沙·一模）一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·内蒙古赤峰·一模）为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（   ） A．20% B．30% C．40% D．50% 8．（2026·山东东营·一模）在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·安徽宿州·一模）2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（2026·江西赣州·一模）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（2026·河北保定·一模）某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（    ） A．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74 B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9 C．甲设备检测该芯片为良品的概率为 D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为 12．（多选）（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 13．（多选）（2026·江苏·一模）甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 14．（2026·黑龙江吉林·一模）有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 15．（2026·天津南开·一模）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______. 16．（2026·河南南阳·一模）采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______． 17．（2026·北京房山·一模）人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某AI科技公司开发了一套人机交互软件，它会针对用户输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问题无语法错误时，软件生成正确答案的概率为；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确答案的概率为，且每次生成答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为____． 18．（2026·江西南昌·一模）已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________. 19．（2026·山东日照·一模）已知集合，从集合中随机抽取一个数记为，再从中随机抽取一个数记为，则___________． 20．（2026·安徽马鞍山·一模）已知事件满足，则__________. 21．（2026·宁夏·一模）某社团招新分为“线上初审”和“线下复试”两个环节，面试结果受学生准备状态影响：若学生提前认真准备，线上初审通过的概率为0.9，线下复试通过的概率为0.8；若学生未提前准备，线上初审通过的概率为0.5，线下复试通过的概率为0.4；已知参加面试的学生中，提前认真准备的占70%，未提前准备的占30%. (1)（Ⅰ）求一名学生线上初审通过的概率； （Ⅱ）已知一名学生线上初审通过，求他是提前认真准备的概率. (2)社团有两种面试流程方案：方案一：所有学生都依次完成线上初审和线下复试（共2次面试）；方案二：先进行线上初审，若通过则进入线下复试；若未通过，则直接淘汰（即只进行1次面试）.已知每次面试的组织成本相同，以面试次数的期望值为决策依据，应选择哪种方案？ 22．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 23．（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数Q 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 (1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望． (2)定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势． 24．（2026·湖北黄石·一模）袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量. (1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率； (2)求的分布列和期望. ( 离散型随机变量期望、方差及其分布列 考点 5 ) 1．（2026·山东·一模）已知随机变量X的分布列如表所示（其中）： X 0 1 2 P 则随机变量X的数学期望等于（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广西北海·一模）已知随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 3.（2026·江苏·一模）科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态 3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东梅州·一模）甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（    ）元. A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 5．（2026·安徽宿州·一模）2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·福建泉州·一模）为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展应用培训活动.现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 7．（2026·山东德州·一模）已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·湖北黄石·一模）某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有） A．1360人 B．1570人 C．2720人 D．3410人 9．（2026·广东汕头·一模）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．7或 B．5或 C．3或 D．1或 10．（多选）（2026·广东广州·一模）某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选）（2026·河北保定·一模）某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（    ） A．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74 B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9 C．甲设备检测该芯片为良品的概率为 D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为 12．（多选）（2026·河北张家口·一模）某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，甲同学回答类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．甲同学在第一轮答对试题的概率为 B．甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类问题的概率为 C．甲同学经过三轮答题，只答对一道试题的概率为 D．甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6 13．（2026·辽宁抚顺·一模）甲、乙两人进行足球点球比赛，用抽签的方式决定谁先进行，甲、乙抽中的机会均等.每次点球若射中，则继续；若未射中，则换对方点球.已知甲、乙每次点球射中的概率分别为，且每次点球是否射中相互独立，则（    ） A．第2个球是甲射门的概率为 B．在第1个球和第2个球均是甲射门的条件下，第3个球是乙射门的概率为 C．前4个球中甲、乙各射2个的概率为 D．在第3个球是甲射门的条件下，第1个球是乙射门的概率为 14．（2026·江苏·一模）甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 15．（2026·广东深圳·一模）将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（   ） A． B． C． D． 16．（2026·山东青岛·一模）已知随机变量服从正态分布，若，则______. 17．（2026·安徽安庆·一模）设随机变量，且，则___________． 18．（2026·天津·一模）某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以表示5次抽取的总得分，则的数学期望为__________. 19．（2026·江西南昌·一模）已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________. 20．（2026·河北张家口·一模）已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则的数学期望______． 21．（2026·山东东营·一模）甲、乙、丙三人每人制作两张卡片，将卡片放在同一个盒子中，每人不放回地随机抽取两张，设至少取回一张自己的卡片的人数为X，则_______. 22．（2026·海南儋州·一模）某学校进行了一次抽样调查，了解不同性别的学生“利用AI辅助学习”的情况，采用简单随机抽样的方法，分别抽取男生和女生各50名作为样本．记“利用AI辅助学习”为事件A，“学生为女生”为事件B，将样本的频率视为概率，得到，．现从全校的学生中随机抽取30名，设其中“利用AI辅助学习的学生”的人数为，则当取得最大值时，的值为________． 23．（2026·天津和平·一模）甲、乙两队参加知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分，则随机变量的数学期望为___________；用表示“甲、乙两个队总得分之和等于”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，则___________． 24．（2026·天津北辰·一模）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个．现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望______． 25．（2026·湖南怀化·一模）如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 26．（2026·青海西宁·一模）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 27．（2026·北京昌平·一模）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 28．（2026·山东青岛·一模）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. (1)求，；(2)求的分布列；(3)求. 29．（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 30．（2026·云南曲靖·一模）某校有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况 （午餐，晚餐） 甲 30天 23天 37天 10天 乙 20天 22天 18天 40天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率. (1)记为甲、乙两人在一天中总共光顾的不同餐厅个数，求X的分布列和数学期望； (2)设乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为，当取最大值时，求k的值； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，，一般来说，在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大.证明：. 31．（2026·湖北荆州·一模）某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会. (1)已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率； (2)若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望. 32．（2026·宁夏·一模）某社团招新分为“线上初审”和“线下复试”两个环节，面试结果受学生准备状态影响：若学生提前认真准备，线上初审通过的概率为0.9，线下复试通过的概率为0.8；若学生未提前准备，线上初审通过的概率为0.5，线下复试通过的概率为0.4；已知参加面试的学生中，提前认真准备的占70%，未提前准备的占30%. (1)（Ⅰ）求一名学生线上初审通过的概率； （Ⅱ）已知一名学生线上初审通过，求他是提前认真准备的概率. (2)社团有两种面试流程方案：方案一：所有学生都依次完成线上初审和线下复试（共2次面试）；方案二：先进行线上初审，若通过则进入线下复试；若未通过，则直接淘汰（即只进行1次面试）.已知每次面试的组织成本相同，以面试次数的期望值为决策依据，应选择哪种方案？ 33．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 34．（2026·青海西宁·一模）为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10小时的可认为达到“通知”要求． 高一年级 10  12.5  8  9.5  9  11 高二年级 7.5  8  8.5  10  9.5  11  12 高三年级 7  4.5  6  5  7.5  10.5  11  12.5 (1)已知高一学生有600人，试估计高一、高二、高三各有多少学生每天的综合体育活动时间没有达到“通知”要求； (2)从被调查的高三年级8名学生中，随机选取3人，记这3人中每天综合体育活动时间达到通知要求的人数为X，求X的分布列和数学期望． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $