7.4.2·超几何分布【知识梳理+5个题型归纳】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

本讲义聚焦高中数学超几何分布核心知识点，系统梳理其定义、核心特征及适用场景，通过概念辨析、概率计算、均值方差求解及与二项分布综合应用等题型，构建从基础概念到实际应用的完整学习支架。 资料以“知识梳理+经典例题+小试牛刀”形式，引导学生用数学眼光抽象现实问题中的分布模型，通过辨析抽样方式培养逻辑推理能力，借助概率公式与分布列计算提升数学表达能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【7.4.2·超几何分布】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：超几何分布的概念辨析】 【练方法】 知识梳理 1超几何分布的定义：在含有件次品的件产品中任取件其中恰有件次品的概率分布为其中称服从超几何分布记作 2核心特征： 总体由两类个体组成（如“正品/次品”“合格/不合格”） 不放回抽样抽取件 每次抽取结果不独立概率随抽样过程变化 随机变量表示抽到某类个体的数量 3适用场景：产品抽样、人员选拔、抽样调查等不放回抽样问题 常考结论 1超几何分布的识别三要素：总体分两类、不放回抽样、关注某类个体的抽取数量 2分布列概率和： 3特殊情况：当时退化为两点分布 解题方法 1紧扣三要素判断：总体是否分两类、是否不放回抽样、是否关注某类个体数量 2区分超几何分布与二项分布：超几何分布是不放回抽样（概率变化）二项分布是有放回抽样（概率不变） 3易错辨析：若抽样是有放回的则不服从超几何分布服从二项分布 4应用：如产品不放回抽样、分层抽样中的个体数量问题可判定为超几何分布 （24-25高二下·全国·课前预习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，则是否服从超几何分布，请说明理由？经典例题1例题 【答案】不服从超几何分布，理由见解析 【分析】根据给定条件，结合超几何分布的特征判断即得. 【详解】不服从超几何分布． 随机变量是否服从超几何分布，是看随机变量的分布列是否由确定，对应的是多少， 随机变量的可能取值为3，4，5，6，不妨探讨“”与“”两种情况： “”对应事件“取出的3个球中恰好取到4号球和1，2，3号球中的2个”，其概率； “”对应事件“取出的3个球中恰好取到5号球和1，2，3，4号球中的2个”，其概率， 从“”与“”两种情况就可看出随机变量的分布不是由确定的， 所以随机变量不服从超几何分布． （23-24高二下·全国·课前预习）判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”．经典例题2例题 （1）超几何分布的总体里只有两类物品．( ) （2）超几何分布的模型是不放回抽样．( ) （3）超几何分布与二项分布的期望值都为np.( ) （4）超几何分布是不放回抽样．( ) （5）超几何分布的总体是只有两类物品．( ) （6）超几何分布与二项分布的均值相同．( ) （7）超几何分布与二项分布没有任何联系．( ) （8）将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X服从超几何分布.( ) （9）盒中有4个白球和3个黑球，有放回地摸取3个球，黑球的个数X服从超几何分布.( ) （10）某射手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X服从超几何分布.( ) 【答案】 正确 正确 正确 正确 正确 正确 错误 错误 错误 错误 【分析】由超几何分布概念可判断正误. 【详解】第一空，超几何分布总体只有两类物品，故说法正确； 第二空，超几何分布是不放回抽样，故说法正确； 第三空，设超几何分布中，某类物品数量为M，物品总数为N，则每次抽一个，不放回抽取n次，某类物品数量的期望为； 设二项分布中，出现某种情况的概率为p，则重复试验n次，出现某种情况次数的期望为.则超几何分布与二项分布的期望值都为np，故说法正确； 第四空，超几何分布是不放回抽样，故说法正确； 第五空，由第二空可知，说法正确； 第六空，由第三空可知，说法正确； 第七空，当总体分布很大时，超几何分布近似于二项分布，故说法错误； 第八空，由题可知正面向上的次数X服从二项分布，故说法错误； 第九空，超几何分布对应不放回抽取，故说法错误； 第十空，由题可知命中目标的次数X满足二项分布，故说法错误. 故答案为：正确；正确；正确；正确；正确；正确；错误；错误；错误；错误. 【多选题】下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是（　　）小试牛刀1 A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【答案】ACD 【分析】根据超几何分布、二项分布的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，将一枚硬币连抛3次，每次正面向上的概率均为，所以正面向上的次数服从二项分布； 对于B中，从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为服从超几何分布； 对于C中，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，可得命中目标的次数服从二项分布； 对于D中，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，首次摸出黑球时的总次数的取值为， 而超几何分布定义为，即从N个物件（包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不放回），故不服从超几何分布. 故选：ACD. （2025高三·全国·专题练习）（多选）下列随机事件中的随机变量X的分布列服从超几何分布的是（    ）小试牛刀2 A．抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 B．有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为 C．盒子中有红球个，黄球个，蓝球个，任取个球，把不是红色的球的个数记为 D．某班级有男生人，女生人，选派名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为 【答案】CD 【分析】利用超几何分布的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】超几何分布：假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回）， 用表示抽取的件产品中的次品数，则服从超几何分布. 对于选项A和B，试验均为独立重复试验，随机变量服从二项分布，不服从超几何分布，所以A和B错误， 对于选项C和D，符合超几何分布的特征，样本进行了分类， 随机变量X表示抽取n件样本，某类样本被抽取的件数，所以C和D正确， 故选：CD． 下列随机变量中，服从超几何分布的有______．（填序号）小试牛刀3 ①在10件产品中有3件次品，每次随机取1件且不放回，共取4次，记取到的次品数为X； ②从3台甲型电视机和2台乙型电视机中任取2台，记X表示所取的2台电视机中甲型电视机的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X． 【答案】①② 【分析】根据超几何分布模型定义可知答案. 【详解】根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布． ②中随机变量X服从超几何分布． ③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布． 故答案为：①② 【题型2：超几何分布求概率】 【练方法】 知识梳理 1超几何分布的概率公式：其中为抽到某类个体的数量为从件中取件的组合数为从另一类中取件的组合数为总取法数 2常见概率类型：单点概率、累积概率、区间概率 3对立事件的应用： 常考结论 1超几何分布的概率公式： 2组合数的对称性：可简化计算 3边界情况：当或时 解题方法 1直接公式法：已知直接代入计算 2累积概率计算： 3对立事件简化：复杂概率用计算如 4组合数计算：注意（当或时）简化无效项 （25-26高三下·山东泰安·月考）一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从个零件中随机抽取个，总的抽取方法数为组合数， 要求恰好件不合格，即从个不合格零件中抽1个， 从个合格零件中抽个，符合条件的方法数为， 故恰好件不合格的概率为. （25-26高二上·北京昌平·期末）某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有6名同学参加，其中有4名男生、2名女生．现从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为__________．经典例题2例题 【答案】/ 【分析】可以运用“正难则反”的思想， 先求出抽到的3名同学中没有女生的概率，再运用对立事件的概率公式求得抽到的3名同学中至少有1名女生的概率. 【详解】抽到的3名同学中没有女生的概率为， 则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为. 故答案为： （25-26高三上·天津西青·月考）某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为______；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为______.小试牛刀1 【答案】 / 【分析】利用超几何概型的概率、古典概型求法及组合数求概率即可. 【详解】由题设，恰有一名男生参加的概率为， 有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加的概率为. 故答案为：， （24-25高二下·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】依题意可知日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出对应的概率； 【详解】由题意可得日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110， 则可知. 故答案为： （25-26高三·天津·一轮复习）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则___．小试牛刀3 【答案】4 【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解． 【详解】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 故答案为：4. 【题型3：求超几何分布的均值】 【练方法】 知识梳理 1超几何分布的均值（数学期望）：反映随机变量的平均水平即平均抽到某类个体的数量 2均值的本质：不放回抽样的条件下总体中某类个体的比例乘以抽样数量 3均值的推导：可通过定义公式推导得到 常考结论 1均值公式：若则 2均值的直观意义：总体中某类个体的比例为抽取件时平均抽到的数量为 3与二项分布均值的关系：当很大时超几何分布近似二项分布均值均为（） 解题方法 1直接公式法：已知直接套用计算 2定义公式验证：通过分布列逐项计算验证结果 3实际意义解释：结合题目场景说明均值的含义如“平均抽到的次品数为件” 4易错点：均值公式易误写为本质与一致但需注意参数含义 （2026·天津北辰·一模）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个．现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望______．经典例题1例题 【答案】 /； . 【分析】应用全概率公式求概率即可求得机器人成功完成指令的概率，由题设随机变量的所有可能取值为，，，求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列期望公式求法求期望. 【详解】记“下达的动作指令表述清晰”为事件，记“下达的动作指令表述模糊”为事件，记“机器人成功完成指令”为事件. 由已知得，，，，. ， 所以该机器人成功完成指令的概率为； 由题意的所有可能取值为，，，，，， 故的分布列为： 所以的数学期望. （25-26高二下·上海奉贤·月考）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球，现进行如下试验：逐个不放回地随机摸出3个球，把取到白球的个数记为，则它的期望为______.经典例题2例题 【答案】/ 【分析】分别求出时的概率，再由期望的公式求得的期望. 【详解】由题可得，的可能取值为. ； ； ； . 所以的期望为. （25-26高三下·浙江杭州·月考）袋中有编号为的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个．记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________．小试牛刀1 【答案】/ 【分析】由题意确定随机变量服从超几何分布，即可求解. 【详解】编号不大于4的小球共有4个，大于4的小球共个， 从10个球中取4个，表示取出的不大于4的球的个数，服从超几何分布， 参数为：总体数，符合条件的个体数，抽取数， 超几何分布的期望公式为，代入得： . 【点睛】 （2026·浙江·模拟预测）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：小试牛刀2 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)（i）；（ii）不相互独立，理由见解析 (2)分布列见解析， 【分析】（1）（i）已知和，用条件概率公式计算. （ii）法1：比较和判断；法2：验证 与是否相等判断. （2）利用超几何分布概率公式计算概率得分布列，再用期望公式求. 【详解】（1）（i），， . （ii）事件M与N不相互独立 理由如下： 法1：利用条件概率： ，， ， 所以，不相互独立. 法2：利用独立性定义： ，， ， 所以，不相互独立. （2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为， （服从超几何分布，） ，， ，， 故的分布列为： X 0 1 2 3 P 故的数学期望. （25-26高三上·河北秦皇岛·期末）为研究浙江省小微企业发展状况，某研究机构从“雏鹰计划”项目库中随机抽取 100 家企业进行调研，统计数据显示，这些企业上年度的营业收入增幅（单位：%）分布情况如下：小试牛刀3 增幅分组 企业数量 5 20 30 25 20 注：规定营业收入增幅不低于 30% 的企业为“高成长型企业”. (1)根据以上数据，估计这 100 家企业营业收入增幅的平均值（计算时取各组的组中值代表该组数据）； (2)为进一步研究高成长型企业，现采用分层抽样的方式，从“高成长型企业”中选取 9 家，再从 9 家企业中不放回地抽取 2 家进行实地调研，设抽中 的数量为 ，写出 的概率分布列，并求其数学期望 . 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）利用平均数公式计算即可； （2）利用超几何分布求出 的概率分布列，结合数学期望即可求出. 【详解】（1）根据以上数据，估计这 100 家企业营业收入增幅的平均值为 （2）营业收入增幅不低于 30% 的企业为“高成长型企业”中，占家，占家， 所以“高成长型企业”中选取 9 家中，抽取：家， 抽取：家； 从 9 家企业中不放回地抽取 2 家进行实地调研，设抽中 的数量为 ， 所以可能取值为：， 所以， ， ， 则 的概率分布列为： 【题型4：求超几何分布的方差】 【练方法】 知识梳理 1超几何分布的方差：反映随机变量取值的波动程度方差越大抽到的数量越不稳定 2方差的推导：可通过公式推导得到 3方差的影响因素：总体数量、某类个体数量、抽样数量均会影响方差大小 常考结论 1方差公式：若则 2与二项分布方差的关系：当很大时有限总体修正因子超几何分布方差近似二项分布方差（） 3有限总体修正因子：表示不放回抽样对方差的修正 解题方法 1直接公式法：已知直接套用计算 2定义公式验证：先求再用验证结果 3近似计算：当时可忽略修正因子近似用二项分布方差公式计算 4易错点：方差公式易漏乘有限总体修正因子导致结果错误 （25-26高三上·江苏南京·月考）3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为______.经典例题1例题 【答案】 【分析】先根据超几何分布的求概率公式求出不同取值情况下的概率值，利用求期望和求方差公式求出的期望和方差，再利用求方差性质求得的方差即可. 【详解】由题意，满足超几何分布，且的取值为0，1，2， 则，，， ， ， 所以. 故答案为： （24-25高三下·陕西西安·月考）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ）经典例题2例题 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由题意可得随机变量服从二项分布，随机变量服从超几何分布，进而根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则，， Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 可得， ， 所以. 故选：B. （23-24高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求：小试牛刀1 (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】(1)由题意知，甲乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二次项分布，分别列出分布列，计算均值即可； (2)结合分布列中数据，分别计算对应的均值，方差以及至少正确两题的概率比较大小即可. 【详解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3， ， 所以ξ的分布列为： ξ 1 2 2 P 则； 设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知， 所以， ， 所以η的分布列为： η 0 1 2 3 P 所以． （2）由(1)知， ， ， ， 所以，， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大． （23-24高二下·江苏盐城·期中）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.小试牛刀2 (1)求甲老师答对2个问题的概率； (2)若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用超几何分布的概率计算公式计算即可得解； （2）计算超几何分布的期望与方差即可得. 【详解】（1）设甲老师答对2个问题为事件，则. 所以甲老师答对2个问题的概率为. （2）设甲老师得分数为，则的可能取值为4，6，8， ，，， 则， . （22-23高二下·江苏连云港·月考）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可． 【详解】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 【题型5：超几何分布与二项分布的综合】 【练方法】 知识梳理 1两种分布的区别： 特征 超几何分布 二项分布 抽样方式 不放回抽样 有放回抽样 概率稳定性 概率随抽样变化 概率始终为 适用场景 总体数量有限、不放回 总体数量大或有放回 均值 （） 方差 2两种分布的联系：当总体数量很大时不放回抽样近似有放回抽样超几何分布近似二项分布 3高考常见综合场景：先判断分布类型再计算概率、均值、方差或进行决策分析 常考结论 1近似条件：当时超几何分布可近似为二项分布 2近似概率： 3近似均值与方差： 解题方法 1分布类型判断：先根据抽样方式、总体数量判断是超几何分布还是二项分布 2超几何分布：用计算 3二项分布：用计算 4近似计算：当时用二项分布近似超几何分布简化计算 5综合决策：结合均值与方差比较不同抽样方案的平均水平与稳定性给出决策建议 （2026·广东惠州·二模）某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为.经典例题1例题 (1)求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率； (3)对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) (3)随机变量的分布列如下表所示： Y 30 55 80 P 数学期望为. 【分析】（1）根据题意得出这个零件中不合格零件数，利用随机变量服从超几何分布即可求解； （2）通过条件概率公式即可求解； （3）根据题意得出随机变量与随机变量的关系，从而得到随机变量的取值范围和对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可. 【详解】（1）小明的解答不正确，正确的解答过程如下： 根据题意，这个零件中是有个不合格零件，个合格零件， 则从这个零件中抽到个不合格零件，个合格零件的组合数是种， 因此. （2）设事件为“抽到的个零件中至少有个为不合格零件”，事件为“抽到的个零件中恰好有个为不合格零件”， 由于事件是事件的子事件，所以， 而，， 根据条件概率公式，即恰好有个为不合格零件的概率为. （3）由于随机变量表示抽到的不合格的零件数，可能取值为，而对于每个的值，总费用， 因此随机变量的可能取值为，，， 由于，，， 因此，，， 所以随机变量的分布列为： 数学期望为，即随机变量的数学期望为. （25-26高三下·上海浦东新·期中）某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表：经典例题2例题 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (3)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？ 【答案】(1)6.7 (2) 1 2 3 ， (3) 【分析】（1）根据平均数的概念，求出结果即可； （2）根据超几何分布的概念，求出分布列，再根据期望和方差的概念，求出结果即可； （3）根据二项分布的概念，求出概率的通式，进而列出不等式组，求出最大值即可. 【详解】（1）由题意，随机抽取的100名顾客的甜度偏好分数的平均数为 估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数为6.7 （2）用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在这组中抽取2人，甜度偏好分数在这组中抽取3人． 故，， 因此，X的分布列为 1 2 3 故，. （3）由题，抽到“七分糖爱好者”的概率是0.4， 抽到“七分糖爱好者”的人数服从二项分布，即，， 则 当，即时 当，即时 因此，，且， 所以，当时，最大. （2026·陕西咸阳·模拟预测）已知甲盒中有2个红球，4个白球，乙盒中有3个红球，5个白球，这些球除了颜色外完全相同．小试牛刀1 (1)从甲盒中有放回地取球，每次取1个，共取3次，记这3次中取出红球的次数为随机变量，求的数学期望和方差； (2)从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为随机变量，求的分布列． 【答案】(1)，； (2) 0 1 2 3 4 【分析】（1）由二项分布进行求解； （2）由超几何分布进行求解． 【详解】（1）由题意知， 所以， （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 （2026·广东东莞·模拟预测）一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为.小试牛刀2 (1)求的概率; (2)求Y的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 3 【分析】（1）若有放回的抽取时，随机变量X服从二项分布，由二项分布的概率公式可得； （2）若不放回抽取时，随机变量Y服从超几何分布，由超几何分布的概率公式可得分布列及期望. 【详解】（1）若有放回抽取时，每次抽球相互独立，每次抽到红球的概率为 ​，共抽3次， 因此,根据二项分布概率公式： . （2）若不放回抽取时，服从超几何分布，的所有可能取值为， 概率公式为：. ，，，. 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望： . （25-26高二·全国·寒假作业）某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图如图：小试牛刀3 (1)求的值； (2)从该流水线上任取2袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列； (3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3)分布列见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1求出参数即可. （2）根据独立重复试验确定质量超过的袋数X的所有可能取值和对应的概率，进而得到其分布列. （3）根据超几何分布求出的分布列即可. 【详解】（1）由题意可得：， 解得. （2）根据样本估计总体的思想，取一袋食盐， 该食盐的质量超过的概率为. 从流水线上任取2袋食盐互不影响，该问题可以看成2次独立重复试验， 质量超过的袋数X的所有可能取值为， 且服从二项分布， . ， ， ， 随机变量的分布列为： 0 1 2 0.49 0.42 0.09 （3）质量超过的食盐数量为袋， 随机变量的所有可能取值为，且服从超几何分布. ，， ， 随机变量的分布列为: 0 1 2 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽蚌埠·月考）在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据超几何分布的性质求解即可. 【详解】由题意，服从超几何分布，则. 故选：A. 2．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项公式求出的值，再确定有理项的个数，最后根据超几何分布的期望公式计算. 【详解】在中，其展开式的通项为： ， 已知第项为常数项，即当时，的次数为，则，解得. 由可得，当为整数时，该项为有理项. 因为且，所以当，，时，分别为，，，是整数，即有理项有项. 从11项中任取项，其中有理项的个数服从参数为（总体个数），（有理项个数），（抽取个数）的超几何分布. 根据超几何分布的期望公式，可得. 故选：B. 3．（24-25高二下·江苏南京·期中）盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是（   ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的 【答案】B 【分析】应用超几何分布的概率公式计算各个选项即可. 【详解】盒中有10个玩具，其中3个坏的，7个好的.抽取4个玩具，计算各选项概率如下： 选项A（恰有1个坏的）：； 选项B（4个全是好的）：； 选项C（恰有2个坏的）：； 选项D（至多2个坏的）：； 综上，只有选项B的概率为， 故选：B. 二、多选题 4．（24-25高二下·辽宁·期中）一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（   ） A．X服从超几何分布 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件，利用超几何分布的定义判断A，根据超几何分布列求出概率和期望即可判断BC，根据，且，利用期望性质求解判断D. 【详解】A选项，由题意知，随机变量X为取出白球的个数， 从10个球（6黑4白）中不放回抽取4个， 服从超几何分布概念，故A正确， BC选项，的取值可能为：， 所以，又， ，， ， 所以， 的取值可能为：， 由题意得，所以， 所以， ， ， 所以， 所以，故B错误，C正确， D选项，由题意，且，故， 则，D正确. 故选：ACD 5．（24-25高二下·江苏常州·期中）下列命题正确的是（   ） A．若随机变量，满足，，则 B．若，，，则 C．若，则 D．若分布，，则 【答案】BC 【分析】根据方差的性质判断A选项；利用贝叶斯公式判断B选项；根据超几何分布判断C选项；根据两点分布的期望与方差判断D选项． 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：因为，所以， 所以，故B正确； 对于C：若，则，故C正确； 对于D：若分布，，则，故D错误． 故选：BC. 6．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知袋子中放有大小质地完全相同的6个红球和4个黄球，则下列说法正确的有（    ） A．若从袋子中有放回地依次随机摸球，为第1个红球被摸出所需的摸球次数，则 B．若从袋子中不放回地依次随机摸出3个球，为摸出的球中红球的个数，则 C．若从袋子中有放回地依次随机摸出5个球，为摸出红球的次数与摸出黄球的次数之差，则 D．若从袋子中不放回地依次随机摸球，为第3个红球被摸出所需的摸球次数，则 【答案】ABD 【分析】根据独立事件概率乘法公式求解判断A，利用超几何分布列的概率求解判断B，由二项分布的方差公式及方差性质求解判断C；求出的所有可能取值并求出概率，再由公式求得即可判断D. 【详解】对选项A，若从袋子中有放回地依次随机摸球，为第1个红球被摸出所需的摸球次数， 则，故A正确； 对选项B，若从袋子中不放回地依次随机摸出3个球，为摸出的球中红球的个数， 则，故B正确； 对选项C，若从袋子中有放回地依次随机摸出5个球，记摸到红球次数为X， 则，摸到黄球次数为，则， 所以，故C错误； 对选项D，若从袋子中不放回地依次随机摸球，为第3个红球被摸出所需的摸球次数， 则的可能取值为3，4，5，6，7， 则，，，，， 则，故D正确； 故选：ABD 7．（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 【答案】BCD 【分析】先得到，Y服从超几何分布，A选项，计算出，，A错误；B选项，，得到B正确；C选项，根据二项分布和超几何分布求期望公式得到C正确；D选项，方案一中，每次抽到次品的概率均为，方案二中，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”，求出每种情况下的概率，相加得到概率，得到D正确. 【详解】方案一中，有放回地抽样，则取得次品个数， ，， 方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数Y服从超几何分布， 则，. 选项A，，，，A错误； 选项B， ，由于，故或3时，最大，B正确； 选项C，由二项分布及超几何分布期望公式，，C正确； 选项D，方案一中，每次抽到次品的概率均为， 方案二，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”， 其中“正正次”的概率为，“正次次”的概率为， “次正次”的概率为，“次次次”的概率为， 故第三次抽到次品的概率为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 8．（24-25高二下·吉林·期中）某班有团员男生5名、女生3名，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则_______. 【答案】 【分析】根据题意可知，从8人中抽出4人作为代表，求出其中男生代表为3人的概率，可用超几何分布的概率公式计算. 【详解】根据超几何分布的概率公式，本题中， 将数值代入可得： . 故答案为：. 9．（25-26高三上·江苏南京·月考）袋中有大小、形状完全相同的 8 个白球、4 个黑球，现从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是 X，且，则 Y 的数学期望______． 【答案】5 【分析】先分析出的可能取值，再利用超几何分布求每个取值的概率，再用数学期望公式求出，进而求得. 【详解】X 的可能取值为 0 ，1 ，2 ，3， ，， ，， 则， 所以 ． 故答案为：5. 四、解答题 10．（24-25高二下·北京东城·期中）袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列、期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析，， 【分析】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数，可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得的分布列． （2）由题意可得的所有取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得的分布列，期望，方差． 【详解】（1）若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为， 而3次取球可以看成3次独立重复试验，因此， 所以，， ，，     因此X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）由题意，的所有取值为， 则，，， 因此，Y的分布列为： Y 0 1 2 P 所以， . 11．（24-25高二下·贵州遵义·期中）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]． (1)求图中x的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 【答案】(1)0.018 (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）利用频率分布直方图的频率性质可得：，解得x． （2）分数在的人数分别是：人、人．ξ的取值为0、1、2．利用“超几何分布列”的概率计算公式即可得出． 【详解】（1）利用频率分布直方图的频率性质可得：：， 解得 （2）分数在的人数分别是：人、人． 所以ξ的取值为0、1、2．，，， 则ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P（ξ） 数学期望． 12．（24-25高二下·辽宁大连·期中）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示． (1)求的值； (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列； (3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多1株高度低于的概率． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据各小组的频率之和等于1列式计算即得； （2）根据抽样比得到高度在和的株数分别为2和3，确定的可能取值，利用超几何分布计算各概率值，写出分布列即可； （3）根据独立重复概率公式，以及条件概率公式，即可求解. 【详解】（1）依题意可得，解得； （2）结合（1）的结论，可得高度在和的频率分别为0.1和0.15， 所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3， 则可取0，1，2，于是， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 P （3）从所有花卉中随机抽取3株，记至少有2株高度在为事件， 至多1株高度低于23cm为事件， 因高度在内的频率为，即， 高度在内的频率为，即， 高度在内的频率为，即， 则， 而， 所以. 13．（24-25高二下·陕西咸阳·期中）2017年5月，来自“一带一路” 沿线的 20 国青年评选出了中国的 “新四大发明”，高铁、扫码支付、共享单车和网购，为发展业务，某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内 个人口超过1000万的超大城市和 8 个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计， 若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为 . (1)求的值； (2)若一次抽取3个城市，则： ①假设取出小城市的个数为，求的分布列； ②取出3个城市是同一类城市求全为超大城市的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可. （2）①由题意可知，的可能取值为，用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到的分布列. ②分别求出是同一大类的情况有多少种，再根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意一次抽取2个城市，全是小城市的概率为， ，则，得或（舍）， 故. （2）①由题知的可能取值为 ，， ，. 故的分布列为： ②取出个城市全为超大城市，共有种情况,取出个城市全为小城市，共有种情况. 取出3个城市是同一类城市全为超大城市的概率为. 14．（25-26高三上·北京西城·期中）某项射击比赛的规则如下：比赛可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮比赛，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 9 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 9 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”. (1)若从以上十轮比赛中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； (2)假设甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，用频率估计概率.记X为甲在这三轮比赛中“稳定发挥”的轮数，求X的分布列和数学期望； (3)假设选手乙参加10轮射击比赛，恰有8轮“稳定发挥”.从这10轮比赛中任选2轮，记Y为乙在这两轮比赛中“稳定发挥”的轮数，直接写出与的大小关系（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）先确定“稳定发挥”的轮次，利用古典概型概率公式求解； （2）问题转化为求二项分布的分布列和期望求解； （3）先求超几何分布的期望，再与比较大小. 【详解】（1）10轮比赛中，除第二、六两轮不是“稳定发挥”，“稳定发挥”的有8轮. 所以从以上十轮比赛中任选两轮，这两轮均“稳定发挥”的概率为： . （2）用频率估计概率，每轮能“稳定发挥”的概率为， 因为甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，所以“稳定发挥”的轮数， 即，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 且. （3）的值可以为：0,1,2 且，，. 所以. 所以. 15．（25-26高三上·重庆·期中）甲、乙两工厂共同生产一种零件， 经过抽样调查， 质检人员发现: 甲工厂生产的一批零件的合格品率为 85%；乙工厂生产的另一批零件的合格品率为 95%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 89%. (1)设甲工厂生产的这批零件有 件，乙工厂生产的这批零件有 件. 求证: ； (2)按照分层随机抽样的方法从两个工厂生产的零件中随机抽取 5 个，再从这 5 个零件中抽取 3 个，记这 3 个零件中来自乙工厂的个数为 ，求 的分布列和数学期望. 【答案】(1)证明见解析； (2)分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）求出甲、乙合格件数以及混合后合格件数，从而得到方程，即可证明； （2）写出的可能取值，再利用超几何分布求出对应概率值即可，最后得到期望值. 【详解】（1）依题意，甲工厂生产的件零件的合格件数为， 乙工厂试生产的件的合格件数为， 又混合后，总零件数为，合格品率为， 则混合后合格零件数为， 解得，即（证毕）． （2）设甲工厂生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件， 由（1）可知，故抽出的5件产品中有3件来自甲工厂，2件来自乙工厂， 可能取值为0,1,2， 所以， 所以 的分布列为： 0 1 2 . 16．（25-26高二下·广东·期中）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列； (2)他能过关的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，由题意分析服从超几何分布，直接求出概率，写出分布列即可； （2）利用第一问直接求出能过关的概率． 【详解】（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布， 所以， 所以，， ，， 的概率分布列为： 0 1 2 3 （2）他能过关的概率为 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【7.4.2·超几何分布】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：超几何分布的概念辨析】 【练方法】 知识梳理 1超几何分布的定义：在含有件次品的件产品中任取件其中恰有件次品的概率分布为其中称服从超几何分布记作 2核心特征： 总体由两类个体组成（如“正品/次品”“合格/不合格”） 不放回抽样抽取件 每次抽取结果不独立概率随抽样过程变化 随机变量表示抽到某类个体的数量 3适用场景：产品抽样、人员选拔、抽样调查等不放回抽样问题 常考结论 1超几何分布的识别三要素：总体分两类、不放回抽样、关注某类个体的抽取数量 2分布列概率和： 3特殊情况：当时退化为两点分布 解题方法 1紧扣三要素判断：总体是否分两类、是否不放回抽样、是否关注某类个体数量 2区分超几何分布与二项分布：超几何分布是不放回抽样（概率变化）二项分布是有放回抽样（概率不变） 3易错辨析：若抽样是有放回的则不服从超几何分布服从二项分布 4应用：如产品不放回抽样、分层抽样中的个体数量问题可判定为超几何分布 （24-25高二下·全国·课前预习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，则是否服从超几何分布，请说明理由？经典例题1例题 （23-24高二下·全国·课前预习）判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”．经典例题2例题 （1）超几何分布的总体里只有两类物品．( ) （2）超几何分布的模型是不放回抽样．( ) （3）超几何分布与二项分布的期望值都为np.( ) （4）超几何分布是不放回抽样．( ) （5）超几何分布的总体是只有两类物品．( ) （6）超几何分布与二项分布的均值相同．( ) （7）超几何分布与二项分布没有任何联系．( ) （8）将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X服从超几何分布.( ) （9）盒中有4个白球和3个黑球，有放回地摸取3个球，黑球的个数X服从超几何分布.( ) （10）某射手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X服从超几何分布.( ) 【多选题】下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是（　　）小试牛刀1 A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 （2025高三·全国·专题练习）（多选）下列随机事件中的随机变量X的分布列服从超几何分布的是（    ）小试牛刀2 A．抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 B．有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为 C．盒子中有红球个，黄球个，蓝球个，任取个球，把不是红色的球的个数记为 D．某班级有男生人，女生人，选派名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为 下列随机变量中，服从超几何分布的有______．（填序号）小试牛刀3 ①在10件产品中有3件次品，每次随机取1件且不放回，共取4次，记取到的次品数为X； ②从3台甲型电视机和2台乙型电视机中任取2台，记X表示所取的2台电视机中甲型电视机的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X． 