山东菏泽第一中学2025-2026学年高二下学期期中模拟数学试题

高二数学期中考前模拟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数f(x)=xnx+x2-2,则曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为） A.y=x B.y=-2x+3C.y=-3x+4 D.y=3x-4 2.己知函数f(x)=x3+ax2+bx在x=1处取得极值-4，则a-b=() A.-9 B.-5 C.5 D.9 3.不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同， 一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是() A号 B号 c D品 4.已知(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则a1+a2+…+a5=() A.80 B.81 C.242 D.243 5.某旅游团3名导游和30名游客站成两排拍照留念，要求第一排站15人，第二排站18人，则3名导游站在 一起且站在第一排的排法总数为() A.A1A月 B.C30A3A18 C.AAA D.C32A3A3AI8 6.函数f)=+-的大致图象为) √x2+1-x 7.已知函数f(x)=+ln(x-1)在[2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为() A.(-∞，1) B.(-∞，1] C.(-∞，2) D.(-∞，2] 8已知定义在R上的函数f)的导函数为f'),且f@到+f包)=，f0)=1,则)，f2,fe)的大小 关系为() A.f(1)<f(2)<f(e) B.f(e)<f(2)<f(1) C.f(2)<f(1)<f(e) D.f(e)<f(1)<f(2) 高二数学试题 (第1页，共4页) 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.函数f(x)=ax3+bx2-3x+1的图象如图所示，则下列说法正确的是() A.a=-3b=-2 B.若方程f)=m(m∈R)有3个不同的实数根，则m∈(1，) C.直线y=-3x是曲线y=f(x)的切线 D.点(-2，)是曲线y=fx)的对称中心 10.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉在1261年所著的详解 九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.在“杨辉三角”中.除每行（不含第0行）两边的数都是 1外.其余每个数都是其“肩上”的两个数之和.例如：第4行的6为第3行中两个3的和.则下列说法正确 的是() 第0行 1 A.第6行从左到右第4个数是20 第1行 11 第2行 121 B.第n行的所有数字之和为2n-1 第3行 1331 C.第2025行中从左到右第1013个数和第1014个数相等， 第4行 14641 第5行15101051 且是该行中最大的数 D.若存在k∈N*,使得{C吹+1-C$(neN*且n≥3)为公差不为0的等差数列，则C品+kC品+k2C院+…+ k-1c呀=(3m-1) 11.已知函数f(x)=2xnx+ax2-x,则下列说法正确的是() A当a=0时，f的极小值为-是 B.若存在x∈(0，+o),使得f(x)>≥0，则a[-2e,+o∞) C.当a=-时，f)>ar无解 D.若f(x)在(0，+o)上不存在极值，则a≤-e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2+x)(1-x)5展开式中x3的系数为 13.为了落实五育并举，全面发展学生素质，某学校准备组建书法、音乐、美术三个社团，现将5名同学分 配到这3个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案的 种数为 14.已知lnx≤aex+lna对任意x∈(0，+o)恒成立，则实数a的取值范围是一 高二数学试题（第2页，共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 某中学预计在“五·四”青年节当天，为高三学生举办成人礼活动，用以激励在备考中的高三学生。 共准备了五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言 不同的要求，求本次活动的安排方法 (1)三个发言不能相邻，有多少种安排方法？ (2)励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？ (3)往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，有多少种安排方法？（结果用数字作答） 16.(本小题15分) 在(Vx-)的展开式中. (1)求二项式系数最大的项： (2)若第k项是有理项，求k的取值集合； (3)系数的绝对值最大的项是第几项. 17.(本小题15分) 已知函数f(x)=ex-(a+1)x,曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线斜率为-1. (1)求a的值； (2)求f(x)在区间[0,2]上的最值. 高二数学试题（第3页，共4页） 18.(本小题17分) 已知函数f(x)=x(x-3)2. 学工处 (1)求函数f(x)的单调区间： 根据 (2)若函数f(x)在(a,a+4)上存在最大值，求实数a的范围； (3)过点(0，m)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的范围. 19.(本小题17分) 已知函数f(x)=lnx+ax. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范围； (3)当a=1时，证明：f(x)<ex+x-2. 高二数学试题（第4页，共4页） 高二数学期中考前模拟答案 1.D2.D3.B4.C5.D6.B7.B8.B 9.ABD10.AcD11.ABD.12.-1013.15014.[B+ 15.解：(1)14400种：(2)30960种情况.(3)20160种情况， 17.解：(1)a=1:(2)f(x)在区间[0,2]上的最大值为e2-4,最小值为2-21n2. 6.解：由Vx2+1>x≥x,得Vx2+1-x>0恒成立，故x∈R, 令t=V2+i-x,则t>0,得g0=gt>0,则g因=1把，t>0, 由g(t)>0,得0<t<e,由g(t)<0,得t>e,故函数g(t)在(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减， =-,得=高-1=雲 √x2+1 因为Nx2+1-x>0,所以==平<0，则函数t=Vx2+-x在R上单调递减， √x2+1 当x=0时，得t=1,且x→+o,得t→0，x→-oo,得t→+oo,得当x>0时，0<t<1, 当x<0时，得t>1,故存在x0∈(-o,0),使得Vx02+1-x0=e, 由函数g(t)在(0，e)上单调递增，在(e,+oo)上单调递减， 得函数f(x)在(-∞，xo)上单调递增，在(xo,+∞)上单调递减，结合四个选项的函数单调性，只有B项满足。 8条，由+f-点，到四+ea-1-0, 令g(x)=exf(x)-x,则g(x)=ef(z)+ef(x)-1=0,所以g(x)=exf(x)-x=C(C为常数)， 又f0)=1,则1=C,所以e*f)-x=1,得到f)=告，又f回)=二， 当x>0时，fa)=。二<0，所以f)=在区间0，+o)上单调递减， 又1<2<e,所以f(e)<f(2)<f1). 故选：B 10.解：对A,第6行从左到右第4个数等于第5行的第3、第4个数之和，即10+10=20，A正确： 对B,第n行的数字即为(a+b)”的展开式的二项式系数，所以其所有数字之和为2”，B错误； 对C,第2025行从左到右的数分别为(a+b)2025展开式中的二项式系数， 其中从左到右第1013个数和第1014个数分别为C28,C28， 由二项式系数的性质可知C28:=C282,且在二项式系数中最大，C正确： 对D,因为k∈N*,，n≥3，所以k的可能取值有1,2,3， 当k=1时，Ch+1-C1=1,此时{C+1-C$}为常数列，不满足题意： 当k=2时，C%1-C哈=+Dm-m=n,此时C略1-C为公差为1的等差数列： 2 当k=3时，c品1-C=+--@-)-2=,显然不是等差数列. 综上，若{C略+1-C略}nEN*且n≥3)为公差不为0的等差数列，则k=2. 则C1+kC晚+k2C3+…+kn-1C%=CH+2C经+22C院+…+2n-1C% =(C2+2C5+2C%+2C2+…+2nc)-克=1+2)m-=(3-1),D正确. 故选：ACD 11.解：对A,当a=0时，f(x)=2xnx-x,易知其定义域为(0，+o), 因为f'()=21nx+1,由f'()=0,得到x=e2, 当0<x<e时，f(e)<0,当x>e时，f(e)>0, 所以f)在0，e)上单调递减，在(e之，+o上单调递增， 所以x=e提f的极小值点。极小值为e)=20血e-c=-2c寸=-石，故选项4正确： 对B,当x∈(0，+o)时，由f)≥0，得到2xnx+ax2-x>0,所以2x->-a, 令)=2->0，则g四=3-令g'()=0,得到红=e, 当0<x<e2时，9(e)>0,当x>e时，ge)<0, 则g)=一x>0)在(0，e)上单调递增，在(。侵，+上单调递减， 所以0-2山g-子期-e≤导利到如>后=如，故越项8痛 2 e 对于选项C,当a=-时，f()>ax,即2xnx-2x2-x>-2x,得到2xnx-x2-2x>0, 又当r=,2h---2x----0， 所以当a=-时，f(x)≥ax有解，故选项C错误： 对于选项D,f'(x)=2lnx+2ax+1,由题知f'(x)≥0或f'(x)≤0恒成立， 即2nx+1≥-2a或2nx+1<-2a恒成立， 令h()=2牛(c>0),则n')=1,令h'(倒=0，得到z=e, 当0<x<e时，h(x)>0,当x>ei时，h(x)<0, 则()=中(c>0)在区间0，c心)上单调递增，在区间(e,+o）上单调递减， 所以M≤Me)-2血c+1-2,所以-2a≥2e,即a≤-e,故选项D正确.故选：ABD. e l4.解：lnx≤aex+lna→lnx≤ex+lna+lna→x+lnx≤ex+lna+x+lna, 故elnx+lnx≤ex+lna+x+lna对任意x∈(0，+o)恒成立， 设f(x)=ex+x,则fnx)≤f(x+lna), 因为f(x)=ex+x在R上单调递增，所以lnx≤x+lna,故lnx-x≤lna, 令g()=lnx-xx∈(0，+∞)，g'x)=是-1=￥，令g'()>0得0<x<1,令g)<0得x>1, 故g(x)=lnx-x在x∈(0,1)上单调递增，在x∈(1，+oo)上单调递减， 故g(x)=lnx-x在x=1处取得极大值，也是最大值，且最大值为g(1)=-1, 所以-1≤lna,解得a∈眼，+∞） 故答案为：尼+∞) 16.解：（四(V-)°的展开式的通项为T+1=Cg(V国-（-）=(-1)rC2rx4,r=01,“8, 二项式系数最大的项为中间项，即第5项，所以T,=（-1)4C24x4翌=1120x6 ②r+1=c(6V冈8r(3)'=(-1rC52rx+,r=0,1…8, 当4-r为整数时为有理项，即r=02,46,8,则k的取值集合为1,35,79： 2 (3)设第r+1项的系数的绝对值最大，则C52之Cg121, Cg2”≥C+12r+1所以 1 2 ,解得5≤r≤6， =2+1 故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项. 17.解：(1)a=1: (2)因为f(x)=ex-2x,则f'(x)=ex-2,令f'(x)=0,解得x=ln2, 则当x∈(0，ln2)时，f'(x)<0,故f(x)在(0，ln2)上单调递减， 当x∈(In2,2)时，f'(x)>0,故f(x)在(0，ln2)上单调递增， 且f(0)=1,f0n2)=2-2ln2,f(2)=e2-4, 则f(x)在区间[0,2]上的最大值为e2-4,最小值为2-2ln2, 18.解：（①）f)的单调增区间是（←0,1)和3，+oo):单调减区间是(1,3)： (2)因为f(1)=f(4)=4,所以a<1<a+4≤4，所以-3<a≤0： (3)设曲线y=f(x)上一点(xo,y0),则该点处的切线是y-yo=3(x0-1)xo-3)(x-xo), 因为过点(0，m)可作曲线y=f(x)的三条切线， 则方程m-o=3(x0-1)(x,-3)(0-xo)有三个不同的解，即2x02(x-3)+m=0有三个不同的解， 令g(x)=2x2(x-3)+m,所以g(x)=6x(x-2), 所以g(x)在(-∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增. 所以g(x)极大=g(0)=m>0,9)极小=9(2)=m-8<0, 所以0<m<8. 19.解：(1)函数f)=lx+ax的定义域为(0，+o),且f)=+a=, 当a≥0时，对于x>0,1+ax>0,所以f'(x)>0,则f(x)在(0，+∞)上单调递增， 当a<0时，令f()=0,即=0，因为x>0,所以1+ax=0,解得x=-君 则当0<x<-时，f'(x)>0,f单调递增，当x>-时，f')<0,fx)单调递减， 综上，当a≥0时，f(x)在(0，+o)上单调递增， 当a<0时，f(x)在(0，-)上单调递增，f(x)在(-，+∞)上单调递减： (2)由(1)可知，当a≥0时，f(x)在(0，+o)上单调递增，且x→+o时，f(x)→+o,所以f(x)≤0不恒成立， 当a<0时，f)在(0，-上单调递增，在(-+)止单调递减，所以f()在x=-处取得最大值， 且f(-3=ln(-3+a×(-3=ln(-3-1, 要使f)≤恒成立，则f(-月≤0，即n(-月-1≤0，所以0<-≤e,解得a≤-日 综上，a的取值范围是(-o,-: (3)证明：当a=1时，f(x)=lnx+x,要证f(x)<ex+x-2,即证ex-lnx-2>0, 设g()=e*-1mx-2,其定义域为(0，+o),可得g6)=e- 因为y=e*在(0，+∞)上单调递增，y=-在(0，+∞)上单调递增， 所以g(x)在(0，+oo)上单调递增， 又g四=e-1>0,g咱=VE-2<0,所以存在o∈，1)，使得g)=e-=0, 即e=品两边取对数可得x0=-ln0,则当0<x<0时，g)<0,96)单调递减， 当x>x时，g'(x)>0,g(x)单调递增，所以g(x)在x=x处取得最小值， 且g）=e-1-2=+-2, 因为e6,所以吗+%>2层×0=2，则g0)=六+6-2>0， 所以g(x)=ex-lnx-2≥g(xo)>0,则f(x)<ex+x-2.