河南方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期第三次周考数学试题

2026年春期第三次周考数学试题 1、 单选题（每小题5分，共40分） 1．下列求导运算正确的是　　 A． B． C． D． 2．已知函数的导函数为，若，则（    ） A．6 B． C． D． 3．现有一组样本数据都在直线上，则该组样本数据的相关系数（    ） A． B． C． D．1 4．已知等比数列的前项和为，，则（    ） A．16 B．8 C．6 D．2 5．已知等差数列的公差不为0，设为其前项和，若，则集合中元素的个数为（    ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2013 6．刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分10次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为．则小明每个月所要还款的钱数为（    ）元． A． B． C． D． 7．设数列的前项和为，关于数列，下列四个命题中正确的是（   ） A．若，则既是等差数列又是等比数列 B．“，，成等差数列”是“”的充分不必要条件 C．若，则是等比数列 D．若是等比数列，则，，也成等比数列 8．已知公差不为零的等差数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C．10 D．20 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．给出下列说法，其中说法正确的是（    ） A．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点 B．两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1 C．将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变 D．对于独立性检验，随机变量的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 10．为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（    ） A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强 B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强 C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标 D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 11．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知函数的导函数是，且，则__________. 13．已知数列中，，且，则__________． 14．已知数列的通项公式为，函数在处的导数为，则使得的正整数的最小值为__________. 四、解答题（共77分） 15．（13分）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处的切线与直线垂直，求． 16．（15分）记是等差数列的前项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最小值； (3)求数列的前项的和． 17（15分）记数列的前项和为，已知 (1)求的通项公式. (2)若数列满足，其前n项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分）某地区大型服装店对在该店购买衣服的客户进行满意度调研以便能更好地服务客户，统计了2024年1月至5月对该家服装店不满意的客户人数如下： 月份x 1 2 3 4 5 不满意的人数y 120 105 100 95 80 (1)通过散点图可知对该服装店服务不满意的客户人数y与月份x之间存在线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数； (2)工作人员从这5个月内的调查表所记录的客户中随机抽查100人，调查满意度与性别的关系，得到下表，能否有99%的把握认为满意度与性别有关? 满意 不满意 合计 女客户 48 12 男客户 22 18 合计 附：经验回归方程为，其中． ，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（17分）拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础．其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得．已知函数，数列满足，且． (1)求； (2)证明：数列为等比数列； (3)若数列，记为数列的前项和，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 数学答案 1．B 【分析】利用导数的运算法则以及复合函数的求导法则逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D错. 故选：B. 2．A 【分析】根据函数在某点处的导数定义即可. 【详解】 故选：A 3．A 【分析】根据题意，得到，结合的斜率为负数，即可求得的值，得到答案. 【详解】由样本数据都在直线上，可得， 因为的斜率为负数，所以，所以． 故选：A. 4．D 【分析】先利用等比数列前项和公式及性质求出公比，然后利用等比数列通项公式求出首项即可. 【详解】设等比数列的公比为q， 由， 即， 可得，即， 又，所以． 故选：D. 5．D 【分析】根据等差数列求和公式可以得到首项和公差之间的关系，进一步列出等差数列和的表达式，再结合集合的互异性排除相同大小的集合元素即可得到答案. 【详解】由，可得，且，所以， 根据二次函数的对称性：，所以集合中元素的个数为， 故选：D． 6．D 【分析】表示出第10个月末所欠银行贷款数，因为分10次还清所有的欠款，故得到方程，求出答案． 【详解】设小明每个月所要还款的钱数为元，根据等额本息还款法可得， 第一个月末所欠银行贷款为：， 第二个月末所欠银行贷款为：,， ……， 第10个月末所欠银行贷款为： 由于分10次还清所有的欠款，故，解得， 故选：D． 7．C 【分析】根据等差数列、等比数列的定义判断． 【详解】对于A，若，则不是等比数列，A错； 对于B，，，成等差数列，例如，但是，B错； 对于C ,若，则时，，也适合上式，所以，是等比数列，C正确； 对于D，等比数列，若，则，此时不可能是等比数列，D错， 故选：C． 8．B 【分析】利用公差不为零可以判断，，公差，再利用等差数列的通项公式，结合裂项相消法求数列的和即可求解. 【详解】若，则，不符合题意； 所以，则，所以公差， 且有，所以①， ②， 又③，上述三式联立解得，，， 所以． 故选：B. 9．BCD 【分析】由回归直线恒过样本中心点，不一定经过每一个点，可判断A；由相关系数的绝对值趋近于1，相关性强，可判断B；由方差的性质可判断C；由随机变量的观测值k值越小，两变量犯错误的概率越大可判断D. 【详解】对于A：回归直线恒过样本点的中心，可以不过任一个样本点，故A错误； 对于B：两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近1，故B正确； 对于C：将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变，故C正确； 对于D：对于独立性检验，随机变量的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故D正确. 故答案为：BCD. 10．ABC 【分析】结合甲乙企业污水排放量与时间关系图象，利用曲线在区间的变化率判断企业的治污能力，进而判断各选项的正误即可． 【详解】由题图可知甲企业的污水排放量在时刻高于乙企业， 而在时刻甲、乙两企业的污水排放量相同， 故在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确； 由题图知在时刻，甲企业在该点的切线斜率的绝对值大于乙企业的，故B正确； 在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，故C正确； 由题意可知，甲企业在，，这三段时间中，在时的污水治理能力明显低于时的，故D错误． 故选：ABC． 11．ABD 【分析】对于A，根据，作差可得，，从而公差，即可判断A；对于B，根据等差数列的前n项和公式即可判断；对于C，根据，结合等差数列的性质即可判断；对于D，根据和的符号可得，当时，，进而根据和的单调性可得最小项. 【详解】因为，所以， 由，所以，所以， 所以． 所以，当时，最大，故A正确； 因为， ， 所以使得成立的最小自然数，故B正确； 由，且， 所以，即，故C错误； 因为当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以． 且， 所以中最小项为，故D正确． 故选：ABD 12．/ 【分析】将函数求导代值，求出，回代入导函数解析式，计算即得. 【详解】由求导得，， 故，解得0， 则有，故. 故答案为：. 13． 【分析】首先可得是以为首项，为公比的等比数列，从而得到，再两边同除，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项公式. 【详解】解：因为，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以 ， 所以是以为首项，为公差的等差数列， ，所以； 故答案为： 14．7 【分析】由条件可得，求导可得，裂项相消法求和，代入运算得解. 【详解】由， 则， 因为， 所以 ， ，即， 化简整理得，解得或，又， ，则的最小值为7. 故答案为：7. 15．(1) (2)． 【分析】（1）求导，从而得到求解； （2）求得，再根据切线与直线垂直，由求解. 【详解】（1）因为，得 所以， 所以切线方程为，即， 所以在处的切线方程为：． （2）因为， 所以， 由题意知，， 所以． 16．(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差，进而可求解， （2）根据等差数列求和公式可得，即可列不等式求解， （3）根据平方差公式，即可结合等差数列求和公式得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，，解得，   所以. （2）由（1）可得， 由可得，解得或， 因为，故正整数的最小值为. （3）因为， 所以 17．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）运用关系式，得到数列是等比数列，再由等比数列的基本量法求出通项即可； （2）（ⅰ）由错位相减法求和即可；（ⅱ）将不等式变形后得恒成立，令，讨论数列的单调性求最小值即可； 【详解】（1），则，两个式子相减，化简得（），即（）， 当时，有，即， 又，所以. 综上，可知是首项，公比为2的等比数列， 故的通项公式为. （2）（ⅰ）由（1）得， 则， 可得， 所以， 所以. （ⅱ）对任意恒成立， 即，整理得恒成立. 令，则， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，即的最小值为， 综上，，即实数的取值范围是. 18．(1)，客户人数为55; (2)有把握. 【分析】（1）根据给定数据，利用最小二乘法求出经验回归方程，再预测结果. （2）根据给定的数据求出的观测值，再与临界值比对即可. 【详解】（1）由表中的数据知，，， ， ，，， 不满意人数y与月份x之间的经验回归方程为， 当x＝8时，， 所以预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数为55. （2）零假设：服务满意度与性别无关， 由表中的数据得， 所以有99%的把握认为满意度与性别有关. 19．(1)． (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求得，根据题意，得到，化简得到，进而求得的值； （2）由（1）中，得到，结合等比数列的定义，即可得证；又由，所以数列为首项为3，公比为2的等比数列． （3）由（2）求得，得到，结合裂项法求和，求得，进而证得. 【详解】（1）解：由函数，则， 则，可得， 即， 又由，所以； （2）解：由（1）知：，可得，即， 又由，所以数列为首项为3，公比为2的等比数列． （3）证明：由（2）可得，则， 所以， 则. 因为，可得，所以， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $