3.6一次函数的应用 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

3.6 一次函数的应用 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 用待定系数法确定一次函数表达式 建立一次函数模型进行预测 分段函数的应用 知1－讲 感悟新知 知识点 用待定系数法确定一次函数表达式 1 1. 建立一次函数模型解决实际问题的步骤： (1)将所得数据在平面直角坐标系中描出； (2)观察点的分布特征确定合理的函数模型，并根据已知数据求出函数表达式； (3)进行检验，验证其他数据是否符合求得的函数表达式； (4)运用这个函数模型解决实际问题. 感悟新知 2. 建立一次函数模型的常见情形： (1)利用图象信息. 如果图象是一条不与x 轴、y 轴平行的直线、射线或线段(包括处在同一直线上的连续点)，那么可以根据图象特征建立一次函数模型. (2)利用常见公式(实际生活中的基本数量关系). 根据长方形周长=2(长+ 宽)、路程= 速度× 时间、销售额= 单价× 销售量等等量关系建立一次函数模型. 知1－讲 感悟新知 (3)寻找变量间的函数关系. 如果以数据的形式给出的两个量的一些对应值，其中一个量随着另一个量均匀变化，那么也可以建立一次函数模型. 知1－讲 感悟新知 知1－讲 特别解读 均匀变化的理解： 自变量每增加1个最小单位量，因变量都增加(或减少)相同的量． “建模”可以把实际问题转化为关于一次函数的数学问题，它的关键是确定函数的表达式，并确定实际问题中自变量的取值范围. 知1－练 感悟新知 [母题 教材P112 思考]火星探测车是登陆火星并 进行探测的可移动探测器，为应对极端温度环境，制造火星探测车使用了新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率(W/(m·K))与温度(℃)的关系如表： 根据表格中两者的对应关系，若导热率为0.75，则温度为_______. 例1 温度/℃ 100 150 200 250 300 导热率/(W/(m·K)) 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 知1－练 感悟新知 解题秘方：由表格数据可知，该材料导热率与温度的函数关系为一次函数，利用待定系数法求出一次函数关系式即可求解． 知1－练 感悟新知 解： 由表格数据可知，温度每增加50 ℃，导热 率增加0.05 W/(m·K)，所以该材料导热率与温度的函数关系为一次函数．设导热率与温度的函数关系式为y=kx+b(k，b 为常数，k ≠ 0). 把x=100，y=0.15；x=150，y=0.2 分别代入， 得解得所以y=0.001x+0.05. 当y=0.75 时，0.001x+0.05=0.75，解得x=700. 答案： 700 知1－练 感悟新知 解题通法 首先根据表格中数据的变化规律判断函数的类型 (也可以以表格中的各对对应值为坐标描点，再画出该函数图象，根据图象特征判断函数的类型)，用待定系数法求出函数的表达式，然后根据函数的性质解决问题． 知1－练 感悟新知 [教材P113 练习T2]周末，张华和李明相约去北坡公园锻炼，张华家、李明家及北坡公园大门顺次在一条直线上，张华家和李明家之间的距离为800 m，两人分别同时从家出发，均保持匀速行走前往 北坡公园. 如图3.6-1，l1，l2 分别表 示李明、张华两人到张华家的距离 s(m)与两人的行走时间t(min)之间的关系. 例2 知1－练 感悟新知 解题秘方：用待定系数法求出函数表达式，再求出s1=s2 时t 的值即可. 知1－练 (1)求l1，l2 对应的函数表达式； 感悟新知 解：根据图象，可设l1对应的函数表达式为s1=k1t+800，l2 对应的函数表达式为s2=k2t(k1，k2 为常数，k1 ≠ 0，k2≠ 0)．因为l1 过点(2，1 000)，l2过点(2，400)， 所以1 000=2k1+800，400=2k2，解得k1=100，k2=200. 故l1对应的函数表达式为s1=100t+800，l2对应的函数表达式为s2=200t. 知1－练 (2)出发几分钟后，张华追上李明？ 感悟新知 解：当s1=s2 时，张华追上李明，此时100t+800=200t，解得t=8.故出发8 min 后，张华追上李明. 知1－练 感悟新知 技巧点拨 (1)认真分析图象得到相关数据，用待定系数法求函数表达式； (2)两人相遇的时间，实际上是函数图象交点的横坐标． 感悟新知 知2－讲 知识点 建立一次函数模型进行预测 2 根据部分因变量随自变量均匀变化的数据信息可以建立一次函数模型，利用求得的函数表达式，可以对数据的邻近区域进行预测. 感悟新知 知2－讲 预测邻近数据的步骤： 第一步：找出自变量和因变量，确定因变量是随自变量均匀变化的. 第二步：利用待定系数法求出函数表达式. 第三步：根据函数表达式对邻近数据进行预测. 知2－讲 感悟新知 特别提醒 利用求得的一次函数表达式，可以对数据的邻近区域进行预测，但不能对远离已知数据的区域进行预测. 知2－练 感悟新知 [母题 教材P114 做一做]小丽在练习跳绳，下表是她今年1~4月份1 分钟跳绳成绩的情况. 例3 月份 1 2 3 4 成绩/ 个 80 85 90 95 解题秘方：紧扣两个变量的变化规律确定函数关系类型，利用待定系数法确定函数表达式，再进行预测. 知2－练 感悟新知 (1)你能为小丽的1分钟跳绳成绩与月份之间的关系建立函数模型吗？如果能，请求出表达式；如果不能，请说明理由. 知2－练 感悟新知 解：能.上表中从2月份开始，每个月的成绩都比 上个月的成绩提高5 个，可以尝试建立一次函数模型. 用x 表示月份，y 表示成绩，则小丽的1 分钟跳绳成绩y(个)与月份x 之间的函数表达式可以设为y=kx+b. 把x=1，y=80 和x=2，y=85 分别代入， 得解得所以y=5x+75.经检验，其他两组x，y 的值也符合y=5x+75. 所以y=5x+75. 知2－练 感悟新知 (2)用所求出的函数表达式预测小丽今年5 月份的1 分钟跳绳成绩. 解：当x=5 时，y=5×5+75=100. 所以预测小丽今年5 月份的1 分钟跳绳成绩是100 个 知2－练 感悟新知 (3)能用所求出的表达式预测小丽明年3月份的1分钟跳绳成绩吗？请说明理由. 解：不能. 理由：1 分钟跳绳成绩在短时间内可能呈某种趋势，但在较长时间内，受自身的发展极限的限制，不会永远呈此种趋势.(理由不唯一，合理即可) 感悟新知 易错警示 题目中没有明确是什么函数时，不能单凭两组数据确定函数表达式，必须要检验其他几组数据是否符合. 知2－练 感悟新知 知3－讲 知识点 分段函数的应用 3 1. 分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是在自变量的不同取值范围内，用不同的表达式表示同一个函数. 感悟新知 知3－讲 2. 分段函数反映在函数表达式上，每一段都有函数表达式，前后两段的函数表达式不同；分段函数反映在函数图象上，图象有分段点，分段点前后图象不是同一变化趋势，有的分段点既是上一段函数图象的“终点”，也是下一段函数图象的“起点”. 感悟新知 知3－讲 特别提醒 1. 分段函数在不同的自变量取值范围内对应的表达式不同. 2. 表示分段函数时，每一段的函数表达式后面必须加上自变量的取值范围. 感悟新知 知3－练 [母题 教材P115 例2]我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12 t以内(包括12 t)和用水12 t以上两种收费标准.某用户每月应交水费y(元)与用水量x(t)的函数关系如图3.6-2 所示． 例4 解题秘方：紧扣自变量的取值范围，利用待定系数法求出不同范围内的函数表达式． 感悟新知 知3－练 (1)观察图象，求出函数在不同范围内的表达式； 解：当0≤x≤12时，设函数表达式为y=kx(k为常数，k≠0)，则12k=48，解得k=4，所以y=4x(0 ≤ x ≤ 12)； 当x>12 时，设函数表达式为y=mx+n(m，n 为常数，m≠ 0)，则解得 所以y=6x-24(x>12).所以y= 感悟新知 知3－练 (2)若某用户该月交水费63 元，求该用户用了多少吨水. 解：因为63>48，所以该用户用水超过12 t， 所以当y=63 时，63=6x-24，解得x=14.5. 所以该用户用了14.5 t 水. 感悟新知 方法点拨 1. 当图象的变化规律在不同自变量范围内不同时，常需要分段考虑. 2. 当自变量满足不同的条件时，其对应的函数表达式不同，则需要分段考虑. 3. 分段后各段自变量的取值范围要不重不漏. 知3－练 一次函数的应用 一次函数的应用 选择方案 分段函数 的应用 进行预测 课堂小结 $