【题型2：超几何分布求概率】 【练方法】 知识梳理 1超几何分布的概率公式：其中为抽到某类个体的数量为从件中取件的组合数为从另一类中取件的组合数为总取法数 2常见概率类型：单点概率、累积概率、区间概率 3对立事件的应用： 常考结论 1超几何分布的概率公式： 2组合数的对称性：可简化计算 3边界情况：当或时 解题方法 1直接公式法：已知直接代入计算 2累积概率计算： 3对立事件简化：复杂概率用计算如 4组合数计算：注意（当或时）简化无效项 （25-26高三下·山东泰安·月考）一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·北京昌平·期末）某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有6名同学参加，其中有4名男生、2名女生．现从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为__________．经典例题2例题 （25-26高三上·天津西青·月考）某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为______；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为______.小试牛刀1 （24-25高二下·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________．小试牛刀2 （25-26高三·天津·一轮复习）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则___．小试牛刀3 【题型3：求超几何分布的均值】 【练方法】 知识梳理 1超几何分布的均值（数学期望）：反映随机变量的平均水平即平均抽到某类个体的数量 2均值的本质：不放回抽样的条件下总体中某类个体的比例乘以抽样数量 3均值的推导：可通过定义公式推导得到 常考结论 1均值公式：若则 2均值的直观意义：总体中某类个体的比例为抽取件时平均抽到的数量为 3与二项分布均值的关系：当很大时超几何分布近似二项分布均值均为（） 解题方法 1直接公式法：已知直接套用计算 2定义公式验证：通过分布列逐项计算验证结果 3实际意义解释：结合题目场景说明均值的含义如“平均抽到的次品数为件” 4易错点：均值公式易误写为本质与一致但需注意参数含义 （2026·天津北辰·一模）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个．现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望______．经典例题1例题 （25-26高二下·上海奉贤·月考）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球，现进行如下试验：逐个不放回地随机摸出3个球，把取到白球的个数记为，则它的期望为______.经典例题2例题 （25-26高三下·浙江杭州·月考）袋中有编号为的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个．记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________．小试牛刀1 （2026·浙江·模拟预测）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：小试牛刀2 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望. （25-26高三上·河北秦皇岛·期末）为研究浙江省小微企业发展状况，某研究机构从“雏鹰计划”项目库中随机抽取 100 家企业进行调研，统计数据显示，这些企业上年度的营业收入增幅（单位：%）分布情况如下：小试牛刀3 增幅分组 企业数量 5 20 30 25 20 注：规定营业收入增幅不低于 30% 的企业为“高成长型企业”. (1)根据以上数据，估计这 100 家企业营业收入增幅的平均值（计算时取各组的组中值代表该组数据）； (2)为进一步研究高成长型企业，现采用分层抽样的方式，从“高成长型企业”中选取 9 家，再从 9 家企业中不放回地抽取 2 家进行实地调研，设抽中 的数量为 ，写出 的概率分布列，并求其数学期望 . 【题型4：求超几何分布的方差】 【练方法】 知识梳理 1超几何分布的方差：反映随机变量取值的波动程度方差越大抽到的数量越不稳定 2方差的推导：可通过公式推导得到 3方差的影响因素：总体数量、某类个体数量、抽样数量均会影响方差大小 常考结论 1方差公式：若则 2与二项分布方差的关系：当很大时有限总体修正因子超几何分布方差近似二项分布方差（） 3有限总体修正因子：表示不放回抽样对方差的修正 解题方法 1直接公式法：已知直接套用计算 2定义公式验证：先求再用验证结果 3近似计算：当时可忽略修正因子近似用二项分布方差公式计算 4易错点：方差公式易漏乘有限总体修正因子导致结果错误 （25-26高三上·江苏南京·月考）3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为______.经典例题1例题 （24-25高三下·陕西西安·月考）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ）经典例题2例题 A．， B．， C．， D．， （23-24高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求：小试牛刀1 (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． （23-24高二下·江苏盐城·期中）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.小试牛刀2 (1)求甲老师答对2个问题的概率； (2)若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求. （22-23高二下·江苏连云港·月考）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：超几何分布与二项分布的综合】 【练方法】 知识梳理 1两种分布的区别： 特征 超几何分布 二项分布 抽样方式 不放回抽样 有放回抽样 概率稳定性 概率随抽样变化 概率始终为 适用场景 总体数量有限、不放回 总体数量大或有放回 均值 （） 方差 2两种分布的联系：当总体数量很大时不放回抽样近似有放回抽样超几何分布近似二项分布 3高考常见综合场景：先判断分布类型再计算概率、均值、方差或进行决策分析 常考结论 1近似条件：当时超几何分布可近似为二项分布 2近似概率： 3近似均值与方差： 解题方法 1分布类型判断：先根据抽样方式、总体数量判断是超几何分布还是二项分布 2超几何分布：用计算 3二项分布：用计算 4近似计算：当时用二项分布近似超几何分布简化计算 5综合决策：结合均值与方差比较不同抽样方案的平均水平与稳定性给出决策建议 （2026·广东惠州·二模）某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为.经典例题1例题 (1)求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率； (3)对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. （25-26高三下·上海浦东新·期中）某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表：经典例题2例题 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (3)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？ （2026·陕西咸阳·模拟预测）已知甲盒中有2个红球，4个白球，乙盒中有3个红球，5个白球，这些球除了颜色外完全相同．小试牛刀1 (1)从甲盒中有放回地取球，每次取1个，共取3次，记这3次中取出红球的次数为随机变量，求的数学期望和方差； (2)从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为随机变量，求的分布列． （2026·广东东莞·模拟预测）一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为.小试牛刀2 (1)求的概率; (2)求Y的分布列与数学期望. （25-26高二·全国·寒假作业）某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图如图：小试牛刀3 (1)求的值； (2)从该流水线上任取2袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列； (3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列. 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽蚌埠·月考）在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏南京·期中）盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是（   ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的 二、多选题 4．（24-25高二下·辽宁·期中）一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（   ） A．X服从超几何分布 B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏常州·期中）下列命题正确的是（   ） A．若随机变量，满足，，则 B．若，，，则 C．若，则 D．若分布，，则 6．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知袋子中放有大小质地完全相同的6个红球和4个黄球，则下列说法正确的有（    ） A．若从袋子中有放回地依次随机摸球，为第1个红球被摸出所需的摸球次数，则 B．若从袋子中不放回地依次随机摸出3个球，为摸出的球中红球的个数，则 C．若从袋子中有放回地依次随机摸出5个球，为摸出红球的次数与摸出黄球的次数之差，则 D．若从袋子中不放回地依次随机摸球，为第3个红球被摸出所需的摸球次数，则 7．（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 三、填空题 8．（24-25高二下·吉林·期中）某班有团员男生5名、女生3名，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则_______. 9．（25-26高三上·江苏南京·月考）袋中有大小、形状完全相同的 8 个白球、4 个黑球，现从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是 X，且，则 Y 的数学期望______． 四、解答题 10．（24-25高二下·北京东城·期中）袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列、期望和方差． 11．（24-25高二下·贵州遵义·期中）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]． (1)求图中x的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 12．（24-25高二下·辽宁大连·期中）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示． (1)求的值； (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列； (3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多1株高度低于的概率． 13．（24-25高二下·陕西咸阳·期中）2017年5月，来自“一带一路” 沿线的 20 国青年评选出了中国的 “新四大发明”，高铁、扫码支付、共享单车和网购，为发展业务，某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内 个人口超过1000万的超大城市和 8 个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计， 若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为 . (1)求的值； (2)若一次抽取3个城市，则： ①假设取出小城市的个数为，求的分布列； ②取出3个城市是同一类城市求全为超大城市的概率. 14．（25-26高三上·北京西城·期中）某项射击比赛的规则如下：比赛可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮比赛，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 9 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 9 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”. (1)若从以上十轮比赛中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； (2)假设甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，用频率估计概率.记X为甲在这三轮比赛中“稳定发挥”的轮数，求X的分布列和数学期望； (3)假设选手乙参加10轮射击比赛，恰有8轮“稳定发挥”.从这10轮比赛中任选2轮，记Y为乙在这两轮比赛中“稳定发挥”的轮数，直接写出与的大小关系（结论不要求证明）. 15．（25-26高三上·重庆·期中）甲、乙两工厂共同生产一种零件， 经过抽样调查， 质检人员发现: 甲工厂生产的一批零件的合格品率为 85%；乙工厂生产的另一批零件的合格品率为 95%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 89%. (1)设甲工厂生产的这批零件有 件，乙工厂生产的这批零件有 件. 求证: ； (2)按照分层随机抽样的方法从两个工厂生产的零件中随机抽取 5 个，再从这 5 个零件中抽取 3 个，记这 3 个零件中来自乙工厂的个数为 ，求 的分布列和数学期望. 16．（25-26高二下·广东·期中）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列； (2)他能过关的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $