精品解析：江苏宿迁市沭阳如东中学2025-2026学年高一下学期4月练习数学试题

高一年级数学练习 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用复数除法运算法则化简复数，再求复数的模. 【详解】. . 故选：B 2. 设为实数，若向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线定理结合已知条件即可求解. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 又，，所以， 解得，所以的值为. 故选：B． 3. 在中，若，，，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理结合角的范围求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得，所以， 又因为且，，所以. 故选：B. 4. 已知，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设与的夹角为，由在上的投影向量为即可求得的值，结合向量夹角的范围即可求解. 【详解】设与的夹角为， 则在上的投影向量为，即， 所以，所以， 因为，所以， 故选：D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 因为，所以． 6. 在平行四边形中，对角线与交于点，为中点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得到比例关系，结合平面向量基本定理得到，得到答案. 【详解】因为平行四边形中，为中点， 所以∽，， 又，设，则， 解得， 则， 故. 故选：C 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，分别求出，，从而求出的值；当时对原式两边同时除以得到，的关系式，利用的公式求出结果. 【详解】当时，，即，； 原式变为，即，所以，. 此时. 当时，对两边同时除以，得 ，即， 所以.综上所述，. 故选：A. 8. 已知圆的半径为2，是圆上两点且，是一条直径，点在圆内且满足，则的最小值为 A. －2 B. －1 C. －3 D. －4 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由图可知： ， ，又因为是圆的一条直径，故是相反向量，且， ，因为点在圆内且满足，三点共线，当为的中点时，取得最小值，故的最小值为. 考点：向量的运算. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若复数，则 B. 若i为虚数单位，n为正整数，则 C. 若，则 D. 若，其中a，b为实数，a=1，b=-1 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数的性质判断选项A；通过计算判断选项BD；举反例判断选项C即得解. 【详解】对A， 若复数，则，所以该选项正确； 对B，若i为虚数单位，n为正整数，则，所以该选项错误； 对C，若，则不一定成立，如，所以该选项错误； 对D，若，其中a，b为实数，则 .所以该选项正确. 故选：AD 10. 在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则一定是等腰直角三角形 D. 若，，则一定是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题通过正弦定理、余弦定理及三角恒等变换分析：A由大角对大边结合正弦定理，可推出；B利用余弦函数性质，结合三角形内角范围，由得，判定为等腰三角形；C 由正弦定理与二倍角公式得，推出或，故为等腰或直角三角形，非一定等腰直角；D 由余弦定理结合，，，推得，结合角判定为等边三角形． 【详解】对于A，在中，根据大角对大边，由，得， 由正弦定理，得，所以，A正确； 对于B，由，得或（即，显然不构成三角形，舍去）， 所以，为等腰三角形，B正确； 对于C，由，得，所以， 所以，，， 又，所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不一定是等腰直角三角形，C错误； 对于D，，， 由，得， 化简得，解得， 又，所以是等边三角形，D正确． 11. 已知是单位圆上的三点，满足，，且（为非零常数），则下列正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用条件，得，再对选项A、B逐一取值判断，即可得出选项A、B的正误；对于选项C、D，利用两向量相等的坐标表示，得到和，再适当的构角变形化简即可判断选项C、D的正误. 【详解】因为是单位圆上的三点， 所以，，， 由，可得， 即， 选项A，当时，，所以， 又，，可得，选项A正确； 选项B，当时，，则， 由，，可得，选项B正确； 选项D，由， 可得 ， ， 由，，可得，则， 则，，则，选项D正确； 选项C，，C显然错误； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】以为整体，结合诱导公式和倍角公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 14. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】综合运用正、余弦定理求解即可． 【详解】由得， 而，由余弦定理可得， 即，整理可得， 所以，于是， 由正弦定理可得，所以， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，. （1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围； （2）若复数为纯虚数，求的虚部. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据复数的运算公式和复数的几何意义确定数在复平面内对应的点的坐标，由条件列不等式求的取值范围；(2)根据纯虚数的定义列方程求，由此可求的虚部. 【小问1详解】 ， 在复平面内对应的点在第二象限，则 . 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 . 为纯虚数，则且， 所以， 此时，所以的虚部为. 16. 已知. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知余弦求出正弦，已知正弦求出余弦，再利用以及展开计算即可； （2）将以及展开解方程求出，相除即可得. 【小问1详解】 因为， 由得， 因为，所以，所以， 因为， 由得， 因为，所以，所以， ， ； 【小问2详解】 由（1）知，又， 所以解得 所以. 17. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，函数 ； （ⅰ）求的值域. （ⅱ）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）或 【解析】 【分析】（1）根据向量共线可得，结合三角恒等变换分析求解； （2）根据数量积结合三角恒等变换整理可得.（ⅰ）换元设，可知，结合二次函数求值域；（ⅱ）结合（ⅰ）可知，设，结合向量的坐标运算分析求解. 【小问1详解】 因为，，且∥， 则， 即 整理得，所以. 【小问2详解】 因为，则，， 可得 设， 因为，则， 可得，， （ⅰ）设， 因为的图象开口向上，对称轴为， 由二次函数性质可得：， 所以的值域为； （ⅱ）当取最小值时，即，此时， 设，由题意可得，解得 或， 所以或. 18. 在①；②；③设的面积为，且．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上．并加以解答． 在中，角，，的对边分别为，，，且_____，． （1）若，求的面积； （2）求周长的范围 （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）选①，结合正弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角形内角和和诱导公式可求角；选②，首先“切化弦”，结合两角和与差的三角函数公式，可求角；选③，根据余弦定理，可求角；再根据余弦定理和三角形的面积公式，求三角形的面积. （2）先用余弦定理，得到和的关系，再利用基本（均值）不等式，求的取值范围，最后得的范围. （3）结合正弦定理，先把表示成角的三角函数，根据三角形是锐角三角形，确定角的取值范围，利用三角函数的单调性，求的取值范围. 【小问1详解】 选①，由正弦定理得， 整理得， 即， 因为，所以，又，故. 选②，因为， 所以， 又，故．又，故. 选③，因为，即， 所以， 根据余弦定理可得，所以，又，故. 由余弦定理得， 即，解得， 所以的面积. 【小问2详解】 由余弦定理得， 即所以. 因为. 所以所以. 所以周长的范围为. 【小问3详解】 由（1）知，， 由正弦定理得： ， 在锐角中，，， 即，所以，即， 又， 所以， 所以的取值范围是. 19. 三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．若内一点满足，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对的边分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为． （1）若，求证： ①为的面积）； ②为等边三角形； （2）若，求证： 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①先根据表示出三角形的面积，再在中，由余弦定理相加，再化简整理，即可得证；②先利用作差法证明，并求出取等号的条件，再结合即可得证； （2）方法一：根据（1）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，化简整理即可得证；方法二：在和中，分别利用正弦定理即可得证； 【小问1详解】 ①若，则 ， 所以． 在中，分别应用余弦定理，得 三式相加并整理，得， 即，所以； ②在中，由余弦定理可得， 则 ， 当且仅当且时取等号， 因为，所以， 所以，所以， 即当且仅当且时，即当且仅当为等边三角形时，， 又由①知， 所以为等边三角形； 【小问2详解】 方法一：由（1）得， 所以． 又， 所以， 又由余弦定理可得， 所以， 所以，所以， 由正弦定理可得，故得证． 方法二：因为，所以， ，在中，， 即，在中，， 即，所以， 即，所以即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学练习 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. 5 B. C. 3 D. 2. 设为实数，若向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 3. 在中，若，，，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 4. 已知，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形中，对角线与交于点，为中点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆的半径为2，是圆上两点且，是一条直径，点在圆内且满足，则的最小值为 A. －2 B. －1 C. －3 D. －4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若复数，则 B. 若i为虚数单位，n为正整数，则 C. 若，则 D. 若，其中a，b为实数，a=1，b=-1 10. 在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则一定是等腰直角三角形 D. 若，，则一定是等边三角形 11. 已知是单位圆上的三点，满足，，且（为非零常数），则下列正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则实数________. 13. 已知，则________. 14. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，. （1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围； （2）若复数为纯虚数，求的虚部. 16. 已知. （1）求； （2）求. 17. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，函数 ； （ⅰ）求的值域. （ⅱ）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标. 18. 在①；②；③设的面积为，且．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上．并加以解答． 在中，角，，的对边分别为，，，且_____，． （1）若，求的面积； （2）求周长的范围 （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 19. 三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．若内一点满足，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对的边分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为． （1）若，求证： ①为的面积）； ②为等边三角形； （2）若，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $