专题03 统计与概率5大题型（题型专练）（四川成都专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题03 统计与概率 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 统计图表：条形、扇形、折线、直方图 题型02 统计量：平均数、中位数、众数、方差、极差、标准差 题型03 用样本估计总体 题型04 概率计算：列表法、树状图法 题型05 频率与概率关系 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 统计图表：条形、扇形、折线、直方图 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表： 人数 元宇宙 16 脑机接口 a 人形机器人 14 根据图表信息，表中a的值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题考查统计表和扇形统计图，根据元宇宙的人数以及所占的比例求出总人数，进而求出的值即可． 【详解】解：； 故选B． 【典例02】（2024·四川成都·中考真题）2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表． 游园线路 人数 国风古韵观赏线 44 世界公园打卡线 亲子互动慢游线 48 园艺小清新线 根据图表信息，解答下列问题： (1)本次调查的员工共有______人，表中的值为______： (2)在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数； (3)若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数． 【答案】(1)160，40 (2) (3)385 【分析】本题考查统计表和扇形统计图的关联、用样本估计总体，理解题意，能从统计图中获取有用信息 是解答的关键． （1）根据选择“亲子互动慢游线”的人数及其所占的百分比可求得调查总人数，再根据选择“世界公园打卡线”对应的圆心角是可求解x值； （2）由乘以选择“国风古韵观赏线”所占的百分比可得答案； （3）先求得选择“园艺小清新线”的人数，再由单位总人数乘以样本中选择“园艺小清新线”所占的比例求解即可． 【详解】（1）解：调查总人数为（人）， 选择“世界公园打卡线”的人数为（人）， 故答案为：160，40； （2）解：“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为； （3）解：选择“园艺小清新线”的人数为（人）， ∴该单位选择“园艺小清新线”的员工人数为（人）． 方法透视 考向解读 这是四川中考必考的基础送分题，常结合两种图表综合考查： 1.图表信息读取：从条形图、扇形图、折线图或直方图中读取数据，计算频数、频率、百分比、圆心角等。 2.图表补全绘制：根据已知数据，补全条形统计图或扇形统计图的缺失部分。 3.综合分析：结合两种图表（如条形+扇形），解决 “求样本容量”“计算某组数据占比”“估计总体数量” 等问题，是近年四川真题的主流考法。 4.趋势分析：折线图常用来分析数据变化趋势，直方图则侧重展示数据分布情况。 方法技能 1.核心公式速记： · 样本容量=频数÷频率； · 扇形圆心角=该组百分比× 360°； · 频率=频数 ÷总数，各频率之和为1。 2.图表互补技巧： · 条形图给频数，扇形图给百分比，可互相推导样本容量； · 直方图的组距、频数需注意，频率分布直方图中，矩形面积=频率，所有矩形面积和为1。 3.解题步骤：先通过已知数据算出样本容量，再用样本容量补全其他数据，最后按要求补全图表或作答。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·三模）为切实做好校内“午餐托管”工作，某学校食堂为参加“午餐托管”的学生提供了四种价格的午餐供其选择四种价格分别是：：元；：元；：元；：元．为了解学生对四种午餐的购买情况，学校随机抽样调查了一部分学生某天四种午餐的购买情况，依统计数据绘制成了如下两幅尚不完整的统计图．根据图中信息解决下列问题： (1)求被抽查的学生人数，并补全条形统计图； (2)被抽查学生购买午餐费用的众数为______元，中位数为______元； (3)若该校参加“午餐托管”的学生有人，请估计购买元午餐的学生有多少人？ 【答案】(1)被抽查的学生人数有人，补全条形统计图见解析； (2)，； (3)估计购买元午餐的学生有人． 【分析】此题主要考查了条形统计图与扇形统计图，众数、中位数，样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解题的关键． （）根据元的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，然后用总人数乘以元的人数所占的百分比，求出元的人数，从而补全统计图； （）根据众数和中位数的定义即可得出答案； （）用该校的总人数乘以购买元午餐的学生所占的百分比即可． 【详解】（1）解：被抽查的学生人数有：（人），元的人数有：（人）， 补全统计图如下： （2）解：由统计图可知出现了次，出现的次数最多， ∴众数是元； ∵共有个数，中位数是把这个数按照从小到大排列，第和第个数的平均数， ∴中位数是：（元）； 故答案为：，； （3）解：（人）， 答：估计购买元午餐的学生有人． 【变式02】（2025·四川雅安·中考真题）某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为______． 【答案】/度 【分析】用360度乘以落在一等奖区域的概率即可得到答案． 【详解】解：， ∴一等奖区域所对的圆心角度数为． 【变式03】（2025·四川眉山·中考真题）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题： (1)这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度； (2)补全条形统计图； 【答案】(1)200，144 (2)图见解析 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用软件的人数除以所占的比例求出抽取的学生总人数，用360度乘以A类软件的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）求出类软件的人数，补全条形图即可； （3）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：（人）； ； 故答案为：200，144； （2）软件的人数为：（人）； 补全条形图如图： 题型02 统计量：平均数、中位数、众数、方差、极差、标准差 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 n 88 (1)七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是________； (2)求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好； (3)如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 【答案】(1)10分 (2)，，平台A的服务态度更好； (3)该公司会选择平台B 【分析】本题主要考查了求极差，算术平均数，加权平均数： （1）求出七位员工对平台A的服务态度评分的最大值与最小值的差，即可求解； （2）根据算术平均数公式计算，即可求解； （3）根据加权平均数计算，即可求解． 【详解】（1）解：分， 即七位员工对平台A的服务态度评分的极差是10分； 故答案为：10 （2）解：， ， ∵， ∴平台A的服务态度更好； （3）解：平台A的得分分， 平台B的得分分， ∵， ∴该公司会选择平台B． 