专题4.4 利用三角形全等测距离 知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共46题-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题4.4 利用三角形全等测距离『第四章 三角形』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共46题） 〔原卷版〕 1 知识点一 利用三角形全等测距离 1 重点难点 考点讲练 2 题型1：添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合) 2 题型2：倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 2 题型3：旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 2 题型4：垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 5 题型5：其他模型(全等三角形的辅助线问题) 9 题型6：证一条线段等于两条线段和差(全等三角形的辅助线问题) 11 题型7：全等三角形综合问题 14 中考真题 实战演练 2 难度分层 闯关训练 16 【基础夯实 能力提升】 18 【创新拓展 拔尖冲刺】 18 知识点一 利用三角形全等测距离 1.当两点之间可以直接到达时，可以直接测量出两点之间的距离；当两点之间不能直接到达时，可以构造 全等三角形，将不能到达的两点转化到能够到达的两点来进行测量． 2.通过构造全等三角形来进行测量有以下几种方法： 构造两边和它们的夹角对应相等的两个全等三角形； 构造两角和它们的夹边对应相等的两个全等三角形； 构造三边对应相等的两个全等三角形. 总结：利用三角形全等来设计测量方案：首先根据已有的条件和欲测量的问题进行分析，明确要运用哪种方法来构建全等三角形，即将要用到哪种全等的判定方法；然后，在测量方案中把说明两个三角形全等所需要的条件毫无遗漏地“测量到位”． 题型1：添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26七年级下·河南濮阳·月考）如图，已知，要使，则添加的一个条件不可以是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，与相交于点，且是的中点，添加下列条件，不能说明的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，，要使，还需要添加一个条件是 （添加一个即可） 题型2：倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（23-24七年级下·陕西西安·期中）（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【变式训练1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【变式训练2】（24-25七年级下·江西鹰潭·月考）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______； (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明； (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明． 题型3：旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（24-25七年级下·山东济南·期中）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【变式训练1】（2023七年级下·全国·专题练习）在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中． (1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分） (2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是 ． (3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明； (4)如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：； (3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系． 题型4：垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（23-24七年级下·湖北恩施·期末）如图，学生甲学习了全等三角形后，想测草坪旁池塘两岸相对两点，的距离．请你给学生甲设计一个测量方案，并证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． (1)简单说明你设计的方案，并画出图形； (2)证明你的方案的可行性，即证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． 【变式训练1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【变式训练2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    题型5：其他模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． （1）如图1，是的平分线，请你在图1中画出一对以所在直线为对称轴的全等三角形． （2）请你仿照这个作全等三角形的方法，解答下列问题： ①如图2，在中，，，、分别是、的平分线，、相交于点．猜想和之间的数量关系，直接写出结论． ②如图3，在中，如果，而①中的其它条件不变，请问①中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【变式训练2】（2024七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 题型6：证一条线段等于两条线段和差(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（23-24七年级下·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【变式训练1】（23-24七年级下·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【变式训练2】（24-25七年级下·广东佛山·月考）如图，、分别平分、，交于E点． (1)如图1，求的度数．      (2)如图2，过点E的直线分别交、于B、C，猜想、、之间的存在的数量关系：_______．    (3)试证明（2）中的猜想． 题型7：全等三角形综合问题 【典例精讲】（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）回答问题： (1)【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； (2)【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【变式训练1】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）【实践与探究】测量距离 活动1：用“卡钳”工具测定工件内槽的宽 如图1，卡钳是由两根钢条组成，点为，的中点．如果，则 cm．其原理是运用了三角形全等判定方法中的 ．（填“”或“”或“”或“”） 活动2：测量隔着池塘的两点，之间的距离 如图2，小聪设计的测量隔着池塘的两点，之间距离的具体操作如下： （1）将标杆垂直立在池塘岸边的点处，再将激光笔固定在标杆的顶部处； （2）调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点处； （3）保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，这时激光笔射出的光线落在同岸的点处； （4）测量 的长即为，之间的距离．请你用学过的知识说明通过以上步骤能测出，之间距离的道理． 【变式训练2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为4，2，1，则四边形的面积为 ． 1．（2024·重庆·中考真题）如图， 已知在和中，，．则添加下列条件不能使和全等的是（      ） A． B． C． D． 2．（2024·河南开封·中考真题）如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 4．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，已知四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使与全等． 5．（2024·全国·中考真题）甲、乙两位同学想要测量某公园池塘两端A，B的距离，分别设计了如下两种方案． 甲同学：如图①，①在平地上取可以直接到达点A，B的一点O； ②连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使，； ③连接DC，测出DC的长，即为池塘两端A，B的距离． 乙同学：如图②，①确定射线AB，过点B作直线BE； ②在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA； ③作，交射线AB于点C； ④测量BC的长，即为池塘两端A，B的距离． (1)甲同学的方案是否可行？请说明理由． (2)如果乙同学将方案进行修改，请你添加一个条件使乙同学的方案可行，并说明理由． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D．平分 2．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知，，要得到，还应给出的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知点A，B，C，D在同一直线上，且，，添加下列条件中的一个后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是 ． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，添加一个条件 ，使．（不添加辅助线和点） 6．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，如果要利用“”证明成立，那么还需增加一个条件 ． 7．（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，已知点B，C，F，E在同一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（答案不唯一）．（只需写出一个） 8．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 9．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点四点在同一条直线上，，若______，则．请从①；②；③；从三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在和中，点E，F在BC上，，．添加下列条件仍无法证明的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在长方形ABCD中，，．延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，沿B—C—D—A向终点A运动，每秒运动2个单位长度．设点P的运动时间为ts，当和全等时，t的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 3．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，，，则图中全等三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在和中，，，现添加一个条件证明， 下列符合要求的条件有 个（填个数）． ①    ②   ③    ④ 5．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，，点、分别在、上，连接、．要使，则可添加的一个条件是 ．（填序号）①②③④ 6．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，直线l经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动，点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束，在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为，则与全等时，t的值为 ． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于，交于，，，，则周长为 ． 8．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）【问题背景】 如图①，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长FD到点G，使，连接AG，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是________________________． 【探索延伸】 （2）如图②，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点．若，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）奇思利用一根长3m的竿子来测量电线杆AB的高度．他的方法如下：如图，在电线杆前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子CD（）在BP的延长线上左右移动，使，此时测得．已知，，请计算出电线杆AB的高度． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题4.4 利用三角形全等测距离『第四章 三角形』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共46题） 〔解析版〕 1 知识点一 利用三角形全等测距离 1 重点难点 考点讲练 2 题型1：添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合) 2 题型2：倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 4 题型3：旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 10 题型4：垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 17 题型5：其他模型(全等三角形的辅助线问题) 22 题型6：证一条线段等于两条线段和差(全等三角形的辅助线问题) 30 题型7：全等三角形综合问题 36 中考真题 实战演练 42 难度分层 闯关训练 47 【基础夯实 能力提升】 47 【创新拓展 拔尖冲刺】 54 知识点一 利用三角形全等测距离 1.当两点之间可以直接到达时，可以直接测量出两点之间的距离；当两点之间不能直接到达时，可以构造 全等三角形，将不能到达的两点转化到能够到达的两点来进行测量． 2.通过构造全等三角形来进行测量有以下几种方法： 构造两边和它们的夹角对应相等的两个全等三角形； 构造两角和它们的夹边对应相等的两个全等三角形； 构造三边对应相等的两个全等三角形. 总结：利用三角形全等来设计测量方案：首先根据已有的条件和欲测量的问题进行分析，明确要运用哪种方法来构建全等三角形，即将要用到哪种全等的判定方法；然后，在测量方案中把说明两个三角形全等所需要的条件毫无遗漏地“测量到位”． 题型1：添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26七年级下·河南濮阳·月考）如图，已知，要使，则添加的一个条件不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据全等三角形的判定条件，逐项判断即可． 【规范解答】解：A、已知，，，则，所以A选项正确，不符合题意； B、由得到，结合，，则，所以B选项正确，不符合题意； C、已知，，，则不能证明三角形全等，所以C选项错误，符合题意； D、已知，，，则，所以D选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，与相交于点，且是的中点，添加下列条件，不能说明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】已知是中点，可得，且（对顶角相等）．根据全等三角形判定定理（、、），逐一分析添加各选项条件后能否判定．本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、）是解题的关键． 【规范解答】解：是的中点， ， 又（对顶角相等）． 若添加 ，，， ，故项正确，不符合题意． 若添加 ，，， ，故项正确，不符合题意． 若添加 ，，， ，故项正确，不符合题意． 若添加 此时是“边边角”的情况，不能判定，故项错误，符合题意． 故选：． 【变式训练2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，，要使，还需要添加一个条件是 （添加一个即可） 【答案】或或（添加一个即可） 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理，结合已知的相等关系，求解即可． 【规范解答】在和中，，， 添加，用边角边证； 添加，用角边角证； 添加，用角角边证； 故答案为：或或． 题型2：倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（23-24七年级下·陕西西安·期中）（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3） 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，倍长中线法证全等，正确添加辅助线是解题的关键． （1）根据已知条件证明，得出，则； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明 ，进而证明，即可得证． 【规范解答】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式训练1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【答案】见解析 【思路点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解三角形中线的定义，大边对大角，延长至点E，使，连接，根据三角形中线定义得，进而依据判定得，，再由得，继而根据“大边对大角”得，由此即可得出结论． 【规范解答】解：延长至点E，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（24-25七年级下·江西鹰潭·月考）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______； (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明； (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系和位置关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)，．理由见解析 (3)，．证明见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理．通过“倍长中线法”构造全等三角形，将分散的边、角条件集中到同一三角形中，结合三角形三边关系、全等三角形性质及角度推导解决问题．灵活运用全等判定（）和性质，以及角度之间的转化（如补角、内错角等）是解题的关键． （1）利用倍长中线构造全等，将转化为，再用三边关系确定范围； （2）由全等三角形对应边、角相等，推导与的数量和位置关系； （3）再次倍长中线构造全等，结合角度关系证明三角形全等，进而确定与的数量和位置关系． 【规范解答】（1）解：延长到点M，使，连接， D是中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， 又， ，即． 故答案为：． （2），．理由如下： ， ，， ． （3），．证明如下： 如图，延长到点Q，使得，连接． 同理可证， ，． ， ． 在中，， ， ． ， ， ． 在和中 ， ，． 如图，延长交于点P． ， ， ， ， ． ， ． ， ． 综上所述，，． 题型3：旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（24-25七年级下·山东济南·期中）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)18 【思路点拨】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 【变式训练1】（2023七年级下·全国·专题练习）在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中． (1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分） (2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是 ． (3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明； (4)如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)仍然成立，证明见解析 (4)195海里 【思路点拨】（1）在上方作，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系； （3）延长到，使，连接，证明和，得到答案； （4）连接，延长、交于点，得到，根据距离、速度和时间的关系计算即可． 【规范解答】（1）在上方作，使，连接， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 添加辅助线：在上方作，使，连接，成功了； （2）延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 故答案为：； （3）结论仍然成立， 证明：延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （4）如图4，连接，延长、交于点， ， ， ， ， ， 符合（3）中的条件， 结论成立， 即（海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是195海里． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：； (3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【思路点拨】（1）在中，根据点D是的中点，得出，由，是直角三角尺，得出，从而得到，在和中，立即证明全等，由性质即可解答； （2）根据，得出，，，从而得到，由于是含45°直角三角尺，推出，利用即可证明和全等，从而求解； （3）猜想：，理由：根据和，得出，又根据，等量代换得到从而证明． 【规范解答】（1）证明：在中，∵，， ∴， 又∵点D是的中点， ∴，且， ∴， 又∵是直角三角尺， ∴，即， ∴ 在和中 ∴， ∴； （2）证明：∵ ∴，， ∴，且由于是含45°直角三角尺， ∴， ∴ 即 在和中 ∴， ∴； （3）解：作图正确（如图所示） 猜想：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型4：垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（23-24七年级下·湖北恩施·期末）如图，学生甲学习了全等三角形后，想测草坪旁池塘两岸相对两点，的距离．请你给学生甲设计一个测量方案，并证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． (1)简单说明你设计的方案，并画出图形； (2)证明你的方案的可行性，即证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． 【答案】(1)方案见解析； (2)证明见解析． 【思路点拨】本题考查全等三角形的应用---方案设计，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键， （1）根据全等三角形的性质设计图形即可； （2）利用“”即可证明方案的可行性． 【规范解答】（1）解：如图所示： 过B作，过D作，取的中点C，连接并延长交于点E 测量线段的长即可． （2）证明：∵，， ∴ ， ∵C为的中点， ∴， ∴在和中： ∴， ∴． 【变式训练1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【答案】（1）①②；（2）结论，理由见解析；（3） 【思路点拨】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【规范解答】解：（1）①， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； 故答案为： ②由①知， ， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    【答案】 【思路点拨】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【规范解答】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 题型5：其他模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． （1）如图1，是的平分线，请你在图1中画出一对以所在直线为对称轴的全等三角形． （2）请你仿照这个作全等三角形的方法，解答下列问题： ①如图2，在中，，，、分别是、的平分线，、相交于点．猜想和之间的数量关系，直接写出结论． ②如图3，在中，如果，而①中的其它条件不变，请问①中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①FE=FD．②结论FE=FD仍然成立，证明见解析． 【思路点拨】（1）根据SAS可知：在∠MON的两边上取格点M、N，使OM=ON，在角平分线OP上取格点Q，连接QM、QN所构成的两个三角形△OQM与△OQN全等，且它们关于OP对称； （2）①在AC上截取AG=AE，则EF=FG；根据ASA证明△FCD≌△FCG，得DF=FG，故判断EF=FD；②在AC上截取AH=AE，证得△EAF≌△GAF（SAS），得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG，进而得出AC的长度． 【规范解答】解：（1）如图，△OQM与△OQN即为所求作， ∵OP是∠MON的平分线， ∴∠MOP=∠NOP， ∵OM=ON，OP= OP， ∴△OQM≌△OQN； （2）①FE=FD． 如图，在AC上截取AG=AE，连接FG． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAF=∠GAF， 在△EAF和△GAF中， ∵， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴FE=FG， ∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， ∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，且∠EAF=∠GAF， ∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=(180°-∠B)=60°， ∴∠AFC=120°， ∴∠CFD=60°=∠CFG， ∴∠AFG=60°， 又∵∠EFA =∠CFD=60°， ∴∠EFA=∠GFA =60°， 在△FDC和△FGC中， ∵， ∴△FDC≌△FGC（ASA）， ∴FD=FG． ∴FE=FD． ②结论FE=FD仍然成立． 在AC上截取如图： 同①可得△EAF≌△HAF， ∴FE=FH，∠EFA=∠HFA． ∵∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB， ∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=(180°-∠B)=60°． ∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°． ∴∠EFA=∠HFA=180°-120°=60°． 同①可得△FDC≌△FHC， ∴FD=FH． ∴FE=FD． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）不成立，应当是，见解析 【思路点拨】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）先证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【规范解答】证明：延长到G，使，连接．    ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵ ∴． ∴． ∵． ∴ （2）（1）中的结论仍然成立． ， ， 在与中， ， ， ， ， 即 在与中 ， ， 即， ； （3）结论不成立，应当是． 证明：在上截取，使连接．    ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 【变式训练2】（2024七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【答案】见解析 【思路点拨】法一：因为AB＞AC，所以在AB上截取线段AE＝AC，则BE＝AB－AC，连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE，再证明ME＝MC，则结论成立． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，证明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根据三角形的三边关系即可求解． 【规范解答】证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME， 在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）, ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG， 同理可证得△ABM≌△AGM（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC 即MB－MC＜AB－AC． 题型6：证一条线段等于两条线段和差(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（23-24七年级下·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【答案】(1)图见解析， (2)成立，证明见解析 (3) 【思路点拨】（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【规范解答】（1）解：补全图形，如图：    解题思路为先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 故答案为：． 【变式训练1】（23-24七年级下·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2）①AC   ②DF，见解析 （3） 【思路点拨】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【规范解答】（1）． 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF． 辅助线如图1所示．    （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【变式训练2】（24-25七年级下·广东佛山·月考）如图，、分别平分、，交于E点． (1)如图1，求的度数．      (2)如图2，过点E的直线分别交、于B、C，猜想、、之间的存在的数量关系：_______．    (3)试证明（2）中的猜想． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【思路点拨】（1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，，利用三角形内角和定理整体计算即可； （2）根据图形猜想即可； （3）在上截取，连接，证明得到，进一步推出，再证明，可得，进而证明． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴ ； （2）猜想：； （3） 证明：在上截取，连接．    平分， ． 在和中， ，，， ， ． ， ， 又， ． 平分， ． 在和中， ，，， ， ， ．即． 题型7：全等三角形综合问题 【典例精讲】（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）回答问题： (1)【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； (2)【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】(1) (2)仍成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【思路点拨】（1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． 【规范解答】（1）解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； （2）解：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； （3）解：，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【变式训练1】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）【实践与探究】测量距离 活动1：用“卡钳”工具测定工件内槽的宽 如图1，卡钳是由两根钢条组成，点为，的中点．如果，则 cm．其原理是运用了三角形全等判定方法中的 ．（填“”或“”或“”或“”） 活动2：测量隔着池塘的两点，之间的距离 如图2，小聪设计的测量隔着池塘的两点，之间距离的具体操作如下： （1）将标杆垂直立在池塘岸边的点处，再将激光笔固定在标杆的顶部处； （2）调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点处； （3）保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，这时激光笔射出的光线落在同岸的点处； （4）测量 的长即为，之间的距离．请你用学过的知识说明通过以上步骤能测出，之间距离的道理． 【答案】活动1：8；；活动2： 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键. 活动1：由题意可得，，，再根据对顶角相等可得，即可利用“”证明，可得，即可求解； 活动2：由题意得，，，，利用“”证明，可得，即可求解． 【规范解答】解：活动1：∵O为、的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：8，； 活动2：测量的长即为A、B之间距离，证明过程如下： 由题意得，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即测量的长即为A、B之间距离， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为4，2，1，则四边形的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查三角形全等的性质与判定，分别过点作的垂线，分别交直线于点，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案． 【规范解答】解：分别过点作的垂线，分别交直线于点， 则， ∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ∴， ∴，，， 同理可得：， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 1．（2024·重庆·中考真题）如图， 已知在和中，，．则添加下列条件不能使和全等的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，通过已知条件和添加的条件逐一判断每个选项能否证明两个三角形全等，再选出正确答案即可． 【规范解答】解：∵， ∴，即， A项：添加，可利用证明和全等，不符合题意； B项：添加，不能证明和全等，符合题意； C项：添加，可利用证明和全等，不符合题意； D项：添加，可利用证明和全等，不符合题意． 故选：B． 2．（2024·河南开封·中考真题）如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，分别判断各个选项中的条件能否使得 即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、添加，不能证明，原选项符合题意； 故选：． 3．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、．根据全等三角形的判定方法结合添加的条件逐一分析即可． 【规范解答】解：①由，，得到，又，由判定，故①符合题意； ②由，推出，而，可得，结合，由判定，故②符合题意； ③如图，记交点为， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴由判定，故③符合题意； ④增加添加，不能判定，故④不符合题意． 增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是①②③． 故答案为：①②③． 4．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，已知四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使与全等． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．设点的运动速度为，运动的时间为，则，，由点为线段的中点得到，由于，根据全等三角形的判定得到当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别求出即可． 【规范解答】解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，， 点为线段的中点， ， ， 当，时，， 即，， 解得，， 即此时点的运动速度为； 当，时，， 即，， 解得，， 即此时点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：或． 5．（2024·全国·中考真题）甲、乙两位同学想要测量某公园池塘两端A，B的距离，分别设计了如下两种方案． 甲同学：如图①，①在平地上取可以直接到达点A，B的一点O； ②连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使，； ③连接DC，测出DC的长，即为池塘两端A，B的距离． 乙同学：如图②，①确定射线AB，过点B作直线BE； ②在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA； ③作，交射线AB于点C； ④测量BC的长，即为池塘两端A，B的距离． (1)甲同学的方案是否可行？请说明理由． (2)如果乙同学将方案进行修改，请你添加一个条件使乙同学的方案可行，并说明理由． 【答案】(1)甲同学的方案可行，理由见解析 (2)增加条件．理由见解析 【思路点拨】本题考查了利用三角形全等求距离，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键； （1）通过证明三角形全等得到线段相等即可； （2）通过添加条件构建全等三角形，进而使方案可行. 【规范解答】（1）解：甲同学的方案可行，理由如下： 在和中 ， ∴， ∴． （2）解：增加条件．理由如下： ∵， ∴． ∴在和中 ， ∴， ∴． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【思路点拨】本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．要判定，已知，是公共边，具备了两组边对应相等，故添加、、平分后可分别根据、、能判定，而添加后则不能． 【规范解答】解：A、添加，根据，能判定，故A选项不符合题意； B、添加时，不能判定，故B选项符合题意； C、添加，根据，能判定，故C选项不符合题意； D、添加平分，得出，根据，能判定，故D选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知，，要得到，还应给出的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的判定，根据，，再结合选项添加的条件逐一分析即可． 【规范解答】解：∵，， 添加：， ∴， 可以由证明，故A符合题意； 添加：， 不能证明，故B不符合题意； 添加： 而不是对应边，不可以证明，故C不符合题意； 添加：， ∴， ∴， 不能证明，故D不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知点A，B，C，D在同一直线上，且，，添加下列条件中的一个后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的判定方法一一判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 添加：， ∴， ∵ 符合全等三角形的判定定理，能推出，故A不符合题意； 添加，符合全等三角形的判定定理，能推出，故B不符合题意； 添加，符合全等三角形的判定定理，能推出，故C不符合题意； 添加，则，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故D符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质：通过“角边角()”判定和全等，利用全等三角形对应边相等的性质得出；再根据三角形面积公式的应用：将的面积拆分为和的面积之和，再根据三角形面积公式进行计算即可解答． 【规范解答】解：∵，， ∴， 在和中：， ∴， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ， ， ∴． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，添加一个条件 ，使．（不添加辅助线和点） 【答案】或或 【思路点拨】本题考查添加一个条件使两个三角形全等，涉及两个三角形全等的判定定理，熟记两个三角形全等的判定定理、和是解决问题的关键．由图可知与有公共边，再由，结合、和判定即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示： 与有公共边， ， 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 故答案为：或或． 6．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，如果要利用“”证明成立，那么还需增加一个条件 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【规范解答】证明：在和中， ， ∴， ∴要利用“”证明成立，还需增加一个条件． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，已知点B，C，F，E在同一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（答案不唯一）．（只需写出一个） 【答案】 【思路点拨】由已知，，可根据全等三角形的判定，只需补充或或其中一个都行，答案不唯一． 本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定的一般方法：、、、、，根据已知和图形添加正确的条件是解答的关键． 【规范解答】可添加，由，，，根据可判定， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．先证明，再结合证明，即可得到结论． 【规范解答】解：∵和的夹角为， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：教学楼的高度为． 9．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【答案】①或③ 【思路点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．当选择①时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等；当选择②时，不能判定和全等；当选择③时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等，据此即可得出答案． 【规范解答】解：当选择①时， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 当选择②时， ∵， ∴， 在和中， ， 此条件不符合全等三角形的判定定理，不能判定和全等； 当选择③时， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴选择条件①或③能够判定和全等． 故答案为：①或③． 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点四点在同一条直线上，，若______，则．请从①；②；③；从三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】选①，理由见解析 【思路点拨】本题考查的是添加条件证明三角形全等；分别添加三个条件中的1个，结合全等三角形的判定方法逐一分析即可. 【规范解答】解：选①，理由如下： ， ， 即． 在和中， ， ； 选②不能得到结论， 选③：理由如下： 在和中， ， . 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在和中，点E，F在BC上，，．添加下列条件仍无法证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先由推出，结合已知，逐一判断各选项添加的条件是否符合全等三角形的判定定理，找出无法证明全等的选项． 【规范解答】解：∵， ∴，即， A、添加，结合，符合，可证，不符合题意； B、添加，结合，符合，可证，不符合题意； C、添加，结合，符合，可证，不符合题意； D、添加，此时是，无法判定，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在长方形ABCD中，，．延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，沿B—C—D—A向终点A运动，每秒运动2个单位长度．设点P的运动时间为ts，当和全等时，t的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【答案】C 【思路点拨】先明确长方形的边长，再根据全等三角形的对应边相等，分两种全等情况，确定动点P的位置，结合P的运动速度计算运动时间t． 【规范解答】解：由题意，可分两种情况讨论： ①当时，，此时点P在BC上，所以； ②当时，，此时点P在AD上，所以． 综上所述，的值为1或7． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，，，则图中全等三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【思路点拨】先根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD的形状，再利用平行四边形的性质，结合全等三角形的判定定理，逐一找出图中的全等三角形． 【规范解答】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ，由SSS判定全等； ，由SSS判定全等； ，由SAS判定全等； ，由SAS判定全等． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在和中，，，现添加一个条件证明， 下列符合要求的条件有 个（填个数）． ①    ②   ③    ④ 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件并灵活运用．根据全等三角形的判定方法，利用、、即可得出答案． 【规范解答】解：∵，， ∴当时，由可得，故①符合题意； 当时，则，由可得，故②符合题意； 当时，则，由可得，故③符合题意； 当时，不能得出，故④不符合题意； ∴符合要求的条件有3个． 故答案为：3 5．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，，点、分别在、上，连接、．要使，则可添加的一个条件是 ．（填序号）①②③④ 【答案】②③④ 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．根据不能判定三角形全等可得①不符合题意；根据定理即可得②符合题意；根据定理即可得③符合题意；先根据线段和差可得，再根据定理即可得④符合题意；由此即可得． 【规范解答】解：①添加， 在和中，，，，根据不能判定，则①不符合题意； ②添加， 在和中，， ∴，则②符合题意； ③添加， 在和中，， ∴，则③符合题意； ④添加， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴，则④符合题意； 综上，可添加的一个条件是②③④， 故答案为：②③④． 6．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，直线l经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动，点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束，在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为，则与全等时，t的值为 ． 【答案】2或或8 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【规范解答】解：分以下三种情况讨论： ①如图1，当Q在上，点P在上时，作，， 由题意得，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，，， ∵，， ∴，， 当时， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 综上所述：当或或8时，与全等． 故答案为：2或或8． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于，交于，，，，则周长为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的意义，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键． 延长交于N，延长交于M，可证，有；同理可证明，有，再证明，则有；由即可求解． 【规范解答】解：如图，延长交于N，延长交于M， ∵， ∴； ∵平分， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 同理可证明，有； 在与中， ， ∴， ∴； ∵，， ∴ ． 故答案为：6． 8．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【思路点拨】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 【规范解答】解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）【问题背景】 如图①，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长FD到点G，使，连接AG，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是________________________． 【探索延伸】 （2）如图②，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点．若，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析 【思路点拨】（1）延长到点，使得，连接．通过可证，根据全等三角形的性质得到，，再通过证明，根据全等三角形的性质得到，根据角的和差计算即可求解； （2）延长到点，使得．通过可证，根据全等三角形的性质得到，，再通过证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可求解． 【规范解答】解：（1） 【提示】如图所示，延长到点，使得，连接． ， ． 在和中， ， ，． ，， ． 在和中， ， ． ， ． （2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图所示，延长到点，使得． ，， ． 在和中， ， ，， ． ， ． 在和中， ， ， ． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）奇思利用一根长3m的竿子来测量电线杆AB的高度．他的方法如下：如图，在电线杆前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子CD（）在BP的延长线上左右移动，使，此时测得．已知，，请计算出电线杆AB的高度． 【答案】 【思路点拨】先由垂直条件得到直角相等，再通过角度计算得出一组角相等，结合已知的边相等，证明两个三角形全等，最后利用全等三角形的对应边相等，计算出电线杆AB的高度． 【规范解答】解：∵，， ∴． ∵，， ∴． 在和中 ∴， ∴． ∵，， ∴， 即． 故电线杆AB的高度是． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $