第十九章 二次根式 拓展提升专练 习题课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第十九章 二次根式 拓展提升专练 人教版八年级下册 1.已知x＝ －1，则代数式x2＋2x－3的值为 . 2. 已知a＋ ＝ ，则a－ 的值为 . 1 ± 一、选择、填空题 3.用含有根号的式子填空． (1)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的 宽为 m; (2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一 个边长为1的正方形的面积之和,则大正方形的边长 为 ; (3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位: s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)的关系近似 为h＝5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为 ． 4. 我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”. (1)在图1的方格中，若要使每一横行、竖列、斜对角线 的3个实数分别相乘都得到同样的结果，则a＝ ， b＝ ； 6 (2)我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中 提出“幻圆”的概念. 在图2的“幻圆”中，若内、外两个圆 周上的四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和 都相等，则a－b＝ . 5. 座钟的钟摆摆动一个来回所需要的时间 称为这个座钟摆动的一个周期,其计算公式为T＝2π ， 其中T(s)表示周期，l(m)表示摆长，g取10 m/s2. 根据以上材料，若座钟的摆长为0. 5 m，每摆动一个来 回发出一次滴答声，则在1 min内，该座钟至少发出了 次滴答声. (π值取3， ≈2. 236，结果保留整数) 44 6. 当 ＝ · 时，x的取值范围是 ( ) A. x≥1 B. x≥2 C. x≤2 D. 1≤x≤2 B 1. 计算： ( －1)( ＋2)－ . 解：原式＝( )2＋2 － －2－ ＝3＋2 － －2－ －1 ＝0. 二、解答题 2. 已知一个长方形的长为a＝ ＋ ，宽为b＝ － . (1)该长方形的面积为 ，周长为 ； (2)求a2＋b2的值. 1 解：(2)由(1)得a＋b＝4 ÷2＝2 ，ab＝1， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(2 )2－2×1＝22. 3． 小球从离地面为h(单位:m)的高处自由 下落,落到地面所用的时间为t(单位:s).经过实验,发现h 与t2成正比例关系,而且当h＝20时,t＝2.试用含h的代数 式表示t,并分别求当h＝10和h＝25时,小球落地所用的 时间． 解：设h＝kt2. 用h表示t为t＝ . 当h＝10时,t＝ ＝ . 当h＝25时,t＝ ＝ . ∴小球落地所用的时间分别是 s, s． 由h＝20时,t＝2,得20＝k×22,解得k＝5,∴h＝5t2. 4. 已知a,b,c是△ABC的三边长,若 ＋ ＝6,求a的值． 解：依题意,得a＋c＞b, a＋b＞c, ∴ ＋ ＝(a＋c－b)＋(a＋b－c) ＝2a ＝6. ∴a＝3. 5. 按规律排列的二次根式如下： ， ， ， ，… (1)根据你发现的规律，猜想第n个式子，并直接写出 该式子； (2)当n＝5时，求它与前面4个二次根式的积. 解：(1)第n个式子为 . (2) × × × × ＝ × × × × ＝2×3×4×5× ＝120 . 6. 阅读与计算： 古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量论》一书 中给出了以下公式：如果一个三角形的三边长分别 为a，b，c，记p＝ (a＋b＋c)，那么三角形的面积 S＝ (海伦公式). 若△ABC中， BC＝4，AC＝5，AB＝7，请利用上述公式求出 △ABC的面积. 解：∵BC＝4，AC＝5，AB＝7， ∴p＝ ×(4＋5＋7)＝8. ∴S△ABC＝ ＝4 . ＝ 7. 根据下列条件求代数式 的值： (1)a＝1，b＝10，c＝－15； 解：(1)当a＝1，b＝10，c＝－15时， 原式＝ ＝ ＝－5＋2 . (2)当a＝2，b＝－8，c＝5时， 原式＝ ＝ ＝2＋ . (2)a＝2，b＝－8，c＝5. 8. 如图，从一个大正方形纸片中裁去面积 为15 cm2和24 cm2的两个小正方形，求剩下部分的面积. 解：由题意知，裁去的两个小正方形的边长分别为 cm和 cm，而剩下部分是两个全等的小长方形，其宽为 cm，长为 cm， ∴剩下部分的面积＝2× × ＝12 (cm2). 9. 观察下列各式： ＝2 ， ＝3 ， ＝4 ，… (1)根据上面的规律，试写出第4个等式： ； ＝5 (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式， 并证明. 解：(2) ＝(n＋1) . 证明如下： ＝ ＝ ＝(n＋1) . 10. 在一个底面为 cm × cm的长方体玻璃容器中装满水，现将玻璃容器中 的一部分水倒入一个底面为正方形、高为 cm的铁桶 中. 当铁桶装满水时，玻璃容器中的水面下降了 cm， 那么铁桶的底面边长是多少？ 解：设铁桶的底面边长是x cm. 依题意，得x2· ＝ × × ， 解得x＝5 或x＝－5 (不合题意，舍去). 答：铁桶的底面边长是5 cm. 11. 计算： ÷ － × ＋ . 解：原式＝ － ＋2 ＝4－ ＋2 ＝4＋ . 12. 如图所示，大正方形的面积为48 cm2，它的四个角是面 积为3 cm2的小正方形. 现将四个角剪掉，制作成一个无 盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积. (结果保留 根号) 解：依题意 ，得大正方形的边长为 ＝ 4 (cm)，小正方形的边长为 cm. ∴这个长方体盒子的体积为(4 －2 )2×＝12 (cm3). 13. 已知边长分别为( ＋ )m，( － )m 的两个正方形的面积分别为S1，S2. (1)求S1＋S2的值. (2)用一根长为20 m的铁丝，能否围成这两个正方形？ 解：(1)依题意，得S1＝( ＋ )2＝(7＋2 )(m2)， S2＝( － )2＝(7－2 )(m2). ∴S1＋S2＝7＋2 ＋7－2 ＝14(m2). ∴用一根长为20 m的铁丝能围成这两个正方形. (2)这两个正方形的周长之和为 4( ＋ )＋4( － )＝8 (m). ∵8 ＝ < ＝20， $