【典例02】（2024·四川成都·中考真题）为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（    ） A．53 B．55 C．58 D．64 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位数的定义，根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55， 把这6个数从小到大排序：50，51，55，55，61，64， ∴这组数据的中位数是：， 故选：B． 方法透视 考向解读 四川中考高频考点，多为选择、填空题，也常和统计图表结合出现在解答题中： 1.基础计算：直接求一组数据的平均数、中位数、众数、方差、极差。 2.统计量的意义：结合实际情境，分析统计量的含义（如方差反映数据稳定性，中位数代表中等水平）。 3.含参问题：已知一组数据的平均数、众数或中位数，反求参数的值。 4.数据变化影响：数据整体加减、乘除常数时，统计量的变化规律（如方差仅受乘除常数影响）。 方法技能 1.平均数：易受极端值影响，加权平均数需注意权重。 2.中位数：求中位数前必须先将数据排序，和数据个数的奇偶有关。 3.众数：一组数据中出现次数最多的数，可能有多个，也可能没有。 4.方差：方差越小，数据越稳定；计算时不要漏除以数据个数。 5.极差：反映数据波动范围，计算简单，但易受极端值影响。 6.标准差：单位与原数据一致，和方差一样反映数据稳定性。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·三模）有一组数据为3，2，4，4，2，则下列说法中错误的是（   ） A．中位数为4 B．众数为2和4 C．平均数为3 D．方差为0.8 【答案】A 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数及方差的定义，属于基础题目，解题的关键是熟练掌握上述基本概念．分别根据中位数、众数、平均数和方差的定义计算各项，进而可得答案． 【详解】解：将数据按从小到大排列为， 中位数为3，众数是2和4，平均数， 方差； ∴A说法错误； 故选：A． 【变式02】（2025·四川成都·三模）数据，，，，的方差计算公式为，则这组数据，，，⋯，的和是______． 【答案】24 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式． 根据方差公式得到这组数据有8个数，其平均数为3，于是得到这组数据的和． 【详解】解：根据题意得这组数据有8个数，平均数为3， 所以这组数据的和为 故答案为： 【变式03】（2025·四川成都·模拟预测）中国空间站已全面建成并转入应用与发展阶段，中国载人月球探测工程登月阶段任务已启动实施．为加强学生对我国航天知识的了解，某学校开展了航天知识竞赛，其中8名学生的竞赛成绩为：87，86，89，87，88，90，95，97，则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．87，88．5 B．88．5，87 C．87，88 D．88，88 【答案】A 【分析】本题考查中位数和众数的计算，熟练掌握计算方法是解题的关键； 众数是出现次数最多的数据，中位数是按大小排列后中间位置的数（或平均数）． 【详解】∵数据为87，86，89，87，88，90，95，97， ∴排序后为86，87，87，88，89，90，95，97． ∵87出现2次，其他数据均出现1次， ∴众数为87． ∵数据共8个，中位数为第4和第5个数的平均数，即88和89， ∴中位数为． 故选：A． 题型03 用样本估计总体 典例引领 【典例01】（2025·四川巴中·中考真题）为提高学生的科创意识，某校准备开设C语言编程、无人机飞行训练、科创小论文、科幻画创作4门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加．为筹备此项活动课程，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图． 意愿参加课程人数统计表 课程 C语言编程 无人机飞行训练 科创小论文 科幻画创作 人数 10 8 15 (1)抽取的学生共有______人，其中意愿参加无人机飞行训练的有______人； (2)若该校有800人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？ 【答案】(1)， (2)全校参加科幻画创作的学生有人； 【分析】本题考查扇形统计图，用样本频数估计总体频数，用树状图求概率． （1）用C语言编程的人数除以对应的百分比，即可得抽取的学生人数，减去意愿参加C语言编程、科创小论文、科幻画创作的人数，即可得意愿参加无人机飞行训练的人数； （2）用全校总人数乘以科幻画创作学生数占总人数的比，即可得全校参加科幻画创作的学生人数； 【详解】（1）解：（人） （人） 故答案为：，． （2）解：（人） 答：全校参加科幻画创作的学生有人． 【典例02】（2025·四川广元·中考真题）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： (1)抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图； (2)估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ 【答案】(1)50人；；补全条形统计图见解析 (2)80人 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体，解题的关键是从统计图中提取有效信息（如部分数量及对应百分比）计算总人数和各项目人数，再通过样本比例估计总体数量． （1）①由B类人数人）及占比求抽取学生总数即可；②先计算D类人数占比，再用360度乘以占比即可求得圆心角；③用总数减去已知类别人数求得C类人数，补全条形图即可； （2）先求得样本中C类人数占比，再用总体人数乘以该占比即可； 【详解】（1）解：∵B类有人，且占抽取学生总数的， ∴抽取的学生人数为（人）． ∵D类有人， ∴D类人数占总人数的比例为， 则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为． ∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人， ∴C类人数为（人），补条形统计图如下． 故答案为：50人；． （2）解：∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为， ∴估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）． 答：估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生有人． 方法透视 考向解读 四川中考统计解答题的核心应用考点，常和统计图表结合考查： 1.总体数量估计：根据样本中某类数据的频率，估计总体中该类数据的数量。 2.统计量估计：用样本的平均数、方差等估计总体的平均数、方差。 3.实际应用：如估计全校学生中喜欢某活动的人数、估计池塘里鱼的总数（标记重捕法）等。 方法技能 1.核心公式：总体中某类数量=总体数量×样本中该类的频率（或百分比）。 2.解题步骤： · 从样本中找到目标数据的频率/百分比； · 用总体数量×频率，得到估计值； · 注意结果需符合实际意义（如人数为整数）。 3.标记重捕法公式：估计总数 第一次标记数第二次捕获总数第二次捕获的标记数，常用于生物种群数量估计类题目。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·模拟预测）某学校要调查学生关于“新冠肺炎”防治知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取了名学生进行测试百分制，测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用表示，共分成四组：，，，）． 七年级名学生的成绩是：，，，，，，，，， 八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，． 七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述图表中，，的值； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“新冠肺炎”知识较好？请说明理由． (3)该校七、八年级共人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀的学生人数是多少？ 【答案】(1)，， (2)八年级掌握得更好，理由见解析 (3)人 【分析】本题考查统计图表，求中位数和众数，利用方差作决策，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）求出组人数所占的比例，利用1减去其它组的百分比求出的值，根据中位数和众数的确定方法，求出的值； （2）利用方差作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：八年级测试成绩在组人数所占百分比为， ，即， 八年级测试成绩在、组人数为人， 八年级测试成绩的中位数为第、个数据的平均数，即． 七年级的10个数据中出现次数最多的是，故； （2）八年级掌握得更好．因为七八年级的平均数、中位数相同，而八年级的众数比七年级高，说明八年级高分的同学更多；八年级方差比七年级小，说明八年级两极分化差距小． （3）由题意得：七年级成绩大于或等于分的有人，八年级成绩大于或等于分的有人． （人）． 答：参加此次调查活动成绩优秀的学生人数约为人． 【变式02】（2025·四川乐山·中考真题）某校开展“综合与实践”项目学习，拟开设四个项目供学生选择：．体育中的数学，．绘制公园平面地图，．改进我们的课桌椅，．高度的测量，若每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制成统计图表，如图所示， 项目 人数 频率 16 8 4 0.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查抽取的学生总人数为______人，请补全条形统计图； (2)已知该校共有800名学生，请估计选择项目的学生人数； 【答案】(1)40，补全条形统计图见解析 (2)人数为人 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率、用样本估计总体、频数(率)分布表、条形统计图，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用表格中D的人数除以频率可得本次调查抽取的学生总人数；求出选择C项目的人数，补全条形统计图即可； （2）根据用样本估计总体，用800乘以B的人数所占的百分比，即可得出答案； 【详解】（1）解：本次调查抽取的学生总人数为 (人)， ∴选择C项目的人数为 (人)， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：40； （2）解：（人）， 答：估计选择项目的学生人数为人； 【变式03】（2026·四川成都·二模）某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与且只做一件家务．九（1）班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)九（1）班学生共有 人；在扇形统计图中，“洗衣”对应的扇形圆心角度数为 ； (2)若该校共有初中学生1500人，请估计该校初中学生中参与“做饭”的人数； 【答案】(1)， (2)人 【分析】（1）用条形统计图中“刷碗”的人数除以扇形统计图中“刷碗”的百分比可得九（1）班学生人数；用乘以“洗衣”的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数； （2）先求出九（1）班参与“做饭”的人数，根据用样本估计总体，用乘以“做饭”的人数所占的百分比，即可得解； 【详解】（1）解：九（1）班学生共有（人）， 扇形统计图中，“洗衣”对应扇形的圆心角度数为； （2）解：九（1）班参与“做饭”的人数为（人）， （人）； 答：估计该校初中学生中参与“做饭”的人数约有人； 题型04 概率计算：列表法、树状图法 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为， 故答案为：． 【典例02】（2024·四川成都·中考真题）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查简单的概率计算、比例性质，根据随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，可得，进而利用比例性质求解即可． 【详解】解：∵随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是， ∴，则， 故答案为：． 方法透视 考向解读 四川中考概率部分的必考核心题型： 1.两步及以上事件概率：用列表法或树状图法计算所有等可能结果，再求符合条件的结果数，进而求概率。 2.不放回/放回问题：区分 “放回” 和 “不放回” 两种抽样方式，计算对应的概率。 3.公平性判断：通过计算双方获胜的概率，判断游戏规则是否公平。 4.结合统计情境：如从统计图表的数据中随机抽取，计算特定条件下的概率。 方法技能 1.列表法适用场景：两步试验，且每一步的结果数不多（如掷两次骰子、摸两次球）。 2.树状图法适用场景：两步及以上试验，尤其是三步及以上的试验，更清晰直观。 3.解题通用步骤： · 明确试验是 “放回” 还是 “不放回”； · 用列表或树状图列出所有等可能的结果； · 数出符合题目条件的结果数； · 概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数。 4.公平性判断：若双方获胜的概率相等，则游戏公平；否则不公平，可通过调整规则（如修改得分）使其公平。 变式演练 【变式01】（2026·四川成都·二模）如图，线段是的直径，点是上一点，连接，，以点为圆心，线段长为半径所作的弧恰好经过点．若的半径为2，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是___________． 【答案】 【分析】分别求出的面积和阴影的面积，然后利用概率公式求解． 【详解】解：∵的半径为2， ∴， ∵线段是的直径，点C是上一点， ∴，， ∵， ∴，即 ∴ ∴，， ∴ ∴这个点取在阴影部分的概率是． 【变式02】（2026·四川成都·一模）从2，3，4，5四个数中随机选取一个数，记为a，放回后再随机选取一个数，记为c．则a，c的取值使得关于x的一元二次方程有实数解的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出两次取出数的积不大于9的结果数，进而求出概率． 【详解】解：使得关于x的一元二次方程有实数解，即， 解得，也就是取出的两个数的积不大于9即可， 用列表法表示所有可能出现的结果如下： / 2 3 4 5 2 4 6 8 10 3 6 9 12 15 4 8 12 16 20 5 10 15 20 25 共有16种等可能出现的结果，其中两个数的积不大于9的有6种， ∴使得关于x的一元二次方程有实数解的概率为， 故答案为：． 【变式03】（2026·四川成都·一模）【阅读理解】 有这样一个化学知识：紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性溶液变成蓝色，遇中性溶液不变色． 请根据该知识完成下列各题． 【问题解决】 现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）． (1)从四个瓶子中随机选取一瓶，选中紫色石蕊溶液的概率是______； (2)从四个瓶子中随机选取两瓶，并分别从选取的两瓶中取适量的溶液进行混合，请利用画树状图或列表的方法，求混合后溶液变成红色的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液），列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵四个瓶子中随机选取一瓶，紫色石蕊溶液只有A， ∴紫色石蕊溶液的概率是：； （2）解：∵分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）．根据题意，列表如下： A B C D A B C D 由表可知，共有12种等可能出现的结果， ∵只有，混合时，紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红， ∴混合后变红的概率为. 题型05 频率与概率关系 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·二模）九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（    ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A．3个 B．4个 C．5个 D．10个 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键． 根据表格中信息可得到红球的概率，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：从给出的表格中可以看到，随着摸球总次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在左右， 设口袋中红球有个， 由于摸到红球的频率稳定值可近似看作摸到红球的概率，即， 解得：， 所以口袋中红球的个数最可能是个， 故选：B． 【典例02】（2025·四川自贡·中考真题）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池（填甲或乙） 【答案】甲 【分析】先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数，比较两个鱼池中的总数即可得到结论． 【详解】解：设甲鱼池鱼的总数为x条，则 鱼的概率近似，解得x＝2000； 设乙鱼池鱼的总数为y条，则 鱼的概率近似，解得y＝1000； ， 可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查了频率＝所求情况数与总情况数之比，关键是根据有记号的鱼的频率得到相应的等量关系． 方法透视 考向解读 四川中考概率的基础考点，多为选择、填空题，或作为解答题的铺垫问题： 1.频率估计概率：当试验次数很大时，频率稳定在某个常数附近，这个常数就是概率。 2.用频率估计概率计算：已知大量重复试验下的频率，估计事件发生的概率，或反求总体数量。 3.概率的稳定性：理解频率与概率的区别，频率是试验值，概率是理论值，试验次数越多，频率越接近概率。 方法技能 1.核心关系：当试验次数足够大时，频率≈概率。 2.公式应用：概率≈事件发生的频率=频数÷试验总次数。 3.反求总体数量：若已知事件发生的概率（用频率估计）和频数，可反求试验总次数/总体数量：总体数量=频数÷频率（概率）。 4.避坑要点：单次试验的频率不能等同于概率，只有大量重复试验下的稳定频率才能估计概率。 变式演练 【变式01】（2026·四川成都·一模）一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查频率的计算，用频率估算概率，掌握好相关知识是关键． 先计算出红球的频率，从而得到白球的频率，由频率的稳定性估算出概率，得到结果． 【详解】解：摸到红球的频率为， ∴摸到白球的频率为， ∴白球个数估计为． 故答案为：． 【变式02】（2026·四川成都·一模）如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（   ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 【答案】B 【分析】本题考查了用频率估计概率，折线统计图，画树状图求概率，掌握知识点的应用是解题的关键．分别求出每项的概率，然后比较即可． 【详解】解：、抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； 、掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的概率为，符合题意； 、一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的概率为，不符合题意； 、准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，画树状图如下， 一共有种等可能的结果，两张牌的牌面数字之和等于的结果有种， 所以两张牌的牌面数字之和等于的概率为，不符合题意； 故选：． 【变式03】（2025·四川成都·二模）某校课外学习小组做换球试验，一只不透明袋子中装有12个白球和若干个红球，这些球除颜色外部相同，将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 144 186 260 668 1064 1332 摸到白球的频率 0.720 0.620 0.650 0.668 0.665 0.666 (1)该学习小组发现，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是（精确到0.01） ，由此估出红球有 个； (2)学校开设劳动选修课，可以选择的劳动课程有：烹饪、手工、插花等十余门.小明和小刚两名同学都想选择烹饪课，但是名额只剩一个，他们决定在（1）中的小球中选出2个白球和1个红球放入一只不透明袋子中，由小明从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，若两次都是白球则小明去上烹饪课；否则小刚去上烹饪课.请用树状图或表格列出小明摸球所有可能出现的结果，并求出小明上烹饪课的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、近似数和有效数字、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由表格可知，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在附近摆动，可知这个常数是；设红球有个，根据概率公式列出比例方程，解方程，即可求解． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次都是白球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由表格可知，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在附近摆动， 这个常数是． 设红球有个， ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 估出红球有个． 故答案为：；． （2）解：根据题意列表如下： 白 白 红 白 （白，白） （白，白） （白，红） 白 （白，白） （白，白） （白，红） 红 （红，白） （红，白） （红，红） 共有种等可能的结果，其中两次都是白球的结果有种， ∴小明上烹饪课的概率为． 题●型●训●练 1．（2025·四川成都·二模）一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中．不断重复这个过程，共摸了50次球，发现有20次摸到红球．估计这个袋子中红球的数量为（   ）个 A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了已知概率求数量，频率估计概率，根据红球、白球共30个，共摸了50次球，发现有20次摸到红球，得出袋子的红球概率为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵红球、白球共30个，共摸了50次球，发现有20次摸到红球， ∴袋子的红球概率为， ∴（个）， 故选：A． 2．（2026·四川泸州·模拟预测）某球员在罚球线上投篮的结果如下： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 24 60 78 102 123 151 252 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为______．（结果保留小数点后一位） 【答案】0.5 【分析】大量重复试验后，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为该事件发生的概率，计算不同投篮次数对应的投中频率，观察频率的稳定值即可得到结果． 【详解】解：计算各组投中频率如下： ． ． ． ． ． ． ． 由计算结果可知，随着投篮次数不断增加，投中的频率逐渐稳定在附近，根据频率估计概率，可得这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为． 3．（2026·四川成都·一模）如图，筝形内接于，已知直径，，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为_____________． 【答案】/ 【分析】设与相交于点E，设的半径为r，先求出圆的面积，再运用等边三角形的判定和性质与勾股定理求出筝形的面积，进而求解即可． 【详解】解：设与相交于点E，如图， 设的半径为r， ∴， ∴圆的面积为： ∵筝形内接于，且， ∴，，对角线平分， ∵， ∴为等边三角形，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴点取在阴影部分的概率为． 4．（2026·四川南充·一模）为贯彻全国教育大会精神，积极鼓励学生参加体育锻炼．某班随机调查了七位同学一周体育锻炼的总时长（单位：小时），结果分别为：12，16，15，15，16，16，14，则这组数据的众数是（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】根据众数定义，统计各数据出现的次数，找到出现次数最多的数据即可得到结果． 【详解】解：这组数据中，12出现1次，14出现1次，15出现2次，16出现3次，16出现次数最多， 所以这组数据的众数为16． 5．（2026·四川巴中·一模）某班有48名学生参加数学测试，为了了解他们的数学成绩，从中随机抽取了6名考生的数学成绩进行统计分析，利用这6名考生的成绩得到一组数据：75、5、75、81、85、94，据此下列说法正确的是（   ） A．48名考生是总体，6是样本容量 B．这组数据的中位数是78 C．这组数据的众数是75 D．这组数据的方差是62 【答案】D 【详解】解：A、总体是考查对象的全体，本题考查对象为48名考生的数学成绩，样本容量是样本中个体的数目，是数值，因此本题样本容量是6，故A选项说法不正确； B、这组数据从小到大排列为，则中位数是，故B选项说法不正确； C、这组数据中和出现的次数最多，都是2次，则众数是和，故C选项说法不正确； D、这组数据的平均数为，则方差为，故D选项说法正确． 6．（2025·四川成都·一模）某同学统计了4月份某天全国8个城市的空气质量指数，并绘制了如下折线统计图，则这8个城市的空气质量指数的中位数是________． 【答案】57 【分析】本题主要考查了中位数，熟练掌握中位数的确定方法是解题的关键．先把这些数据，从小到大排列，然后再确定中位数即可． 【详解】解：把这些数从小到大排列为：29，36，40，57，57，73，77，81，最中间两个数的平均数是：， ∴这8个城市的空气质量指数的中位数是：57． 故答案为：57． 7．（24-25七年级上·全国·单元复习）社会发展情境·数字科技+传统文化  2023年2月10日，全国首个地铁数字艺术空间亮相成都地铁东大路站，首展《千里江山图》以全新面貌呈现在这场数字文化艺术展览中，观众可以走进“数字科技+传统文化”地铁空间，体验一场千年穿越之旅．小宇在校园内随机抽取若干名学生，以“千里江山图”为主题对他们进行问卷式知识检测（满分100分），并将结果进行统计，绘制成如下不完整的统计图表．（A．，B．，C．，D．） 请你根据以上信息解答下列问题： (1)随机调查的学生总人数为_____________，“A”组对应的圆心角度数为_____________； (2)补全频数直方图； (3)该校共有学生3000人，估计成绩在80分及以上的有_____________人． 【答案】(1)400， (2)见解析 (3)1950 【分析】本题考查条形统计图及扇形统计图，用样本估计总体； （1）先由“D”组人数及其所占百分比求出被调查总人数，再求出“B”组所占百分比，进而可得“A”组所占百分比，用乘以“A”组人数所占比例可求得其对应圆心角度数； （2）根据“A”组、“C”组所占百分比，分别求出“A”组、“C”人数，补全频数直方图即可； （3）用总人数乘以样本中成绩在80分及以上的人数所占比例即可得． 【详解】（1）解：根据题意得： 随机调查的学生总人数为（人）， “B”组所占百分比为， “A”组所占百分比为， ∴“A”组对应的圆心角度数为， 故答案为：400，； （2）解：“A”组人数为：（人）， “C”组人数为：（人）， 补全频数直方图如下： （3）解：由题意得：（人）， ∴估计成绩在80分及以上的有1950人， 故答案为：1950． 8．（2026·四川成都·二模）某校为了让学生更好的有节约粮食的意识，在某天午餐后，随机调查了部分学生这餐饭菜的剩余情况，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．请根据图中提供的信息解答下列问题： 类别 A B C D 剩余量 剩一半 剩少量 剩大量 没有剩 人数 25 15 40 (1)本次共调查了多少名学生？并求出和的值； (2)在扇形统计图中表示“剩一半”的扇形圆心角是多少度？ (3)某班级抽查小组饭菜的剩余情况，某小组共4人这餐饭菜的剩余情况恰好有2人“没有剩”，剩下2人分别是“剩一半”和“剩少量”，若从该小组中抽取2人进行调查，用树状图或列表法求恰好抽到的2人都是“没有剩”的同学的概率． 【答案】(1)本次共调查了名学生，， (2) (3) 【分析】（1）由D类别人数及其所占百分比可得总人数；根据各类别人数之和等于总人数可得m的值，再根据百分比的概念可得n； （2）用乘以“剩一半”所占百分比即可得到结论； （3）利用树状图得出所有可能出现的结果和恰好抽到的2人都是“没有剩”的情况数，然后利用概率公式即可解决问题． 【详解】（1）解：本次共调查了（人）， ， ，即； （2）解：在扇形统计图中表示“剩一半”的扇形圆心角的度数是； （3）解：用甲、乙表示这四人这餐饭菜中“没有剩”，丙和丁分别表示“剩一半”和“剩少量”， 画树状图如下： 则共有12种情况，2人都是“没有剩”的同学的情况数为2种， 则恰好抽到的2人都是“没有剩”的同学的概率为． 9．（2025·四川绵阳·一模）某校九年级（5）班50名学生参加1分钟跳绳比赛．1分钟跳绳次数与频数经统计后绘制成下面的频数分布表（表示为大于等于60并且小于70）和扇形图． 等级 分数段 1分钟跳绳次数段 频数 A 120 254～300 0 110～120 224～254 3 B 100～110 194～224 9 90～100 164～194 m C 80～90 148～164 12 70～80 132～148 n D 60～70 116～132 2 0～60 0～116 0 (1)求m，n的值； (2)求该班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题难度中等，考查统计图表的识别，以及扇形统计图，解本题要懂得频率分布表的意义，读图时要全面细致，同时解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题． （1）由扇形图可得B级人数，可求出m的值，再根据频数分布表可求出n的值，即可； （2）用80分以上（含80分）的人数除以全班人数，即可求解． 【详解】（1）解：由扇形图可得B级人数应是， ∴， ∴． 由频数分布表可知， ∴． （2）解：由表可得80分以上（含80分）的人数为， ∴该班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比为． 10．（2025·四川德阳·中考真题）2025年1月24日至2月16日，以“三星璀璨灵蛇献瑞”为主题的第十六届德阳灯会在玄珠湖公园盛大举行，设置“三星梦境”“德阳光华”等五大主题板块．灯会结束后，主办方随机抽取多名游客进行满意度调查（每人只能选择一项），用A、B、C、D、E分别代表一大主题板块，整理得到以下不完整统计表： 主题板块 频数（满意人数） 频率（所占比例） A 180 0.36 B a 0.20 C 75 D b c E (1)直接写出a、b、c的值； (2)根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是什么？若本届灯会实际接待游客达200000人，请估计最满意此板块的人数； (3)若灯会工作人员中有4名青年志愿者，其中有2名男性、2名女性，现随机抽取2名青年志愿者进行视频采访，请利用画树状图或者列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【答案】(1)，， (2)游客最满意的主题板块是A板块；当本届灯会实际接待游客达200000人时，估计最满意此板块的人数是72000人 (3) 【分析】本题考查了列表法和树状图法求概率，统计表的综合运用，以及用样本估计总体． （1）利用A板块的频数和频率求得样本容量，再求出a、b、c的值； （2）利用样本估计总体求解即可； （3）利用树状图表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 【详解】（1）解：人， ∴， ， ； （2）解：根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是A板块． （人） 答：当本届灯会实际接待游客达200000人时，估计最满意此板块的人数是72000人． （3）解：画树状图如图： 共有种等可能结果，其中“1名男生和1名女生”的结果有种， P（一男一女）． 答：恰好是1名男生和1名女生的概率是． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 统计与概率 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 统计图表：条形、扇形、折线、直方图 题型02 统计量：平均数、中位数、众数、方差、极差、标准差 题型03 用样本估计总体 题型04 概率计算：列表法、树状图法 题型05 频率与概率关系 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 统计图表：条形、扇形、折线、直方图 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表： 人数 元宇宙 16 脑机接口 a 人形机器人 14 根据图表信息，表中a的值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．15 【典例02】（2024·四川成都·中考真题）2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表． 游园线路 人数 国风古韵观赏线 44 世界公园打卡线 亲子互动慢游线 48 园艺小清新线 根据图表信息，解答下列问题： (1)本次调查的员工共有______人，表中的值为______： (2)在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数； (3)若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数． 方法透视 考向解读 这是四川中考必考的基础送分题，常结合两种图表综合考查： 1.图表信息读取：从条形图、扇形图、折线图或直方图中读取数据，计算频数、频率、百分比、圆心角等。 2.图表补全绘制：根据已知数据，补全条形统计图或扇形统计图的缺失部分。 3.综合分析：结合两种图表（如条形+扇形），解决 “求样本容量”“计算某组数据占比”“估计总体数量” 等问题，是近年四川真题的主流考法。 4.趋势分析：折线图常用来分析数据变化趋势，直方图则侧重展示数据分布情况。 方法技能 1.核心公式速记： · 样本容量=频数÷频率； · 扇形圆心角=该组百分比× 360°； · 频率=频数 ÷总数，各频率之和为1。 2.图表互补技巧： · 条形图给频数，扇形图给百分比，可互相推导样本容量； · 直方图的组距、频数需注意，频率分布直方图中，矩形面积=频率，所有矩形面积和为1。 3.解题步骤：先通过已知数据算出样本容量，再用样本容量补全其他数据，最后按要求补全图表或作答。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·三模）为切实做好校内“午餐托管”工作，某学校食堂为参加“午餐托管”的学生提供了四种价格的午餐供其选择四种价格分别是：：元；：元；：元；：元．为了解学生对四种午餐的购买情况，学校随机抽样调查了一部分学生某天四种午餐的购买情况，依统计数据绘制成了如下两幅尚不完整的统计图．根据图中信息解决下列问题： (1)求被抽查的学生人数，并补全条形统计图； (2)被抽查学生购买午餐费用的众数为______元，中位数为______元； (3)若该校参加“午餐托管”的学生有人，请估计购买元午餐的学生有多少人？ 【变式02】（2025·四川雅安·中考真题）某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为______． 【变式03】（2025·四川眉山·中考真题）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题： (1)这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度； (2)补全条形统计图； 题型02 统计量：平均数、中位数、众数、方差、极差、标准差 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 n 88 (1)七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是________； (2)求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好； (3)如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 【典例02】（2024·四川成都·中考真题）为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（    ） A．53 B．55 C．58 D．64 方法透视 考向解读 四川中考高频考点，多为选择、填空题，也常和统计图表结合出现在解答题中： 1.基础计算：直接求一组数据的平均数、中位数、众数、方差、极差。 2.统计量的意义：结合实际情境，分析统计量的含义（如方差反映数据稳定性，中位数代表中等水平）。 3.含参问题：已知一组数据的平均数、众数或中位数，反求参数的值。 4.数据变化影响：数据整体加减、乘除常数时，统计量的变化规律（如方差仅受乘除常数影响）。 方法技能 1.平均数：易受极端值影响，加权平均数需注意权重。 2.中位数：求中位数前必须先将数据排序，和数据个数的奇偶有关。 3.众数：一组数据中出现次数最多的数，可能有多个，也可能没有。 4.方差：方差越小，数据越稳定；计算时不要漏除以数据个数。 5.极差：反映数据波动范围，计算简单，但易受极端值影响。 6.标准差：单位与原数据一致，和方差一样反映数据稳定性。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·三模）有一组数据为3，2，4，4，2，则下列说法中错误的是（   ） A．中位数为4 B．众数为2和4 C．平均数为3 D．方差为0.8 【变式02】（2025·四川成都·三模）数据，，，，的方差计算公式为，则这组数据，，，⋯，的和是______． 【变式03】（2025·四川成都·模拟预测）中国空间站已全面建成并转入应用与发展阶段，中国载人月球探测工程登月阶段任务已启动实施．为加强学生对我国航天知识的了解，某学校开展了航天知识竞赛，其中8名学生的竞赛成绩为：87，86，89，87，88，90，95，97，则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．87，88．5 B．88．5，87 C．87，88 D．88，88 题型03 用样本估计总体 典例引领 【典例01】（2025·四川巴中·中考真题）为提高学生的科创意识，某校准备开设C语言编程、无人机飞行训练、科创小论文、科幻画创作4门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加．为筹备此项活动课程，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图． 意愿参加课程人数统计表 课程 C语言编程 无人机飞行训练 科创小论文 科幻画创作 人数 10 8 15 (1)抽取的学生共有______人，其中意愿参加无人机飞行训练的有______人； (2)若该校有800人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？ 【典例02】（2025·四川广元·中考真题）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： (1)抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图； (2)估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ 方法透视 考向解读 四川中考统计解答题的核心应用考点，常和统计图表结合考查： 1.总体数量估计：根据样本中某类数据的频率，估计总体中该类数据的数量。 2.统计量估计：用样本的平均数、方差等估计总体的平均数、方差。 3.实际应用：如估计全校学生中喜欢某活动的人数、估计池塘里鱼的总数（标记重捕法）等。 方法技能 1.核心公式：总体中某类数量=总体数量×样本中该类的频率（或百分比）。 2.解题步骤： · 从样本中找到目标数据的频率/百分比； · 用总体数量×频率，得到估计值； · 注意结果需符合实际意义（如人数为整数）。 3.标记重捕法公式：估计总数 第一次标记数第二次捕获总数第二次捕获的标记数，常用于生物种群数量估计类题目。 变式演练 【变式01】（2025·四川成都·模拟预测）某学校要调查学生关于“新冠肺炎”防治知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取了名学生进行测试百分制，测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用表示，共分成四组：，，，）． 七年级名学生的成绩是：，，，，，，，，， 八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，． 七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述图表中，，的值； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“新冠肺炎”知识较好？请说明理由． (3)该校七、八年级共人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀的学生人数是多少？ 【变式02】（2025·四川乐山·中考真题）某校开展“综合与实践”项目学习，拟开设四个项目供学生选择：．体育中的数学，．绘制公园平面地图，．改进我们的课桌椅，．高度的测量，若每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制成统计图表，如图所示， 项目 人数 频率 16 8 4 0.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查抽取的学生总人数为______人，请补全条形统计图； (2)已知该校共有800名学生，请估计选择项目的学生人数； 【变式03】（2026·四川成都·二模）某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与且只做一件家务．九（1）班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)九（1）班学生共有 人；在扇形统计图中，“洗衣”对应的扇形圆心角度数为 ； (2)若该校共有初中学生1500人，请估计该校初中学生中参与“做饭”的人数； 题型04 概率计算：列表法、树状图法 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 【典例02】（2024·四川成都·中考真题）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为______． 方法透视 考向解读 四川中考概率部分的必考核心题型： 1.两步及以上事件概率：用列表法或树状图法计算所有等可能结果，再求符合条件的结果数，进而求概率。 2.不放回/放回问题：区分 “放回” 和 “不放回” 两种抽样方式，计算对应的概率。 3.公平性判断：通过计算双方获胜的概率，判断游戏规则是否公平。 4.结合统计情境：如从统计图表的数据中随机抽取，计算特定条件下的概率。 方法技能 1.列表法适用场景：两步试验，且每一步的结果数不多（如掷两次骰子、摸两次球）。 2.树状图法适用场景：两步及以上试验，尤其是三步及以上的试验，更清晰直观。 3.解题通用步骤： · 明确试验是 “放回” 还是 “不放回”； · 用列表或树状图列出所有等可能的结果； · 数出符合题目条件的结果数； · 概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数。 4.公平性判断：若双方获胜的概率相等，则游戏公平；否则不公平，可通过调整规则（如修改得分）使其公平。 变式演练 【变式01】（2026·四川成都·二模）如图，线段是的直径，点是上一点，连接，，以点为圆心，线段长为半径所作的弧恰好经过点．若的半径为2，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是___________． 【变式02】（2026·四川成都·一模）从2，3，4，5四个数中随机选取一个数，记为a，放回后再随机选取一个数，记为c．则a，c的取值使得关于x的一元二次方程有实数解的概率为______． 【变式03】（2026·四川成都·一模）【阅读理解】 有这样一个化学知识：紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性溶液变成蓝色，遇中性溶液不变色． 请根据该知识完成下列各题． 【问题解决】 现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）． (1)从四个瓶子中随机选取一瓶，选中紫色石蕊溶液的概率是______； (2)从四个瓶子中随机选取两瓶，并分别从选取的两瓶中取适量的溶液进行混合，请利用画树状图或列表的方法，求混合后溶液变成红色的概率． 题型05 频率与概率关系 典例引领 【典例01】（2025·四川成都·二模）九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（    ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A．3个 B．4个 C．5个 D．10个 【典例02】（2025·四川自贡·中考真题）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池（填甲或乙） 方法透视 考向解读 四川中考概率的基础考点，多为选择、填空题，或作为解答题的铺垫问题： 1.频率估计概率：当试验次数很大时，频率稳定在某个常数附近，这个常数就是概率。 2.用频率估计概率计算：已知大量重复试验下的频率，估计事件发生的概率，或反求总体数量。 3.概率的稳定性：理解频率与概率的区别，频率是试验值，概率是理论值，试验次数越多，频率越接近概率。 方法技能 1.核心关系：当试验次数足够大时，频率≈概率。 2.公式应用：概率≈事件发生的频率=频数÷试验总次数。 3.反求总体数量：若已知事件发生的概率（用频率估计）和频数，可反求试验总次数/总体数量：总体数量=频数÷频率（概率）。 4.避坑要点：单次试验的频率不能等同于概率，只有大量重复试验下的稳定频率才能估计概率。 变式演练 【变式01】（2026·四川成都·一模）一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 【变式02】（2026·四川成都·一模）如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（   ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 【变式03】（2025·四川成都·二模）某校课外学习小组做换球试验，一只不透明袋子中装有12个白球和若干个红球，这些球除颜色外部相同，将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 144 186 260 668 1064 1332 摸到白球的频率 0.720 0.620 0.650 0.668 0.665 0.666 (1)该学习小组发现，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是（精确到0.01） ，由此估出红球有 个； (2)学校开设劳动选修课，可以选择的劳动课程有：烹饪、手工、插花等十余门.小明和小刚两名同学都想选择烹饪课，但是名额只剩一个，他们决定在（1）中的小球中选出2个白球和1个红球放入一只不透明袋子中，由小明从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，若两次都是白球则小明去上烹饪课；否则小刚去上烹饪课.请用树状图或表格列出小明摸球所有可能出现的结果，并求出小明上烹饪课的概率. 题●型●训●练 1．（2025·四川成都·二模）一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中．不断重复这个过程，共摸了50次球，发现有20次摸到红球．估计这个袋子中红球的数量为（   ）个 A．12 B．16 C．18 D．20 2．（2026·四川泸州·模拟预测）某球员在罚球线上投篮的结果如下： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 24 60 78 102 123 151 252 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为______．（结果保留小数点后一位） 3．（2026·四川成都·一模）如图，筝形内接于，已知直径，，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为_____________． 4．（2026·四川南充·一模）为贯彻全国教育大会精神，积极鼓励学生参加体育锻炼．某班随机调查了七位同学一周体育锻炼的总时长（单位：小时），结果分别为：12，16，15，15，16，16，14，则这组数据的众数是（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 5．（2026·四川巴中·一模）某班有48名学生参加数学测试，为了了解他们的数学成绩，从中随机抽取了6名考生的数学成绩进行统计分析，利用这6名考生的成绩得到一组数据：75、5、75、81、85、94，据此下列说法正确的是（   ） A．48名考生是总体，6是样本容量 B．这组数据的中位数是78 C．这组数据的众数是75 D．这组数据的方差是62 6．（2025·四川成都·一模）某同学统计了4月份某天全国8个城市的空气质量指数，并绘制了如下折线统计图，则这8个城市的空气质量指数的中位数是________． 7．（24-25七年级上·全国·单元复习）社会发展情境·数字科技+传统文化  2023年2月10日，全国首个地铁数字艺术空间亮相成都地铁东大路站，首展《千里江山图》以全新面貌呈现在这场数字文化艺术展览中，观众可以走进“数字科技+传统文化”地铁空间，体验一场千年穿越之旅．小宇在校园内随机抽取若干名学生，以“千里江山图”为主题对他们进行问卷式知识检测（满分100分），并将结果进行统计，绘制成如下不完整的统计图表．（A．，B．，C．，D．） 请你根据以上信息解答下列问题： (1)随机调查的学生总人数为_____________，“A”组对应的圆心角度数为_____________； (2)补全频数直方图； (3)该校共有学生3000人，估计成绩在80分及以上的有_____________人． 8．（2026·四川成都·二模）某校为了让学生更好的有节约粮食的意识，在某天午餐后，随机调查了部分学生这餐饭菜的剩余情况，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．请根据图中提供的信息解答下列问题： 类别 A B C D 剩余量 剩一半 剩少量 剩大量 没有剩 人数 25 15 40 (1)本次共调查了多少名学生？并求出和的值； (2)在扇形统计图中表示“剩一半”的扇形圆心角是多少度？ (3)某班级抽查小组饭菜的剩余情况，某小组共4人这餐饭菜的剩余情况恰好有2人“没有剩”，剩下2人分别是“剩一半”和“剩少量”，若从该小组中抽取2人进行调查，用树状图或列表法求恰好抽到的2人都是“没有剩”的同学的概率． 9．（2025·四川绵阳·一模）某校九年级（5）班50名学生参加1分钟跳绳比赛．1分钟跳绳次数与频数经统计后绘制成下面的频数分布表（表示为大于等于60并且小于70）和扇形图． 等级 分数段 1分钟跳绳次数段 频数 A 120 254～300 0 110～120 224～254 3 B 100～110 194～224 9 90～100 164～194 m C 80～90 148～164 12 70～80 132～148 n D 60～70 116～132 2 0～60 0～116 0 (1)求m，n的值； (2)求该班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比． 10．（2025·四川德阳·中考真题）2025年1月24日至2月16日，以“三星璀璨灵蛇献瑞”为主题的第十六届德阳灯会在玄珠湖公园盛大举行，设置“三星梦境”“德阳光华”等五大主题板块．灯会结束后，主办方随机抽取多名游客进行满意度调查（每人只能选择一项），用A、B、C、D、E分别代表一大主题板块，整理得到以下不完整统计表： 主题板块 频数（满意人数） 频率（所占比例） A 180 0.36 B a 0.20 C 75 D b c E (1)直接写出a、b、c的值； (2)根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是什么？若本届灯会实际接待游客达200000人，请估计最满意此板块的人数； (3)若灯会工作人员中有4名青年志愿者，其中有2名男性、2名女性，现随机抽取2名青年志愿者进行视频采访，请利用画树状图或者列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $