专题二 微重点2 平面向量数量积的最值与范围问题·-【创新大课堂】2026年高考二轮数学专题复习

微重点2　平面向量数量积的最值与范围问题 [考情分析]　平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法． 考点一　求向量数量积的最值(范围) [例1]　(1)(2025·重庆模拟)如图，边长为1的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC(包括端点)上一点，则·的取值范围是(　　) A．[1，] B．[1，] C．[1，] D．[，1] 解析　如图建立平面直角坐标系，则A(－，－)， B(，－)， 又圆O半径为r＝， 设P(cos θ，sin θ)， ∵点P在(包括端点)上， ∴θ∈[－，]， ∴＝(cos θ＋，sin θ＋)， ＝(1，0)， ∴·＝cos θ＋， ∵θ∈[－，]， ∴cos θ∈[，1]， ∴·的取值范围是[1，].故选C. 答案　C (2)已知在菱形ABCD中，AB＝BD＝6，若点M在线段AD上运动，则·的取值范围为 ． 解析　·＝cos ∠MBC， 如图所示，当M在线段AD上运动时可得－≤cos ∠MBC≤， 即－3≤||cos ∠MBC≤3，又||＝6， 所以－18≤·≤18.故答案为：[－18，18]. 答案　[－18，18] 向量数量积最值(范围)问题的解题策略 (1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断． (2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决． 跟踪训练1　(2025·高三江西南昌三模)已知△ABC是边长为2的正三角形，点D满足AD＝2，∠BDC＝，则·的最大值为(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 A　[ 由题意得点B，C，D在以A为圆心、2为半径的圆上，取BC的中点E，以A为坐标原点，过点A平行于BC的直线为x轴，AE所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(－1，－)，C(1，－)，设D(2cos θ，2sin θ)，由∠BDC＝，故 θ∈(－，)，则＝(2cos θ，2sin θ)，＝(2，0)，则·＝4cos θ≤4，当且仅当θ＝0时等号成立．故选A.] 考点二　求向量模、夹角的最值(范围) [例2]　(1)(2025·高三吉林白城三模)在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2，P是腰AD上的动点，则|2－|的最小值为 ． 解析　 如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，∵AB＝2，BC＝CD＝1，∴AE＝，∴cos ∠EAD＝＝，故∠EAD＝60°，以A为原点，射线AB为x轴正半轴建立直角坐标系，则B(2，0)，C(，)，设P(a，a)，其中0≤a≤，则＝(2－a，－a)，＝(－a，－a)，∴2－＝(－a，－－a)，∴＝＝， ∴当a＝时，取最小值.故答案为：. 答案　 (2)(2025·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，＋＝，λ∈[，3]，则cos ∠BAD的取值范围是(　　) A．[－，－] B．[－，] C．[－，] D．[－，－] 解析　设与同方向的单位向量＝e1，与同方向的单位向量＝e2，与同方向的单位向量＝e3， 由题意，e1＋3e2＝λe3，所以(e1＋3e2)2＝λ2e， 即e＋6e1·e2＋9e＝λ2e， 所以1＋6×1×1×cos ∠BAD＋9＝λ2， 所以cos ∠BAD＝， 因为λ∈[，3]，所以λ2∈[7，9]， 所以∈[－，－]， 即cos ∠BAD的取值范围是[－，－].故选A. 答案　A (1)求向量模的取值范围或最值的常见方法：通过|a|2＝a2转化为实数问题；数形结合；坐标法． (2)求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系． 跟踪训练2　(2025·高三天津滨海新二模)在梯形ABCD 中，AB∥CD，且AB＝3CD，M，N分别为线段DC和AB的中点，若＝a，＝b，用a，b表示＝ ．若⊥，则∠DAB余弦值的最小值为 ． a－b　　[由已知可得＝＋＋＝－＋ ＝－－＋＝－＝a－b；＝＋＋＝－＋＋＝－＋＝－a＋b，因为⊥，所以·＝·＝－a2＋a·b－b2＝0，所以a·b＝a2＋b2，所以cos ∠DAB＝＝＝＋≥，当且仅当＝，即＝时，等号成立，所以∠DAB余弦值的最小值为.故答案为：a－b；.] 考点三　求参数的最值(范围) [例3]　(1)(2025·高三湖南长沙二模)已知G是△ABC的重心，过点G作一条直线与边AB，AC分别交于点E，F(点E，F与所在边的端点均不重合)，设＝x，＝y，则＋的最小值是(　　) A．1 B． C．2 D．4 解析　 如图，取BC中点D，则＝，＝＋，＝＝(＋)＝＋，∵E，G，F三点共线，∴＋＝1，即x＋y＝3，∴＋＝(x＋y)(＋)＝(2＋＋)≥×(2＋2)＝，当且仅当x＝y＝时，取等号．即＋的最小值是.故选B. 答案　B (2)(2025·高三内蒙古赤峰二模)如图，边长为4的等边△ABC，动点P在以BC为直径的半圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围是(　　) A．[1，] B．[，1] C．[，] D．[，] 解析　由题意可以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：结合已知得A(0，2)，B(－2，0)，C(2，0)，半圆弧的方程为：x2＋y2＝4(y≤0)，设P(m，n)，则＝(m，n－2)，＝(－2，－2)，＝(2，－2)，由＝λ＋μ得：， 解得：，所以λ＋μ＝－m－n＋＋m－n＋(*)， 因为P(m，n)在上，所以m2＋n2＝4(n≤0)， 又(2cos θ)2＋(2sin θ)2＝4，则可设m＝2cos θ，n＝2sin θ，π≤θ≤2π， 将m＝2cos θ，n＝2sin θ代入(*)整理得： λ＋μ＝－cos θ－sin θ＋＝－sin (θ＋)＋，由π≤θ≤2π得≤θ＋≤，所以－1≤sin(θ＋)≤，≤－sin (θ＋)＋≤，故λ＋μ的取值范围是[，].故选D. 答案　D 利用共线向量定理及推论 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0). (2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1. 跟踪训练3　(2025·高三江西南昌二模)在平行四边形ABCD中，DA＝DB，E是平行四边形ABCD内(包括边界)一点，＝，若＝xCB＋y，则x＋y的取值范围为(　　) A．[1，2] B．[1，] C．[，] D．[0，1] B　[因为＝，得||cos ∠EDA＝||cos ∠EDB，即cos ∠EDA＝cos ∠EDB，所以点E在∠BDA的角平分线上，设AB的中点为M， 因为DA＝DB，所以点E在线段DM上，不妨设＝λ，λ∈[0，1]，所以＝＋λ，易知＝＋＝－，所以＝＋λ(－)＝(1－)＋λ，因为＝x＋y所以x＋y＝1－＋λ＝1＋，因为λ∈[0，1]所以x＋y＝1＋∈.故选B.] 学科网（北京）股份有限公司 $