数列的递推关系课件-2026届高三数学二轮复习

第2讲　数列的递推关系 专题二　数　列 1.(2020·全国Ⅰ卷，文T16)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1，前16项和为540，则a1=　　　.  探究真题 明确方向 7 方法一　因为an+2+(-1)nan=3n-1， 所以当n为偶数时，an+2+an=3n-1， 所以a4+a2=5，a8+a6=17，a12+a10=29， a16+a14=41， 所以a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=92. 因为数列{an}的前16项和为540， 所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=540-92=448. ① 因为当n为奇数时，an+2-an=3n-1， 所以a3-a1=2，a7-a5=14，a11-a9=26，a15-a13=38， 解析 所以(a3+a7+a11+a15)-(a1+a5+a9+a13)=80. ② 由①②得a1+a5+a9+a13=184. 又a3=a1+2，a5=a3+8=a1+10， a7=a5+14=a1+24，a9=a7+20=a1+44， a11=a9+26=a1+70，a13=a11+32=a1+102， 所以a1+a1+10+a1+44+a1+102=184， 所以a1=7. 解析 方法二　同方法一得a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448. 当n为奇数时，有an+2-an=3n-1， 由累加法得an+2-a1=3(1+3+5+…+n)- =(1+n)·- =n2+n+ 所以an+2=n2+n++a1. 解析 所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15 =a1++++ +++ =8a1+392=448， 解得a1=7. 解析 2.(2017·全国Ⅲ卷，文T17)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. (1)求{an}的通项公式； 因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n， 故当n≥2时，a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1)， 两式相减，得(2n-1)an=2， 所以an=(n≥2). 又由题设可得a1=2，满足上式， 所以{an}的通项公式为an=. 解 (2)求数列的前n项和. 记的前n项和为Sn. 由(1)知==- 则Sn=-+-+…+-=. 解 3.(2021·新高考全国Ⅰ卷，T17)已知数列{an}满足a1=1， an+1= (1)记bn=a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； 因为bn=a2n，且a1=1，an+1= 所以b1=a2=a1+1=2， b2=a4=a3+1=a2+2+1=5. 因为bn=a2n，所以bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3， 所以bn+1-bn=a2n+3-a2n=3， 所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列， bn=2+3(n-1)=3n-1，n∈N*. 解 (2)求{an}的前20项和. 因为an+1= 所以当k∈N*时，a2k=a2k-1+1=a2k-1+1，即a2k=a2k-1+1， ① a2k+1=a2k+2， ② a2k+2=a2k+1+1=a2k+1+1，即a2k+2=a2k+1+1， ③ 所以①+②得a2k+1=a2k-1+3，即a2k+1-a2k-1=3， 所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； ②+③得a2k+2=a2k+3，即a2k+2-a2k=3， 解 又a2=2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列. 所以数列{an}的前20项和S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+a6+…+a20) =10+×3+20+×3=300. 解 命题热度： 本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，主要以解答题的形式出现，选择题、填空题也经常出现.分值约为5~13分. 考查方向： 考查重点一是通过构造辅助数列求数列的通项、求和等，二是利用an与Sn的关系求数列的通项、求和等等. 考点二　利用an与Sn的关系 考点一　构造辅助数列 内容索引 专题突破练 考点一　构造辅助数列 1.形如an+1-an=f(n)的数列，利用累加法求an. 2.形如=f(n)的数列，利用累积法求an. 3.形如an+1=(p，q≠0)的数列，取倒数构造等差数列求通项. 4.若数列{an}满足an+1=pan+q(p≠0，1；q≠0)，构造an+1+λ=p(an+λ). 5.若数列{an}满足an+1=pan+f(n)(p≠0，1)，构造an+1+g(n+1)=p[an+g(n)]. 　(1)(多选)已知数列{an}，下列结论正确的是 A.若a1=2，an+1=an+n+1，则a20=211 B.若a1=1，an+1=2an+3，则an=2n-1-3 C.若a1=1，an+1=则an= D.若a1=2，2(n+1)an-nan+1=0，则an=n·2n √ 例1 √ √ A项，an+1-an=n+1， ∴a20=(a20-a19)+(a19-a18)+…+(a2-a1)+a1=20+19+18+…+2+2=211，故A正确； B项，方法一　∵an+1=2an+3， ∴an+1+3=2(an+3)， ∴数列{an+3}是以a1+3=4为首项，2为公比的等比数列， ∴an+3=4·2n-1=2n+1， 故an=2n+1-3，故B错误； 方法二　若an=2n-1-3， 则a1=21-1-3=-2≠1，故B错误； 解析 C项，∵an+1=a1=1，则an≠0， ∴==+3，∴-=3， ∴数列是以=1为首项，3为公差的等差数列， ∴=1+(n-1)×3=3n-2，∴an=故C正确； D项，∵2(n+1)an-nan+1=0，∴= ∴数列是以=2为首项，2为公比的等比数列， ∴=2·2n-1=2n，∴an=n·2n，故D正确. 解析 (2)已知数列{an}满足an+1=2an-n+1，a1=3，则an=　　　　　.  2n+n ∵an+1=2an-n+1， ∴an+1-(n+1)=2(an-n)， 又a1=3，则an≠n， ∴=2， ∴数列{an-n}是以a1-1=2为首项， 2为公比的等比数列， ∴an-n=2·2n-1=2n，∴an=2n+n. 解析 构造辅助数列求通项时，一定要注意n的范围，以及验证首项.特别是构造新数列时，当不包含首项时，更要验证首项是否满足，若首项不满足，则新数列不是从第一项开始的等差或等比数列. 易错提醒 跟踪演练1　(1)(2025·厦门模拟)已知数列{an}满足a1=1，2an+1=n(an-an+1)，则a100=　　　　.  由2an+1=n(an-an+1)可得= 当n≥2时，an=···…···a1 =···…···1= 显然，上式对于n=1时也成立， 所以an=则a100==. 解析 (2)(2025·盘锦模拟)已知数列{an}满足a1=an=an-1+则an=______ ________.  由题意得，4nan=4n-1an-1+1， 故数列{4nan}是首项为2，公差为1的等差数列， 即4nan=n+1，故an=(n∈N*). 解析 返回 (n∈N*) 考点二　利用an与Sn的关系 an与Sn的关系为an= 解题时，往往需要依据条件、所求，将an与Sn进行相互转化. 　(2025·济南模拟)记正项数列{an}的前n项和为Sn，已知an(2Sn-an)=2. (1)证明：{}是等差数列； 例2 在正项数列{an}中，an(2Sn-an)=2， 令n=1，得=2，解得a1=(负值舍去)； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1， 而an(2Sn-an)=2，则(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=2， 即-=2，又=2， 所以{}是首项为2，公差为2的等差数列. 证明 (2)求数列{an}的通项公式. 由(1)知=2+2(n-1)=2n，所以Sn= 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=- 当n=1时，a1=也符合上式， 综上，an=-. 解 在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f(an)为等差(等比)数列，就消去Sn，如果要证明f(Sn)为等差(等比)数列，就消去an.但有些题目要求求{an}的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求出an(n≥2). 规律方法 跟踪演练2　(1)(2025·北京模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=0，an+1+2Sn=n，则a5等于 A.-1 B.0 C.1 D.2 √ 由题意，2Sn=-an+1+n，则当n≥2时，有2Sn-1=-an+n-1， 两式相减可得2(Sn-Sn-1)=an-an+1+1， 即an+an+1=1.因为a1=0，所以a2=1， 所以a3=1-a2=0，a4=1-a3=1，a5=1-a4=0. 解析 (2)(2025·常德模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且an+1=a1+a2+…+an(n∈N*)，则 A.a2=2 B.a4=8 C.S2=3 D.S5=16 √ 由an+1=a1+a2+…+an=Sn， 当n=1时，a2=S1=1， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=an+1-an， 即an+1=2an， 所以数列{an}从第二项开始是以a2=1为首项，2为公比的等比数列， 所以an= 当n≥2时，Sn=1+=2n-1，又S1=1符合上式，所以Sn=2n-1， 所以a2=1，a4=4，S2=2，S5=16. 解析 返回 专题突破练 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D C D ABD AB 题号 7 8 答案 3 4 049 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. (1)a1+2a2+3a3+…+nan=3n-1， ① 则当n=1时，a1=31-1=2， 当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+an-1=3n-1-1， ② 由①-②得nan=3n-3n-1=2·3n-1， 所以an=且当n=1时，a1=2也满足上式， 则当n=2时，a2==3， 故a1=2，a2=3，an=n∈N*. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. (2)由(1)知，an=易知an>0， 则an+1-an=-=>0， 即an+1>an对一切n∈N*恒成立， 所以数列{an}为递增数列. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. (1)由Sn+an=n+3， ① 当n=1时，a1+a1=1+3，即a1=2； 当n≥2时，Sn-1+an-1=n+2， ② 由①-②得，2an-an-1=1， 则2(an-1)=an-1-1，又a1-1=1， 则= 所以数列{an-1}是首项为1，公比为的等比数列. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. (2)由(1)得，an-1=即an=+1，则==1+2n-1， 则Tn=1+20+1+21+…+1+2n-1=n+=2n+n-1， 因为函数y=2x和y=x-1在[1，+∞)上单调递增， 所以数列{2n+n-1}为递增数列， 又T10=210+10-1=1 033<2 025， T11=211+11-1=2 058>2 025， 所以满足Tn>2 025的最小正整数n的值为11. 一、单项选择题 1.已知数列{an}的首项a1=1，且an+1-an=n+1，则a40等于 A.810 B.820 C.830 D.840 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 因为a1=1，an+1-an=n+1， 所以a40=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a40-a39)=1+2+3+…+40==820. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 2.(2025·潍坊模拟)已知数列{an}满足an+1=若a1=1， 则a5等于 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 因为数列{an}满足an+1=且a1=1， 所以a2=3a1+1=3+1=4，a3===2， a4===1，a5=3a4+1=3+1=4. 解析 3.在数列{an}中，若a1=2，an+1=2an+3·2n+1，则等于 A.3n-1 B.2n-1 C.3n-2 D.2n-1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 因为an+1=2an+3·2n+1，等式两边同除以2n+1可得=+3， 即-=3，又=1， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列， 即=1+(n-1)·3=3n-2. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 4.(2025·临沂模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+nan=1，当Sn>0.99时，n的最小值为 A.49 B.50 C.99 D.100 √ 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 因为Sn+nan=1，所以a1= 当n≥2时，Sn+nan=Sn-1+(n-1)an-1=1， 所以(n+1)an=(n-1)an-1， 即= 此时an=×××…×××a1 =×××…×××× = 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 当n=1时也满足上式， 故an=Sn=1-nan=1- 由Sn=1->0.99，解得n>99，故此时n的最小值为100. 解析 二、多项选择题 5.(2025·南京模拟)已知数列{an}中，a3=an-an+1=-3anan+1，n∈N*，其 前n项和为Sn，则 A.a1= B.an= C.an≥a7 D.S10<0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 由an-an+1=-3anan+1，得-=-3， 所以数列是以-3为公差的等差数列， 而=+2×(-3)，a3=所以=14，得a1=故A正确； 所以=+(-3)(n-1)=17-3n，得an=故B正确； 令an>0，解得n< 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 则a1，a2，a3，a4，a5为正，且依次递增； a6，a7，…，an为负，且依次递增， 所以an≥a6，故C错误； S10=a1+a2+…+a10=++++-1---- <++++-----=0，故D正确. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 6.(2025·贵阳模拟)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=2Sn+n-1，则下列结论正确的是 A.数列{Sn+n}为等比数列 B.数列{an}的前n项和Sn=2n-n C.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1 D.数列{an+1}为等比数列 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ∵Sn+1=2Sn+n-1， ∴Sn+1+(n+1)=2(Sn+n)， 又S1+1=2≠0， ∴数列{Sn+n}是首项和公比都为2的等比数列， 故Sn+n=2n，即Sn=2n-n，故A，B正确； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1-1， 当n=1时，a1=1， ∴an=故C错误； 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ∵an+1= ∴≠ ∴数列{an+1}不是等比数列，故D错误. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 三、填空题 7.(2025·长沙模拟)在数列{an}中，a1=3，且an+1=则a2 025=　　　　.  3 因为a1=3，且an+1= 则a1=3，a2=-2，a3=-a4=a5=3，…， 所以an+4=an，即数列{an}是以4为周期的数列， 所以a2 025=a4×506+1=a1=3. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 8.(2025·菏泽模拟)对于任意x∈R，xf(x+1)=(x+1)f(x)+1，且f(2)=3， 则f(2 025)=　　　　　.  4 049 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 由xf(x+1)=(x+1)f(x)+1， 当x∈N*时，可得=+=+- 赋值可得 上式累加可得=+- 将f(2)=3代入可得=+-=所以f=4 049. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 四、解答题 9.(2025·梅州模拟)已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=3n-1. (1)求a1，a2和an； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 a1+2a2+3a3+…+nan=3n-1， ① 则当n=1时，a1=31-1=2， 当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+an-1=3n-1-1， ② 由①-②得nan=3n-3n-1=2·3n-1，所以an= 且当n=1时，a1=2也满足上式， 则当n=2时，a2==3， 故a1=2，a2=3，an=n∈N*. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 (2)证明：数列{an}为递增数列. 由(1)知，an=易知an>0， 则an+1-an=-=>0， 即an+1>an对一切n∈N*恒成立， 所以数列{an}为递增数列. 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 10.(2025·厦门模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+an=n+3. (1)证明：数列{an-1}是等比数列； 由Sn+an=n+3， ① 当n=1时，a1+a1=1+3，即a1=2； 当n≥2时，Sn-1+an-1=n+2， ② 由①-②得，2an-an-1=1， 则2(an-1)=an-1-1，又a1-1=1，则= 所以数列{an-1}是首项为1，公比为的等比数列. 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 (2)记数列的前n项和为Tn，求满足Tn>2 025的最小正整数n的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 由(1)得，an-1=即an=+1，则==1+2n-1， 则Tn=1+20+1+21+…+1+2n-1=n+=2n+n-1， 因为函数y=2x和y=x-1在[1，+∞)上单调递增， 所以数列{2n+n-1}为递增数列， 又T10=210+10-1=1 033<2 025， T11=211+11-1=2 058>2 025， 所以满足Tn>2 025的最小正整数n的值为11. 解 返回 $