专题二 微拓展1 极化恒等式和等和线定理-【创新大课堂】2026年高考二轮数学专题复习

第3编　微拓展升华 微拓展1　极化恒等式和等和线定理 [考情分析]　利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．等和线可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；用向量共线定理求解则更加简洁． 考点一　极化恒等式 极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]. (1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则： ①·＝(||2－||2)(平行四边形模式)； ②·＝||2－||2(三角形模式). [例1]　(1)已知在△ABC中，M是BC中点，AM＝3，BC＝10，则·＝(　　) A．－16 B．16 C．－8 D．8 解析　由题设，△ABC可以补形为平行四边形ABDC，由已知得||＝3，||＝10，·＝(4||2－||2)＝×(36－100)＝－16.故选A. 答案　A (2)(2025·高三湖南长沙二模)已知AC为圆M的直径且AC＝2，B为圆M上的动点且与A，C均不重合，等边三角形BCD与△ABC共面且点A，D位于BC的异侧，则·的最大值为(　　) A． B．1 C．2 D．3 解析　如图：因为＋＝0，所以·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝|MD|2－1.取BC中点N，则|MD|＝|MN|＋|DN|，因为0<|BC|<2，所以设|BC|＝2cos α，α∈(0，)，则|MN|＝＝sinα，|DN|＝×2cos α＝cos α，所以|MD|＝sin α＋cos α＝2sin (α＋)，α∈(0，)，当α＝时，|MD|＝2为最大值．此时·＝4－1＝3为最大值．故选D. 答案　D 在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤 (1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点； (2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值． 注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式． 跟踪训练1　(2025·高三湖南长沙三模)已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若AB＝CD＝2，则·＋·的最大值为(　　) A．6 B．12 C．24 D．32 C　[如图：分别取AB，CD的中点E，F，连接DE，CE，EF.所以＝＝，＝＝，又AB＝CD＝2，所以由极化恒等式得·＝(－)·(＋)＝2－2＝2－2＝2－1，同理·＝2－2＝2－1，所以·＋·＝2－1＋2－1＝(＋)2－2·－2，＝(－2)2－2(－＋)·(－－)－2＝(－2)2－2(2－2)－2，＝(－2)2－2(2－2)－2＝22，连接OE，OF，OA，OB，OC，OD，由AB＝CD＝2，OA＝OB＝OC＝OD＝2，得OE＝OF＝，所以E，F在以O为圆心，为半径的圆上．所以EF的最大值为2，所以·＋·的最大值为24.故选C.] 考点二　等和线 平面向量等和线定理 平面内一组基底{，}及任一向量，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k＝＝＝，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线． (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0； (5)若两条等和线关于O点对称，则定值k互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． [例2]　(1)(2025·包头模拟)如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC上的点，＝3，＝3.若线段EF上存在一点M，使得＝＋x(x∈R)，则x等于(　　) A． B． C． D． 解析　 由图可知，直线AC是以{，}为基底，值为1的等和线． 设DM与AC交于点N，＋x＝k， 又因为AC∥EF，则＝， 根据等和线定理可得k＝， 所以＋x＝，解得x＝.故选A. 答案　A (2)如图所示，半径为1的扇形AOB，∠AOB＝，若点C为弧AB上任意一点，且＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是 ． 解析　如图所示，设x＋y＝k，则直线AB为以{，}为基底，k1＝1的等和线，所有与直线AB平行且与弧AB有公共点的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，设切点为D，连接OD，与AB交于点E，易知OE⊥AB. 因为OA＝1，∠AOB＝， 所以OE＝，则k＝＝＝2， 即x＋y的最大值为2.故答案为：2. 答案　2 用等和线求基底系数和的步骤 (1)确定值为1的等和线； (2)平移该线，作出满足条件的等和线； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值． 跟踪训练2　如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　) A．1 B． C． D． B　[ 如图，AD为以{，}为基底，值是1的等和线， 延长BE交AD于点F， 过E作AD的平行线， 设λ＋μ＝k，则k＝. 由图易知，＝，所以λ＋μ＝.故选B.] 提升思维　拓展训练 1．(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·等于(　　) A． B．3 C．2 D．5 B　[设CD的中点为O，由极化恒等式可得 ·＝||2－||2＝3.故选B.] 2．(2025·玉溪模拟)如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b，向量＝λa＋μb，则λ＋μ的值为(　　) A．1 B． C． D． C　[ 如图，BC为值是1的等和线，过O作BC的平行线，延长AO交BC于点M，设λ＋μ＝k，则k＝.由题易知O为△ABC的重心，＝，所以λ＋μ＝.故选C.] 3.(2025·九江模拟)如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则·的取值范围为(　　) A．[4，5] B．[5，7] C．[4，6] D．[5，8] B　[由极化恒等式可得， ·＝||2－||2＝||2－1， 当OM与正六边形的边垂直时，||min＝， 当点M运动到正六边形的顶点时，||max＝2， 所以||∈[，2]， 则||2∈[6，8]，即·＝(||2－1)的取值范围为[5，7].故选B.] 4．若AB为双曲线－＝1上经过原点的一条动弦，M为圆C：x2＋(y－2)2＝1上的一个动点，则·的最大值为(　　) A． B．7 C．－7 D．－16 C　[ 如图，O为AB的中点，连接MO， ·＝||2－||2， 而|MO|max＝|OC|＋1＝3，|AB|min＝2a＝8， 所以(·)max＝9－×64＝－7.故选C.] 5.如图，边长为2的等边△ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任意一点，若＝x＋y，则2x＋2y的最大值为(　　) A． B．2 C． D．1 A　[ 作BC的平行线与圆O相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，∵BC∥EF，设＝＝k，则k∈[0，]，由等和线定理得x＋y＝k， ∴2x＋2y＝2k≤.故选A.] 6.如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·＝ ． 　[取AO的中点Q，连接PQ(图略)，·＝·＝||2－||2＝－＝.故答案为：.] 7．在△ABC中，AC＝2BC＝6，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝2，若·的最小值为3，则cos ∠ACB＝ ． 　[取线段MN的中点P，连接CP，过C作CO⊥AB于O，如图，PM＝MN＝1，依题意，·＝||2－||2＝||2－1，因为·的最小值为3，则||的最小值为2，因此CO＝2，在Rt△AOC中，cos ∠OCA＝＝，sin ∠OCA＝，在Rt△BOC中，cos ∠OCB＝＝，sin ∠OCB＝，所以cos∠ACB＝cos (∠OCA＋∠OCB)＝cos ∠OCAcos∠OCB－sin ∠OCA sin ∠OCB＝.故答案为：.] 8.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，动点P在以C为圆心，且与直线BD相切的圆内(不含边界)运动， 设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是 ． (1，)　[ 如图，设圆C与直线BD相切于点E，过A作AG⊥BD于G，作直线l∥DB，且直线l与圆C相切与F，连接EF，则EF过圆心，且EF⊥BD.由图可知，对圆C内(不含边界)任意一点P，AP在直线AG上的射影长度d满足|AG|<d<|AG|＋|EF|，又|AG|＝＝，|EF|＝2|EC|＝2|CD|sin ∠ABD＝，所以<d<，由等和线定理得α＋β＝，所以1<α＋β<. 故答案为：(1，).] 学科网（北京）股份有限公司 $