精品解析：合肥市第168中学2024-2025学年度下学期高一教学质量检查数学

合肥市第168中学2024-2025学年度下学期高一教学质量检查数学 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、单选题 1. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合复数的除法求出,即可得到，再用复数的模长公式求解. 【详解】因为, 所以, 则. 故答案为：C. 2. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. . D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算，根据投影向量的计算公式直接计算即可. 【详解】因为，所以， 在上的投影向量为. 故选：D 3. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三视图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长． 【详解】由三视图知原图形是平行四边形，如图，，，，， 所以平行四边形的周长是8． 故选：A． 4. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断. 【详解】因为分别为与同向的单位向量， 因为，可知的角平分线与BC垂直，则， 又因为，即， 且，则，所以是等边三角形. 故选：D. 5. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据判断出，，三点共线，再结合外心的性质得到的形状，最后根据投影向量的定义求出的值. 【详解】已知，将其变形可得，即. 根据向量共线定理，可知与共线，所以，，三点共线. 因为点为的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，且，，三点共线， 所以为外接圆的直径，那么，即是直角三角形. 根据投影向量的定义求的值，， 可得，即， 又因为，所以，因为，所以. 的值为. 故选：D. 6. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则的最小值是（ ） A. －1 B. 1 C. －3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示，结合三角函数的知识求得正确答案. 【详解】以为原点，为轴的正方形建立平面直角坐标系， 则，设， ， 所以当时，取得最小值. 故选：C 7. 在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用余弦定理化简已知条件可得，再利用正弦定理化边为角，可得，进而化简，得，由三角形内角和可解角. 【详解】由余弦定理得，即， ∵，∴，∴， 由正弦定理得， ∴， 即， ∴， ∵，∴，∴，∴， 又， 即，由得， ∵，，所以，即， 由，即， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：分别化简两个条件得和，由三角形内角和可解角. 8. 天然钻石是在地球深部高压、高温条件下形成的一种由碳元素组成的单质晶体，随着科技发展，人工钻石也在不断涌现，目前已合成的有白钻、黄钻、绿钻及蓝钻.钻石常见外形有圆形、椭圆形、榄尖形、心形、梨形、方形、三角形等！现有一款雕琢后的钻石，其形状如图所示，可看作由正六棱台 和正六棱锥 P-ABCDEF组合而成，其中 若该组合体的外接球存在，且外接球的体积为36π，则AA₁ 的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由组合体的外接球的体积可求得半径，因为，可得球心的位置，记正六边形的中心为，可求得，进而可求得. 【详解】因为组合体的外接球的体积为，设球的半径为，所以 所以外接球的半径，因为，所以球心O与正六边形 的中心重合， 记正六边形的中心为，因为 所以 所以. 故选：D. 二、多选题 9. 已知i是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，，则 B. 若，则 C. 若复数，则 D. 若复数为纯虚数，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于虚数，其不能比较大小，判定A；根据的幂次规律计算，判定B；利用复数模的性质计算，判定C；依据纯虚数实部为且虚部不为来确定的值，判定D. 【详解】对于A，虚数不可比较大小，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，复数为纯虚数，则，所以正确． 故选：BD 10. 在中，，，，点为边上一动点，则（ ） A. B. 当为角的角平分线时， C. 当点为边上点，时， D. 若点为内任一点，的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用余弦定理求边长判断A；应用等面积法及三角形面积公式列方程求判断B；由，应用向量数量积的运算律求线段长度判断C；构建合适的直角坐标系，应用坐标法求数量积，进而确定最小值判断D. 【详解】A：，对； B：由题意， 所以，可得，对； C：由，则， 所以，对； D：构建如下图的直角坐标系，则，若， 所以， 则 ， 当时，在三角形内满足题设，此时的最小值为，错. 故选：ABC 11. 已知的内角的对边为，，，下列说法中正确的是（    ） A. 若，则. B. 若满足的恰有一个，则的取值范围是. C. 若，则. D. 若，则该三角形内切圆面积的最大值是. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据同角公式化为，再根据正弦定理可得，故A正确；对于B，根据三角形解的个数的结论可得B不正确；对于C，根据二倍角的正余弦公式求解可知C正确；对于D，由正弦定理边化角，根据两角和的正弦公式变形可得，再求出内切圆半径的最大值，可得内切圆面积的最大值，可知D正确； 【详解】对于A，若，则，则， 因为为三角形的内角，所以，， 所以，根据正弦定理得，故A正确； 对于B，若满足的恰有一个，则或， 即或，故B不正确； 对于C，若，则， 则，因为，所以，， 所以，所以，所以， 所以，， 因为，，， 所以， 所以 ，故C正确； 对于D，若，由正弦定理得， 得， 得， 得，得， 因为为三角形的内角，，，所以， 所以，因为，所以， 设该三角形内切圆半径为， 则，又，所以， 所以 ， 因为，所以，， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以该三角形内切圆面积的最大值为.故D正确； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：熟练运用三角恒等变换公式、正弦定理进行变形化简是本题解题关键. 三、填空题 12. 已知，且（其中为虚数单位），则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件变形为，再利用复数相等，即可求的值. 【详解】，则， 故答案为： 13. 如图，在正四棱锥中，为棱PB的中点，为棱PD的中点，则棱锥与棱锥的体积之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形可求出与棱锥的体积之比，即可求出结果． 【详解】如图所示： 棱锥可看成正四棱锥减去四个小棱锥的体积得到， 设正四棱锥的体积为，为PB的中点，为PD的中点， 所以，而， 同理， 故棱锥的体积的为， 即棱锥与棱锥的体积之比为 故答案为：. 14. 的内角A,B,C的对边分别为，若的面积为，且为钝角，则的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】由面积等于可联想到用角的余弦定理与面积公式得出. 又想到用正弦定理化简成,再化简利用,为钝角求取值范围即可. 【详解】由的面积为得,化简由余弦定理得 ,显然不为直角, , 故,又,所以. 故, 又,为钝角,所以,故 所以,故 故答案为 【点睛】本题主要考查余弦定理与面积公式的运用.同时也考查了解三角形中边化角的思路以及三角函数范围问题,属于中等问题. 四、解答题 15. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出、的坐标，再根据得到，由数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出的坐标，依题意可得且与不共线同向，即可得到方程（不等式）组，解得即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， ∵，∴， ∴，即， 解得或. 【小问2详解】 当时，， ∵与的夹角为锐角， 则且与不共线同向， ∴，解得， ∴的取值范围是. 16. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过上的一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱． （1）若是的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积； （2）当为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值． 【答案】（1）表面积为，体积为；（2）当时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为． 【解析】 【分析】（1）根据圆锥，圆柱的侧面积，表面积和体积公式即可求出； （2）设，用的函数表达式表示出圆柱的侧面积，再利用基本不等式即可求出其最大值． 【详解】（1）设圆柱的底面半径为，由三角形中位线定理可知，，圆柱母线长， 而圆锥的母线长为，所以圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为 圆锥的表面积加上圆柱的侧面积， 即， 圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积， 即． （2）设，由平面几何知识可知，，所以， 故被挖去的圆柱的侧面积为，当且仅当时取等号．即时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为． 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边， （1）求角； （2）若，的面积为，求，； （3）若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 【答案】（1） （2），. （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和差的正弦公式化简计算可得； （2）利用余弦定理及面积公式得到方程组，解得即可； （3）依题意可得将两边平方，结合余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，结合三角恒等变换公式及三角函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理知可得， 而， ， 即，又， ，即， 又，则 ，则. 【小问2详解】 由（1）及题设可得，即， 将代入，整理得，则， 即（负值舍去），故. 【小问3详解】 因为为的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以且，解得， 所以，所以，则， 所以， 所以中线的取值范围是. 18. 如图，在边长为1的正三角形ABC中，D为BC的中点，，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N． （1）用，表示； （2）若，，求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得出，然后即可得出答案； （2）先根据已知结合（1）的结论得出，然后根据三点共线得出，即可得出答案； （3）先用得出，然后根据数量积的运算律可推得.根据（2）的结论可得出，，，换元，可得出.然后根据对勾函数的单调性可得出，根据二次函数的性质，即可得出答案. 【小问1详解】 因为D为BC中点， 所以，. 又因为， 所以. 【小问2详解】 若，， 所以，， 所以. 因为M，O，N三点共线， 所以， 所以，. 【小问3详解】 因为，，， 所以， . 由（2）得，得，， 令，，则， 得. 根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以， 所以，. 因为， 所以，根据二次函数的性质可知， 所以的取值范围为. 【点睛】思路点睛：用基底表示出向量，根据向量数量积的运算律得出的表达式，然后根据的关系化简，进而根据基本不等式以及二次函数的性质，即可得出答案. 19. 某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H. （1）求； （2）若点T为劣弧上一动点，求的最小值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在锐角中，由正弦定理求出，利用同角三角函数的平方关系求出.利用三角形垂心性质可得，结合三角形诱导公式即可求解； （2）设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点. 由题意及对称性可知.故要使取得最小值，只需最小.分析可知当三点共线最小，即可求解. （3）由向量减法运算可知，由圆的性质可知，，从而.由（1）可求，可求解.在锐角中，由二倍角公式、三角形内角和定理、诱导公式及正弦定理可解.由点H是的垂心可得，，. 在中，由正弦定理可求得，同理可求，，本题即可求解. 【小问1详解】 在锐角中，∵，其外接圆O的半径为， ∴由正弦定理可得：，解得. . 由题可知，. 【小问2详解】 设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点. 由题意及对称性可知. 故要使取得最小值，只需最小. 在圆上，由三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时取等号，此时. ∴， 即的最小值为. 【小问3详解】 由（1）可知：，. ，. 又， ∴由圆的性质可知. 又， ∴，解得. ∴在锐角中，，， ，. ∴由正弦定理可得：， ∴，. 在中，由点H是的垂心可得，，. 在中，由正弦定理可得，. 同理可得， ， ∴. 【点睛】本题的解题关键是利用点H是的垂心找到角与内角的关系，用诱导公式和正弦定理即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥市第168中学2024-2025学年度下学期高一教学质量检查数学 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、单选题 1. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. . D. 3. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 5. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则的最小值是（ ） A. －1 B. 1 C. －3 D. 3 7. 在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 天然钻石是在地球深部高压、高温条件下形成的一种由碳元素组成的单质晶体，随着科技发展，人工钻石也在不断涌现，目前已合成的有白钻、黄钻、绿钻及蓝钻.钻石常见外形有圆形、椭圆形、榄尖形、心形、梨形、方形、三角形等！现有一款雕琢后的钻石，其形状如图所示，可看作由正六棱台 和正六棱锥 P-ABCDEF组合而成，其中 若该组合体的外接球存在，且外接球的体积为36π，则AA₁ 的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题 9. 已知i是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，，则 B. 若，则 C. 若复数，则 D. 若复数为纯虚数，则 10. 在中，，，，点为边上一动点，则（ ） A. B. 当为角的角平分线时， C. 当点为边上点，时， D. 若点为内任一点，的最小值为 11. 已知的内角的对边为，，，下列说法中正确的是（    ） A. 若，则. B. 若满足的恰有一个，则的取值范围是. C. 若，则. D. 若，则该三角形内切圆面积的最大值是. 三、填空题 12. 已知，且（其中为虚数单位），则__________. 13. 如图，在正四棱锥中，为棱PB的中点，为棱PD的中点，则棱锥与棱锥的体积之比为______． 14. 的内角A,B,C的对边分别为，若的面积为，且为钝角，则的取值范围是_______ 四、解答题 15. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过上的一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱． （1）若是的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积； （2）当为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值． 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边， （1）求角； （2）若，的面积为，求，； （3）若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 18. 如图，在边长为1的正三角形ABC中，D为BC的中点，，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N． （1）用，表示； （2）若，，求的值； （3）求的取值范围． 19. 某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H. （1）求； （2）若点T为劣弧上一动点，求的最小值； （3）若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $