河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期第二次数学周考试题4月12日

2026年春期高一数学第二次周考试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知为随机变量X和Y的样本相关系数，为随机变量M和N的样本相关系数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则X和Y负相关 B．若，则M和N线性不相关 C．若，，则X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度强 D．若越接近1，则M和N的线性相关程度越弱 3．已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知数列的前n项和为，前n项积为，若，当取最小值时，＝（ ） A． B．1 C．2 D． 5．设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 6．甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：，，）（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知数列的首项，且满足，令，则数列的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知等差数列的公差为，其前项和为，且，则（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 11．已知数列满足设，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知函数，则函数的零点个数为________. 13．以下命题正确的是：___________． ①把函数的图象向右平移个单位，可得到的图象； ②四边形为长方形，，为AB中点，在长方形内随机取一点，取得的点到的距离大于1的概率为； ③等差数列前项和为，则三点，，共线； ④已知是定义在上的函数的导函数，且满足，则不等式的解集为． 14．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下：参考公式：，其中. 四、解答题（共77分） 15．已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1． (1)求a； (2)若过点的直线l与的图象相切，求l的方程． 16．已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 17．记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和． （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意的，恒成立，求的取值范围． 18．已知函数. (1)若数列，求数列的前n项和； (2)已知函数在处的切线为直线，直线在y轴上的截距为，求数列的前n项和. 19．随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如表： 月份x 1 2 3 4 5 繁殖量y/千个 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据，计算y与x的相关系数r（精确到0.01），并说明y与x的线性相关性的强弱；（若，则认为y与x线性相关性很强，否则认为y与x线性相关性较弱） (2)利用最小二乘法建立y关于x的线性回归方程，并估计10月份该生物繁殖量． 参考数据：，，． 参考公式：对于一组数据，其相关系数，其经验回归直线中，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 数学第二次周考答案 1．B 【分析】结合图象利用导数的几何意义以及割线斜率即可判断. 【详解】表示两点所在直线的斜率， 而分别表示在处的切线斜率， 由图可知，. 故选：B 2．B 【分析】利用，且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱，结合每个选项的条件逐项判断即可. 【详解】A，若，则X和Y正相关，故A错误； B，若，则M和N线性不相关，故B正确； C，若，，则， 所以X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度弱，故C错误； D，若越接近1，则M和N的线性相关程度越强，故D错误. 故选：B 3．D 【分析】求出导函数，从而求出导函数函数值的范围，即切线的斜率的范围，即可得出答案. 【详解】因为，所以．设， 由题意知切线的斜率存在，则曲线在点P处的切线的斜率． 所以．因为，所以． 故选：D 4．B 【分析】利用的关系证明数列为等比数列，求出通项公式，根据前n项积最小求出，即可得解. 【详解】由得： ， 两式相减整理得， 令，解得， 故是首项为，公比为2的等比数列， 所以，，可知， 则，即当时，取得最小值. 因为当时，；当时，， 所以时，取最小值，此时． 5．D 【分析】利用等差数列的前n项和公式设，，，再利用关系即可求解. 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且， 可设，，， 所以. 6．A 【分析】先求出学生甲在第5个月的还款额，再利用等比数列的性质，求和公式得到学生乙每个月的还款额均为元，从而得到10月初甲比乙将多还元. 【详解】学生甲从5月初到9月初已经还了4个月， 在第5个月的还款额为元， 设学生乙每个月的还款额均为元，第个月还款后还剩余元未还， 显然，，， ……，， 显然，故， 所以，故， 依次类推，可得， 即， 所以， 由等比数列求和公式可得 ， 故元， 学生乙每个月的还款额均为元， 所以甲比乙将多还元． 故选：A 7．A 【分析】利用等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】令等比数列的公比为，则， 因此，数列是等比数列，即； 令，，，即数列是等比数列， 令，则，显然，数列不是等比数列， 所以是的充分不必要条件. 8．A 【分析】由题意可得，计算，求证为单调递增数列，再得到为等差数列求解即可. 【详解】令，计算可得，所以，因为，则， 两式相减可得，由递推公式及知，为单调递增数列， 则，则，则，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则，故所求为. 9．BD 【详解】对于A项：，所以A错； 对于B项：，所以B对； 对于C项：，所以C错； 对于D项：，所以D正确． 10．ABD 【详解】由，得或， 即或，显然，故B正确； 则，故A正确； 对于C，当时，有， 此时，等差数列为递增数列，则，故C错误； 对于D，当时，有， 解得，则，故D正确. 11．BC 【详解】依题意，，故A错误； 因为，， 所以是以6为首项，2为公比的等比数列，故正确； 所以，所以， 所以，故C正确； ，故D错误． 12． 【分析】画出函数的图象，令，可得，求得的值，结合图象，根据交点的个数，即可求解. 【详解】画出函数的图象，如图所示， 令，即，令，可得， 若，令，解得或； 若，令，解得， 当时，即，此时函数和的图象有4个交点，即4个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点. 综上可得，函数的零点个数为7个. 故答案为：. 13．①③④ 【分析】① 函数的图象向右平移要把的系数提出来，再根据左加右减得解析式；②在长方形内随机取一点，取得的点到的距离等于1的点的轨迹为半圆，阴影部分内的点到的距离大于1，计算出阴影部分的面积，由几何概型知识，利用面积比得概率．③利用等差数列的求和公式，再根据即可知三点共线.④ 构造函数，利用函数的单调性把抽象不等式转化为具体不等式即可． 【详解】解：由题意得： ①把函数的图象向右平移个单位，可得到的图象，故① 正确； ② 如图所示：长方形面积为2，以为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，因此取到的点到的距离大于1的概率为，故②错误； ③等差数列前项和为，，点，，由斜率公式得，三点共线，故③正确； ④令，且满足，则为上的增函数， ，即 ，根据函数的单调性得，解得，故④正确． 故答案为：①③④ 14．48 【分析】设男生人数为，依题意列出列联表，分析出根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则，再代入的公式求出的范围，再根据的实际意义即可求出男生的最少人数. 【详解】设男生人数为，依题意可得列联表为 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则， 由，解得. 由题意知，应为6的整数倍， 所以若根据小概率值的独立性检验， 判断中学生追星与性别有关，则男生至少有48人. 故答案为：48. 15．(1) (2) 【分析】（1）求出导数，结合导数值和斜率的关系可求答案； （2）设出切点坐标，求导得出切线方程，代入点的坐标可求切点，进而可得方程. 【详解】（1），因为曲线在点处的切线的斜率为1， 所以，解得. （2）由（1）知，， 设切点坐标为，则，切线的方程为， 又点在曲线上，所以，代入得， 即， 整理可得，故l的方程为，即. 16．(1) (2)，最小值为9 【分析】（1）由等差数列的通项公式比较系数即可求解； （2）由分组求和法和并项求和法求出，再利用其单调性即可得出最小值. 【详解】（1）设的公差为d，因为， 所以，整理得， 所以，解得， 故的通项公式为． （2）由（1）， 则 易得在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为． 17．(1) (2)（ⅰ）;（ⅱ） 【分析】（1）利用退位相减法可得，求出后可求通项； （2）利用错位相减法可求，再就的奇偶性分类讨论后可求参数的范围. 【详解】（1）因为，故，， 故即，， 而，故，故，故， 所以是首项为，公比为的等比数列，故. （2）（ⅰ）， ，故， 所以， 所以. （ⅱ）若对任意的，恒成立， 当为正偶数时，，因为，故为增数列， 故此时的最小值为，故； 当为正奇数时，，同理此时的最小值为，故， 故. 18．(1) (2) 【分析】（1）将数列拆分为等比数列和等差数列，分别求和后相加得到前项和. （2）先求函数在处的切线方程，令得到截距，再用错位相减法求的和，最后结合的和得到. 【详解】（1）因为，所以 . （2）， 直线的方程为， 令， 得， 所以， 令数列的前项和为，则 ， ， 两式相减得，故， 又数列的前项和为， 所以数列的前项和. 19．(1)0.92，y与x的线性相关性很强； (2)，千个． 【分析】（1）根据相关系数的公式，和题干所给参数，代入公式，求出相关系数，判断相关性强弱. （2）根据回归直线方程参数公式，代入数值，求出回归方程，代入数据计算即可. 【详解】（1）由已知得，， ，， ， 故， 所以y与x的线性相关性很强； （2）因为，，，， 所以，， 所以y关于x的线性回归方程为， 当时，， 则10月份该生物繁殖量为千个． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $